2005-2013年第1-9届北方数学奥林匹克数学试题及解答

第五届北方数学奥林匹克邀请赛

第五届北方数学奥林匹克邀请赛第一天一、(25分)设数列{x n }满足x 1=1,x n =x 2n -1+x n -1+x n -1(n \2).求数列{xn }的通项公式.(张雷供题)图1二、(25分)如图1,在锐角v ABC 中,已知AB >AC ,cos B +cos C =1,E 、F 分别是AB 、AC 延长线上的点,且满足ABF =ACE =90b .(1)求证:BE +CF =EF ;(2)设EBC 的平分线与EF 交于点P ,求证:CP 平分BCF .(刘康宁吕建恒徐庆金供题)三、(25分)已知有26个互不相等的正整数,其中任意六个数中都至少有两个数,一个数整除另一个数.证明:一定存在六个数,其中一个数能被另外五个数整除.(张同君供题)四、(25分)船长和三位水手共得到2009枚面值相同的金币.四人商定按照如下规则对金币进行分配:水手1、水手2、水手3每人写下一个正整数分别为b 1、b 2、b 3,满足b 1\b 2\b 3,且b 1+b 2+b 3=2009;船长在不知道水手写的数的情况下,将2009枚金币分成3堆,各堆数量分别为a 1、a 2、a 3,且a 1\a 2\a 3.对于水手k (k =1,2,3),当b k <a k 时,可以从第k 堆拿走b k 枚金币,否则不能拿.最后所有余下的金币归船长所有.若无论三位水手怎样写数,船长总可以确保自己拿到n 枚金币.试确定n 的最大值,并证明你的结论.(张利民供题)第二天五、(25分)如图2,在给定的扇形AOB 图2中,圆心角为锐角.在弧AB 上取异于A 、B 的一点C ,在线段OC 上取一点P ,联结AP ,过点B 作直线BQ M AP 交射线OC 于点Q .证明:封闭图形OAQPBO 的面积与点C 、P 的选取无关.(徐庆金供题)六、(25分)设x 、y 、z >0,且x 2+y 2+z 2=3.求证:x2009-2008(x -1)y +z \12(x +y +z ).(杨海滨贾应红供题)七、(25分)记[m ]为不超过实数m 的最大整数.设x 、y 均为正实数,且对所有的正整数n ,都有[x [ny ]]=n -1成立.证明:xy =1,且y 是大于1的无理数.(刘康宁供题)八、(25分)求能被209整除且各位数字之和等于209的最小正整数.(张雷供题)参考答案第一天一、易证x n 是正数.注意到1x n=1x 2n -1+x n -1+x n -1=x 2n -1+x n -1-x n -1x n -1=1+1x n -1-1,即1x n+1=1+1x n -1=,=1+1x 112n -1=212n -1=221-n.故x n =122-1.二、(1)因为ABF=ACE=90b ,所以,E 、B、C 、F四点共圆.于是,CFE =ABC,BEF =ACB .故cos CFE +cos BEF =cos ABC +cos ACB =1,即 CF EF +BE EF =1.因此,BE +CF =EF .图3(2)如图3,在线段EF 上取一点Q ,使EQ =EB .由(1)的结论知FQ =FC.因FQC=12(180b -C FQ )=12EBC =PBC ,所以,B 、C 、P 、Q 四点共圆.故BCP =BQE =12(180b -BEQ )=12BCF .于是,CP 平分BCF .三、将26个数由小到大按升幂排列.把最小数编号为1,对后续数的编号原则为:如果它前面的数都不能整除它,就将这个数编号为1;如果它前面的数有的能整除它,设能够整除它的数中最大编号为k ,就将这个数编号为k +1.当将26个数全部编号后,可以证明这26个数中一定有编号为6的数.假设没有编号为6的数,即这26个数的编号只能是1,2,3,4,5.由抽屉原则知,一定有六个数编号相同,则这六个数必然不能相互整除,与已知矛盾.因此,这26个数中一定有编号为6的数.如果有一个数编号为6,这说明它有一个编号为5的因数.同理,这个数有一个编号为4的因数,,,这样,就得到由六个数组成的因数链,其中每一个数都能被下一个数整除.显然,这六个数中最大的一个能被其余五个数整除.问题得证.四、最大值是673.首先,船长可以确保得到不少于673枚金币.事实上,当船长把金币分成的3堆数目分别为671、670、668时,(1)若b 1\671,则船长可得到不少于671+2=673枚;(2)若b 1<671,则因b 1[670,b 1+b 2+b 3=2009,所以,只有b 1=b 2=670,b 3=669,船长得到的金币数不少于1+670+668>673枚.其次,船长无法确保得到多于673枚金币.事实上,(1)若a 1[671,则a 2[671,a 3\667.当b 1=a 1+2,b 2=a 2-1,b 3=a 3-1时,船长至多得到671+2=673枚;(2)若a 1>671,则因a 3[2009-a 12[13372=66815,故a 3[668.(i)当a 2-a 3\3时,若b 1=a 1-1,b 2=a 2-1,b 3=a 3+2,则船长至多可得a 3+2[668+2=670枚;(ii)当a 2-a 3[2时,若a 3=1,则a 2[3,a 1-a 2\2002,当b 1=a 1-2,b 2=a 2+1,b 3=a 3+1时,船长至多可得2+3+1=6枚;若a 3>1,则2a 2=(a 2+a 3)+(a 2-a 3)[2009-672+2=1339]a 2[669.所以,a 1-a 2\672-669=3,当b 1=a 1-1,b 2=a 2+2,b 3=a 3-1时,船长至多可得a 2+2[671枚.第二天五、联结AB 交OC 于点M .由于BQ M AP ,则四边形APBQ 是梯形.所以,S v AQ M =S v BPM .故S OAQPB =S OA M PB +S v AQM =S O AMPB +S v BMP =S v OAB为定值,即五边形OAQPB 的面积与点C 、P 的选取无关.六、因为x 2+y 2+z 2\(x +y +z )23,所以,x +y +z [3.故只要证x 2009-2008(x -1)y +z \32.而x2009+2008=x2009+1+1+,+12008个\2009x ,同理,y 2009+2008\2009y ,z2009+2008\2009z .所以,只要证x y +z \32Z x y +z +1\92Zx +y +z y +z \92.¹而式¹左边12(x +y )1x +y \923(x +y )1y +z =92.综上,原不等式成立.七、由x ny -1<xny [x ny ,ny ]x ny -1-1<n -1[nxy.故n xy -1<x ,n 1-xy [1.显然,无论xy >1,还是xy <1,以上不等式组对任意的正整数都不能恒成立.因此,xy =1.故nyy=n -1Z n -1[nyy <n Z ny -y [ny <ny.¹式¹右边不等式表明,ny 不是整数,从而,y 是无理数.对式¹左边不等式,当y >1时,显然成立;当0<y <1时,取n =11-y+1,则11-y <n [11-y +1.解得n -2n -1[y <n -1n,即n 2-2nn -1[ny <n -1.所以,ny [n -2[n -1y .于是,ny y<nyy[n -1,矛盾.综上,xy =1,且y 是大于1的无理数.八、最小数为2@1024+2@1023-1015-1.证明:由于209=11@19,209=9@23+2,故该数至少为24位,且被11和19整除.(1)如果该数为24位数,设从右向左数其第i 位的数字为a i (1[i [24),该数设为S .则S =24i =110i -1a i S24i =1(-1)i -1a iS 0(m od 11).设S 1=a 1+a 3+,+a 23,S 2=a 2+a 4+,+a 24.则S 1S S 2(m od 11).又S1+S2=209,由于S1、S2中的最大数不大于108,则最小数不小于101,其差的绝对值不大于7.而S1、S2一奇一偶,故S1-S2 X0,即S1¢S2(m od11),矛盾.所以,满足条件的数至少为25位.(2)如果该数为25位数,类似上面的设法,令该数为S,S1=a1+a3+,+a25,S2=a2+a4+,+a24.1)如果a25=1,由于S1、S2中的最大数不大于109,则最小数不小于100,其差的绝对值不大于9.而S1、S2一奇一偶,故S1-S2X 0,即S1¢S2(m od11).此时,不存在满足条件的数.2)如果a25=2,由于S1、S2中的最大数不大于110,则最小数不小于99,其差的绝对值不大于11.而S1、S2一奇一偶,故S1-S2X0,只有S1=110,S2=99可能满足条件.此时, a1=a3=,=a23=9.(i)如果a24=0,则该数为S=2@1024+1023-1,除以19余5,不满足条件.(ii)如果a24=1,则该数为S=2@1024+2@1023-1-10x,其中,x为奇数.由于2@1024+2@1023-1S8(m od19),而10k模19的余数为10,5,12,6,3,11,15, 17,18,9,14,7,13,16,8,4,2,1循环,于是, x=18t+15.故x=15.此时,满足条件的数为2@1024+2@1023-1015-1.综上,满足条件的最小数为2@1024+2@1023-1015-1.(张同君提供)课外训练数学奥林匹克初中训练题(122)第一试一、选择题(每小题7分,共42分)1.已知x是无理数,且(x+1)(x+3)是有理数.在上述假定下,有下面四个结论:¹x2是有理数;º(x-1)(x-3)是无理数;»(x+1)2是有理数;¼(x-1)2是无理数.其中,正确的个数是().(A)0(B)1(C)2(D)32.已知关于x的方程5 2x-a=85x+142,当a为某些正整数时,方程的解为正整数.则正整数a的最小值是().(A)2(B)3(C)4(D)53.设a、b N+,且满足56[a+b[59,019<ab<0191.则b2-a2等于().(A)171(B)177(C)180(D)182图14.如图1,在v ABC中,已知AB>AC,点D、E分别在AB、AC上,且BD=CE.取BE、CD的中点M、N,直线MN分别交AB、AC于点P、Q.则().。

2005小学数学奥林匹克试题和解答

2005小学数学奥林匹克试题和解答PAGE1-NUMPAGES152005年小学数学奥林匹克预赛试卷(A)2005年3月20日上午8：30—9：301．计算：8-1.2×1.5+742÷（2.544÷2.4）＝______。

2．计算：=______。

3．已知，那么x=______。

4．设ab表示a/b＋b/a＋1/2，计算：(1992996)(996498)＝______。

5．图中大长方形分别由面积为12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组成，那么图中的阴影面积为______。

6．按英国人的记法，2005年1月8日记作1-8-2005；按美国人的记法，2005年1月8日记作8-1-2005。

那么，2005年全年中共有______天会让英、美两国人在记法上产生误会。

7．某班在一次数学测验中，平均成绩是78分，男、女各自平均成绩是75.5与81分。

这个班男女生人数之比是______。

8．将+、－、×、÷四个运算符号分别填在下面算式的方格中，每个运算符号都用上，每一格内添一个符号，使这四个算式的答数之和尽可能的大，那么这四个数之和是______。

