轮轨接触力学5-217

V-J线性蠕滑率/力定律 Kalker线性蠕滑率/力关系
T1 3 fp1* abGC1*11*
T2

3
fp
* 2

abGC
2*2
* 2

F1 F2
Gc 2C111
Gc 2 C22 2

C23c3

M 3 Gc3 C32 2 C33c3
F1 F2
Gc 2C111
Gc 2 C22 2

C23c3

c
ab
M 3 Gc3 C32 2 C33c3 Cij：蠕滑系数
线性模型在车辆动力学中应用极为广泛，但使用时需要特别注意，仅适合小蠕滑和小自旋情形。
这里的小蠕滑和小自旋没有明确规定的临界值。建议，当椭圆接触区处于全粘着情况下可以使用
只够1小时讲，再加点内容。
温泽峰，赵鑫 西南交通大学 牵引动力国家重点实验室
一 轮轨接触动力力学的研究内容与对象 二 轮轨接触几何关系和滚动接触蠕滑率 三 Hertz接触理论（法向解开创工作） 四 Carter二维滚动接触理论（切向解开创工作） 五 Vermeulen-Johnson无自旋三维滚动接触理论 六 Kalker线性蠕滑理论 七 沈氏理论 八 Kalker简化理论 九 Kalker三维弹性体非Hertz滚动接触理论 十 轮轨黏着问题研究简介


1*2


*2 2
1 2
V—J非线性模型
F'

*

*

fP 1 1 3
fP
1 1
FR' F1'2 F2'2 1/ 2
FR'


fP
1 1 3
fP
1 1
假设它们所表达的切向力相等
3 fP1* c2GC111 3 fP2* c2GC222 c3GC233
1* 2*

c2GC111 3 fP
C222 C233c
3 fP

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
c2G


规则化了的刚性
横向蠕滑率中包 含了自旋
总的正则化刚性蠕滑率
Kalker J.J. On thc rolling contact of two elastic bodies in the presence of dry friction. [Ph.D. Thesis]. The Netherland, Delft University, 1967
Kalker线性蠕滑率/力关系
1*
3
*

1*2
2*2
1 2
1*


abGC1*1 3 fP
1
,
2*


abGC2*2 3 fP
2
1*
、
* 2
为规格化的纵横向蠕滑率
C 、C *
*
11
22
为V-J蠕滑系数
* 1
* >1
英国Hobbs（1967）用Kalker 的蠕滑系数代替V-J的蠕滑系数
十一 三维弹塑性滚动接触有限元建模简介 十二 轮轨接触载荷与伤损研究简介 十三 快速接触算法开发 十四 接触问题杂谈 十五 轮轨试验台简介
1). 法向接触：接触斑形状、大小及法向应力分布 ◦ Hertz接触理论：第一个法向接触解（1882）
2). 切向接触：基于法向解，求摩擦力分布（大小、方向） ◦ Carter——第一个求解切向滚动接触（1926）
如果接触存在粘着区的话，只可能出在若干个矩形条域的前沿区域，则在整个接触区前沿区域上形成粘着 区，如下图（b）所示。后来他们用三维光弹方法，证实了他们的正确划分。
1967年Kalker又将这种研究扩展到横向蠕滑不为零和小自旋情形。Kalker研究中发现，Hains和Ollerton 对粘滑区划分还适合纵横向蠕滑率不为零且自旋蠕滑率为零的稳态滚动接触情形 。
By J.J. Kalker
a) Vermeulen-Johnson理论模型（无自旋三维滚动接触理论模型）
1958年，Johnson扩展Carter二维滚动接触理论到三维弹性球滚动 接触——第一个三维解； 1964年，Vermeulen和Johnson又将上述研究推广到椭圆斑的接触 情形，接触区中粘着区和滑动区的划分仍按Carter的研究思路。
此外，V—J理论对接触区中粘滑区的划分有不完善之处。如下 图有线条的阴影部分划分为滑动区是错误的，是因为在这个区 域里，用V—J理论确定的滑动方向和切向力方向一致，这违背 了摩擦定律。
b) Johnson纯自旋理论模型
小自旋 大自旋 横移越大，接触角、自旋蠕滑分量越大
1958年，Johnson另外一篇文章讨论了纯自旋问题——纵、横向蠕 滑率为0，no-slip，圆形接触斑；
c ) 条形理论
条形理论可以解决V-J理论粘滑区划分问题。
条形理论首先是由Hains.D.J和Ollerton.E于1963年提出来，假设仅有纵向蠕滑，且接触斑为沿横向细长 的稳态滚动接触情形，将椭圆分成若干个平行于方向矩形条，在每一个矩形条中，按Carter的二维求解方法， 确定有关要求的参数，这些参数与无关，见下图（a）。
稳态滚动。
1
a 4r0 Pz 2
E*
1 112 122
E*
E1
E2
1
a1 a
1
P1 fPz

2
1


fa r0
1
1

P1 fPz

1 2

K
Generalization of Galin’s Theorem Mathematical Programming Theory Cattaneo Mindlin Duvaut-Lions
3 fP *
分量形式
T1 T2
3 fp1*

