1.6 极限存在准则 两个重要极限

的极限存在，且
lim
n→∞
xn
=
a
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
0
准则Ⅰ′ （1） 如果当 x ∈U ( x0 , δ )(或 x > M )时,有
g( x) ≤ f ( x) ≤ h( x)
(2) lim g( x) = lim h( x) = A
x→ x0 ( x→∞)
x→ x0 ( x→∞)
3
x
3
x
⋅
x
=
9
⋅
lim x→+∞
1
+
1 3x
3x
lim
x→+∞
1 3x⋅x
= 9⋅e0 = 9
第六节 极限存在准则 两个重要极限
• 一、极限存在准则 • 二、两个重要极限 • 三、小结 思考题
一、极限存在准则I
1.夹逼准则
准则Ⅰ 如果数列 { xn },{ yn } 及 {zn } 满足下列条件:
(1)
yn
≤
xn
≤
zn
(n
=
1,
2,
3,
),
(2)
lim
n→∞
yn
=
lim
n→∞
zn
=
a
那么数列 { xn}
x→0
x
1
(2) lim (1 + x) x = e x→∞
1
lim(1 + x) x = e
x→0
其中 lim ∆ = 0.
∞0 型
×
例2 求 lim(1 − 1 )x .
x→∞
x
1∞ 型
1
lim(1 + ∆)∆ = e
解
原式 = lim[(1 + 1 )− x ]−1 = lim
x→∞
−x
x→∞
1
=
−
2
lim
x→0
sin x x
⋅
lim
x→0
1
−
cos x2
x
= − 2 ⋅1⋅1 =−1 2
例6
lim
n→∞
3n
sin
a 3n
lim sin ∆ = 1, lim ∆ = 0
= lim sin a 3n ⋅a n→∞ a
∆ = a ⋅1 = a
3n
例7
lim arctan x x→0 x
u=arctan x
x→∞ x + 2
x→∞ x + 2
= e2 ⋅ 1−4 = e2
例3 求 lim(3 + x )2x . x→∞ 2 + x
1∞ 型
解2
(1 + 3 )2x
原式=
lim
x→∞
(1 +
x 2 )2 x
x
[(1
+
3
)
x 3
]6
= lim x
x→∞ [(1
+
2
)
x 2
]4
x
lim[(1 +
3
)
x 3
]6
重要极限（1）的统一形式
lim sin y( x) = 1 或 lim y( x) = 1 其中 lim y( x) = 0
y( x)
sin y( x)
lim sin ∆ = 1 或 lim ∆ = 1 其中 lim∆ = 0
∆
sin ∆
例3
lim sinα x = lim sinα x ⋅ β x ⋅ α x→0 sin β x x→0 α x sin β x β
解
n< n2 + n
1 ++ n2 + 1
1< n2 + n
n ,
n2 + 1
又 lim n→∞
n = lim n2 + n n→∞
1 1 + 1 = 1,
n
lim
n→∞
n = lim n2 + 1 n→∞
1
= 1,
1
+
1 n2
由夹逼准则得
lim( 1 + 1 + + 1 ) = 1. n→∞ n2 + 1 n2 + 2 n2 + n
单调数列
x1 ≥ x2 ≥ xn ≥ xn+1 ≥ , 单调减少
准则Ⅱ 单调有界数列必有极限.
几何解释:
x1 x2 x3 xn xn+1
x
x1 x2 x3xn xn+1 A M
x
例1
证明数列 xn =
3+
3+
+
3
(n重根
式)的极限存在.
证 显然 xn+1 = 3 + xn , 且 xn+1 > xn ,
= α lim sinα x ⋅ lim β x = α ⋅1⋅1 = α
β x→0 α x x→0 sin β x β
β
例4
求
lim
x→0
1
−
cos x2
x
.
解
2sin2 x
原式 = lim x→0
2 x2
=
1 lim
sin 2
x 2
2 x→0 ( x)2
2
=
1 2
lim
x→0
sin x
2
lim (1 + 1 )x x→∞ x − 1
= lim (1 + 1 )x−1 ⋅ (1 + 1 )
x→∞ x − 1
x −1
= lim (1 + 1 )x−1 ⋅ lim (1 + 1 ) = e ⋅ 1 = e
x→∞ x − 1
x→∞ x − 1
同理 lim (1 − 1 )x = e−1 x→∞ x + 1
(1 +
1 1
Baidu Nhomakorabea)− x
= 1.
−x
e
例3 求 lim(3 + x )2x . x→∞ 2 + x
1∞ 型
解1
原式
=
lim[(1
x→∞
+
x
1 +
)2x ] 2
=
lim[(1 +
x→∞
x
1 +
) x+2 ]2 (1 + 2
x
1 +
)−4 2
= [ lim (1 + 1 )x+2 ]2 ⋅ lim (1 + 1 )−4
那么 lim f ( x) 存在，且等于 A
x→ x0 ( x→∞)
准则 Ⅰ和准则 Ⅰ′称为夹逼准则. 注意: 利用夹逼准则求极限关键是构造出 yn 与 zn ,
并且 yn 与 zn 的极限是容易求的 .
