中学物理中的极值问题(最新整理)
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中学物理中的极值问题
一、找极值条件和函数极值
例 1:一条河宽为 d，水流速度 v1=2m/s，有一条小船在静水中的速度为 v2=1m/s.求小船过河
的最小位移。
解： t
d v2 cos
x
v 1
v 2
si n t
y=d
S= x2 y2
（1） （2）
y v2 θ
v1
x
当 x 最小时，总位移最小。
解得：0≤R≤4Ω 由图得：E=10V r=1Ω 设 R 左段电阻为 x，则：
I/A
2
10
(乙)
R0 R
A
(丙)
IA
R0 x
E R
x
r
R0 R0
x
=
-x2
40 5x
20
=
40 26.25 (x 2.5)2
R0 x
根据：0≤x≤4 得：1.52≤IA≤2.0(A)
有些函数求极值，并不能如上直接求其极值，需要用其它方法。例用某一物理量的极值求 另一物理量的极值。
例 2．在图（甲）所示电路中，滑动变阻器的滑动触头从一端滑到另一端的过程中，其 U－I
图线如图（乙）所示。求滑动变阻器的变化范围。 若将电路改为图（丙）所示，图中 R0=4Ω，变阻器的变化范围如前所求。求电流表的 示数的最大值和最小值。(电流表内阻忽略不计)
U/V 8
R
(甲) 解：U=IR 0≤U≤8 2≤I≤10
cos
而 cos
1
带入上式得：
1 t an2
x 2d 1 t an2 d t an
整理得： 3d 2 t an2 2dx t an 4d 2 x2 0
如果函数为 y ax2 bx c 如果 x 没有限定范围，当 a>0 时，y 有极小值；当 a<0
时，y 有极大值。如果 x 给定范围，需配方。
斜面的顶端由静止释放，g=10m/s2. （1）A 滑到斜面底端用多长时间？它滑到底端时的速度为多少？ （2）若在 A 下滑的同时，另一物体 B 从斜面的底端开始沿斜面上滑，要使 A、B 两物体
在斜面上相碰，B 物体的初速应满足什么条件？
18．解：（1） mA g si n 30o mAa ① …………（1 分）
例 3：如图所示，一长为 L 的轻细线的一端固定于 O 点，另一端系一质量为 m、带电量为 q
的小球，小球由最大偏角α处静止释放，装置处于匀强磁场中，磁感应强度垂直摆动平面。 为了使摆动始终正常进行，求磁感应强度应满足的条件。
解： 1 mv2 mgL( cos cos ) 2
（1）
T
Bqv mg cos
θ
B
FN θ(
Bqv )θ
mg
解得： B ≥ 2m g cot 满足此式，速度 v 有正根。
q
r
∴
磁感应强度的最小值为： Bin
2m q
g cot r
（此时 v gr cot ）
或： B
mv rq
mg cot qv
mv
当
rq
mg cot qv
时 B 有最小值
三、不等式求极值
例 5．如图所示，倾角为 30°的光滑斜面固定在水平面上，斜面长 L=10m。一小物体 A 从
20mv0 mv 11mv乙
-12mv0 11mv乙 mv
v 乙
v 乙
解得：v≥16v0
例 8：如图所示，光滑斜面与光滑水平面平滑连接，在水平面上停放有一辆质量为 M 的小
车，在斜面上有一辆质量为 m 的小车。现释放斜面上的小车，两车在水平面发生 完全弹性碰撞。要使两车最少能发生两次碰撞，求 M 与 m 间应满足的条件。(水平 面足够长，不计空气阻力)
F
sin l
mg
l 2
Mgx
(2) F sin Ff mg Mg
Ff
F cos
整理得：
Mg
1
(1
cot
)
x l
1 2
mg
(
cot
1)
满足题中条件：
x
1
l cot
例 11：（96 年高考题）如图所示，有一个直立的气缸，气缸底到缸口的距离为 L0 厘米。
用一厚度和质量均不计的刚性活塞将一定质量的空气封在缸内，活塞与缸间的摩擦 不计，平衡时活塞在缸口，周围大气压强为 H0 厘米汞柱。现把盛有水银的杯子放 在活塞上（杯子的质量可以忽略不计），平衡时活塞到缸底的距离为 L.若不是把这 杯子放在活塞上，而是将杯内的水银缓慢地倒到活塞上方，这时活塞下移，直到活 塞不再下移。求此时气柱的长以及与之相对应的条件（气体的温度不变）
整理得： F (cos sin ) mg sin mg cos 满足题意得条件为： cos cos 0 即： cot
)θ F
Ff
mg )θ
例 10：有一长为 L、质量为 m 的均匀杆 AB，A 端顶在竖直粗糙的墙上，杆与墙面间的摩