1/2□1/9，1/3□1/8，1/4□1/7，1/5□1/69．有四个正方体，棱长分别是1，1，2，3。

把它们的表面粘在一起，所得的立体图形的表面积可能取得的最小值是______。

10．已知两个不同的单位分数的和是1/2004，且这两个单位分数的分母都是四位数，那么这两个单位分数的分母的差最小值是______。

11．用同样大小的正方形瓷砖铺一个正方形地面，两条对角线铺黑色（如图所示），其他地方铺成白色的瓷砖。

如果铺满这个地面共用了97块黑色的瓷砖，那么白色的瓷砖用了______块。

12．A、B两人以相同的速度先后从车站出发，10点钟时A与车站的距离是B与车站距离的5倍，10点24分时B正好位于A与车站距离的中点，那么A是在______时______分出发的。

2005年小学数学奥林匹克竞赛五年级组试题(卷)

29、学校植树，老师和学生共有100人，树苗共有100棵，现在规定老师1个人植3棵树，3个学生植一棵树，正好分完，那么有多少老师和多少学生？解法1：如果说把1个老师和3个学生组成植树小组共4人，则共植树4棵，植树100棵共需要25个小组，因此有25个老师和75个学生。解法2：设有学生x个，则有老师100－x个，依题意得3×(100－x)+ x=100,则x=75个。解法3：如果说100人全部是教师，则应植树300棵，比实际植树100棵减少了200棵，让一个学生替换一个老师，则植树减少3棵，同时增加棵，实际减少棵，则植树减少200棵应替换的学生数就是200÷ =75人。
34陕北某村有一块草场，假设每天草都均匀生长，长的一样快。这片草场经过测算可供100只羊吃200天，或可供150只羊吃100天。问：如果放牧250只羊可以吃多少天？放牧这么多羊对吗？为响应西部大开发，保护生态环境，防止草场沙化，这片草场最多可以放牧多少只羊？
2005年小数奥赛六年级组试题及参考答案
一、填空。（每空3分，共60分。）
2005年小学数学奥林匹克竞赛五年级组试题（卷）
一、填空。（每空3分，共60分。）
1、简算：9999＋999＋99＋9=。
2、找规律：1、 4、 9、 16、、 36、 49。
3、鸡兔同笼，有头40，有脚96。问：鸡有；兔有只。
4、○＋○＋○＋□＋□=45，□=○＋○＋○。○=； □=。
5、一个圆形花圃周长36米，每隔3米放一盆花，一共放了盆花？
周长是分米。
19、一块豆腐，要想切成八块，最少的刀就可以完成。
20、用5个空瓶可以换1瓶汽水，某班同学喝了161瓶汽水，其中有一些是用空瓶换的，
那么他至少要买瓶汽水。
二、选择题。（10分）

历届北方数学奥林匹克试题

历届北方数学奥林匹克试题目录2005年北方数学奥林匹克 (2)2006年北方数学奥林匹克 (4)2007年北方数学奥林匹克 (6)2008年北方数学奥林匹克 (7)2009年北方数学奥林匹克 (10)2010年北方数学奥林匹克 (13)2011年北方数学奥林匹克 (15)2012年北方数学奥林匹克 (17)2005年北方数学奥林匹克1.AB是⊙O的一条弦，它的中点为M，过点M作一条非直径的弦CD，过点C和D作⊙O的两条切线，分别与直线AB相交于P、Q两点.求证：P A=QB.（裘宗沪供题）2.定义在R上的函数f(x)满足：（1）f(0)=0;（2）对任意xx∈(?∞,?1)∪(1,+∞)，都有f?1x?+f?1y?=f(x+y1+xy)；（3）当x∈(?1,0)时，都有f(x)>0.求证：f?119?+f?129?+?+ f?1n2+7n+11?>f(12)，其中n∈N+. （刘贵谭祖春供题）3.在公差为d(d>0)的整数等差数列a1,a2,?,a3n(n≥2)中，任取n+2个数.证明：其中必存在两个数a i、a j(i≠j)，满足不等式14.已知n位数的各位数字只能取集合{1,2,3,4,5}中的元素，设含有数字5且在5的前面不含3的n位数的个数为f(n).求f(n).（蒋西明供题）5.如果三个正实数x、y、z满足x2+xx+x2=254，x2+xy+y2=36，y2+yx+x2=1694.求xx+xy+yx的值. （张同君供题）6.设0≤α、β、γ≤π2，ccc2α+ccc2β+ccc2γ=1.求证：2≤（1+ccc2α）2cin4α+（1+ccc2β）2cin4β+（1+ccc2γ）2cin4γ≤(1+ccc2α)(1+ccc2β)(1+ccc2γ)（谭祖春供题）2006年北方数学奥林匹克1. 如图1，AB 为⊙O 的直径，非直径的弦CC ⊥AA ，E 是OC 的中点，连结AE 并延长交⊙O 于点P ，连结DP 交BC 于点F .求证：F 是BC 的中点.图12. 设p 是大于2的质数，数列{a n }满足na n+1=(n +1)a n ?(p 2)4.求证：当a 1=5时，16|a 81. 3. 已知AD 是△ABC 的边BC 上的高，且AC +AC =AA +AC .求∠A 的取值范围.4. 设函数f (x )=x 2+ax +b (a 、b ∈R ).若存在实数m ，使得|f (m )|≤14，且|f (m +1)|≤14，求Δ=a 2?4b 的最大值和最小值.5. 已知正数a 、b 、c 满足a +b +c =3.求证：a 2+92a +(b+c )+b 2+92b +(c+a )+c 2+92c 2+(a+b )2≤5. 6. 组委会说明试题有误.7. 是否可以将正整数1,2,?,64分别填入8×8的64个方格，使得凡具备“”形的四个方格（方向课以任意转置）内的数之和都能被5整除？8. 已知数列{a n }满足a k+1=a k +12006a k 2，a 0=12，k ∈N .求证：A1?12008<a2006<1.< p="">1.在锐角△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高.以AB为直径作圆交CE于M，在BD上取点N是AN=AM.证明：AN⊥CN.2.设△ABC三边长分别为a、b、c，且a+b+c=3.求f(a,b,c)=a2+ b2+c2+43abc的最小值.3.在数列{a n}中，a n+1=a n2a n+1(n∈N).求证：当0≤n≤1004时，有[a n]=2007?n（其中[x]表示不超过x的最大整数）.4.平面上每个点被染为n中颜色之一，同时满足：（1）每种颜色的点都有无穷多个，且不全在同一条直线上；（2）至少有一条直线上所有的点恰为两种颜色.求n的最小值，使得存在互不同色的4个点共圆.5.设α,β∈(0,π2)，求A=(1??tanα2tanβ2)2cctα+cctβ的最大值.6.已知f(x)=ll(x+1)?12lcl3x.（1）解方程f(x)=0；（2）求集合M={n|f(n2?214n?1998)≥0,n∈Z}.7.设n是正整数，a=?√n?（其中[x]表示不超过x的最大整数），求同时满足下列条件的n的最大值：（1）n不是完全平方数；（2）a3|n28.设△ABC的内切圆半径为1，三边长AC=a，CA=b，AA=c.若a、b、c都是整数，求证：△AAC为直角三角形.1. 如图1，⊙O 是梯形ABCD 的内切圆，切点分别为E 、F 、G 、H ，AB ∥CD .作BP ∥AD 交DC 的延长线于点P ，AO 的延长线交CP 于点Q .若AD =AD ，求证：∠CAQ =∠PAQ .图1 （张利民供题）2. 已知∠A 、∠A 、∠C 是△AAC 的三个内角.证明：tan A 2+tan B 2+tan C 2√3≥?tan 2A 2+tan 2A 2+tan 2C 26 （张雷供题）3. 给定三角形数表如图2：1 2 3 4 ? 97 98 99 100 3 5 7 ? 195 197 199 8 12 ? 392 396 20 ? 788 ? ? ? ? ? M图2其中，第一行各数依次是1,2,?,100，从第二行起，每个数分别等于它上面一行左、右两数的和.求M 的值.（焦和平供题）4.证明：（1）存在无穷个正整数n，使n2+1的最大质因子小于n；（2）存在无穷个正整数n，使n2+1|n!. （张雷供题）5.如图3，已知□ABCD，过A、B、C三点的⊙O1分别交AD、BD 于点E、F，过C、D、F三点的⊙O2交AD于点G，设⊙O1、⊙O2R222.的半径分别为R1、R2.求证：AG图3（吕建恒刘康宁供题）6.设a、b、c为直角三角形的三边长，其中，c为斜边长.求使得a3+b3+c3abc≥k成立的k的最大值.（李铁汉供题）7.设n是正整数，整数a是方程x4+3ax2+2ax?2×3n=0的根.求所有满足条件的数对(n,a).（李铁汉供题）8.给定由n(n+1)2个点组成的正三角形点阵（如图4），记以点阵中三个点为顶点的所有正三角形的个数为f(n)，求f(n)的表达式.图4（张利民供题）2009年北方数学奥林匹克1. 设数列{x n }满足x 1=1，x n =?x n?12+x n?1+x n?1(n ≥2).求数列{x n }的通项公式. （张雷供题）2. 如图1，在锐角△ABC 中，已知AA >AC ，cccA +cccC =1，E 、F 分别是AB 、AC 延长线上的点，且满足∠AAF =∠ACD =90°.（1）求证：AD +CF =DF ；（2）设∠DAC 的平分线与EF 交于点P ，求证：CP 平分∠ACF .图1（刘康宁吕建恒徐庆金供题）3. 已知有26个互不相等的正整数，其中任意六个数中都至少有两个数，一个数整除另一个数.证明：一定存在六个数，其中一个数能被另外五个数整除.（张同君供题）4. 船长和三位水手共得到2009枚面值相同的金币.四人商定按照如下规则对金币进行分配：水手1、水手2、水手3每人写下一个正整E数分别为b 1、b 2、b 3，满足b 1≥b 2≥b 3，且b 1+b 2+b 3=2009；船长在不知道水手写的数的情况下，将2009枚金币分成3堆，各堆数量分别为a 1、a 2、a 3，且a 1≥a 2≥a 3.对于水手k (k =1,2,3)，当b k的金币归船长所有.若无论三位水手怎样写数，船长总可以确保自己拿到n 枚金币.试确定n 的最大值，并证明你的结论. （张利供题）5. 如图2，在给定的扇形AOB 中，圆心角为锐角.在弧AB 上取异于A 、B 的一点C ，在线段OC 上取一点P ，连结AP ，过点B 作直线BQ ∥AP 交射线OC 于点Q .证明：封闭图形OAQPBO 的面积与点C 、P 的选取无关.图2 （徐庆金供题）6. 设x 、y 、z >0，且x 2+x 2+y 2=3，求证：∑x 2009?2008(x?1)y+z ≥12(x +x +y ). （杨海滨贾应红供题）7. 记[m ]为不超过实数m 的最大整数.设x 、y 均为正实数，且对所有的正整数n ，都有[x [nx ]]=n ?1成立.证明xy =1，且y 是大于1的无O理数.（刘康宁供题）8.求能被209整除且各位数字之和等于209的最小正整数.（张雷供题）2010年北方数学奥林匹克1.已知数列{a n}满足a1=2，a n=22n a n?1+2n2n(n=2,3,?).求通项a n(n=1,2,?). （吴树勋供题）2.已知PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，PCD是⊙O的一条割线，过点C作PA的平行线，分别交弦AB、AD于点E、F.求证：CD=DF.（李新焕供题）3.求所有的正整数(x,x,y)，使得1+2x×3y=5z成立.（张雷供题）4.在7×7的方格表的64个网格线交点（称为“结点”）处放棋子，每点至多放1枚，一共放了k枚棋子.若无论怎样放，总存在4枚棋子，它们所在的结点构成一个矩形（矩形的边平行于棋盘网格线）的四个顶点.试求k的最小值.（张利民供题）5.设正实数a、b、c满足(a+2b)(b+2c)=9.求证：?a2+b22+2?b3+c323≥3.（张雷供题）6.已知⊙O是△ABC的内切圆，D、E、N是切点，连结NO并延长交DE于点K，连结AK并延长交BC于点M.求证：M 是BD的中点.（康春波供题）7.求[x,x,y]=(x,x)+(x,y)+(y,x)满足x≤x≤y,(x,x,y)=1的所以正整数解，其中，[m,n]和(m,n)分别表示正整数m、n的最小公倍数和最大公约数.（王全供题）8.设x、x、y∈[0,1]，且|x?x|≤12，|x?y|≤12，|y?x|≤12.试求W=x+x+y?xx?xy?yx的最小值和最大值.（刘康宁安振平供题）2011年北方数学奥林匹克1.已知数列{a n}的通项a n=(√3+√2)2n(n∈N+)，设b n=a n+1a n. （1）试求b n+2、b n+1、b n之间的递推关系；（2）求a2011整数部分的个位数字.（刘洪柱供题）2.如图1，△ABC的内切圆分别切BC、CA、AB、于点D、E、F，P 为内切圆内一点，线段PA、PB、PC分别于内切圆交于点X、Y、Z.证明：XD、YE、ZF三线共点.图1（徐庆金供题）3.求不定方程1+2x×7y=y2的全部正整数解(x,x,y). （翁世有供题）4.设n个集合A1,A2,?,A n是集合A={1,2,?,29}的一个分划，且A i(i=1,2,?,n)中任意个元素之和都不等于30.求n的最小可能值. 【注】若集合A的非空子集A1,A2,?,A n(n∈N+,n≥2)满足A i∩A j=?(i≠j)，A1∪A2∪?∪A n=A，则称A1,A2,?,A n是集合A的一个分划.（张雷供题）5. 若正整数a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则称(a ,b ,c )为勾股数组.求含有30的所有勾股数组. （杨春宏供题）6. 如图2，过点P 引的切线P A 和割线PBC ，AC ⊥PP ，垂足为D .证明：AC 是△ABD 外接圆的切线.图2（吕建恒供题） 7. 在△ABC 中，证明：11+ccs 2A+ccs 2A +11+ccs 2A+ccs 2C +11+ccs 2C+ccs 2A ≤2.（安振平供题） 8. 已知n 是正整数，实数x 满足1?|2??|(n ?1)?|n ?x ||?|?=x .求x 的值. （张利民供题）P2012年北方数学奥林匹克1.如图1，在△ABC中，∠C=90°，I是内心.直线BI交AC于D，作DE平行于AI交BC于E，直线EI交AB于F.证明：DF垂直于AI.图12.正整数x1,x2,?,x n(n∈?+)，满足x12+x22+?+x n2=111，求S=x1+x2+?+x n n的最大可能值.3.设S={x|x=a2+ab+b2,a,b∈?}.求证：(1)若m∈S,3|m，则3m∈S；(2)若m,n∈S，则m?n∈S.4.平面上有n(n≥4)条直线，对于直线a，b，在余下的n-2条直线中，如果至少存在两条直线与直线a，b都相交，则称直线a，b是相合的直线对，否则称其是相离的直线对.若n条直线中相合直线对的个数比相离直线对的个数多2012.求n的最小可能值（直线对中的两条直线不计顺序）.5.已知数列{a n}:a0=0,a n=1a n?1?2,n∈?+，在数列{a n}中任意取定一项a k，构造数列{b n}:b0=a k,b n=2b n?1+1b n?1,n∈?+.试判断数列{b n}是有限数列还是无穷数列？并给出证明.6.设n是正整数，证明1+13??1+131+13?<2.7.如图2在五边形ABCDE中，BC=DE，CD平行于BE，AB>AE，AA AA，求证：AC平分线段BE.若∠AAC=∠CAD，且图28.设p是奇素数，如果存在正整数a使p!|a p+1，证明：(1)?a+1,a p+1a+1?=p.(2)a p+1a+1没有小于ｐ的素因子.p!|a+1.</a2006<1.<>。