例1 求 lim( 1 + 1 + + 1 ). n→∞ n2 + 1 n2 + 2 n2 + n
例2 求 lim n n
n→∞
解: 令 n n = 1 + rn
(n > 1)
n = (1 + rn )n
=
1
+
nrn
+
n(n − 2!
1)
rn2
+
+
rnn
>
n(n − 2!
1)
rn2
∴ 0 ≤ rn <
2, n−1
由于 lim 2 = 0 n→∞ n − 1
∴
lim
n→∞
rn
=
0,
∴ lim n n
n→∞
=
lim (1
n→∞
+
rn
)
=
1
+
lim
n→∞
rn
=
1
二项式展开定理
(a + b)n
=
n
∑
Cnk
a
n−k
bk
k=0
= an + nan−1b + n(n − 1) an−kb2 + + bn
2!
重要极限（1） lim sin x = 1 x→0 x
△AOB 的面积＜ 扇形AOB的面积 ＜△AOD的面积
∴原式 = lim (1 − 1 )x ⋅ lim (1 + 1 )x x→∞ x + 1 x→∞ x − 1
= e−1 ⋅ e = 1
三、小结
1.两个准则
夹逼准则; 单调有界准则 .
2.两个重要极限
设 α 为某过程中的无穷小 ,
10 lim sin α = 1; 某过程 α
1
20 lim (1 + α)α = e. 某过程
= x→∞
x
lim[(1 +
2
)
x 2
]4
x→∞
x
[lim(1 +
3
)
x 3
]6
= x→∞
x
[lim(1 +
2
)
x 2
]4
x→∞
x
=
e6 e4
= e2
例4
求
lim (
x→∞
x2 x2 −
)x 1
.
1∞ 型
解 原式 = lim ( x ⋅ x )x x→∞ x + 1 x − 1
= lim ( x )x ⋅ lim ( x )x x→∞ x + 1 x→∞ x − 1
A2 = 3 + A,
解得 A = 1 + 13 , A = 1 − 13 (舍去)
2
2
∴ lim n→∞
xn
=
1
+ 2
13 .
重要极限（2）
lim (1 + 1 )x = e x→∞ x
几点说明：（1）极限的类型 1∞ 型
（2）令 z = 1 , 则当x → ∞时, z → 0 x
lim (1 +
= lim (1 − 1 )x ⋅ lim (1 + 1 )x x→∞ x + 1 x→∞ x − 1
lim (1 + 1 )x x→∞ x − 1
= lim (1 + 1 )x−1 ⋅ (1 + 1 )
x→∞ x − 1
x −1
= lim (1 − 1 )x ⋅ lim (1 + 1 )x x→∞ x + 1 x→∞ x − 1
=
x→0时, u→0
= lim u u→0 tan u
= lim u ⋅ cos u u→0 sin u
= lim u ⋅ lim cos u u→0 sin u u→0
= 1⋅1 = 1
二、极限存在准则II
2.单调有界准则
如果数列{xn} 满足条件
x1 ≤ x2 ≤ xn ≤ xn+1 ≤ , 单调增加
作业 习题六: 二
思考题1
lim x→0
x
+ x
1
2
x
=
lim1 + x→0
1 2x
x
=
lim1 + x→0
1 x
x
2
=
lxi→m01 +
1 x
x
2
=
e
2
×
因为
x
+ x
1 2x
:
∞0 型
不能套用重要极限公式
思考题2
( )1
求极限 lim 3x + 9x x x→+∞
( )1
求极限 lim 3x + 9x x x→+∞
limu( x) = a ≠ 0 limv( x) = b
思考题 2 解答
则 lim u( x)v( x) = ab
1
( )1
lim 3x + 9x x
x→+∞
=
lim
x→+∞
9
x
1 3x
+ 1 x
1
( ) = lim 9x x→+∞
1 x
1 3x
+
1
1 x
=
9
⋅
lim x→+∞
1
+
1 3x
x 2
2
=
1 2
lxi→m0
sin
x 2
x 2
2
u= x 2
=
x→ 0 时, u→0
=
1 2
lui→m0
sin u
u
2
= 1 ⋅ 12 2
= 1. 2
例5
lim
x→0
sin
2
x
−2 x3
sin
x
=
lim
x→0
2
sin
x
cos x x3
−
2
sin
x
=
2
lim
x→0
sin x x
⋅
cos x − x2
∴{xn}是单调递增的 ;
又
x1
=
3 < 3,
假定 xk < 3, xk+1 = 3 + xk < 3 + 3 < 3,
∴{xn}是有界的 ;
∴ lim n→∞
xn
存在.
记
lim
n→∞
xn
=
A.
xn+1 =
3 + xn ,
x2 n+1
=
3
+
xn ,
lim
n→∞
x2 n+1
=
lim(3 +
n→∞
xn ),
1)x
=
lim(1 +
1
z)z
=
e
x→∞
x
z→0
1
lim(1 + x) x = e
x→0
仍为 1∞ 型
1
（3）统一形式 lim(1 + ∆)∆ = e , 其中 lim ∆ = 0.
lim(1 + 1 )x = e
x→∞
x
1
lim(1 + ∆)∆ = e ,
两种错误的形式：
(1) lim(1 + 1 )x = e