擦因数为 μ；B 端用一强度足够且不可伸长的绳悬挂，绳的另一端固定在墙上的 C 点，AB 呈水平状态，绳与杆间的夹角为θ，如图所示。求： （1） 杆能保持平衡时，μ 与θ间应满足的条件。 （2） 杆保持平衡时，杆上有一点 P 存在，若在 A 点与 P 点间任意点悬挂重物，当
g
HBm
解得: (1 3)v0 t 4v0
g
g
例 7：(2011 年山东高考：)如图所示，甲、乙两船的总质量分别为 10m、12m，两船沿同
一直线向同一方向行驶，速度分别为 2v0、v0.为了避免两船相撞，乙船上的人将一质量为 m 的货物沿水平方向抛向甲船，甲船上的人将货物接住，求抛出的货物的最小速度。（不计
v2 m
(2)
L
由（1）得： cos v2 cos （3） 2gL
O · α
β
BqTv
×B
mg
将（3）带入（2）整理得：
T 3mv2 Bqv mg cos 2L
当：v= - b
BqL
时
2a 3m
6m2 gcos B2q2
Tin
L 6m
≥0
L
即： B ≤ m 6g cos
q
L
二、利用判别式求极值
（3）要使 B 球下降时与 A 球相遇，Δt 应满足什么条件？
解：（1）设在 B 球抛出后 t 时刻与 A 球在空中相遇，则相遇条件为：
2v0 (t
t)
1 2
g (t
t ) 2
v0t
1 2
gt 2
（1）
整理得： t
2v0t
1 2
g t 2
gt v0
（2）
在空中相碰应满足：0<t<2v0/g
即：0<
例 4：光滑的圆锥体固定在水平面上并处于竖直向下的匀强磁场中，有一质量为 m，带电
量为 q 的小球在锥面上做半径为 r 的圆周运动，求磁感应强度的最小值。
解：
Bqv
FN
cos
m
v2 r
FN sin mg
整理得： m v2 Bqv mg cot 0 r
满足题意得条件为：v 有正根 即：Δ≥0
B2q2 4 m mg cot ≥ 0 r
v2
（1）带入（2），并将已知条件代入得：
x d ( 2 si n ) （3）
v1
cos
将
cos
1
t an2
2
1
t an2
2
代入（3）得：
si n
2
t
an
2
1
t an2
2
x
2d (1 t an2 t an )
1
t an2
2
2
2
整理得： ( x 2d ) t an2 2d t an 2d x 0
由题意知：x>0 即：x=L0－H0>0 ∴L0>H0
若水银不能全部倒入缸中，应满足：x<Δp
即：
L0
H0
H0 (L0 L
L)
解得：L<H0
此时气柱长：L/=L0－x=H0
若水银能全部倒入，则：x≥Δp 即：L≥H0 最后结论：当 L<H0 ，气柱长 L/=H0
当 L≥H0 ，气柱长 L/=L
此时气柱长为：L/=L
mM
mM
解得：M>3m
例 9．如图所示，斜面固定在水平面上，其倾角为θ。斜面上有一质量为 m 的物体，它与
斜面间的动摩擦因数为 μ，现用一水平推力 F 推物体，结果无论 F 多大也不能将物 体推动，求：μ 满足的条件。 解：由题意得：
F cos (mg cos F sin ) mg sin
FN
重物的重量足够大时，总可以使平衡破坏；而在 P 点与 B 点间任意点悬挂重 物时，无论重物多重都不能使平衡破坏。求 P 点与 A 点的距离。
C
F
B
)θ
A
解：（1）根据物体平衡条件得：
Fsin L mgl / 2
Fsin Fcos ≥ mg
解得：μ≥tanθ
mg C
Ff F
B
)θ
·P
A
x
mg Mg
x
L0
L
解：设瓶内水银产生的附加压强为Δp 厘米汞柱，根据题意得：
H0L0S (H0 p)LS
(1)
设有足量的水银能够将气缸装满，装满时水银的长度为 x 厘米，则有：
H0L0S (H0 x)(L0 x)S （2）
由（1）得： p H0 (L0 L)
(3)
L
由（2）得：乙 L0 H0 )x x2
L 上升过程相碰的条件： v
0
≤
v 0
a/
v
下降过程相碰的条件： 0
a/
≤
L v
0
≤
2v0 a/
例 6：从地面以速度 2v0 竖直向上抛出一小球 A，经Δt 时间从同一点竖直向上以速度 v0 抛
出另一小球 B。 （1）要使两球在空中相遇，Δt 应满足什么条件？ （2）要使 B 球上升时与 A 球相遇，Δt 应满足什么条件？
L
1 2
atA2
② …………（1 分）
v atA
③ …………（1 分）
由① 解得：a=5m/s2 分别带入② ③ 可解得：
tA=2s
…………（1 分）
v=10m/s
…………（1 分）
(2) 设：B 的加速度大小为 a/，初速为 v0，则：
mB g si n 30o mBa/ …………（1 分）
在斜面上相碰的条件为：
m
M
解：设碰前 m 的速度为 v0，碰后它的速度为 v1；碰后 M 的速度为 v2.
