运筹学第1章习题

第1章线性规划与单纯形法习题详解(习题)

1.1用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。

（1）max 12z x x =+

51x +102x ≤50

1x +2x ≥1

2x ≤4

1x ，2x ≥0

（2）min z=1x +1.52x

1x +32x ≥3

1x +2x ≥2

1x ，2x ≥0

（3）max z=21x +22x

1x -2x ≥-1

-0.51x +2x ≤2

1x ，2x ≥0

（4）max z=1x +2x

1x -2x ≥0

31x -2x ≤-3

1x ，2x ≥0

1.2将下列线性规划问题变换成标准型，并列出初始单纯形表。

（1）min z=-31x +42x -23x +54x

41x -2x +23x -4x =-2

1x +2x +33x -4x ≤14

-21x +32x -3x +24x ≥2

1x ，2x ，3x ≥0，4x 无约束

（2）max k k z s p =

11

n m k ik ik i k z a x ===∑∑

11(1,...,)m ik k x

i n =-=-=∑

ik x ≥0 (i=1…n; k=1,…,m)

1.3在下面的线性规划问题中找出满足约束条件的所有基解。指出哪些是基可行解，并代入目标函数，确定最优解。

（1）max z=21x +32x +43x +74x

21x +32x -3x -44x =8

1x -22x +63x -74x =-3

1x ,2x ,3x ,4x ≥0

（2）max z=51x -22x +33x -64x

1x +22x +33x +44x =7

21x +2x +3x +24x =3

1x 2x 3x 4x ≥0

1.4分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题，并指出单纯形迭代每一步相当于图形的哪一点。

（1）max z=21x +2x

31x +52x ≤15

61x +22x ≤24

1x ，2x ≥0

（2）max z=21x +52x

1x ≤4

22x ≤12

31x +22x ≤18

1x ，2x ≥0

1.5以1.4题（1）为例，具体说明当目标函数中变量的系数怎样变动时，满足约束条件的可行域的每一个顶点，都可能使得目标函数值达到最优。

1.6分别用单纯形法中的大M 法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出属于哪类解。

（1）max z=21x +32x -53x

1x +2x +3x ≤15

21x -52x +3x ≤24

1x ，2x ≥0

（2）min z=21x +32x +3x

1x +42x +23x ≥8

31x +22x ≥6

1x ，2x ，3x ≥0

1.7求下述线性规划问题目标函数z 的上界和下界；

Max z=11c x +22c x

1111221a x a x b +≤

2112222a x a x b +≤

其中：

113c ≤≤，246c ≤≤，1812b ≤≤，21014b ≤≤，1113a -≤≤，1225a ≤≤，

2124a ≤≤，2246a ≤≤