第14章结构的弹性稳定计算
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结构力学
第14章 结构的弹性稳定计算
主要内容
1 基本概念
2 临界荷载的确定
3 等截面直杆的临界荷载
4 变等截面直杆的临界荷载
5 偏心受压直杆的稳定 6 剪力Baidu Nhomakorabea临界荷载的影响 7 组合压杆的稳定 8 刚架的稳定计算
§14.1引言
在材料力学中，已经讨论了中心受压杆的稳定问题
2 EI (1)当 Fp Fpcr Fpcr 2 时，压杆处 l
l
2l 2
x
l y
x y a cos 2l 2l
2
l l 2 2 2 x 2 EI y dx EI a cos dx EI a 2l 0 2l 2l 2 0 4 4
n n B 2 a j 'j x i' x dx 2 a j i' x 'j x dx ai j 1 j 1
则Fp的极值条件可改写为
C
j 1
n
ij
a j 0 i 1,2 n
（14-6）
其中 Cij EI i" x "j x F p i' x 'j x dx （14-6）式是关于ai(i=1,2…n)的n阶齐次线性方程组，有非
Ep y (a)
于零。此时称体系是负定的。此时总势
能取得驻值必为极大值。总势能与y的 关系如图(b)所示，体系处于不稳定的 平衡状态。在y=0处有横向干扰力作用， 就会迅速倾覆。 （3）当 kl Fp 时，总势能Ep恒为零。 总势能与y的关系如图(c)所示，体系处 于中性的平衡状态。称处于这一临界状 态的荷载为临界荷载，记 Fpcr kl 。 此时，在y=0处有微小的横向干扰力作 用，会体系在新的倾斜位置上维持新的 平衡。
(3)当 Fp Fpcr 时，压杆处于不稳定平衡状态
当有微小横向干扰力时，压杆将发生很大的弯曲， 特点： 直至破坏。这一现象称为压杆丧失第一类稳定性。 除了压杆外，其它的一些结构也会存在第一类稳定问 题，如
Fp q
受均布外压的圆柱壳
刚架结构
瘦高薄壁构件
除了第一类稳定问题之外，还存在所谓的第二类稳定问题 (1) 当 Fp Fpcr 时，压杆的挠度随着Fp 的增大而增加（不一定是线性的）
4 2
上述结果表明，所设弹性失稳曲线恰好为真实的失稳曲线， 故所得结果为精确解。如设弹性失稳曲线为简支梁的挠曲 线，即
y axx 3 2lx 2 l 3
可以求得 F pcr
5 l 2 EI 144a EI y dx EI 30 9.8824 2 7 2 17l l y dx a2 35 2
Fp
(2) 当 Fp Fpcr 时，即使Fp不增大，压 杆的挠度可持续增加。
此时称压杆丧失了第二类稳定。
图2
由上可知，第二类稳定问题的特征为：平衡形式不发生改 变，结构失稳是由于丧失了继续承载能力。
不论是第一类稳定问题还是第二类稳定问题，在工程
中都是不容许发生的。因为它们或是不能保持结构原有的 工作状态，或是丧失了继续承载的能力，都将导致结构破 坏。因此，在工程结构设计中仅考虑强度条件是不充分的， 对于受压构件或结构还应进行稳定校核。
E p U Fp
图3
（1）当 kl Fp 时，若y≠0，则Ep恒大于零。此时称体 讨论： 系是正定的。此时总势能取得驻值必为极小值。体系 处于稳定的平衡状态，这就是最小势能原理，即对于 稳定的平衡状态，真实的位移使体系的总势能Ep为极 小值。总势能与y的关系如图 (a)所示
1 kl Fp 2 E p U Fp y 2 l （2）当 kl Fp 时，若y≠0，则Ep恒小
2 2
2 x
2
4
y dx a cos
2 0
l
2
2 l
2 x
l
0
l dx a l l 2
∴ Fpcr
l 2 EI a 2 EI y dx EI l 2 EI 9 . 8696 2 2 2 2 l l l y dx a2 l 2
（14-3）