高中数学竞赛-历届IMO试题(1-46届)及答案

1.求证(21n+4)/(14n+3) 对每个自然数 n都是最简分数。

2.设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解：(a) A=√2；(b)A=1；(c)A=2。

3.a、b、c都是实数，已知 cos x的二次方程a cos2x +b cos x +c = 0,试用a,b,c作出一个关于 cos 2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。

当a=4,b=2,c=-1时比较 cos x和cos 2x的方程式。

4.试作一直角三角形使其斜边为已知的 c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。

5.在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N，(a.) 求证 AF、BC相交于N点；（b.) 求证不论点M如何选取直线MN 都通过一定点 S；(c.) 当M在A与B之间变动时，求线断 PQ的中点的轨迹。

6.两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。

试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q上。

1.找出所有具有下列性质的三位数 N：N能被11整除且 N/11等于N的各位数字的平方和。

2.寻找使下式成立的实数x：4x2/(1 - √(1 + 2x))2< 2x + 93.直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成 n 等份（n为奇数），令α为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证：tan α = 4nh/(an2 - a).4.已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作三角形ABC。

5.正方体ABCDA'B'C'D'（上底面ABCD，下底面A'B'C'D'）。

初中数学奥林匹克竞赛题及答案

初中数学奥林匹克竞赛题及答案奥数题一一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( )A．a，b都是0B．a，b之一是0C．a，b互为相反数D．a，b互为倒数答案：C解析：令a=2，b=－2，满足2+(－2)=0，由此a、b互为相反数。

2．下面的说法中正确的是 ( )A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式答案：D解析：x²，x3都是单项式．两个单项式x3，x²之和为x3+x²是多项式，排除A。

两个单项式x²，2x2之和为3x2是单项式，排除B。

两个多项式x3+x2与x3－x2之和为2x3是个单项式，排除C，因此选D。

3．下面说法中不正确的是 ( )A. 有最小的自然数B．没有最小的正有理数C．没有最大的负整数D．没有最大的非负数答案：C解析：最大的负整数是-1，故C错误。

4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( )A．a，b同号B．a，b异号C．a＞0D．b＞0答案：D5．大于－π并且不是自然数的整数有 ( )A．2个B．3个C．4个D．无数个答案：C解析：在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0在内）的整数只有－3，－2，－1，0共4个．选C。

6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身。

这四种说法中，不正确的说法的个数是 ( )A．0个B．1个C．2个D．3个答案：B解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故C错误。

7．a代表有理数，那么，a和－a的大小关系是 ( )A．a大于－aB．a小于－aC．a大于－a或a小于－aD．a不一定大于－a答案：D解析：令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D。

8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( ) A．乘以同一个数B．乘以同一个整式C．加上同一个代数式D．都加上1答案：D解析：对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数，所以排除A。

2005全国数学奥林匹克决赛试题及参考答案

2005全国数学奥林匹克决赛试题及参考答案1、计算：11024 +1512 +1256 + (12)+1+2+4+8+……+1024= 2、计算：1+10+41035 +22463 +15199 +17143= 3、有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是（）。

4、设M 、N 都是自然数，记PM 是自然数M 的各位数字之和，PN 是自然数N 的各位数字之和。

又记M*N 是M 除以N 的余数。

已知M+N=4084，那么(PM+PN)*9的值是（）。

5、如图，已知CD=5，DE=7，EF=15，FG=6，直线AB 将图形分成左右两部份，左边部份面积是38，右边部份面积是65，那么三角形ADG 的面积是（）。

6、某自然数，它可以表示成9个连续自然数的和，又可以表示成10个连续自然数的和，还可以表示成11个连续自然数的和，那么符合以上条件的最小自然数是（）。

7、已知甲酒精纯酒精含量为72%，乙酒精纯酒精含量为58%，两种酒精混合后纯酒精含量为62%。

如果每种酒精取的数量都比原来多15升，混合后纯酒精含量为63.25%，那么第一次混合时，甲酒精取了（）升。

8、在下面算式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字。

那么“新年好”所代表的三位数是（）。

9、有两家商场，当第一家商场的利润减少15%，而第二家商场利润增加18%时，这两家商场的利润相同。

那么，原来第一家商场的利润是第二家商场利润的（）倍。

10、从1~9这9个数字中取出三个，由这三个数字可以组成六个不同的三位数。

如果六个三位数的和是3330，那么这六个三位数中最大的是（）。

11、有A 、B 、C 、D 、E 五支球队参加足球循环赛，每两个队之间都要赛一场。

当比赛快要结束时，统计到的成绩如下：队名获胜场数平局场数失败场数进球个数失球个数A 2 1 0 4 1B 1 2 0 4 2C 1 1 1 2 3D 1 0 3 5 5E 0 2 1 1 5已知A 与E 以及B 与C 都赛成平局，并且比分都是1：1，那么B 与D 两队之间的比分是（）。

2013奥数决赛B卷真题及详细解答

2013年小学数学竞赛决赛试卷2013年4月13日上午10:00—11:30（本卷共14个题，每题10分，总分140分。

第1至12题为填空题，只需要将答案填入空内；13题和14题为解答题，需写出解题过程。

）1、计算（0.125×17 +0.75×114 +128 ）÷（12 －17 ）=（）=3102、计算14 +14+8 +14+8+12 +…14+8+12+…+96 =（） =14 （1+11+2 +11+2+3 +…11+2+3+…+24） =14 ×（1+11+2 +11+2+3 +…11+2+3+…+24 ）×12 ×2 =12253、将数字3,4,5,6,7,8,9填入下列算式的□中，使得等式成立。

（每个数字只能用一次）2×□□=□×□□=1□□2×78=4×39=1564、五边形ABCDE 由边长为8的正方形ACDE 和等腰△ABC 组成，AB=BC 。

ABCDE 的面积是90，那么，阴影部分的面积=（）。

90－8×8÷2－8×3÷2=365、已知一个二位数S ，把它的十位上数字与各位上数字交换后得到的二位数比原来的二位数S 大20%，那么S=（）设原数为xy ----新数为yx ----，（10x+y ）（1+15 ）=10y+x ，整理后得到：5x=4yX:y=4：5，所以：45另解：个位数字和十位数字交换后大小相差9的倍数。

