2005-2013年第1-9届北方数学奥林匹克数学试题及解答

a + b + c =1 - 2u , a + b + c = 2 u - 4 u + 4 v + 1.
4 4 4 2 2 2 2
2. 在 △ABC 中 , AB = 6 + 2 , ∠ACB =
另一方面 ,式 ② 右边的不等式等价于 2 u - 2u ≥ 3 v. 因 u - 2 u2 = u (1 - 2 u)
(B) {1 ,3} ( C) {4} (D) {2 ,5} 2. 已知 a 、 b 都是整数 . 命题甲 : a + b 不 是偶数 , 则 a 、 b 都不是偶数 ; 命题乙 : a + b ). 不是偶数 ,则 a 、 b 不都是偶数 . 则 ( (A) 甲真 ,乙假 (B) 甲假 ,乙真 ( C) 甲真 ,乙真 (D) 甲假 ,乙假 3. 若 c 、 d 是不共线的两个非零平面向 量 ,则下面给出的四组 a 、 b 中 , 不共线的一 ). 组是 ( (A) a = - 2 ( c + d) , b = 2 ( c + d) (B) a = c - d , b = - 2 c + 2 d
在 l 上与点 A 距离最近的整点是
若存在常数 c , 对于任意的 x1 ∈[ a , b ] 有唯
六、 设 a = cos2α, b = cos2β, c = cos2γ ,则 0 ≤a 、 b、 c≤ 1 ,且 a + b + c = 1. 从而 ,原不等式等价于 4 4 4 2 2 2 0 ≤a + b + c - 2 ( a + b + c ) + 1 ≤ab + bc + ca + abc . 令 ab + bc + ca = u , abc = v ,则
23 (2) 若取出的 n + 2 个数中 ,不含 an + 1 , an + 2 , …,
a2 n - 1 这 n - 1 个数中的任何一个数 . 把这些数及 a3 n
又 ( 1 + x 1 ) ( 1 - x 2 ) > 0 Ζ x1 - x 2 > x1 x 2 - 1 Ζ - 1 < x2 - x1 < 0. x 1 x2 - 1 由 (3) 得 f
x2 - x1 x1 x2 - 1
> 0 ,则 f ( x1 ) > f ( x2 ) .
之外的 2 n 个数组成的集合划分成 n 个子集 : { a1 , a2 n } ,{ a2 , a2 n + 1 } , …,{ an , a3 n - 1 } , 这些子集中任何一个子集中的两个数都满足题设不 等式 . 这样 ,除 a3 n 外 ,还要取的 n + 1 个数必须从这
f
1
k + 7 k + 11
2
=f
1 ( k + 3) ( k + 4) - 1
1 ( k + 3) ( k + 4) =f 1 1( k + 3) ( k + 4) 1 =f
k +3
+
-
1
k +4
1+ =f =f 1
1
k +3
・ -
1
k +4
k +3
+f - f
1
k +4
1
k +3
1
k +4
,
其中 k = 1 ,2 , …, n . 故f
1. 在平面直角坐标系中 ,横 、 纵坐标都是
整数的点称为整点 , 如 ( - 1 ,7 ) 就是一个整 点 . 若直线 l 过点 A
1 1 1 1 , 和B , 2 3 4 5 . ,则
(D) a = c + d , b = 2 c - 2 d 4. 对定义在区间 [ a , b ] 上的函数 f ( x ) ,
| ai - aj |
nd
< 2. ( 刘康宁 安振平 供题)
第二天
四、 已知 n 位数的各位数字只能取集合 {1 ,2 ,3 ,4 ,5} 中的元素 , 设含有数字 5 且在 5 的前面不含 3 的 n 位数的个数为 f ( n ) . 求 ( 蒋西明 f ( n) . 供题) 五、 如果三个正实数 x 、 y、 z 满足 25 2 2 2 2 x + xy + y = , y + yz + z = 36 , 4
1 2
.