上式就是能量法确定临界荷载的基本依据。下面椐此推导 受压直杆稳定（属于无限自由度体系）问题的临界荷载具 体形式。
x
如图5所示弹性直杆 当达到临界状态时，则对于任一可 能位移有
Fp
E p U Fp 0
上式中为压杆弯曲后，所增加的应变能 （压缩变形能在初始状态也存在）。由于 处于中性平衡状态，给杆一个微小的弯曲 变形，则
n B ai i' x dx i 1
2
由于B≠0 ，A/B=Fp ，则上式可改写为
A B Fp 0 i 1,2 n ai ai
n n " A " 因为 2 EI a j j x i x dx 2 a j EI i" x "j x dx ai j 1 j 1
2 x x y a cos ; ∵ y a sin l l l l
x Fp
Fpcr
2 EI
y
EI y dx EI a l 0
2
l
2
4 l
l sin dx EI a l l 2 0
3 l 2 EI 36a EI y dx EI 3 2 .5 2 3 2 l 2 24l y dx a 5 2
这个近似解比精确解大约1.3%
例2 如图示两端铰支压杆，用能量法求其临界荷载。 解 在材料力学中，已求得临界荷载的 精确解为
l l2 x 设：弹性失稳曲线为 y a sin l 该曲线满足全部的位移和力的边界条件。
在本章中，主要讨论在弹性范围内结构的第一类
稳定问题，在结构力学中，稳定计算的中心问题是确定临 界荷载。
§14.2确定临界荷载的能量法
确定受压构件的临界荷载的方法很多，最基本也是 最重要的方法是静力法和能量法。静力法在材料力学中已 讲过，在本节中介绍能量法。 静力法在确定压杆临界荷载时常常会遇到一些困难，
Fp
于稳定的平衡状态
l
特点：当有微小横向干扰力时，压杆发 生弯曲，当撤消该横向干扰力时， 压杆又恢复直线平衡状态。
图1
(2)当时 Fp Fpcr ，压杆处于随遇或称中性的平衡状态 特点：当有微小横向干扰力时，压杆发生弯曲，当撤消 该横向干扰力时，压杆仍处于弯曲状态，并在此
弯曲状态下保持新的曲线平衡状态。
1 2 y dx 2
(14-4)
例1 如图示压杆，用能量法求其临界荷载。 解 在材料力学中，已求得临界荷载的 精确解为
x Fp
Fpcr
2 EI
设：弹性失稳曲线为 y a1 cos 2l 该曲线满足全部的位移和力的边界条件。
sin x ; y a ∵ 2l 2l
这个近似解比精确解大约0.1%
前面讨论了最简单情况（等截面两端刚性支承）压杆
临界荷载确定方法。对于一般情况，一个函数并不能很好 地反映失稳曲线，此时，可采用级数解答。
设：弹性失稳曲线为 y ai i x
i 1
（14-5）
上式中，i(x)为满足给定位移边界条件的已知函数，ai为待 定系数。 在实际计算时，一般只能求出临界荷载的近似值，弹 性失稳曲线也很难找出精确表达式，因此，（14-5）式只 能取有限项。设取前n项
这样就把求临界荷载问题转变为求Fp的极值问题。 Fp的极值条件为
F p ai
0 i 1,2n
n 2
i 1 A B B A F p ai ai 则 0 i 1,2 n 2 ai B
" 令： A EI aii x dx ;
Ep y
(b)
Ep
y
(c)
以上讨论最简单的单自由度体系情况，对于多自由度 体系或弹性体情况要复杂些，但下面的结论是共性的 当体系处于稳定的平衡状态时，其总势能必为极小值。 当体系处于中性的平衡状态时，其总势能增量必为零。 利用上述结论，可以确定体系的临界荷载
由 E p U Fp 0 得
如当微分控制方程为变系数时，无法得到方程的解；边界 条件较复杂时，导出的特征行列式是高阶的求解困难等。 在这些情况下采用能量法具有较大的优势。
势能驻值原理 在弹性结构（线性或非线性的）的一切可能位移中， 真实的位移使结构的总势能为驻值，即
E p U T 0
（14-1）
