比较法证明不等式

例5:设a>0,a1,x>0,比较
1 x 1 log a x与 log a 2 2
的大小,并证明你的结论
例6:设a>0,a1,0<x<1,比较
| log a (1 x) | 与 | log a (1 x) |
的大小,并证明你的结论
例:已知a,b为正数,求证:
a b (ab)
a b
比较作差法证明不等式的步骤：
（1）作差 （2）变形 （3）判断符号 （4）结论
已知a、b、m都是正数，且a＜b, 例 3： a+m a > 求证 b+m
证明： a+m b+m a
b
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b
所以b＋m＞0 因为a<b,所以b-a>0 m(b-a) ∴ b(b+m)
= =
b(a+m)-a(b+m) b(b+m) m(b-a) b(b+m)
>0
因为a、b、m都是正数
即
a+m
b+m
>
a b
例4：
甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点 甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半 时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路 程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m≠n，问 甲、乙两人谁先到达指定地点 甲、乙两人谁先到达指定地点。 解： 设从出发点至指定地点的路程是S，甲、乙两人走完这段 路程所用的时间分别是t1,t2,依题意有 t1 t1 S + S =t2 m+ n=S 2m 2n 2 2
小结： 比较法证明不等式
作差比较法：理论根据是
证明步骤：
作差 变形
a-b>0 a-b=0 a-b<0
判断符号
a>b a=b a<b
结论
对于整式不等式通常是用配方法转化为几个非负和的形式 （如：例1）或因式分解成几个因式积的形式（如例2） 对于分式不等式，是将差式通过通分转化为判定分子分母 的符号（如例3）
a b 2
小结： 比较法证明不等式
作商比较法的理论根据是: 当a和b都是正数时
证明步骤：
作商 变形
a/b>1 a/b=1 a/b<1
与1比较大小
a>b a=b a<b
结论
如果不等式中的代数式是积的形式,或幂指数的形式,其代 数式的值又恒为正数,这时可考虑用作商比较法比较它们 的大小.
比较法证明不等式
例1：证明x2＋3＞3x
证明： ∵ (x2＋3)－3x
＝ x2-3x+3 3 3 ＝ ( x- )2+ 4 2 3 ≥ 4 >0 ∴ x2＋3＞3x
变式(1)若1<x<3,求证x2+3<4x (2)若x<1,求证x2+3＞4x (3)试比较x2+3与4x的大小
例2：已知a、b是正数，且a≠b,
2S ∴ t1= m+n
t1-t2= =
t2 =
2S m+n
S(m+n) 2m n S(m+n) 2m n
S[4mn-(m+n)2] 2 (m+n)m n
=
-S(m-n)2 2(m+n)m n
其中S,m,n都是正数，且m≠n,于是t1-t2<0，
即t1<t2 . 从而知甲比乙首先到达指定地点.
如果m=n，甲乙两人谁先到达指定地点
求证 a3+b3>a2b+ab2
证明：(a3+b3)-(a2b+ab2) =(a3 -a2b)+(b3-ab2) =a2(a -b)+b2(b-a) =(a2-b2)(a -b) =(a+b)(a -b)2 ∵ a≠b ∴ (a -b)2>0 ∵ a、b是正数 ∴ a+b>0 ∴ (a+b)(a-b)2>0 即：(a3+b3)-(a2b+ab2)>0 ∴ a3+b3>a2b+ab2