量子力学第五章微扰理论

H
'ψ
(0) n
dx
=
〈ψ
(0) k
H
'
ψ
(0) n
〉
(5 .1.14)
并将它代人(5.1.13)式，当 n = k 时，得
当 n ≠ k 时，得
E
(1) n
=
H
' nn
a (1) k
=
H
' knFra Baidu bibliotek
E (0) n
−
E (0) k
(5.1.15) (5.1.16)
注意(5.1.16)式只在
n
≠
k
时成立。对(5.1.11)式右端中的展开系数，还有
在后面再详细说明。由于 H 不显含 t，因此，无论 H (0) 或是 H ' 均不显含 t。
(2) H (0) 的本征值和本征函数已经求出，即 H (0) 的本征方程
ψ ψ H = E (0) (0) n
(0) (0) nn
(5.1.4)
中，能级
E
(0 n
)
及波函数ψ
(0 n
)
都是已知的。微扰论的任务就是从
H
(0)
的本征值和本征函数出发，近似
求出经过微扰后， H 的本征值和本征函数。
(3) H (0) 的能级无简并。严格说来，是要求通过微扰论来计算它的修正的那个能级无简并，例
如，要通过微扰论计算 H ' 对
H
(0) 的第
n
个能级
E (0) n
的修正，就要求
E (0) n
不简并，它相应的波函数
ψ
(0) n
，…，ψ
(1) n
，ψ
(2) n
…分别表示能级
En
和波函数ψ
n
的一级，二级，…修正。将(5.1.6)及(5.1.7)
式代入(5.1.5)式后得
(H
(0)
+
λH
'
)(ψ
(0) n
+
λψ
(1) n
+
λ2ψ
(2) n
+ ...)
= (En(0)
+
λE
(1) n
+
λ2 En(2)
+
...)(ψ
(0) n
+
λψ
a
(1) n
+
a (1)* n
=0
(5.1.17) (5.1.18)
(5.1.18)式表明，
a
(1) n
必为纯虚数，即
an(1) =i γ
γ 为实数。准确到 λ 的一级近似，微扰后体系的波函数是
ψn
=
ψ
(0) n
+
λψ
(1) n
∑ =ψ
(0) n
+
λiγψ
(0) n
+
λ
ψ a (1) (0) ll
只有一个。其他能级既可以是简并的，也可以是不简并的。
(4) H (0) 的能级组成分立谱。或者严格点说，至少必须要求通过微扰论来计算它的修正的那个
能级
E
(0) n
处于分立谱内，
E
(0 n
)
是束缚态。
在满足上述条件下，定态非简并微扰论的目的是从已知的 H (0) 必须的本征值和本征函数近似求
出 H 的本征值和本征函数。为表征微扰的近似程度，通常可引进一个小参数 λ ,将 H ' 写成 λH ' ，将 H ' 的微小程度通过 λ 的微小程度反映出来。体系经微扰后的薛定谔方程是
(0 n
)
}是正交、归一、
完备、封闭系，可将一级修正波函数ψ
(1) n
按{ψ
(0) n
}系展开
∑ ψ
(1) n
=
ψ a (1) (0) ll
l
将(5.1.11)式代入(5.1.9)式得
∑ (
H
(0)
−
E
(0) n
)
al(1)ψ
( l
0)
=
−(
H
'−
E n(1)
)ψ
(0) n
l
(5.1.11) (5.1.12)
(1) n
+
λ2ψ
(2) n
+ ...)
比较(5.1.8)式两端 λ 的同次幂，可得出各级近似下的方程式:
ψ ψ H = E (0) (0) n
(0) (0) nn
(H (0)
−
E
(0) n
)ψ
(1) n
=
−(
H
'−
En(1)
)ψ
(0) n
(5.1.8) (5.1.9)
(H (0)
−
ψ) E (0) (2)
n
n
=
−(
H
'−
E
(1) n
)ψ
(1) n
+
ψ E (2) (0) nn
……
(5.1.10)
零级近似显然就是无微扰时的定态薛定谔方程(5.1.4)式。同样，还可以列出准确到 λ3 , λ4 ,…等
各级的近似方程式。
1．一级微扰
求一级微扰修正只需求解(5.1.9)式。由于
H
(0)
厄米，
H
(0)
的本征函数系{ψ
以求出（5.1.11）式的展开系数，以ψ
(0)* k
左乘(5.
1.
12)式并对空间积分后，利用{ψ
(0) n
}系的正交归一
性后，得
∫ E a (0) (1) kk
−
E a (0) (1) nk
=−
ψ
H (0)*
k
'ψ
(0) n
dx
+
E
δ (1)
n
nk
(5 .1 .13)
记
∫ H
' kn
=
ψ
(0)* k
第五章 微扰理论
在量子力学中，由于体系的哈密顿算符往往比较复杂，薛定谔方程能够严格求解的情况寥寥可 数。因此，引入各种近似方法以求解薛定谔方程的问题就显得十分重要。常用的近似方法有微扰论、 变分法等。不同的近似方法有不同的适用范围。在本章中将讨论分立谱的微扰理论、变分法。
由于体系的哈密顿算符既可以显含时间，又可以不显含时间，因此，近似方法也可以分为适用 于定态的和适用于非定态的两类。本章将先讨论定态的微扰理论、变分法，然后再讨论含时间的微 扰理论以及光的发射和吸收等问题。
§5. 1 非简并定态微扰理论
近似方法的精神是从已知的简单问题的准确解出发，近似地求较复杂一些的问题的解。当然， 我们还希望了解这些求解方法的近似程度，估算出近似解和准确解之间的最大偏离。本节将讨论体 系在受到外界与时间无关的微小扰动时，它的能级和波函数所发生的变化。
假定体系的哈密顿量 H 不显含 t，能量的本征方程：
Hψ = Eψ
(5.1.1)
满足下述条件:
(1) H 可分解为 H (0) 和 H ' 两部分，而且 H ' 远小于 H (0)
H = H (0) + H ' H ' << H (0)
(5.1.2) (5.1.3)
（5.1.3）式表示， H 与 H (0) 的差别很小， H ' 可视为加于 H (0) 上的微扰。（5.1.3）式的严格意义将
a (1) n
要另外计算。为此，
利用ψ n 的归一条件，在准确到 O( λ )数量级后，有
1= ψ n ψ n
=
(ψ
(0) n
+
λψ
(1) n
)
(ψ
(0) m
+
λψ
(1) n
又因波函数 ψ n ψ n =1 归一得
ψ ψ (0) (1)
n
n
+
ψ (1) n
ψ (0) n
=0
将(5.1.11)式代入(5.1.17)式后，得
Hψ n = (H (0) + λH ' )ψ n = Enψ n
(5.1.5)
将能级 En 和波函数ψ n 按 λ 展开：
En
=
En(0)
+ λEn(1)
+
λ2
E
(2) n
+ ...
(5.1.6)
ψn
=
ψ
(0) n
+
λψ
(1) n
+
λ2ψ
(2) n
+ ...
(5.1.7)
E n(1)
，E
(2) n