如果相差一个9，那么那么原数是45，如果相差18，那么原数大于了两位数。

6、A B C D 为四个不同的二位数。

两两配对可以配成六对，这六对数的平均数分别是12,13,15,17,19,20.那么这四个数中，最大的数是（），最小的数是（）两两之和为：24、26、30、34、38、40令：A <B <C < D ABCD 的和为（12+13+15+17+19+20）×2÷3=64A+B=24,C+D=40, B+D=38 那么：A+C=26, 若 B+C=30那么通过A+B=24,与B+C=30可以知道B=14,那么A=10 B=14. C=16, D=24.若：B+C=34 A+B=24,与B+C=34可以知道B=16 A=8, C=18,D=22 ( 不满足四个两位数这个条件),7、一群人到三亚去旅游。

2005年江苏省数学奥林匹克夏令营竞赛试题及参考答案

2005年江苏省数学奥林匹克夏令营竞赛试题参考答案一、选择题：1．已知,a b N ∈，100a 是一个120位数，ba 是一个10位数，则b 的值是（）()A 7()B 8()C 9()D 10解：B ．由题设：100119lg 1209lg 10ba a ⎧≤<⎪⎨≤<⎪⎩，从而9101.19 1.2b ≤<．∴ 8b =． 2．将4个相同的红球和4个相同的蓝球排成一排，从左到右每个球依次对应序号为1,2,,8 ．若同色球之间不加区分，则4个红球对应序号之和小于4个蓝球对应序号之和的排列方法的种数为（）()A 31()B 27()C 54()D 62解：A ．123836++++= ．1到8中任取四个不同的数求和，可以得到4870C =种答案（可以相同）．其中和为18的共有8种：()8,7,2,1，()8,6,3,1，()8,5,4,1，()8,5,3,2，()7,6,4,1，()7,6,3,2，()7,5,4,2，()6,5,4,3．∴ 4个红球对应序号之和小于4个蓝球序号之和的排列数为708312-=． 3．若某圆柱的体积与表面积在数值上恰好相等，则该圆柱的体积的最小可能是（）()A 48π()B 50π()C 54π()D 66π解：C ．设圆柱底面半径为r ，高为h ．则2222r h r rh πππ=+，即22rh r =-，2r >．从而322222r r V r r r ππ==--．令20t r =->，则 ()()3222816121811272t V t t t t t t t π+⎛⎫==+++=-+++≥ ⎪⎝⎭． ∴ 当1t =时，V 取最小值54π．4．已知,αβ均为锐角，且满足()2sin cos ααβ=-，则α与β的关系（）()A αβ<()B αβ=()C αβ>()D 2παβ+=解：C ．由题设：2sin cos cos sin sin ααβαβ=+． ∴ sin cot cos sin sin ααβββ=⋅+>． ∴ αβ>．5．正四面体的4个面上分别写着1，2，3，4．将4个这样的均匀正四面体投掷于桌面上，与桌面接触的4个面上的4个数的乘积被4整除的概率是（）()A 18()B 964()C 116()D 1316解：D ．()4434424213416-+⨯=． 6．甲、乙、丙，3人用擂台赛形式进行训练，每局2人进行单打比赛，另1人当裁判，每一局的输方当下一局的裁判，由原来的裁判向胜者挑战．半天训练结束时，发现甲共打了12局，乙共打了21局，而丙共当裁判8局．那么整个比赛的第10局的输方（）()A 必是甲()B 必是乙()C 必是丙()D 不能确定解：A ．丙共当裁判8局，所以甲乙之间共有8局比赛．又甲共打了12局，乙共打了21局，所以甲和丙打了4局，乙和丙打了13局．三个人之间总共打了（8+4+13）=25局．考察甲，总共打了12局，当了13次裁判．所以他输了12次．所以当n 是偶数时，第n 局比赛的输方为甲，从而整个比赛的第10局的输方必是甲．二、填空题：7．已知向量(a =，()b = ．若正数k 和t 使得()21x a t b =++ 与1y ka b t =-+垂直．则k 的最小值是．解：2．a b == 0a b ⋅= ．2210x y ka t b t ⎛⎫=⋅=-++ ⎪⎝⎭，即12k t t =+≥．8．在直角坐标系内，如果一个点的横坐标和纵坐标都是整数，则称该点为整点．若凸n 边形的顶点都是整点，并且多边形内部及其边上没有其他整点，则n = ．解：3n =或4．3n =或4显然满足题意．当5n ≥，考察其顶点()111,A x y ，()222,A x y ，()333,A x y ，()444,A x y ，()555,A x y ，由抽屉原理知道必然有两点的横坐标与纵坐标的奇偶性完全相同，不妨设为(),i i i A x y ，(),j j j A x y ，i j ≠．则i j A A 的中点必然是一个整点．而由凸n 边形的性质知道，线段i jA A 的中点必然在该多边形的内部或者边上．9．若实数,x y 满足0x ≥，且{}max 1,12x x y x --≤≤+．则二元函数(),u x y2x y =+的最小值是．解：1．由题意：12x y x -≤≤+，且0x ≥． ∴ (),u x y 2x y =+312, 11211, 01x x x x x x -≥≥⎧≥-+=⎨+≥≤<⎩．10．设方程1nx =（n 为奇数）的n 个根为1211,,,,n x x x - ，则1111n k kx -==+∑ ．解：12n -． 22cos sin k k k x i n nππ=+，1,2,3,,1k n =- ．注意到2222cossin cos 2sin 2k k k k k x i i n n n n ππππππ--⎛⎫⎛⎫=+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22cos sin n k n k n k i x n nππ---=+=．∴11111111111k k k n k k k k k k kx x x x x x x x x x -+=+=+=++++++．而n 为奇数，所以1n -为偶数，从而111112n k kn x -=-=+∑．11．用{}x 表示实数x的小数部分，若()200518a =．则{}a a ⋅= ．解：1．记()200518b =，则01b <<，且1ab =．又((()2005200520052005200520051818rrrr rr r r a b CC--==-=⋅-⋅-∑∑(100220042212120050218kk k k C Z -++==⋅⋅∈∑．而()a a b b =-+，其中a b Z -∈，01b <<． ∴{}b a =．∴ {}1a a ab ==．12．已知P 、Q 、R 、S 是三棱锥A BCD -内的四点，且Q 、R 、S 、P 分别是线段PA 、QB 、RC 、SD 的中点，若用P ABC V -表示三棱锥P ABC -的体积，其余的类推．则:::P ABC P BCD P CDA P ABD V V V V ----= ．解：8:1:2:4．记,P BCD H 为点P 到平面BCD 的距离．其余类推．设P V -∵ ,,::2S BCD P BCD H H SD PD ==．∴ 2S BCD V -=． ∵ ,,::2:1R BCD S BCD H H RC SC ==，∴ 4R BCD V -=． ∵ ,,::2:1Q BCD R BCD H H QB RB ==，∴ 8Q BCD V -=．设AP 延长后交平面BCD 于'P ．则':':Q BCD QP PP V -=∴ :'7:1QP PP =，又AQ QP =，∴ ':'15:1AP PP =．∴ 15A BCD V -=．同理1Q ACD V -=，1S ABC V -=，1R ABD V -=．∴88P ABC S ABC V V --==，22P CDA Q CDA V V --==，244P ABD Q ABD R ABD V V V ---===． ∴ :::8:1:2:4P ABC P BCD P CDA P ABD V V V V ----=．D三、解答题：13．设()12,,,2n P P P n ≥ 是1,2,,n 的任意一个排列．求证：1223211111112n n n nn P P P P P P P P n ----++++>+++++ ．证：记12232111111n n n n A P P P P P P P P ---⎛⎫=++++ ⎪++++⎝⎭ ，()()()12231n n B P P P P P P -=++++++ ．则()21A B n ⋅>-．（1223P P P P +≠+，故等号不成立）而()()21212212123n n B P P P P P n n n =+++--≤+++--=+-∴()()()222221111322n n n n A Bn n n n n ---->≥>=+-+-+． 14．一医生知道某种疾病患者的自然痊愈率为0.25，为实验一种新药是否有效，把它给10个病人服用．他事先决定，若这10个病人中至少有4个治好，则认为这种药有效，提高了痊愈率．否则认为无效．求（1）虽然新药有效，并把痊愈率提高到了0.35，但通过实验却被否定的概率；（2）新药完全无效，但通过实验却被判断为有效的概率．参考数据：解：设痊愈率为p ，恰好有k 个人痊愈的概率为k a ，0,1,2,,10k = ．则()10101kkk k a C p p -=-．（1）0.35p =，此时：01230.5138a a a a +++=．即新药有效，并把痊愈率提高到了0.35，但通过实验却被否定的概率为0.5138．（2）新药完全无效，∴0.25p =，此时：()012310.2241a a a a -+++=．15．设双曲线2222:1x y S a b-=，()00,M x y S ∉，且000x y ≠．()00,N x y λλ，其中2200221x y a b λ=-．过点N 的直线L 交双曲线S 于,A B 两点，过点B 作斜率为2020b x a y 的直线交双曲线S 于点C ．求证：,,A M C 三点共线．证：设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ．过点M 作斜率为2020b x a y 的直线m ，则直线m 的方程为 ()200020b x y y x x a y -=- ①设直线m 交NA 与点P 、交NC于点Q ，(),F F F x y 为BC 中点．由,B C S ∈得：2222221x y a b -=，2233221x y a b-=．两式相减后化简后可得：F F y y x x =．∴ F 在直线MN 上．从而M为PQ 中点．设直线L 的斜率为k ，则直线L 的方程为()00y y k x y λλ-=-②故12,x x 是方程()22002211x k x x y a bλλ--+=⎡⎤⎣⎦的两根．整理得： ()()22220000002222221210x k y x y k x x x x a b a b a b λλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-⋅-+--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭FPQDG将2200221x y a bλ=-代入上式，得：()()22000022221210x ky k x x x x a b a b λλλλ⎛⎫⎛⎫--+-⋅-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭将其视为关于()0x x λ-的一元二次方程．由韦达定理，有002210201121x ky x x x x a b λλλλ-⎛⎫+=- ⎪---⎝⎭③联立①②，消去y 得到0022011P ky x x x b a λλλ⎛⎫=-⎪--⎝⎭．比较③式得：01020211P x x x x x x λλλ=+---．从而211NP NA NB=+．下面利用平几知识证明,,A M C 三点共线．首先假设,,A M C 三点共线，来证明：211NP NA NB=+．过A 做直线AD ∥BC ，交NC 与D ．设G 为AD 中点．由于AD ∥BC ∥PQ ，∴ ,,AD BC PQ 的中点,,G F M 共线（过点N ）． ∴NA AG AG AM AP NP NA NB BF FC MC BP NB NP -=====-．整理即得：211NP NA NB=+．反之，用同一法可证明当211NP NA NB=+时,,A M C 三点共线．2005年江苏省数学奥林匹克夏令营竞赛(加试)试题参考答案一．锐角三角形ABC 的内切圆分别切,AB AC 边于点,D E ，,X Y 分别为ABC ∠和ACB ∠的平分线与DE 的交点，Z 为BC 边的中点．求证：当且仅当60A ∠=︒时，△XYZ 为正三角形．证：记△ABC 的内心为I ，由()(1118022ADE AED A ∠=∠=︒-∠=得,,,B I Y D 四点共圆．又ID AB ⊥，故BY CY ⊥．则ZY ZB ZC ==．同理ZX ZB ZC ==，故ZX ZY =．又ZY ZC =，∴ ZYC ZCY ACY ∠=∠=∠．从而 ZY ∥AC ．同理ZX ∥AB ． ∴当且仅当60A ∠=︒时，△XYZ 为正三角形．二．求与数列{}*2361,n n n n a n N =++-∈中每一项都互质的所有正整数．解：设质数3p >，由费马小定理得：()121mod p p -≡，()131mod p p -≡，()161mod p p -≡．记121p rp -=+，131p sp -=+，161p tp -=+，,,r s t Z ∈．则222211123611236p p p p rp sp tp a ----+++=++-=++-336r s tp ++=⋅ ∵ 2p a -为整数，而(),61p = ∴ 2|p p a -．又 424823a ==⨯，故没有质数与数列所有的项都互质．综上所述，与{}n a 中所有项都互质的正整数只有1．三．设12345678A A A A A A A A 为一凸八边形，其中任意三条对角线不共点．我们把任意两条对角线的交点（不包含顶点）称为“扣”，把以这个八边形的四个顶点为顶点的凸四边形称为“子四边形”．求满足以下性质的最小正整数n ：可以找到n 个“扣”，并将它们染色，使得对任意{},1,2,3,4,5,6,7,8i k ∈，i k ≠，(),s i k 为定值．其中，(),s i k 表示以i A 、k A 为其中两个顶点，且对角线交点是一个染色的“扣”的“子四边形”的个数．解：由题目条件，容易看出，任意四个顶点组和“子四边形”一一对应，所有“子四边形”的对角线交点又与所有的“扣”一致，所以我们可以用无序四元集()1234,,,i i i i （{}1,2,3,4,5,6,7,8j i ∈，1,2,3,4j =）来标记以1234,,,i i i i A A A A 为顶点的“子四边形”及其对角线交点对应的“扣”．则原问题要求的性质转化为：找出n 个四元集，使得任意二元组(),x y （x y ≠，{},1,2,3,4,5,6,7,8x y ∈）在其中出现的次数相同．每个染色的四元集中有24C 个二元组，所以()22481,2n C C s ⋅=⋅，即()3141,2n s =，故14|n ，从而14n ≥．下面给出14n =的满足要求的染色方法：14个染色的“扣”为：{}1,2,3,4，{}5,6,7,8，{}1,2,5,6，{}3,4,7,8，{}1,2,7,8，{}3,4,5,6，{}1,3,5,7，{}2,4,6,8，{}1,3,6,8，{}2,4,5,7，{}1,4,5,8，{}2,3,6,7，{}1,4,6,7，{}2,3,5,8．AA 4567。