故原不等式成立 . 三、 在取出的 n + 2 个数中 , 设 al 为最 大 , 则
al ≤a3 n . 把每个数都加上 a3 n - al ,这样处理后不改
变任何两数差的绝对值 . 从而 , 总可以认为取出的
n + 2个数中包括 a3 n ,记 al = a3 n .
(1 ) 若 取 出 的 n + 2 个 数 中 , 除 a3 n 外 , 还 有
22
中 等 数 学
竞赛之窗
2005 年北方数学奥林匹克数学邀请赛
第一天
一、 AB 是 ⊙O 的 一 条 弦 , 它 的 中 点 为 M ,过点 M 作一条非直径的弦 CD ,过点 C 和 D 作 ⊙O 的两条切线 , 分别与直线 AB 相交 于 P、 Q 两点 . 求证 : PA = QB . ( 裘宗沪 供题) 二、 定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 : ( 1) f ( 0) = 0 ; (2 ) 对 任 意 x 、 y ∈ ( - ∞, - 1 ) ∪ ( 1 ,
( 1 + cos2γ ) 2 sin4γ
≤(1 + cos2α ) ( 1 + cos2β ) ( 1 + cos2γ) . ( 谭祖春 供题)
源自文库
1
+f
1
y
=f
参考答案
一、 如图 1 ,联结 OM 、 OP 、 OQ 、 OC 、 OD . 因为 PC 为 ⊙O 的 切 线 , M 为 弦 AB 的 中 点 ,则 ∠PCO = ∠PMO 图1 = 90° . 所以 , P 、 C、 M、 O 四点共圆 . 同理 , Q 、 D、 O、 M 四点共圆 . 则有 ∠OPM = ∠OCM = ∠ODM = ∠OQM . 故 OP = OQ . 从而 , MP = MQ . 又 MA = MB ,所以 , PA = QB . 二、 在 (2) 中 ,令 y = - x ,得 1 1 f +f = f (0) = 0 ,
n 个子集中取出 . 根据抽屉原理 , 必存在一个二元子 集 ,它的两个元素都被取出 ,而这两个数必满足题设 不等式 . (2) ,原不等式得证 . 综合 (1) 、 四、 对于满足条件的 n + 1 位数的个数 f ( n + 1)
故 f ( x ) 在 ( - 1 ,0) 上是减函数 . 又 f ( x ) 是奇函数 ,且 f ( x ) > 0 , x ∈( - 1 ,0) , 所 以 , f ( x ) 在 (0 ,1) 上也是减函数 ,且 f ( x ) < 0 ,则有
( C) a = 4 c 2 1 d,b = c d 5 10
(A)
5. 在三角形中 , 三条边长成等差数列是 ). 三边的比为 3∶ 4∶ 5 的 ( (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 ( C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要的条件
二、 填空题 ( 每小题 7 分 ,共 35 分)
nd
的计算 ,可分如下两种情形 : 情形 1 : 当个位数字不是 5 时 ,则前 n 位数中一 定含有数字 5 ,它是满足条件的一个 n 位数 ,其个数 为 f ( n) . 对于每一个这样的 n 位数 ,从 1 ,2 ,3 ,4 中任 取一个放在它的最右端 ,可得到一个 n + 1 位数 , 因 此 ,个位数字不是 5 的 n + 1 位数有 4 f ( n) 个 . 情形 2 : 当个位数字是 5 时 , 由于在 5 的前面不 能含有 3 ,则前 n 位数的每一位数字均有 4 种取法 . 因此 ,个位数字是 5 的 n + 1 位数有 4 n 个 . 所以 , n f ( n + 1) = 4 f ( n) + 4 , f ( n + 1) f ( n) 即 - n - 1 = 1. n 4 4 显然 , f (1) = 1. f ( n) 则 n - 1 = 1 + ( n - 1) = n . 4 n- 1 故 f ( n) = n・ 4 . 五、 易知三个等式可化为 2 5 2 2 x + y - 2 xy cos 120° = , 2 2 12 2 2 y + z - 2 yz cos 120° = , 2 2 13 2 2 z + x - 2 zx cos 120° = . 2 构造 Rt △ABC 如图 2 所 示 , 其 中 13 5 AB = , BC = , 2 2 12 CA = . 记 P 为 2 图2 △ABC内一点 ,使得 PB = x , PC = y , PA = z , ∠B PC = ∠CPA = ∠A PB = 120° . 因 S △B PC + S △CPA + S △A PB = S △ABC ,则
( ).