则：
mv0
1 2
mv02
mv1 M v2
1 2
mv12
1 2
M
v22
解得：
v1
(m M )v0 mM
v2
2mv0 mM
两次相碰的条件是：v1<0 且| v1|>v2 即：M>m
及： - ( m
M
)v 0
2mv 0
g
g
（解法二）B 球上升相遇的条件：(t 为 A 球运动到 B 最高点的时间)
v t 0 t
g
2v0t
1 gt2 2
v2 0
2g
2v0 t 4v0
g
g
(1
解得：
3)v0 t 4v0
g
g
HAm
下降相遇的条件：
v t 0 t
g
2v0t
1 gt2 2
v2 0
2g
2v0 t 4v0
g
2
2
方程有实根的条件为： =b2 4ac 4d 2 4( 2d x) ( 2d x) ≥ 0
解得： x ≥ 3d xin 3d
Sin xi2n y2 =2d
(位移取最小值时， t
an
2
2
3
即：sinθ=0.5)
或： x d ( 2 si n ) = 2d d t an
cos
水的阻力）
2v0
v0
10m
甲
乙 12m
解：设抛出的货物的速度为 v，抛出后乙船速度为 v 乙，甲船接住货物后速度为 v 甲 根据动量守恒得：
20mv0 mv 11mv乙
12mv0 11mv乙 -mv
避免相碰的条件是：v 甲≤v 乙 解得：v≥4v0 最小值为 4v0 如果乙船原来的速度方向向左，要注意方向。取向右方向为正方向
2v0t
1 2
g t 2
gt v0
<
2v0 g
解得： 2v0 t 4v0
g
g
（2）B 球上升时与 A 相遇的条件为： 0 t v0 将（2）带入得： g
(1 3)v0 t 4v0
g
g
（3）B 球下降时相遇的条件为： v0 t 2v0 将（2）带入得：
g
g
2v0 t (1ห้องสมุดไป่ตู้3)v0
2v0 a/
≥ tA
…………（3 分）
解得：v0≥5m/s
…………（1 分）
或：
1 2
aAt 2
v0t
1 a/ t2
2
L
…………（1 分）
t
L v
≤ tA
0
(或： t ≤ 2v0 ) …………（3 分） a/
解得：v0≥5m/s
…………（1 分）
(如果要求在小球 B 上升过程中相碰呢？下降过程中相碰呢？)
一、找极值条件和函数极值
例 1:一条河宽为 d，水流速度 v1=2m/s，有一条小船在静水中的速度为 v2=1m/s.求小船过河
的最小位移。
解： t
d v2 cos
x
v 1
v 2
si n t
y=d
S= x2 y2
（1） （2）
y v2 θ
v1
x
当 x 最小时，总位移最小。
解得：0≤R≤4Ω 由图得：E=10V r=1Ω 设 R 左段电阻为 x，则：
I/A
2
10
(乙)
R0 R
A
(丙)
IA
R0 x
E R
x
r
R0 R0
x
=
-x2
40 5x
20
=
40 26.25 (x 2.5)2
R0 x
根据：0≤x≤4 得：1.52≤IA≤2.0(A)
有些函数求极值，并不能如上直接求其极值，需要用其它方法。例用某一物理量的极值求 另一物理量的极值。
例 2．在图（甲）所示电路中，滑动变阻器的滑动触头从一端滑到另一端的过程中，其 U－I
图线如图（乙）所示。求滑动变阻器的变化范围。 若将电路改为图（丙）所示，图中 R0=4Ω，变阻器的变化范围如前所求。求电流表的 示数的最大值和最小值。(电流表内阻忽略不计)
U/V 8
R
(甲) 解：U=IR 0≤U≤8 2≤I≤10
cos
而 cos
1
带入上式得：
1 t an2
x 2d 1 t an2 d t an
整理得： 3d 2 t an2 2dx t an 4d 2 x2 0
如果函数为 y ax2 bx c 如果 x 没有限定范围，当 a>0 时，y 有极小值；当 a<0
时，y 有极大值。如果 x 给定范围，需配方。
斜面的顶端由静止释放，g=10m/s2. （1）A 滑到斜面底端用多长时间？它滑到底端时的速度为多少？ （2）若在 A 下滑的同时，另一物体 B 从斜面的底端开始沿斜面上滑，要使 A、B 两物体