2005年第4届中国女子数学奥林匹克(CGMO)试题(含答案)

2005年女子数学奥林匹克第一天2005年8月12日上午8∶00～12∶00 长春我们进行数学竞赛的目的，不仅仅是为了数学而数学，其着眼点还是因为它是一切科学的得力助手，因而提高数学，也为学好其他科学打好基础.——华罗庚1. 如图，设点P 在△ABC 的外接圆上，直线CP 和AC 相交于点E ，直线BP 和AC 相交于点F ,边AC 的垂直平分线交边AB 于点J ，边AB 的垂直平分线交边AC 于点K,求证：22BFCE =F··K AK JE AJ .2.求方程组的所有实数解.3.是否存在这样的凸多面体，它共有8个顶点，12条棱和6 个面，并且其中有4个面，每两个面都有公共棱？4.求出所有的正实数a ，使得存在正整数n 及n 个互不相交的无限集合1A ，2A ，…，n A 满足1A ∪2A ∪…∪n A =Z ，而且对于每个i A 中的任意两数b >c ，都有b -c ≥ia .⎪⎩⎪⎨⎧=++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1,11311215zx yz xy z z y y x x2005年女子数学奥林匹克第二天2005年8月13日上午8∶00～12∶00 长春数学竞赛，它对牢固基础知识、发展智力，培养拔尖人才，是一件具有战略意义的活动。

——华罗庚5.设正实数x ，y 满足3x +3y =x-y,求证：.1422＜y x +6.设正整数n ≥3，如果在平面上有n 个格点，，，⋯21P P n P 满足：当j i P P 为有理数时，存在k P ，使得k i P P 和k j P P 均为无理数;当j i P P 为无理数时，存在k P ,使得k i P P 和k j P P 均为有理数，那么称n 是“好数”. (1)求最小的好数； (2)问：2005是否为好数？7.设m ，n 是整数，m >n ≥2,S ={1,2,…,m },T ={1a ,2a …,n a }是S 的一个子集.已知T 中的任两个数都不能同时整除S 中的任何一个数，求证：.11121mn m a a a n++⋯++＜8.给定实数a ,b ,a >b >0,将长为a 宽为b 的矩形放入一个正方形内(包含边界)，问正方形的边至少为多长？【题1】证：如图，连接BK ，CJ.∠E =∠ABP —∠BPE ，而由A ，B ，P ，C 四点共圆，知∠BPE =∠A ，故 ∠E =ABP —∠A ，又由KA =KB ，知∠A =∠ABK,故 ∠E =∠ABP —∠ABK =∠KBF . ① 同理 ∠F =∠JCE . ② 由①，②得 △JEC ∽△KBF . 由此，,AK JE KB JE BF CE == ③ .KFAJ KFJC BFCE == ④将③，④两式的左端和右端分别相乘即得结论.【题2】解法一：①式可化为()()()22211311215zz yy xx +=+=+. ③显然x ，y ，z 同号.首先求正数解. 存在α，β，γ∈(0，π)，使得x =tan2α，y =tan2β，z =tan2γ，则sin α=212xx +, sin β=212yy +, sin γ=212zz +,③即13sin 12sin 5sin γβ==α. ④②式可化为xyy x z -+=11,即 2tan2cotβαγ+=.注意z ≠0,xy ≠1，因为α，β，γ∈(0，π)，所以222γπβα-=+,即 α+β+γ=π. 从而α，β，γ是某个三角形ABC 的三个内角.由④和正弦定理知，α,β,γ所对的边a ，b ，c 的比是5∶12∶13，所以，1sin 1312sin 135sin ===γβα，，.从而 x =tan2α=15或5， y =tan23322或=β， z =tan12=γ.将z =1代入②式，易知x 和y 均小于1.所以⎪⎭⎫ ⎝⎛13251，，是唯一正数解.故原方程组有两组解：⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛1325113251，，和，，. 解法二：显然x ，y ，z 同号. 由②得x =1yz y z-+，代入①得()()()()()()()()yz z y z y yz z y z y yz yz zy z y yz y y -+++=-+++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+111511.511511222222，即 5(z 2+1)y =12(y +z )(1-y z), 同理 5(y 2+1)z =13(y +z )(1-yz ). 整理得12y 2z +17yz 2=7y +12z , 18y 2z +13yz 2=13y +8z ,两式相加，得30yz (y +z )=20(y +z ),∴ yz =zy 32,32=,代入①解得z =±1.故原方程组有两组解：.1,32,511,32,51⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫⎝⎛和【题3】解：存在，如下图所示。

2005联赛答案

2005年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准一、选择题：(每题7分，共42分)1、化简：11459+302366402＋＋－－的结果是＿＿。

A 、无理数B 、真分数C 、奇数D 、偶数解：1111459+302366402450+24509350280016=++＋＋＋－－＋－－111175275214495045233524752752+====--++－＋＋＋＋－＋－所以选D2、圆内接四条边长顺次为5、10、11、14；则这个四边形的面积为＿＿。

A 、78.5 B 、97.5 C 、90 D 、102 解：由题意得：52＋142－2×5×14×cos α＝102＋112－2×10×11×cos(180°－α) ∴221－140cos α＝221＋220 cos α ∴cos α＝0 ∴α＝90°∴四边形的面积为：5×7＋5×11＝90 ∴选C3、设r ≥4，a ＝11rr+1－，b ＝11r r+1－，c ＝1r(r +r+1)，则下列各式一定成立的是＿＿。

A 、a>b>cB 、b>c>aC 、c>a>bD 、c>b>a 解法1：用特值法，取r=4，则有a=1114520=－，b ＝()252515525 1.03625102020--==≈－， c ＝()552152 1.18420204(2+5)--==≈∴c>b>a ，选D 解法2：a ＝()11111rr r r =++－， b ＝()()()11111111r r r r r r r r r r+-==+++++－ c ＝1r(r +r+1)5101114180︒-αα()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()4,11111111111111,111110111,:,Dr r r r r r rr r r r r rr r r r r r r r r r a br r r r r r rr rr r r r r r r r rrb c a b c≥∴+-+++⎡⎤=++-+-⎣⎦⎡⎤=+-+-->⎣⎦∴+>+++<+++-++=+++->∴+++>++<<< 故又故综上所述选　解法3：∵r ≥ 4 ∴111r r ++＜1∴111111111a b rr r r r r ⎛⎫⎛⎫=+-<-=⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭c ＝111111r r r r b r r r r r +-+->=-=++∴a<b<c ，选D4、图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成，如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，则这两圆的公共弦长是＿＿。

小学数学奥林匹克竞赛真题集锦及解答

小学数学奥林匹克竞赛真题集锦及解答小学数学奥林匹克竞赛真题集锦及解答一、填空题1三个连续偶数，中间这个数是m则相邻两个数分别是_m-2 和_m+2_ 02?有一种三位数，它能同时被2、3、7整除，这样的三位数中，最大的一个是_966 , 最小的一个是126 ___ o解题过程：2X 3X 7=42;求三位数中42的倍数126、168、 (966)3. 小丽发现：小表妹和读初三哥哥的岁数是互质数，积是144,小表妹和读初三哥哥的岁数分别是_____ 9 ___ 和_____ 16 ___ o解题过程：144=2X 2X 2X 2X 3X 3; (9、16) =14. 一个四位数，它的第一个数字等于这个数中数字0的个数，第二个数字表示这个数中数字1的个数，第三个数字表示这个数中数字2的个数，第四个数字等于这个数中数字3的个数，那么这个四位数是1210 o5. 2310的所有约数的和是6912 o解题过程：2310=2X 3X 5X 7X 11；约数和=(1+2)X( 1+3)X( 1+5)X( 1+7)X( 1+11)6. 已知2008被一些自然数去除，得到的余数都是10,这些自然数共有_____ 11 __ 个。

3解题过程：2008-10=1998; 1998=2X 3 X 37;约数个数=(1+1)X( 1+3)X( 1+1) =16(个)其中小于10的约数共有1，2，3，6，9; 16-5=11 (个)7. 从1、2、3、…、1998、1999这些自然数中，最多可以取多少个数，才能使其中每两个数的差不等于4? _ 1000 _。