上式中，U为结构应变能，T 为外力功（ E * 为荷载 p T 势能）。 应当注意，所谓的“可能位移”是指满足结构变形协 调条件的各种位移。真实位移则不仅满足结构变形协调 条件，而且满足结构平衡条件。因此，（14-1）式实际 上就是能量形式的平衡条件。即（14-1）式是弹性体系 处于平衡的充要条件。 但是在上节提到，平衡又分稳定平衡、中性平衡和不 稳定平衡三种形式。下面通过一个单自由度体系，直观说 明三种平衡形式的特点。
U F pcr （14-2） 如果已知临界状态体系的变形或位移，代入上式即可确定 体系的临界荷载。若是近似的变形或位移，则所求得的临 界荷载为近似值。假如体系的自由度大于1，则满足(14-2） 式的Fp值不止一个，其中最小者就是所求的临界荷载，即
F pcr
U min
l l 2 2 2 x 2 y dx a sin dx a l 2 2 0
2l
0
2l
2l
2
∴ Fpcr
EI y dx
2
l EI a 2
4
y
2
dx
2 2l 2 EI 2.467 EI 2 l2 2l 2 2 l a 2l 2
上述结果表明，所设弹性失稳曲线恰好为真实的失稳曲 线，故所得结果为精确解。如设弹性失稳曲线为悬臂梁 的挠曲线，即
y ax2 3l x
可以求得 F pcr
图5
y
1 M 2 x U dx 2 EI
∵ M x EI y
dx
ds
ds
1 2 ∴ U EI y dx 2
又∵ d ds dx 1 y 2 dx dx
∴ Fpcr
2 EI y dx U min min 2 y dx
如图3所示弹性支承上的刚性杆，顶 端水平弹性支承的刚度系数为k，取 初始位置为参考状态 则体系的总势能为
y
Fp
l
2 2 y 1 l 1 cos l 1 1 U k y2 ∵ 2 2l 2 1 kl Fp 2 y ∴ E p U Fp 2 l
y ai i x
i 1
n
将其代入临界荷载公式得
Fpcr
2 n " 2 EI ai i x dx EI y dx i 1 minF a a a min min p 1 2 n 2 2 n y dx a ' x dx i i i 1
第14章 结构的弹性稳定计算
主要内容
1 基本概念
2 临界荷载的确定
3 等截面直杆的临界荷载
4 变等截面直杆的临界荷载
5 偏心受压直杆的稳定 6 剪力Baidu Nhomakorabea临界荷载的影响 7 组合压杆的稳定 8 刚架的稳定计算
§14.1引言
在材料力学中，已经讨论了中心受压杆的稳定问题
2 EI (1)当 Fp Fpcr Fpcr 2 时，压杆处 l
l
2l 2
x
l y
x y a cos 2l 2l
2
l l 2 2 2 x 2 EI y dx EI a cos dx EI a 2l 0 2l 2l 2 0 4 4
n n B 2 a j 'j x i' x dx 2 a j i' x 'j x dx ai j 1 j 1
则Fp的极值条件可改写为
C
j 1
n
ij
a j 0 i 1,2 n
（14-6）
其中 Cij EI i" x "j x F p i' x 'j x dx （14-6）式是关于ai(i=1,2…n)的n阶齐次线性方程组，有非
Ep y (a)
于零。此时称体系是负定的。此时总势
能取得驻值必为极大值。总势能与y的 关系如图(b)所示，体系处于不稳定的 平衡状态。在y=0处有横向干扰力作用， 就会迅速倾覆。 （3）当 kl Fp 时，总势能Ep恒为零。 总势能与y的关系如图(c)所示，体系处 于中性的平衡状态。称处于这一临界状 态的荷载为临界荷载，记 Fpcr kl 。 此时，在y=0处有微小的横向干扰力作 用，会体系在新的倾斜位置上维持新的 平衡。
(3)当 Fp Fpcr 时，压杆处于不稳定平衡状态
当有微小横向干扰力时，压杆将发生很大的弯曲， 特点： 直至破坏。这一现象称为压杆丧失第一类稳定性。 除了压杆外，其它的一些结构也会存在第一类稳定问 题，如
Fp q
受均布外压的圆柱壳
刚架结构
