第一轮一元二次不等式及其解法详细过程

第一节一元二次不等式及其解法
(见学生用书第1页)
考纲传真
1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模
型．
2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．
3．会解一元二次不等式．对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.
1．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
判别式
Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0 二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0
(a>0)的根有两相异实根
x1，x2(x1<x2)有两相等实根
x1＝x2＝－b
2a
没有实数根
ax2＋bx＋c>0
(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}R
ax2＋bx＋c<0
(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅
2.用程序框图表示一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的求解过程
3．简单的分式不等式 (1)f （x ）g （x ）＞0⇔f (x )·g (x )＞0； (2)f （x ）g （x ）
≤0⇔f (x )·g (x )≤0且g (x )≠0．
ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)对一切x ∈R 恒成立的条件是什么？ 【提示】 a >0且b 2－4ac <0.
1．(人教A 版教材习题改编)不等式2x 2－x －1＞0的解集是( )
A ．(－1
2
，1) B ．(1，＋∞)
C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)
D ．(－∞，－1
2)∪(1，＋∞)
【解析】 ∵2x 2－x －1＝(x －1)(2x ＋1)＞0，
∴x ＞1或x ＜－1
2
.
故原不等式的解集为(－∞，－1
2
)∪(1，＋∞)．
【答案】 D
2．不等式x －1
2x ＋1≤0的解集为( )
A ．(－12，1]
B ．{x |x ≥1或x ＜－1
2}
C ．[－12，1]
D ．{x |x ≥1或x ≤－12}
【解析】 原不等式等价于
(x －1)(2x ＋1)＜0或x －1＝0.
∴原不等式的解集为(－1
2
，1]．
【答案】 A 3．(2012·福建高考)已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________．
【解析】 ∵x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立， ∴Δ＝a 2－4×2a <0，∴0<a <8. 【答案】 (0，8)
4．一元二次不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是(－12，1
3
)，则a ＋b 的值是________．
【解析】 由已知得方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12，1
3
.
则⎩⎨⎧－b a ＝－12＋13
2a ＝（－12）×13
解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，
∴a ＋b ＝－14. 【答
案
】
－
14
(见学生用书第2页)
一元二次不等式的解法
解下列不等式 (1)3＋2x －x 2≥0； (2)x 2＋3＞2x ；
(3)2x x －1
≤1. 【思路点拨】 (1)先把二次项系数化为正数，再用因式分解法；(2)用配方法或用判别式法求解；(3)移项通分，转化为一元二次不等式求解．
【尝试解答】 (1)原不等式化为x 2－2x －3≤0， 即(x －3)(x ＋1)≤0，
故所求不等式的解集为{x |－1≤x ≤3}． (2)原不等式化为x 2－2x ＋3＞0，
∵Δ＝4－12＝－8＜0，又因二次项系数为正数， ∴不等式x 2＋3＞2x 的解集为R . (3)∵
2x x －1≤1⇔2x
x －1－1≤0⇔x ＋1x －1
≤0 ⇔(x －1)(x ＋1)≤0且x ≠1. ∴原不等式的解集为[－1，1)．,
1．熟记一元二次不等式的解集公式是掌握一元二次不等式求解的基础，可结合一元二
次方程及判别式或二次函数的图象来记忆求解． 2．解一元二次不等式的步骤：(1)把二次项系数化为正数；(2)先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法；(3)写出不等式的解集．
解下列不等式：
(1)－2x 2－5x ＋3＞0； (2)－1≤x 2＋2x －1≤2；
【解】 (1)∵－2x 2－5x ＋3＞0，∴2x 2＋5x －3＜0， ∴(2x －1)(x ＋3)＜0，
∴原不等式的解集为{x |－3＜x ＜1
2
}．
(2)这是一个双向不等式，可转化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1≥－1，
x 2＋2x －1≤2，
即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ≥0， ①x 2＋2x －3≤0. ②
由①得x ≥0或x ≤－2； 由②得－3≤x ≤1.
故得所求不等式的解集为{x |－3≤x ≤－2或0≤x ≤1}.
含参数的一元二次不等式的解法 求不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )的解集．
【思路点拨】 先求方程12x 2－ax ＝a 2的根，讨论根的大小，确定不等式的解集． 【尝试解答】 ∵12x 2－ax ＞a 2，∴12x 2－ax －a 2＞0， 即(4x ＋a )(3x －a )＞0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，
得：x 1＝－a 4，x 2＝a
3.
①a ＞0时，－a 4＜a 3，解集为{x |x ＜－a 4或x ＞a
3
}；
②a ＝0时，x 2＞0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； ③a ＜0时，－a 4＞a 3，解集为{x |x ＜a 3或x ＞－a
4
}．
综上所述：当a ＞0时，不等式的解集为{x |x ＜－a 4或x ＞a
3}；
当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；
当a ＜0时，不等式的解集为{x |x ＜a
3
或x ＞－
a 4
}．,
解含参数的一元二次不等式的步骤
(1)二次项若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．
(2)判断方程实根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．
(3)确定方程无实根时可直接写出解集，确定方程有两个相异实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．
解关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0.