解题过程：1，5，9，13，……1997 (500个) 隔1个取1个，共取250个2 ，6，10，14，……1998 (500个)隔1个取1个，共取250个3 ，7，11，15，……1999 (500个)隔1个取1个，共取250个4 ，8，12，16，……1996 (499个)隔1个取1个，共取250个8. 黑板上写有从1开始的若干个连续的奇数：1，3，5，7，9，11，13-擦去其中的一个奇数以后，剩下的所有奇数之和为1998,那么擦去的奇数是_______ 27 ___ o2解题过程：1+3+5+??…+ ( 2n-1) =n ; 45X 45=2025; 2025-1998=279?一个1994位的整数，各个数位上的数字都是3。

2004-2012历届北方数学奥林匹克试题PDF(无答案)

目录2005年北方数学奥林匹克 (2)2006年北方数学奥林匹克 (4)2007年北方数学奥林匹克 (6)2008年北方数学奥林匹克 (7)2009年北方数学奥林匹克 (10)2010年北方数学奥林匹克 (13)2011年北方数学奥林匹克 (15)2012年北方数学奥林匹克 (17)2005年北方数学奥林匹克1.AB是⊙O的一条弦，它的中点为M，过点M作一条非直径的弦CD，过点C和D作⊙O的两条切线，分别与直线AB相交于P、Q两点.求证：P A=QB.（裘宗沪供题）2.定义在R上的函数f(x)满足：（1）f(0)=0;（2）对任意xx∈(−∞,−1)∪(1,+∞)，都有f�1x�+f�1y�=f(x+y1+xy)；（3）当x∈(−1,0)时，都有f(x)>0.求证：f�119�+f�129�+⋯+ f�1n2+7n+11�>f(12)，其中n∈N+. （刘贵谭祖春供题）3.在公差为d(d>0)的整数等差数列a1,a2,⋯,a3n(n≥2)中，任取n+2个数.证明：其中必存在两个数a i、a j(i≠j)，满足不等式1<�a i−a j�nn<2. （刘康宁安振平供题）4.已知n位数的各位数字只能取集合{1,2,3,4,5}中的元素，设含有数字5且在5的前面不含3的n位数的个数为f(n).求f(n).（蒋西明供题）5.如果三个正实数x、y、z满足x2+xx+x2=254，x2+xy+y2=36，y2+yx+x2=1694.求xx+xy+yx的值. （张同君供题）6.设0≤α、β、γ≤π2，ccc2α+ccc2β+ccc2γ=1.求证：2≤（1+ccc2α）2cin4α+（1+ccc2β）2cin4β+（1+ccc2γ）2cin4γ≤(1+ccc2α)(1+ccc2β)(1+ccc2γ)（谭祖春供题）2006年北方数学奥林匹克1. 如图1，AB 为⊙O 的直径，非直径的弦CC ⊥AA ，E 是OC 的中点，连结AE 并延长交⊙O 于点P ，连结DP 交BC 于点F .求证：F 是BC 的中点.图12. 设p 是大于2的质数，数列{a n }满足na n+1=(n +1)a n −(p 2)4.求证：当a 1=5时，16|a 81. 3. 已知AD 是△ABC 的边BC 上的高，且AC +AC =AA +AC .求∠A 的取值范围.4. 设函数f (x )=x 2+ax +b (a 、b ∈R ).若存在实数m ，使得|f (m )|≤14，且|f (m +1)|≤14，求Δ=a 2−4b 的最大值和最小值.5. 已知正数a 、b 、c 满足a +b +c =3.求证：a 2+92a +(b+c )+b 2+92b +(c+a )+c 2+92c 2+(a+b )2≤5. 6. 组委会说明试题有误.7. 是否可以将正整数1,2,⋯,64分别填入8×8的64个方格，使得凡具备“”形的四个方格（方向课以任意转置）内的数之和都能被5整除？8. 已知数列{a n }满足a k+1=a k +12006a k 2，a 0=12，k ∈N .求证：A1−12008<a2006<1.1.在锐角△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高.以AB为直径作圆交CE于M，在BD上取点N是AN=AM.证明：AN⊥CN.2.设△ABC三边长分别为a、b、c，且a+b+c=3.求f(a,b,c)=a2+ b2+c2+43abc的最小值.3.在数列{a n}中，a n+1=a n2a n+1(n∈N).求证：当0≤n≤1004时，有[a n]=2007−n（其中[x]表示不超过x的最大整数）.4.平面上每个点被染为n中颜色之一，同时满足：（1）每种颜色的点都有无穷多个，且不全在同一条直线上；（2）至少有一条直线上所有的点恰为两种颜色.求n的最小值，使得存在互不同色的4个点共圆.5.设α,β∈(0,π2)，求A=(1−�tanα2tanβ2)2cctα+cctβ的最大值.6.已知f(x)=ll(x+1)−12lcl3x.（1）解方程f(x)=0；（2）求集合M={n|f(n2−214n−1998)≥0,n∈Z}.7.设n是正整数，a=�√n�（其中[x]表示不超过x的最大整数），求同时满足下列条件的n的最大值：（1）n不是完全平方数；（2）a3|n28.设△ABC的内切圆半径为1，三边长AC=a，CA=b，AA=c.若a、b、c都是整数，求证：△AAC为直角三角形.1. 如图1，⊙O 是梯形ABCD 的内切圆，切点分别为E 、F 、G 、H ，AB ∥CD .作BP ∥AD 交DC 的延长线于点P ，AO 的延长线交CP 于点Q .若AD =AD ，求证：∠CAQ =∠PAQ .图1 （张利民供题）2. 已知∠A 、∠A 、∠C 是△AAC 的三个内角.证明：tan A 2+tan B 2+tan C 2√3≥�tan 2A 2+tan 2A 2+tan 2C 26 （张雷供题）3. 给定三角形数表如图2：1 2 3 4 ⋯ 97 98 99 100 3 5 7 ⋯ 195 197 199 8 12 ⋯ 392 396 20 ⋯ 788 ⋱ ⋯ ⋰ ⋱ ⋰ M图2其中，第一行各数依次是1,2,⋯,100，从第二行起，每个数分别等于它上面一行左、右两数的和.求M 的值.（焦和平供题）4.证明：（1）存在无穷个正整数n，使n2+1的最大质因子小于n；（2）存在无穷个正整数n，使n2+1|n!. （张雷供题）5.如图3，已知□ABCD，过A、B、C三点的⊙O1分别交AD、BD 于点E、F，过C、D、F三点的⊙O2交AD于点G，设⊙O1、⊙O2R222.的半径分别为R1、R2.求证：AG图3（吕建恒刘康宁供题）6.设a、b、c为直角三角形的三边长，其中，c为斜边长.求使得a3+b3+c3abc≥k成立的k的最大值.（李铁汉供题）7.设n是正整数，整数a是方程x4+3ax2+2ax−2×3n=0的根.求所有满足条件的数对(n,a).（李铁汉供题）8.给定由n(n+1)2个点组成的正三角形点阵（如图4），记以点阵中三个点为顶点的所有正三角形的个数为f(n)，求f(n)的表达式.图4（张利民供题）2009年北方数学奥林匹克1. 设数列{x n }满足x 1=1，x n =�x n−12+x n−1+x n−1(n ≥2).求数列{x n }的通项公式. （张雷供题）2. 如图1，在锐角△ABC 中，已知AA >AC ，cccA +cccC =1，E 、F 分别是AB 、AC 延长线上的点，且满足∠AAF =∠ACD =90°.（1）求证：AD +CF =DF ；（2）设∠DAC 的平分线与EF 交于点P ，求证：CP 平分∠ACF .图1（刘康宁吕建恒徐庆金供题）3. 已知有26个互不相等的正整数，其中任意六个数中都至少有两个数，一个数整除另一个数.证明：一定存在六个数，其中一个数能被另外五个数整除.（张同君供题）4. 船长和三位水手共得到2009枚面值相同的金币.四人商定按照如下规则对金币进行分配：水手1、水手2、水手3每人写下一个正整E数分别为b 1、b 2、b 3，满足b 1≥b 2≥b 3，且b 1+b 2+b 3=2009；船长在不知道水手写的数的情况下，将2009枚金币分成3堆，各堆数量分别为a 1、a 2、a 3，且a 1≥a 2≥a 3.对于水手k (k =1,2,3)，当b k <a k 时，可以从第k 堆拿走b k 枚金币，否则不能拿.最后所有余下的金币归船长所有.若无论三位水手怎样写数，船长总可以确保自己拿到n 枚金币.试确定n 的最大值，并证明你的结论. （张利供题）5. 如图2，在给定的扇形AOB 中，圆心角为锐角.在弧AB 上取异于A 、B 的一点C ，在线段OC 上取一点P ，连结AP ，过点B 作直线BQ ∥AP 交射线OC 于点Q .证明：封闭图形OAQPBO 的面积与点C 、P 的选取无关.图2 （徐庆金供题）6. 设x 、y 、z >0，且x 2+x 2+y 2=3，求证：∑x 2009−2008(x−1)y+z ≥12(x +x +y ). （杨海滨贾应红供题）7. 记[m ]为不超过实数m 的最大整数.设x 、y 均为正实数，且对所有的正整数n ，都有[x [nx ]]=n −1成立.证明xy =1，且y 是大于1的无O理数.（刘康宁供题）8.求能被209整除且各位数字之和等于209的最小正整数.（张雷供题）2010年北方数学奥林匹克1.已知数列{a n}满足a1=2，a n=22n a n−1+2n2n(n=2,3,⋯).求通项a n(n=1,2,⋯). （吴树勋供题）2.已知PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，PCD是⊙O的一条割线，过点C作PA的平行线，分别交弦AB、AD于点E、F.求证：CD=DF.（李新焕供题）3.求所有的正整数(x,x,y)，使得1+2x×3y=5z成立.（张雷供题）4.在7×7的方格表的64个网格线交点（称为“结点”）处放棋子，每点至多放1枚，一共放了k枚棋子.若无论怎样放，总存在4枚棋子，它们所在的结点构成一个矩形（矩形的边平行于棋盘网格线）的四个顶点.试求k的最小值.（张利民供题）5.设正实数a、b、c满足(a+2b)(b+2c)=9.求证：�a2+b22+2�b3+c323≥3.（张雷供题）6.已知⊙O是△ABC的内切圆，D、E、N是切点，连结NO并延长交DE于点K，连结AK并延长交BC于点M.求证：M是BD的中点.（康春波供题）7.求[x,x,y]=(x,x)+(x,y)+(y,x)满足x≤x≤y,(x,x,y)=1的所以正整数解，其中，[m,n]和(m,n)分别表示正整数m、n的最小公倍数和最大公约数.（王全供题）8.设x、x、y∈[0,1]，且|x−x|≤12，|x−y|≤12，|y−x|≤12.试求W=x+x+y−xx−xy−yx的最小值和最大值.（刘康宁安振平供题）2011年北方数学奥林匹克1.已知数列{a n}的通项a n=(√3+√2)2n(n∈N+)，设b n=a n+1a n. （1）试求b n+2、b n+1、b n之间的递推关系；（2）求a2011整数部分的个位数字.（刘洪柱供题）2.如图1，△ABC的内切圆分别切BC、CA、AB、于点D、E、F，P 为内切圆内一点，线段PA、PB、PC分别于内切圆交于点X、Y、Z.证明：XD、YE、ZF三线共点.图1（徐庆金供题）3.求不定方程1+2x×7y=y2的全部正整数解(x,x,y). （翁世有供题）4.设n个集合A1,A2,⋯,A n是集合A={1,2,⋯,29}的一个分划，且A i(i=1,2,⋯,n)中任意个元素之和都不等于30.求n的最小可能值. 【注】若集合A的非空子集A1,A2,⋯,A n(n∈N+,n≥2)满足A i∩A j=∅(i≠j)，A1∪A2∪⋯∪A n=A，则称A1,A2,⋯,A n是集合A的一个分划.（张雷供题）5. 若正整数a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则称(a ,b ,c )为勾股数组.求含有30的所有勾股数组. （杨春宏供题）6. 如图2，过点P 引的切线P A 和割线PBC ，AC ⊥PP ，垂足为D .证明：AC 是△ABD 外接圆的切线.图2（吕建恒供题） 7. 在△ABC 中，证明：11+ccs 2A+ccs 2A +11+ccs 2A+ccs 2C +11+ccs 2C+ccs 2A ≤2.（安振平供题） 8. 已知n 是正整数，实数x 满足�1−|2−⋯|(n −1)−|n −x ||⋯|�=x .求x 的值. （张利民供题）P2012年北方数学奥林匹克1.如图1，在△ABC中，∠C=90°，I是内心.直线BI交AC于D，作DE平行于AI交BC于E，直线EI交AB于F.证明：DF垂直于AI.图12.正整数x1,x2,⋯,x n(n∈ℕ+)，满足x12+x22+⋯+x n2=111，求S=x1+x2+⋯+x n n的最大可能值.3.设S={x|x=a2+ab+b2,a,b∈ℤ}.求证：(1)若m∈S,3|m，则3m∈S；(2)若m,n∈S，则m⋅n∈S.4.平面上有n(n≥4)条直线，对于直线a，b，在余下的n-2条直线中，如果至少存在两条直线与直线a，b都相交，则称直线a，b是相合的直线对，否则称其是相离的直线对.若n条直线中相合直线对的个数比相离直线对的个数多2012.求n的最小可能值（直线对中的两条直线不计顺序）.5.已知数列{a n}:a0=0,a n=1a n−1−2,n∈ℕ+，在数列{a n}中任意取定一项a k，构造数列{b n}:b0=a k,b n=2b n−1+1b n−1,n∈ℕ+.试判断数列{b n}是有限数列还是无穷数列？并给出证明.6.设n是正整数，证明�1+13��1+13�⋯�1+13�<2.7.如图2在五边形ABCDE中，BC=DE，CD平行于BE，AB>AE，AA AA，求证：AC平分线段BE.若∠AAC=∠CAD，且图28.设p是奇素数，如果存在正整数a使p!|a p+1，证明：(1)�a+1,a p+1a+1�=p.(2)a p+1a+1没有小于ｐ的素因子.p!|a+1.。

