高等数学：2.1 数列极限的定义

4．成绩评定
期中 20％，期末 65％，平时 10％，实验 5％。
平时＝作业 ＋ 习题课
作业缺交三次及其以上者， 取消其考试资格。
上课缺席三次及其以上者，
高数的主要内容
1．分析基础：函数、极限、连续；
2．微积分学：一元微积分，多元微积分；
3．复变函数； 4．无穷级数； 5．常微分方程； 6．数学试验。
O
1 3 51
2 46
a5
•
a• 3
64
53
a1
•
2x
an
n (1)n1 n
1
(1)n1 n
，
an
1
1 n
，
an
1
1 n
任 给 总存在正整数 使当
恒有
1
4 1
100
1
1000
4 100 1000
n4 n 100
n1000
做好预习：准备“听课导游图”
三、改变“只做（题）不看（书）”、 “只看（书）不想（问题）”的做题 和复习习惯，提高做题和复习效果
坚持先看老师的讲课笔记(书)、后 做题，概念不清慢做题；
坚持边看笔记(书)、边动手，手脑 并用；
坚持做好基本题、概念题，适当做 一些难题和综合题；
复习以讲课笔记和教材为主，慎用 题解书！
问题的提法，条件和结论，几何和物理 解释，适用范围及推广，属哪一类
条件，主要用途
▪ 基本运算：多练，熟能生巧 基本法则，主要技巧，适用范围，典型
例题，常犯错误；方法的归类和模式化
二、改变“只听不想”、“只听不记” 的被动性听课习惯，耳、手、脑并 用，提高听课效率
记什么：启发体会、重要提示、 关键语句、问题存疑
四、抓好阶段小结，及时“清仓整理”， 做到心中有数，比如可总结：
本阶段的主要概念、主要定理、主 要方法，主要应用；
本阶段内容与前期内容的联系与比 较；
典型例题和习题；
自己易犯的错误和注意点
五、不怕麻烦，不怕难为情，勤思 多问，常与同学切磋，不让问题成 堆而难以收拾
答疑
学术报告
？？？地点 ？？？时间
常见的分段函数
（1）符号函数
1,
sgn
x
0,
1,
x 0, x 0, x 0.
（2）取整函数 y [x] N
当 n x n1， n 0, 1, 2, 时， y [x] n N
（3）Dirichlet（狄利克雷）函数 1, x Q,
D(x) 0, x Q.
十分经典的函数
是不是所有的周期函数都有最小的正周期？
Ch2 一元函数的极限与连续性
§1 问题的提出
例1 圆的面积
两个实例
正六边形
正十二边形
割圆术： 割之弥细，所失弥少，割之又割，
以至于不可割，则与圆合体而无所失也。
A 表示半径为 R 的圆的面积，
An 圆内接正62n1 边形的面积
62n1
1 2
R 2 s in622n1
，
R
圆内接正62n1 边形的面积数列为：
A 1 ，A 2 ，A 3 ，…，A n ，…，
n 无限增大时，圆内接正 62n1 边形无限地接近于圆， An 就无限地接近于常数 AR2 ．
例 2 自由落体运动的瞬时速度
已知 S 1 g t 2 ，求在 t 2 时的瞬时速度V (2) ． 2
落体在[2, t] 上的平均速度：
数列 按自然数顺序排列的一列数：
a1, a2 , , an , ， 记为an ．
数列分为无穷数列和有限数列
例
(1)
1 2n
:
11
1
,, 24
, 2n ,
(2)
(1)n
n
:
1,
1 ,
2
(1)n
,
,
n
(3)
an :
0, 1 , 0, 1 , 0, 1 , 4 16 64
例
(4)
二、初等函数 由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算， 且只能用一个解析表达式表示的函数．
如
xes i nx ln(1 x )2
y
x5 x4 1
三、非初等函数 高数中常见的非初等函数： 分段函数．
分段函数
在定义域的不同子区间上用不同的表达式
表示的对应规律．
例
sin x, x 0, f ( x) 2x 1, x 0.
级新生情况调查表
学号
姓名
性别
出生年月
民族
来自 省
市
中学，
参加过何种学习竞赛
获奖等级
现住宿舍号码
电话(宿舍)
(手机)
高考成绩：总分
分，(含附加分)
爱好特长
是否愿意当课代表
对高数学习、讲课有什么建议和想法
分，
注意事项
1．上课时要起立，关闭所有通讯设备。 2．如实填写新生调查表。
3．作业要求
书写清楚，独立完成，按时交。（周一交，提前 15 分钟） 按学校规定，每次作业任课教师只批改三分之一。
下课后 交 新生调查表
参考书
1．《高等数学习题课教程》 董梅芳等编 高等教育出版社出版
2．《高等数学试题分析》 网上有电子版
东大高等数学教研室编
3．《高等数学典型题精讲》
韩云瑞主编 大连理工大学出版社出版
Ch1 一元函数
一、基本初等函数（5 类）
幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及反三角函数．
V (t) S(t) S(2) 1 g(t 2) ， t2 2
当 t 无限地接近于2 时，V (t) 无限地接近于V (2)2g ．
t 2.1
2.01
2.001 2.0001 2.00001
V (t ) 2.05 g 2.005 g 2.0005 g 2.00005 g 2.000005 g
§2 数列的极限
态度决定学习的结果
关于学习方法的一些建议
一、抓好”三基”
▪ 基本概念：切实弄懂，适当记忆
内涵（弄懂定义的含义：直觉理解与 精确刻画）；外延（适例及反例）； 几何和物理意义；应用；相关概念的 联系和比较；相关概念题的练习. 特别 提醒对数学符号不能掉以轻心, 从一开 始就要做到正确理解与使用。
▪ 基本理论（定理和结论）： 重在理解，会讲会用
n
n
1
:
0, 1 , 2 , 23
, n1, n
(5)
1 (1)n
2
:
0, 1, 0, 1,
(6)
2( 1)n n
:
11 , 4, , 16,
28ห้องสมุดไป่ตู้
极限存在：n 无限增大时， an 无限地接近于某个常数 a
极限不存在（或发散）： 1．振荡 2．发散到
如n : 1, 2, 3, ,
当 n 时， an n ；
如n : 1, 2, ,
当 n 时， an n ．
如何描述数列的极限
例，
n
无限增大时，数列
n(
1)n1 n
的一般项
n
(1)n1 1 n 当n
无 (限1增n)n大1 时越，来a越n 无接限近接于近常于数常1数.
1，
an 1 无a限 •2 接近a•4于零a•6．