【解】 原不等式可化为(x －a )(x －1)＜0. 当a ＞1时，原不等式的解集为(1，a )； 当a ＝1时，原不等式的解集为空集； 当a ＜1时，原不等式的解集为(a ，1)．
三个二次的关系 已知关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集(－1，2)，试求关于x 的不等式ax 2＋
x ＋b ＜0的解集．
【思路点拨】 不等式解集的端点值是相应方程的根．
【尝试解答】 由于x 2
＋ax ＋b ＜0的解集是(－1，2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＋b ＝0，
4＋2a ＋b ＝0，
解得
⎩⎪⎨
⎪⎧a ＝－1，
b ＝－2.
故不等式即为－x 2＋x －2＜0，
∵⎩
⎪⎨⎪⎧－1＜0，
Δ＝1－8＝－7＜0 ∴不等式ax 2＋x ＋b ＜0的解集为
R .,
(1)给出一元二次不等式的解集，则可知二次项系数的符号和相应一元二次方程的两根． (2)三个二次的关系体现了数形结合，以及函数与方程的思想方法．
若关于x 的不等式ax
x －1
＜1的解集是{x |x ＜1或x ＞2}，求实数a 的取值范
围．
【解】 ax
x －1＜1⇔（a －1）x ＋1x －1＜0⇔[(a －1)x ＋1](x －1)＜0，由原不等式的解集是{x |x
＜1或x ＞2}，
知⎩⎨⎧a －1＜0，－1a －1
＝2⇒a ＝1
2. ∴实数a 的取值范围是{1
2
}．
不等式恒成立问题 若不等式mx 2－mx －1＜0对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围． 【思路点拨】 分m ＝0与m ≠0两种情况讨论，当m ≠0时，用判别式法求解． 【尝试解答】 要使mx 2－mx －1＜0对一切实数x 恒成立， 若m ＝0，显然－1＜0；
若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，
Δ＝m 2
＋4m ＜0，
解得－4＜m ＜0，
故实数m 的取值范围是(－4，0]．,
1．不等式
ax 2＋bx ＋c ＞0
的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＞0；
当a ≠0时，⎩
⎪⎨⎪⎧a ＞0，
Δ＜0；不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，
b ＝0，
c ＜0；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，
Δ＜0.
2．解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是
主元，求谁的范围，谁就是参数．
对任意a ∈[－1，1]不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则实数x 的取
值范围是________．
【解析】 设f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则原问题可转化为一次函数(或常数函数)f (a )在区间[－1，1]上恒正时x 应满足的条件，
故应有⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＞0，f （1）＞0.
即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6＞0，x 2
－3x ＋2＞0，
化为⎩
⎪⎨⎪⎧（x －2）（x －3）＞0，（x －1）（x －2）＞0.
解之，得x ＜1或x ＞3. 【答案】 x ＜1或x ＞3
一个过程
解一元二次不等式的一般过程是：一看(看二次项系数的符号)，二算(计算判别式，判断方程根的情况)，三写(写出不等式的解集)．
两点联想
不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(或ax 2＋bx ＋c ＜0)(a ≠0)的求解，善于联想：(1)二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象与x 轴的交点，(2)方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，运用好“三个二次”间的关系．
三个防范
1.二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数是否为零的情况．
2．解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．
3．不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述．
(见学生用书第3页)
从近两年的高考试题来看，一元二次不等式的解法、含参数不等式的解法以及二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的综合应用等问题是高考的热点．常与集合、函数、导数等知识交汇命题，主要考查分析问题、解决问题的能力、推理论证能力及转化与化归的思想．
思想方法之一 巧用一元二次不等式求代数式的最值
(2011·浙江高考)设x ，y 为实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________．
【解析】 法一 设2x ＋y ＝t ，∴y ＝t －2x ，代入4x 2＋y 2＋xy ＝1，整理得6x 2－3tx ＋t 2
－1＝0.关于x 的方程有实根，因此Δ＝(－3t )2－4×6×(t 2－1)≥0，解得－2105≤t ≤210
5
.
则2x ＋y 的最大值是210
5
.
法二 ∵1＝4x 2＋y 2＋xy ＝(2x ＋y )2－3xy
＝(2x ＋y )2－3
2(2x )·y
≥(2x ＋y )2－32·(2x ＋y 2)2＝5
8(2x ＋y )2，
∴(2x ＋y )2≤8
5，
∴－85≤2x ＋y ≤ 8
5，
即－2105≤2x ＋y ≤2105
.
【答案】 210
5
易错提示：(1)换元后，不会从关于x 的一元二次方程有实数解入手解决问题，致使思维受阻．
(2)不会利用化归与转化思想化未知为已知，致使解题时无从下手，盲目作答． 防范措施：(1)应熟练掌握一元二次方程与其判别式Δ之间的关系，关于x 的一元二次不等式有实根的充要条件是其对应的判别式非负．
(2)遇到一个问题，要注意寻找结论和已知间的关系，化已知为未知或化未知为已知．
1．(2012·天津高考)设x ∈R ，则“x >1
2
”是“2x 2＋x －1>0”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【解析】 2x 2＋x －1>0的解集为{x |x >1
2
或x <－1}，
故由x >12⇒2x 2＋x －1>0，但2x 2＋x －1>0D ⇒/x >1
2.
则“x ＞1
2
”是“2x 2＋x －1＞0”的充分不必要条件．
【答案】 A 2．(2013·清远模拟)不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．
【解析】 由题意知，不等式(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1＞0对一切x ∈R 恒成立，则有
⎩
⎪⎨
⎪⎧a ＋2＞0，
Δ＝16－4（a ＋2）（a －1）＜0，解得a ＞2. 【答案】 (2，＋∞)。