中国数学奥林匹克(CMO)历届试题及解答(1986-2005)

过P2 作平行于BC 的直线
EP2 P3 . ABC .证毕.
DP2 P3 ,也就不大于S
5.能否把1,1,2,2,. . . ,1986,1986这些数排成一行, 使得两个1之间夹着1个数,两个2之间夹着2个数,. . . , 两个1986之间夹着1986个数.请证明你的结论. 解:不能.假设可以做出这样的排列,将已排好的数按顺序编号为1,2,. . . ,3972. 当n为奇数时,两个n的编号奇偶性相同;当n为偶数时,两个n的编号奇偶性不同. 而1到1986之间有993个偶数,所以一共有2k + 993个编号为偶数的数.(k ∈ N∗ ) 但是1到3972之间有1986个偶数,k = 496.5.矛盾.所以不能按要求排成这样一行. √ 6.用任意的方式,给平面上的每一点染上黑色或白色. 求证:一定存在一个边长为1或 3的正三角形,它的
3
第二届中国数学奥林匹克(1987年)
北京北京大学
1.设n为自然数,求证方程z n+1 − z n − 1 = 0有模为1的复根的充分必要条件是 n + 2可被6整除. 证明:当6|n + 2时,令z = ei 3 = ∴ z n+1 − z n − 1 = e ∴z
n+1 n −i π 3
π
1 2
2 2 a1 x2 1 + a2 x2 + · · · + an xn ; 2 2 a1 x2 1 + a2 x2 + · · · + an xn
0(i = 1, 2, . . . , n),则显然有a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn 0, ai −a1 > 0(i = 2, 3, . . . , n). ∴