一的 x2 ∈[ a , b ] , 使得
f ( x1 ) + f ( x2 )
2
= c ,则
称函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上的 “均值” 为 c . 那么 , 函数 f ( x ) = 1g x 在 [ 10 , 100 ] 上 的 均 值 为
( ). (A) 10 (B) 1 3 3 ( C) (D) 10 2 4
=
f
1 19 1 4
+f - f 1
1 29 1 5
+ …+ f + - f 1
n+4 f
1
n + 7 n + 11
2
1 5
- f
1 6
+
…+ f
=f 1 4
n +3
- f 1
n+4
1
n+4
.
因为 0 <
f
< 1 ( n ∈N+ ) ,所以 ,
1
n+4
< 0. - f 1
n+4
则f
1 4
>f
1 4
>f
x x
求证 :
f
1 1 1 +f + …+ f 2 >f 19 29 n + 7 n + 11
1 2
,
其中 n ∈N+ .
(刘 贵 谭祖春 供题)
三、 在公差为 d ( d > 0) 的正数等差数列 a1 , a2 , …, a3 n ( n ≥ 2) 中 , 任取 n + 2 个数 . 证 明 :其中必存在两个数 ai 、 aj ( i ≠j ) , 满足不 等式 1 <
a n + 1 , an + 2 , …, a2 n - 1 这 n - 1 个数中的一个 aj ,则
| a3 n - aj | ≥ | a3 n - a2 n - 1 | = ( n + 1) d > nd , | a3 n - aj | ≤ | a3 n - an + 1 | = (2 n - 1) d < 2 nd . | a3 n - aj |
即 f
-
1
x
= - f
1
x
.
故 f ( x) 是奇函数 . 设 - 1 < x1 < x2 < 0 ,则有
f ( x 1 ) - f ( x2 ) = f ( x 1 ) + f ( - x 2 )
1 =f
x1
-
1
x2
1-
1
x1 x 2
=f
x2 - x1 . x1 x2 - 1
2006 年第 1 期
1 1 5 12 ( xy + yz + zx ) sin 120° = × × . 2 2 2 2
故1<
< 2.
故 xy + yz + zx = 10 3 .
24
中 等 数 学
2005 年北京市中学生数学竞赛 ( 高一)
一、 选择题 ( 每小题 5 分 ,共 25 分) 1. 如果 S = {1 ,2 ,3 ,4 ,5} , M = {1 ,3 ,4} , N = { 2 , 4 , 5 } , 那 么 , ( CS M ) ∩ ( CS N ) 等 于
) ,都有 f + ∞
x+ y ; 1 + xy ( 3) 当 x ∈( - 1 ,0) 时 ,都有 f ( x ) > 0. x z + zx + x =
2 2
169 . 4 ( 张同君 供题)
求 xy + yz + zx 的值 .
π α、 β、 γ ≤ , cos2α + cos2β + 六、 设0≤ 2 2 cos γ = 1. 求证 : 2 ) 2 sin4α+ (1 + cos2β ) 2 sin4β+ 2 ≤(1 + cos α
2 2 2 = ( ab + bc + ca) ( a + b + c )
①
② 因为 u ≥ 0,v ≥ 0 , 所以 , 式 ② 的左边显然成立 , π β、 γ 中两个取 、 且仅当 u = v = 0 , 即 α、 一个取 0 2 时等号成立 .
于是 ,式 ① 等价于 2 ≤ 0 2 u + 4 v ≤u + v .