在斜面上相碰，B 物体的初速应满足什么条件？
18．解：（1） mA g si n 30o mAa ① …………（1 分）
例 3：如图所示，一长为 L 的轻细线的一端固定于 O 点，另一端系一质量为 m、带电量为 q
的小球，小球由最大偏角α处静止释放，装置处于匀强磁场中，磁感应强度垂直摆动平面。 为了使摆动始终正常进行，求磁感应强度应满足的条件。
解： 1 mv2 mgL( cos cos ) 2
（1）
T
Bqv mg cos
θ
B
FN θ(
Bqv )θ
mg
解得： B ≥ 2m g cot 满足此式，速度 v 有正根。
q
r
∴
磁感应强度的最小值为： Bin
2m q
g cot r
（此时 v gr cot ）
或： B
mv rq
mg cot qv
mv
当
rq
mg cot qv
时 B 有最小值
三、不等式求极值
例 5．如图所示，倾角为 30°的光滑斜面固定在水平面上，斜面长 L=10m。一小物体 A 从
20mv0 mv 11mv乙
-12mv0 11mv乙 mv
v 乙
v 乙
解得：v≥16v0
例 8：如图所示，光滑斜面与光滑水平面平滑连接，在水平面上停放有一辆质量为 M 的小
车，在斜面上有一辆质量为 m 的小车。现释放斜面上的小车，两车在水平面发生 完全弹性碰撞。要使两车最少能发生两次碰撞，求 M 与 m 间应满足的条件。(水平 面足够长，不计空气阻力)
F
sin l
mg
l 2
Mgx
(2) F sin Ff mg Mg
Ff
F cos
整理得：
Mg
1
(1
cot
)
x l
1 2
mg
(
cot
1)
满足题中条件：
x
1
l cot
例 11：（96 年高考题）如图所示，有一个直立的气缸，气缸底到缸口的距离为 L0 厘米。
用一厚度和质量均不计的刚性活塞将一定质量的空气封在缸内，活塞与缸间的摩擦 不计，平衡时活塞在缸口，周围大气压强为 H0 厘米汞柱。现把盛有水银的杯子放 在活塞上（杯子的质量可以忽略不计），平衡时活塞到缸底的距离为 L.若不是把这 杯子放在活塞上，而是将杯内的水银缓慢地倒到活塞上方，这时活塞下移，直到活 塞不再下移。求此时气柱的长以及与之相对应的条件（气体的温度不变）
整理得： F (cos sin ) mg sin mg cos 满足题意得条件为： cos cos 0 即： cot
)θ F
Ff
mg )θ
例 10：有一长为 L、质量为 m 的均匀杆 AB，A 端顶在竖直粗糙的墙上，杆与墙面间的摩
擦因数为 μ；B 端用一强度足够且不可伸长的绳悬挂，绳的另一端固定在墙上的 C 点，AB 呈水平状态，绳与杆间的夹角为θ，如图所示。求： （1） 杆能保持平衡时，μ 与θ间应满足的条件。 （2） 杆保持平衡时，杆上有一点 P 存在，若在 A 点与 P 点间任意点悬挂重物，当
g
HBm
解得: (1 3)v0 t 4v0
g
g
例 7：(2011 年山东高考：)如图所示，甲、乙两船的总质量分别为 10m、12m，两船沿同
一直线向同一方向行驶，速度分别为 2v0、v0.为了避免两船相撞，乙船上的人将一质量为 m 的货物沿水平方向抛向甲船，甲船上的人将货物接住，求抛出的货物的最小速度。（不计
v2 m
(2)
L
由（1）得： cos v2 cos （3） 2gL
O · α
β
BqTv
×B
mg
将（3）带入（2）整理得：
T 3mv2 Bqv mg cos 2L
当：v= - b
BqL
时
2a 3m
6m2 gcos B2q2
Tin
L 6m
≥0
L
即： B ≤ m 6g cos
q
L
二、利用判别式求极值
（3）要使 B 球下降时与 A 球相遇，Δt 应满足什么条件？
解：（1）设在 B 球抛出后 t 时刻与 A 球在空中相遇，则相遇条件为：
2v0 (t
t)
1 2
g (t
t ) 2
v0t
1 2
gt 2
（1）
整理得： t
2v0t
1 2
g t 2
gt v0
（2）
在空中相碰应满足：0<t<2v0/g
即：0<
例 4：光滑的圆锥体固定在水平面上并处于竖直向下的匀强磁场中，有一质量为 m，带电