瘦高薄壁构件
除了第一类稳定问题之外，还存在所谓的第二类稳定问题 (1) 当 Fp Fpcr 时，压杆的挠度随着Fp 的增大而增加（不一定是线性的）
4 2
上述结果表明，所设弹性失稳曲线恰好为真实的失稳曲线， 故所得结果为精确解。如设弹性失稳曲线为简支梁的挠曲 线，即
y axx 3 2lx 2 l 3
可以求得 F pcr
5 l 2 EI 144a EI y dx EI 30 9.8824 2 7 2 17l l y dx a2 35 2
Fp
(2) 当 Fp Fpcr 时，即使Fp不增大，压 杆的挠度可持续增加。
此时称压杆丧失了第二类稳定。
图2
由上可知，第二类稳定问题的特征为：平衡形式不发生改 变，结构失稳是由于丧失了继续承载能力。
不论是第一类稳定问题还是第二类稳定问题，在工程
中都是不容许发生的。因为它们或是不能保持结构原有的 工作状态，或是丧失了继续承载的能力，都将导致结构破 坏。因此，在工程结构设计中仅考虑强度条件是不充分的， 对于受压构件或结构还应进行稳定校核。
E p U Fp
图3
（1）当 kl Fp 时，若y≠0，则Ep恒大于零。此时称体 讨论： 系是正定的。此时总势能取得驻值必为极小值。体系 处于稳定的平衡状态，这就是最小势能原理，即对于 稳定的平衡状态，真实的位移使体系的总势能Ep为极 小值。总势能与y的关系如图 (a)所示
1 kl Fp 2 E p U Fp y 2 l （2）当 kl Fp 时，若y≠0，则Ep恒小
2 2
2 x
2
4
y dx a cos
2 0
l
2
2 l
2 x
l
0
l dx a l l 2
∴ Fpcr
l 2 EI a 2 EI y dx EI l 2 EI 9 . 8696 2 2 2 2 l l l y dx a2 l 2
（14-3）
上式就是能量法确定临界荷载的基本依据。下面椐此推导 受压直杆稳定（属于无限自由度体系）问题的临界荷载具 体形式。
x
如图5所示弹性直杆 当达到临界状态时，则对于任一可 能位移有
Fp
E p U Fp 0
上式中为压杆弯曲后，所增加的应变能 （压缩变形能在初始状态也存在）。由于 处于中性平衡状态，给杆一个微小的弯曲 变形，则
n B ai i' x dx i 1
2
由于B≠0 ，A/B=Fp ，则上式可改写为
A B Fp 0 i 1,2 n ai ai
n n " A " 因为 2 EI a j j x i x dx 2 a j EI i" x "j x dx ai j 1 j 1
2 x x y a cos ; ∵ y a sin l l l l
x Fp
Fpcr
2 EI
y
EI y dx EI a l 0
2
l
2
4 l
l sin dx EI a l l 2 0
3 l 2 EI 36a EI y dx EI 3 2 .5 2 3 2 l 2 24l y dx a 5 2
这个近似解比精确解大约1.3%
例2 如图示两端铰支压杆，用能量法求其临界荷载。 解 在材料力学中，已求得临界荷载的 精确解为
l l2 x 设：弹性失稳曲线为 y a sin l 该曲线满足全部的位移和力的边界条件。
在本章中，主要讨论在弹性范围内结构的第一类
稳定问题，在结构力学中，稳定计算的中心问题是确定临 界荷载。
§14.2确定临界荷载的能量法
确定受压构件的临界荷载的方法很多，最基本也是 最重要的方法是静力法和能量法。静力法在材料力学中已 讲过，在本节中介绍能量法。 静力法在确定压杆临界荷载时常常会遇到一些困难，
Fp
于稳定的平衡状态
l
特点：当有微小横向干扰力时，压杆发 生弯曲，当撤消该横向干扰力时， 压杆又恢复直线平衡状态。
图1
(2)当时 Fp Fpcr ，压杆处于随遇或称中性的平衡状态 特点：当有微小横向干扰力时，压杆发生弯曲，当撤消 该横向干扰力时，压杆仍处于弯曲状态，并在此
弯曲状态下保持新的曲线平衡状态。
1 2 y dx 2
