第一轮一元二次不等式及其解法详细过程

第一节一元二次不等式及其解法

(见学生用书第1页)

考纲传真

1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模

型．

2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．

3．会解一元二次不等式．对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.

1．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系

判别式

Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0 二次函数

y＝ax2＋bx＋c

(a>0)的图象

一元二次方程

ax2＋bx＋c＝0

(a>0)的根有两相异实根

x1，x2(x1

x1＝x2＝－b

2a

没有实数根

ax2＋bx＋c>0

(a>0)的解集{x|xx2}{x|x≠x1}R

ax2＋bx＋c<0

(a>0)的解集{x|x1

2.用程序框图表示一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的求解过程

3．简单的分式不等式 (1)f （x ）g （x ）＞0⇔f (x )·g (x )＞0； (2)f （x ）g （x ）

≤0⇔f (x )·g (x )≤0且g (x )≠0．

ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)对一切x ∈R 恒成立的条件是什么？ 【提示】 a >0且b 2－4ac <0.

1．(人教A 版教材习题改编)不等式2x 2－x －1＞0的解集是( )

A ．(－1

2

，1) B ．(1，＋∞)

C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)

D ．(－∞，－1

2)∪(1，＋∞)

【解析】 ∵2x 2－x －1＝(x －1)(2x ＋1)＞0，

∴x ＞1或x ＜－1

2

.

故原不等式的解集为(－∞，－1

2

)∪(1，＋∞)．

【答案】 D

2．不等式x －1

2x ＋1≤0的解集为( )

A ．(－12，1]

B ．{x |x ≥1或x ＜－1

2}

C ．[－12，1]

D ．{x |x ≥1或x ≤－12}

【解析】 原不等式等价于

(x －1)(2x ＋1)＜0或x －1＝0.

∴原不等式的解集为(－1

2

，1]．

【答案】 A 3．(2012·福建高考)已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________．

【解析】 ∵x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立， ∴Δ＝a 2－4×2a <0，∴0

4．一元二次不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是(－12，1

3

)，则a ＋b 的值是________．

【解析】 由已知得方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12，1

3

.

则⎩⎨⎧－b a ＝－12＋13

2a ＝（－12）×13

解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，

∴a ＋b ＝－14. 【答

案

】

－

14

(见学生用书第2页)

一元二次不等式的解法

解下列不等式 (1)3＋2x －x 2≥0； (2)x 2＋3＞2x ；

(3)2x x －1

≤1. 【思路点拨】 (1)先把二次项系数化为正数，再用因式分解法；(2)用配方法或用判别式法求解；(3)移项通分，转化为一元二次不等式求解．

【尝试解答】 (1)原不等式化为x 2－2x －3≤0， 即(x －3)(x ＋1)≤0，

故所求不等式的解集为{x |－1≤x ≤3}． (2)原不等式化为x 2－2x ＋3＞0，

∵Δ＝4－12＝－8＜0，又因二次项系数为正数， ∴不等式x 2＋3＞2x 的解集为R . (3)∵

2x x －1≤1⇔2x

x －1－1≤0⇔x ＋1x －1

≤0 ⇔(x －1)(x ＋1)≤0且x ≠1. ∴原不等式的解集为[－1，1)．,

1．熟记一元二次不等式的解集公式是掌握一元二次不等式求解的基础，可结合一元二

次方程及判别式或二次函数的图象来记忆求解． 2．解一元二次不等式的步骤：(1)把二次项系数化为正数；(2)先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法；(3)写出不等式的解集．

解下列不等式：

(1)－2x 2－5x ＋3＞0； (2)－1≤x 2＋2x －1≤2；

【解】 (1)∵－2x 2－5x ＋3＞0，∴2x 2＋5x －3＜0， ∴(2x －1)(x ＋3)＜0，

∴原不等式的解集为{x |－3＜x ＜1

2

}．

(2)这是一个双向不等式，可转化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1≥－1，

x 2＋2x －1≤2，

即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ≥0， ①x 2＋2x －3≤0. ②

由①得x ≥0或x ≤－2； 由②得－3≤x ≤1.

故得所求不等式的解集为{x |－3≤x ≤－2或0≤x ≤1}.

含参数的一元二次不等式的解法 求不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )的解集．

【思路点拨】 先求方程12x 2－ax ＝a 2的根，讨论根的大小，确定不等式的解集． 【尝试解答】 ∵12x 2－ax ＞a 2，∴12x 2－ax －a 2＞0， 即(4x ＋a )(3x －a )＞0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，

得：x 1＝－a 4，x 2＝a

3.

①a ＞0时，－a 4＜a 3，解集为{x |x ＜－a 4或x ＞a

3

}；

②a ＝0时，x 2＞0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； ③a ＜0时，－a 4＞a 3，解集为{x |x ＜a 3或x ＞－a

4

}．

综上所述：当a ＞0时，不等式的解集为{x |x ＜－a 4或x ＞a

3}；

当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；

当a ＜0时，不等式的解集为{x |x ＜a

3

或x ＞－

a 4

}．,

解含参数的一元二次不等式的步骤

(1)二次项若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．

(2)判断方程实根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．

(3)确定方程无实根时可直接写出解集，确定方程有两个相异实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．

解关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0.

【解】 原不等式可化为(x －a )(x －1)＜0. 当a ＞1时，原不等式的解集为(1，a )； 当a ＝1时，原不等式的解集为空集； 当a ＜1时，原不等式的解集为(a ，1)．