2021年研究生数理方程期末试题

北京交通大学研究生研究生-第一学期《数学物理方程》期末试题（A卷）

（参照答案）

学院专业学号姓名

题号一二三四五六七总分分值10 15 15 20 15 15 10 100 得分

阅卷人

1、（10分）试证明：圆锥形枢轴纵振动方程为：

222

2

11

x u x u

E

x h x h t

ρ

⎡⎤

∂∂∂

⎛⎫⎛⎫

-=-

⎢⎥

⎪ ⎪

∂∂∂

⎝⎭⎝⎭

⎢⎥

⎣⎦

其中E是圆锥体杨氏模量，ρ是质量密度，h是圆锥高（如下图所示）：

【提示：已知振动过程中，在x处受力大小为

u

ES

x

∂

∂

，S为x处截面面积。】

【证明】在圆锥体中任取一小段，截面园半径分别是

1

r和

2

r，如图所示。于是，咱们有

2

222

2112

1

2

(,)(,)(,)

()()()d

()tan

((d))tan

u x dx t u x t u x t

E r E r r x

x x t

r h x

r h x x

ππρπ

α

α

∂+∂∂

-=

∂∂∂

=-

=-+

上式化简后可写成

22

22

d 2

(,)(,)(,)[()|()|]()d x x x x x u x t u x t u x t E h x h x h x x x x t

ρ=+=∂∂∂---=-∂∂∂ 从而有

2

222

(,)(,)[()]()u x t u x t E h x h x x x t ρ∂∂∂-=-∂∂∂ 或成

22222

(,)(,)[(1)](1)x u x t x u x t a x h x h t ∂∂∂-=-∂∂∂ 其中2

E

a ρ

=

，证明完毕。

2、 （20分）考虑横截面为矩形散热片，它一边y b =处在较高温度U ，其他三边0y =，

0x =和x a =则处在冷却介质中，因而保持较低温度0u 。试求该截面上稳定温度分布

(,)u x y ，即求解如下定解问题：

2222000000,0,0;|,|,0;|,|,0.

x x a y y b

u u

x a y b x y u u u u y b u u u U x a ====⎧∂∂+=<<<<⎪∂∂⎪⎪

==<<⎨⎪==<<⎪⎪⎩

【提示：可以令0(,)(,)u x y u v x y =+，然后再用分离变量办法求解。】 【解】令0(,)(,)u x y u v x y =+，则原定解问题变为

2222000

0,0,0;|0,|0,

0;|0,|,0.

x x a y y b v v

x a y b x y v v y b v v U u x a ====⎧∂∂+=<<<<⎪∂∂⎪⎪

==<<⎨⎪==-<<⎪⎪⎩

分离变量：

(,)()()v x y X x Y y =

代入方程得到关于X 和Y 常微分方程以及关于X 定解条件：

0,

(0)0,()0;

X X X X a λ''+=⎧⎨

==⎩

0Y Y λ''-=

可以鉴定，特性值

22

2

(1,,2,3,)n n n a

πλλ===

特性函数

'

()()sin

(1,,2,3,)n n n X x X x C x n a

π

=== 运用特性值n λ可以求得

''

()()(1,,2,3,)n n a a

y

y n n n Y y Y y A e B e

n π

π-==+=

于是求得特性解 (,)()sin

(1,,2,3,)n n a a

y

y n n n n v x y A e B e

x n a

π

ππ

-=+= 形式解为

1

1

(,)(,)()sin

n n a a

y

y n n n n n n v x y v x y A e B e

x a

π

ππ

∞∞

-====+∑∑ 由边界条件，有

得到

10

1(,0)()sin 0(,)()sin bn bn a a n n n n n n n v x A B x a n v x b A e B e x U u

a ππππ∞

=∞

-=⎧

=+=⎪⎪⎨⎪=+=-⎪⎩

∑∑

00

(2)4()(21)bn bn

a a

n n n n A B n k A e B e U u n k n πππ-+==⎧⎪

⎨+=-=+⎪⎩

解得

00

(2)4()

(21)

()bn bn a a n n n k U u A B n k n e e πππ-=⎧⎪

-=-=⎨=+⎪-⎩

最后得到原定解问题解是

001

(21)sh

4()1(21)(,)sin (21)21sh

k k y

U u k a u x y u x k b k a a

π

πππ∞

=+-+=+++∑ 3、 （20分）试用行波法求解下列二维半无界问题

2(,), 0,;(,0)(), 0;(0,)(), 0.u

f t x t x t x u x x x u t t t ϕψ⎧∂=<<∞⎪∂∂⎪⎪

=<<∞⎨⎪=<<∞⎪⎪⎩

【解】方程两端对x 求积分，得

10

0d (,)d ()x

x y u x f x y x h y x

∂

=+∂⎰

⎰

也即

0(,)d ()x u

f x y x h y y

∂=+∂⎰ 对y 求积分，得

00d (,)d d ()()y

y x u

y f x y x y g x h y y

∂=++∂⎰

⎰⎰

也即

(,)(,)d d ()()y

x

u x y f x y x y g x h y =++⎰

⎰