(14-4)
例1 如图示压杆，用能量法求其临界荷载。 解 在材料力学中，已求得临界荷载的 精确解为
x Fp
Fpcr
2 EI
设：弹性失稳曲线为 y a1 cos 2l 该曲线满足全部的位移和力的边界条件。
sin x ; y a ∵ 2l 2l
这个近似解比精确解大约0.1%
前面讨论了最简单情况（等截面两端刚性支承）压杆
临界荷载确定方法。对于一般情况，一个函数并不能很好 地反映失稳曲线，此时，可采用级数解答。
设：弹性失稳曲线为 y ai i x
i 1
（14-5）
上式中，i(x)为满足给定位移边界条件的已知函数，ai为待 定系数。 在实际计算时，一般只能求出临界荷载的近似值，弹 性失稳曲线也很难找出精确表达式，因此，（14-5）式只 能取有限项。设取前n项
这样就把求临界荷载问题转变为求Fp的极值问题。 Fp的极值条件为
F p ai
0 i 1,2n
n 2
i 1 A B B A F p ai ai 则 0 i 1,2 n 2 ai B
" 令： A EI aii x dx ;
Ep y
(b)
Ep
y
(c)
以上讨论最简单的单自由度体系情况，对于多自由度 体系或弹性体情况要复杂些，但下面的结论是共性的 当体系处于稳定的平衡状态时，其总势能必为极小值。 当体系处于中性的平衡状态时，其总势能增量必为零。 利用上述结论，可以确定体系的临界荷载
由 E p U Fp 0 得
如当微分控制方程为变系数时，无法得到方程的解；边界 条件较复杂时，导出的特征行列式是高阶的求解困难等。 在这些情况下采用能量法具有较大的优势。
势能驻值原理 在弹性结构（线性或非线性的）的一切可能位移中， 真实的位移使结构的总势能为驻值，即
E p U T 0
（14-1）
上式中，U为结构应变能，T 为外力功（ E * 为荷载 p T 势能）。 应当注意，所谓的“可能位移”是指满足结构变形协 调条件的各种位移。真实位移则不仅满足结构变形协调 条件，而且满足结构平衡条件。因此，（14-1）式实际 上就是能量形式的平衡条件。即（14-1）式是弹性体系 处于平衡的充要条件。 但是在上节提到，平衡又分稳定平衡、中性平衡和不 稳定平衡三种形式。下面通过一个单自由度体系，直观说 明三种平衡形式的特点。
U F pcr （14-2） 如果已知临界状态体系的变形或位移，代入上式即可确定 体系的临界荷载。若是近似的变形或位移，则所求得的临 界荷载为近似值。假如体系的自由度大于1，则满足(14-2） 式的Fp值不止一个，其中最小者就是所求的临界荷载，即
F pcr
U min
l l 2 2 2 x 2 y dx a sin dx a l 2 2 0
2l
0
2l
2l
2
∴ Fpcr
EI y dx
2
l EI a 2
4
y
2
dx
2 2l 2 EI 2.467 EI 2 l2 2l 2 2 l a 2l 2
上述结果表明，所设弹性失稳曲线恰好为真实的失稳曲 线，故所得结果为精确解。如设弹性失稳曲线为悬臂梁 的挠曲线，即
y ax2 3l x
可以求得 F pcr
图5
y
1 M 2 x U dx 2 EI
∵ M x EI y
dx
ds
ds
1 2 ∴ U EI y dx 2
又∵ d ds dx 1 y 2 dx dx
∴ Fpcr
2 EI y dx U min min 2 y dx
如图3所示弹性支承上的刚性杆，顶 端水平弹性支承的刚度系数为k，取 初始位置为参考状态 则体系的总势能为
y
Fp
l
2 2 y 1 l 1 cos l 1 1 U k y2 ∵ 2 2l 2 1 kl Fp 2 y ∴ E p U Fp 2 l
y ai i x
i 1
n
将其代入临界荷载公式得
Fpcr
2 n " 2 EI ai i x dx EI y dx i 1 minF a a a min min p 1 2 n 2 2 n y dx a ' x dx i i i 1