历届北方数学奥林匹克试题

目录2005年北方数学奥林匹克 (2)2006年北方数学奥林匹克 (4)2007年北方数学奥林匹克 (6)2008年北方数学奥林匹克 (7)2009年北方数学奥林匹克 (10)2010年北方数学奥林匹克 (13)2011年北方数学奥林匹克 (15)2012年北方数学奥林匹克 (17)2005年北方数学奥林匹克1.AB是⊙O的一条弦，它的中点为M，过点M作一条非直径的弦CD，过点C和D作⊙O的两条切线，分别与直线AB相交于P、Q两点.求证：P A=QB.（裘宗沪供题）2.定义在R上的函数f(x)满足：（1）f(0)=0;（2）对任意xx∈(−∞,−1)∪(1,+∞)，都有f�1x�+f�1y�=f(x+y1+xy)；（3）当x∈(−1,0)时，都有f(x)>0.求证：f�119�+f�129�+⋯+ f�1n2+7n+11�>f(12)，其中n∈N+. （刘贵谭祖春供题）3.在公差为d(d>0)的整数等差数列a1,a2,⋯,a3n(n≥2)中，任取n+2个数.证明：其中必存在两个数a i、a j(i≠j)，满足不等式1<�a i−a j�nn<2. （刘康宁安振平供题）4.已知n位数的各位数字只能取集合{1,2,3,4,5}中的元素，设含有数字5且在5的前面不含3的n位数的个数为f(n).求f(n).（蒋西明供题）5.如果三个正实数x、y、z满足x2+xx+x2=254，x2+xy+y2=36，y2+yx+x2=1694.求xx+xy+yx的值. （张同君供题）6.设0≤α、β、γ≤π2，ccc2α+ccc2β+ccc2γ=1.求证：2≤（1+ccc2α）2cin4α+（1+ccc2β）2cin4β+（1+ccc2γ）2cin4γ≤(1+ccc2α)(1+ccc2β)(1+ccc2γ)（谭祖春供题）2006年北方数学奥林匹克1. 如图1，AB 为⊙O 的直径，非直径的弦CC ⊥AA ，E 是OC 的中点，连结AE 并延长交⊙O 于点P ，连结DP 交BC 于点F .求证：F 是BC 的中点.图12. 设p 是大于2的质数，数列{a n }满足na n+1=(n +1)a n −(p 2)4.求证：当a 1=5时，16|a 81. 3. 已知AD 是△ABC 的边BC 上的高，且AC +AC =AA +AC .求∠A 的取值范围.4. 设函数f (x )=x 2+ax +b (a 、b ∈R ).若存在实数m ，使得|f (m )|≤14，且|f (m +1)|≤14，求Δ=a 2−4b 的最大值和最小值.5. 已知正数a 、b 、c 满足a +b +c =3.求证：a 2+92a +(b+c )+b 2+92b +(c+a )+c 2+92c 2+(a+b )2≤5. 6. 组委会说明试题有误.7. 是否可以将正整数1,2,⋯,64分别填入8×8的64个方格，使得凡具备“”形的四个方格（方向课以任意转置）内的数之和都能被5整除？8. 已知数列{a n }满足a k+1=a k +12006a k 2，a 0=12，k ∈N .求证：A1−12008<a2006<1.1.在锐角△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高.以AB为直径作圆交CE于M，在BD上取点N是AN=AM.证明：AN⊥CN.2.设△ABC三边长分别为a、b、c，且a+b+c=3.求f(a,b,c)=a2+ b2+c2+43abc的最小值.3.在数列{a n}中，a n+1=a n2a n+1(n∈N).求证：当0≤n≤1004时，有[a n]=2007−n（其中[x]表示不超过x的最大整数）.4.平面上每个点被染为n中颜色之一，同时满足：（1）每种颜色的点都有无穷多个，且不全在同一条直线上；（2）至少有一条直线上所有的点恰为两种颜色.求n的最小值，使得存在互不同色的4个点共圆.5.设α,β∈(0,π2)，求A=(1−�tanα2tanβ2)2cctα+cctβ的最大值.6.已知f(x)=ll(x+1)−12lcl3x.（1）解方程f(x)=0；（2）求集合M={n|f(n2−214n−1998)≥0,n∈Z}.7.设n是正整数，a=�√n�（其中[x]表示不超过x的最大整数），求同时满足下列条件的n的最大值：（1）n不是完全平方数；（2）a3|n28.设△ABC的内切圆半径为1，三边长AC=a，CA=b，AA=c.若a、b、c都是整数，求证：△AAC为直角三角形.1. 如图1，⊙O 是梯形ABCD 的内切圆，切点分别为E 、F 、G 、H ，AB ∥CD .作BP ∥AD 交DC 的延长线于点P ，AO 的延长线交CP 于点Q .若AD =AD ，求证：∠CAQ =∠PAQ .图1 （张利民供题）2. 已知∠A 、∠A 、∠C 是△AAC 的三个内角.证明：tan A 2+tan B 2+tan C 2√3≥�tan 2A 2+tan 2A 2+tan 2C 26 （张雷供题）3. 给定三角形数表如图2：1 2 3 4 ⋯ 97 98 99 100 3 5 7 ⋯ 195 197 199 8 12 ⋯ 392 396 20 ⋯ 788 ⋱ ⋯ ⋰ ⋱ ⋰ M图2其中，第一行各数依次是1,2,⋯,100，从第二行起，每个数分别等于它上面一行左、右两数的和.求M 的值.（焦和平供题）4.证明：（1）存在无穷个正整数n，使n2+1的最大质因子小于n；（2）存在无穷个正整数n，使n2+1|n!. （张雷供题）5.如图3，已知□ABCD，过A、B、C三点的⊙O1分别交AD、BD 于点E、F，过C、D、F三点的⊙O2交AD于点G，设⊙O1、⊙O2R222.的半径分别为R1、R2.求证：AG图3（吕建恒刘康宁供题）6.设a、b、c为直角三角形的三边长，其中，c为斜边长.求使得a3+b3+c3abc≥k成立的k的最大值.（李铁汉供题）7.设n是正整数，整数a是方程x4+3ax2+2ax−2×3n=0的根.求所有满足条件的数对(n,a).（李铁汉供题）8.给定由n(n+1)2个点组成的正三角形点阵（如图4），记以点阵中三个点为顶点的所有正三角形的个数为f(n)，求f(n)的表达式.图4（张利民供题）2009年北方数学奥林匹克1. 设数列{x n }满足x 1=1，x n =�x n−12+x n−1+x n−1(n ≥2).求数列{x n }的通项公式. （张雷供题）2. 如图1，在锐角△ABC 中，已知AA >AC ，cccA +cccC =1，E 、F 分别是AB 、AC 延长线上的点，且满足∠AAF =∠ACD =90°.（1）求证：AD +CF =DF ；（2）设∠DAC 的平分线与EF 交于点P ，求证：CP 平分∠ACF .图1（刘康宁吕建恒徐庆金供题）3. 已知有26个互不相等的正整数，其中任意六个数中都至少有两个数，一个数整除另一个数.证明：一定存在六个数，其中一个数能被另外五个数整除.（张同君供题）4. 船长和三位水手共得到2009枚面值相同的金币.四人商定按照如下规则对金币进行分配：水手1、水手2、水手3每人写下一个正整E数分别为b 1、b 2、b 3，满足b 1≥b 2≥b 3，且b 1+b 2+b 3=2009；船长在不知道水手写的数的情况下，将2009枚金币分成3堆，各堆数量分别为a 1、a 2、a 3，且a 1≥a 2≥a 3.对于水手k (k =1,2,3)，当b k <a k 时，可以从第k 堆拿走b k 枚金币，否则不能拿.最后所有余下的金币归船长所有.若无论三位水手怎样写数，船长总可以确保自己拿到n 枚金币.试确定n 的最大值，并证明你的结论. （张利供题）5. 如图2，在给定的扇形AOB 中，圆心角为锐角.在弧AB 上取异于A 、B 的一点C ，在线段OC 上取一点P ，连结AP ，过点B 作直线BQ ∥AP 交射线OC 于点Q .证明：封闭图形OAQPBO 的面积与点C 、P 的选取无关.图2 （徐庆金供题）6. 设x 、y 、z >0，且x 2+x 2+y 2=3，求证：∑x 2009−2008(x−1)y+z ≥12(x +x +y ). （杨海滨贾应红供题）7. 记[m ]为不超过实数m 的最大整数.设x 、y 均为正实数，且对所有的正整数n ，都有[x [nx ]]=n −1成立.证明xy =1，且y 是大于1的无O理数.（刘康宁供题）8.求能被209整除且各位数字之和等于209的最小正整数.（张雷供题）2010年北方数学奥林匹克1.已知数列{a n}满足a1=2，a n=22n a n−1+2n2n(n=2,3,⋯).求通项a n(n=1,2,⋯). （吴树勋供题）2.已知PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，PCD是⊙O的一条割线，过点C作PA的平行线，分别交弦AB、AD于点E、F.求证：CD=DF.（李新焕供题）3.求所有的正整数(x,x,y)，使得1+2x×3y=5z成立.（张雷供题）4.在7×7的方格表的64个网格线交点（称为“结点”）处放棋子，每点至多放1枚，一共放了k枚棋子.若无论怎样放，总存在4枚棋子，它们所在的结点构成一个矩形（矩形的边平行于棋盘网格线）的四个顶点.试求k的最小值.（张利民供题）5.设正实数a、b、c满足(a+2b)(b+2c)=9.求证：�a2+b22+2�b3+c323≥3.（张雷供题）6.已知⊙O是△ABC的内切圆，D、E、N是切点，连结NO并延长交DE于点K，连结AK并延长交BC于点M.求证：M是BD的中点.（康春波供题）7.求[x,x,y]=(x,x)+(x,y)+(y,x)满足x≤x≤y,(x,x,y)=1的所以正整数解，其中，[m,n]和(m,n)分别表示正整数m、n的最小公倍数和最大公约数.（王全供题）8.设x、x、y∈[0,1]，且|x−x|≤12，|x−y|≤12，|y−x|≤12.试求W=x+x+y−xx−xy−yx的最小值和最大值.（刘康宁安振平供题）2011年北方数学奥林匹克1.已知数列{a n}的通项a n=(√3+√2)2n(n∈N+)，设b n=a n+1a n. （1）试求b n+2、b n+1、b n之间的递推关系；（2）求a2011整数部分的个位数字.（刘洪柱供题）2.如图1，△ABC的内切圆分别切BC、CA、AB、于点D、E、F，P 为内切圆内一点，线段PA、PB、PC分别于内切圆交于点X、Y、Z.证明：XD、YE、ZF三线共点.图1（徐庆金供题）3.求不定方程1+2x×7y=y2的全部正整数解(x,x,y). （翁世有供题）4.设n个集合A1,A2,⋯,A n是集合A={1,2,⋯,29}的一个分划，且A i(i=1,2,⋯,n)中任意个元素之和都不等于30.求n的最小可能值. 【注】若集合A的非空子集A1,A2,⋯,A n(n∈N+,n≥2)满足A i∩A j=∅(i≠j)，A1∪A2∪⋯∪A n=A，则称A1,A2,⋯,A n是集合A的一个分划.（张雷供题）5. 若正整数a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则称(a ,b ,c )为勾股数组.求含有30的所有勾股数组. （杨春宏供题）6. 如图2，过点P 引的切线P A 和割线PBC ，AC ⊥PP ，垂足为D .证明：AC 是△ABD 外接圆的切线.图2（吕建恒供题） 7. 在△ABC 中，证明：11+ccs 2A+ccs 2A +11+ccs 2A+ccs 2C +11+ccs 2C+ccs 2A ≤2.（安振平供题） 8. 已知n 是正整数，实数x 满足�1−|2−⋯|(n −1)−|n −x ||⋯|�=x .求x 的值. （张利民供题）P2012年北方数学奥林匹克1.如图1，在△ABC中，∠C=90°，I是内心.直线BI交AC于D，作DE平行于AI交BC于E，直线EI交AB于F.证明：DF垂直于AI.图12.正整数x1,x2,⋯,x n(n∈ℕ+)，满足x12+x22+⋯+x n2=111，求S=x1+x2+⋯+x n n的最大可能值.3.设S={x|x=a2+ab+b2,a,b∈ℤ}.求证：(1)若m∈S,3|m，则3m∈S；(2)若m,n∈S，则m⋅n∈S.4.平面上有n(n≥4)条直线，对于直线a，b，在余下的n-2条直线中，如果至少存在两条直线与直线a，b都相交，则称直线a，b是相合的直线对，否则称其是相离的直线对.若n条直线中相合直线对的个数比相离直线对的个数多2012.求n的最小可能值（直线对中的两条直线不计顺序）.5.已知数列{a n}:a0=0,a n=1a n−1−2,n∈ℕ+，在数列{a n}中任意取定一项a k，构造数列{b n}:b0=a k,b n=2b n−1+1b n−1,n∈ℕ+.试判断数列{b n}是有限数列还是无穷数列？并给出证明.6.设n是正整数，证明�1+13��1+13�⋯�1+13�<2.7.如图2在五边形ABCDE中，BC=DE，CD平行于BE，AB>AE，AA AA，求证：AC平分线段BE.若∠AAC=∠CAD，且图28.设p是奇素数，如果存在正整数a使p!|a p+1，证明：(1)�a+1,a p+1a+1�=p.(2)a p+1a+1没有小于ｐ的素因子.p!|a+1.。

2005-2013年第1-9届北方数学奥林匹克数学试题及解答

1 2
.
故原不等式成立 . 三、在取出的 n + 2 个数中 , 设 al 为最大 , 则
al ≤a3 n . 把每个数都加上 a3 n - al ,这样处理后不改
变任何两数差的绝对值 . 从而 , 总可以认为取出的
n + 2个数中包括 a3 n ,记 al = a3 n .
(1 ) 若取出的 n + 2 个数中 , 除 a3 n 外 , 还有
23 (2) 若取出的 n + 2 个数中 ,不含 an + 1 , an + 2 , …,
a2 n - 1 这 n - 1 个数中的任何一个数 . 把这些数及 a3 n
又 ( 1 + x 1 ) ( 1 - x 2 ) > 0 Ζ x1 - x 2 > x1 x 2 - 1 Ζ - 1 < x2 - x1 < 0. x 1 x2 - 1 由 (3) 得 f
| ai 平供题)
第二天
四、已知 n 位数的各位数字只能取集合 {1 ,2 ,3 ,4 ,5} 中的元素 , 设含有数字 5 且在 5 的前面不含 3 的 n 位数的个数为 f ( n ) . 求 ( 蒋西明 f ( n) . 供题) 五、如果三个正实数 x 、 y、 z 满足 25 2 2 2 2 x + xy + y = , y + yz + z = 36 , 4
2 2 2 = ( ab + bc + ca) ( a + b + c )
①
② 因为 u ≥ 0,v ≥ 0 , 所以 , 式 ② 的左边显然成立 , π β、 γ 中两个取、且仅当 u = v = 0 , 即 α、一个取 0 2 时等号成立 .

历届中国数学奥林匹克(全国中学生数学冬令营)试题解答

P4,C移至
P3,三角形
ABC的
2
面积减小
,归为情形
(2).
(2)不妨设
P1在AB上,P2在AC上,P3;P4在BC上,P3在P4C上.
(2.1)若P1P2
.
BC,设
AP1
=
AP2
=
.,P1P2
=
.BC.P1P2到BC的距离为
=
|
.
xk
+i
.
yk|
.
.
xk
.
√
.
42
42
zk2Azk2Azk2Azk2Azk2A
√
而42
<
6,
∴
|
.
zk|
.
1
6
.
zk2A
即A中复数之和的模不小于
1
6
.证毕
.
+
￠￠·
+
anxn
.
a1x1
2
+
a2x2
2
+
￠￠·
+
anxn
2
;
(2)否则至少存在一个
ai
<
0,由对称性不妨设
a1
<
0.又因为
a1;a2;:::;an中任两数之和非负
,所
以ai
+
a1
.
0;ai
=
|
.
xk
+i
.

各届CMO(中国数学奥林匹克)答案

√ sin ∠F AE FE AD 由正弦定理 sin AE 2 − AD2 = 5, ∠DAE = DE × AF .其中DE = √ √ F E = F D − DE = AF 2 − AD2 − DE = m2 − 122 − 5 > 0. ∴ m > 13, 且∠A为锐角等价于 ∠A为直角等价于 ∠A为钝角等价于解得当13 < m < 当m = 当m >
zk ∈A
|yk |,则将zk 放入X中;若|yk | 0,则将zk 放入A中;若xk
1 4.
|xk |,则将zk 放入Y中. 其中必有一组中 0,则将zk 放入B中. 其中必有一组中的
所有复数模长之和不小于 1 2 .不妨设为X.
1 所有复数摸长之和不小于 4 .不妨设为A.
|zk |
而对于zk ∈ ∴ xk
中国数学奥林匹克 (CMO) 历届试题及解答
1986-2005
第一届中国数学奥林匹克(1986年)
天津南开大学
1.已知 a1 , a2 , . . . , an 为实数, 如果它们中任意两数之和非负,那么对于满足 x1 + x2 + · · · + xn = 1 的任意非负实数 x1 , x2 , . . . , xn , 有不等式 a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn 成立.请证明上述命题及其逆命题. 证明:原命题的证明:由0 (1)若ai 以ai + a1 xi 1, xi − x2 i 0, xi x2 i (i = 1, 2, . . . , n).
+
√
3 6 2 i, z
= 1, |z | = 1.