3
fp
* 2

abGC1*11*
abGC
2*2
* 2

V-J线性蠕滑率/力定律
值得注意，V—J理论没有考虑滚动物体的自旋效应。事实上许 多滚动接触问题的自旋运动是存在的，如轮轨滚动接触、轴承 滚珠或滚子的运动等，物体间的自旋运动是不可避免的，它不 仅影响接触斑上总的横向蠕滑力，而且对接触斑表面产生疲劳 破坏作用。
支持性、基础性理论
K
J
J
K
K
K
K
Prof. J.J. Kalker,1933-2006
K
By J.J. Kalker
1）可解析的滚动接触理论 Carter V-J, Strip
theories； V-J把Carter拓展至3D，无
法考虑Spin； J 提出自旋概念，被K线性理
论采用； 沈氏理论，小自旋 2）数值滚动接触解理论 K简化理论FASTSIM K精确理论CONTACT
Shen Z Y, Hedrick J K, Elkins J. A. A comparison of alternative creep-force models for rail vehicle dynamic analysis. Proc, 8th IAVSD Symp., Cambridge, Ma.,1984, 591~605
线弹性力学， 小应变假设
集中力作用下 应力应变场
a m[3PG* /(4( A B))]1 3 b n[3PG* /(4( A B))]1 3
接触斑半长、 最大应力
积 分
P载荷，A、B几何参数
G 11 1 2 2G1 2G2
cos1[ (B A) ]
(A B)
自旋！！！
By J.J. Kalker
Kalker工作的直接基础；
可用来导出Hertz理论、 Cattaneo shift解和V-J理论。
By J.J. Kalker
滚动接触数值解建模数学基础；
控制方程和边界条件虚功原理 变成等效积分弱形式最小位能 原理、最小余能原理，将原问题 转化为等效形式的变分问题。
Vermeulen-Johnson理论与其实验值的比较
Ti
i* T *

i** i*
*
fP 1 fP
1*
3
* 1 * >1
当蠕滑率很小时，上式按Taylor级数展开，取一阶线性项：
T
T
|* 0

dT
d *
*
* 0

x22 b2

2

a1 a
1
(x1 c)2 a2
x22 b2

2
}
((x1,x2 ) S) ((x1,x2 ) C)
((x1,x2 ) H)
V-J非线性蠕滑率/力定律为
Ti

i* *
T

i** i*
*
fP 1 fP
Carter

a1 a
3
1
T fP

a1 a
3


b1 b
3
1
T fP

fp0
T T
1
x12 a2

x22 b2
1
2
p x1, x2 0

1
1

fp0
T T
{1

x12 a2

pmax

p0

3P
2 ab

1
mn
3

2

2(A G*
B)
2

1/3 P

基于赫兹解（二次曲面、无限半空间、线弹性材料、相对狭小 的椭圆接触斑、椭球应力分布等等）；
二维简化（平面应变问题），库伦摩擦定律，摩擦系数恒定；
方形接触斑内存在方形粘着区，应力为两个椭圆分布相减；
线性模型是很重要，后来Kalker借助于它发展了简化理论。沈志云、Hedrick.J.K和Elkins.J.A利
用它改进了Vermeulen.Johnson三维滚动接触非线性数学模型。
d) 沈氏理论（小自旋情形下三维非线性蠕滑率/力计算模型 ）
在不考虑自旋的情况下，Vermeulen-Johnson理论模型是理想的三维 Hertz非线性蠕滑率/力计算模型。 通常许多滚动接触物体之间除了有刚性滑动外，也同时存在相对转动。 例如，机车车辆在运动过程中，轮轨接触表面之间除了存在纵横蠕滑率 外，由于车轮踏面的锥度或接触斑公法线与轮对滚动轴线不垂直，则自 旋效应就会产生。也就是接触表面之间产生了因滚动引起的相对转动。 所以，使用V-J理论求解轮轨滚动接触问题就会产生误差。 因此，沈志云、Hedrick和Elkins对V-J非线性蠕滑定律作了改造 。
Nor
G Tan
Pressure (Nor)
Surface shear stress (Tan)
Contact at one point
Contact at an area due to elasticity
椭球形应 力分布
Concentrated contact
二次曲面
椭圆形接 触斑
无限半空 间假设
该理论模型计算轮轨蠕滑力，求得轮轨之间切向力是足够精确的，但接触区滑动或出现局部滑动情
况下，使用该模型就会产生较大的误差。
因为Kalker理论研究过程中，没有考虑到当接触斑滑动或部份滑动时，Coulomb定律的限制条件，
即 p12 x1, x2
p22 x1, x2
1 2

fp3 x1, x2
代入
1* 2*


c2GC111 3 fP
C222 C233c
3 fP


c
2G




1 3 fP

c2GC111
2

c2GC2222 c3GC233
By J.J. Kalker
推导了接触问题的变分不 等式（基于虚功原理）。
被Kalker用于数值求解摩 擦接触问题。
By J.J. Kalker
Hertz接触的no-slip问题 切向力作用下的切向解 旋转趋势下的切向解
By J.J. Kalker
V-J Strip theories； Johnson自旋理论； Kalker 线性理论； 沈氏理论。
条形理论研究中，忽略矩形条之间力学行为互相之间的影响，这种理论对于沿横向方向狭长的椭圆情形非 常适合，但对a接近或大于b的情形会产生较大的误差 。
d) Kalker线性蠕滑理论模型
Kalker于1967年在他的博士论文中，用级数方 法专门讨论了具有椭圆接触区的三维稳态滚动 接触情形，研究中考虑到纵横向蠕滑率和自旋 滑率对接触斑蠕滑力的影响。