量为 q 的小球在锥面上做半径为 r 的圆周运动，求磁感应强度的最小值。
解：
Bqv
FN
cos
m
v2 r
FN sin mg
整理得： m v2 Bqv mg cot 0 r
满足题意得条件为：v 有正根 即：Δ≥0
B2q2 4 m mg cot ≥ 0 r
v2
（1）带入（2），并将已知条件代入得：
x d ( 2 si n ) （3）
v1
cos
将
cos
1
t an2
2
1
t an2
2
代入（3）得：
si n
2
t
an
2
1
t an2
2
x
2d (1 t an2 t an )
1
t an2
2
2
2
整理得： ( x 2d ) t an2 2d t an 2d x 0
由题意知：x>0 即：x=L0－H0>0 ∴L0>H0
若水银不能全部倒入缸中，应满足：x<Δp
即：
L0
H0
H0 (L0 L
L)
解得：L<H0
此时气柱长：L/=L0－x=H0
若水银能全部倒入，则：x≥Δp 即：L≥H0 最后结论：当 L<H0 ，气柱长 L/=H0
当 L≥H0 ，气柱长 L/=L
此时气柱长为：L/=L
mM
mM
解得：M>3m
例 9．如图所示，斜面固定在水平面上，其倾角为θ。斜面上有一质量为 m 的物体，它与
斜面间的动摩擦因数为 μ，现用一水平推力 F 推物体，结果无论 F 多大也不能将物 体推动，求：μ 满足的条件。 解：由题意得：
F cos (mg cos F sin ) mg sin
FN
重物的重量足够大时，总可以使平衡破坏；而在 P 点与 B 点间任意点悬挂重 物时，无论重物多重都不能使平衡破坏。求 P 点与 A 点的距离。
C
F
B
)θ
A
解：（1）根据物体平衡条件得：
Fsin L mgl / 2
Fsin Fcos ≥ mg
解得：μ≥tanθ
mg C
Ff F
B
)θ
·P
A
x
mg Mg
x
L0
L
解：设瓶内水银产生的附加压强为Δp 厘米汞柱，根据题意得：
H0L0S (H0 p)LS
(1)
设有足量的水银能够将气缸装满，装满时水银的长度为 x 厘米，则有：
H0L0S (H0 x)(L0 x)S （2）
由（1）得： p H0 (L0 L)
(3)
L
由（2）得：乙 L0 H0 )x x2
L 上升过程相碰的条件： v
0
≤
v 0
a/
v
下降过程相碰的条件： 0
a/
≤
L v
0
≤
2v0 a/
例 6：从地面以速度 2v0 竖直向上抛出一小球 A，经Δt 时间从同一点竖直向上以速度 v0 抛
出另一小球 B。 （1）要使两球在空中相遇，Δt 应满足什么条件？ （2）要使 B 球上升时与 A 球相遇，Δt 应满足什么条件？
L
1 2
atA2
② …………（1 分）
v atA
③ …………（1 分）
由① 解得：a=5m/s2 分别带入② ③ 可解得：
tA=2s
…………（1 分）
v=10m/s
…………（1 分）
(2) 设：B 的加速度大小为 a/，初速为 v0，则：
mB g si n 30o mBa/ …………（1 分）
在斜面上相碰的条件为：
m
M
解：设碰前 m 的速度为 v0，碰后它的速度为 v1；碰后 M 的速度为 v2.
则：
mv0
1 2
mv02
mv1 M v2
1 2
mv12
1 2
M
v22
解得：
v1
(m M )v0 mM
v2
2mv0 mM
两次相碰的条件是：v1<0 且| v1|>v2 即：M>m
及： - ( m
M
)v 0
2mv 0
g
g
（解法二）B 球上升相遇的条件：(t 为 A 球运动到 B 最高点的时间)
v t 0 t
g
2v0t
1 gt2 2
v2 0
2g
2v0 t 4v0
g
g
(1
解得：
3)v0 t 4v0
g
g
HAm
下降相遇的条件：
v t 0 t
g
2v0t
1 gt2 2
v2 0
2g
2v0 t 4v0
g
2
2
方程有实根的条件为： =b2 4ac 4d 2 4( 2d x) ( 2d x) ≥ 0
解得： x ≥ 3d xin 3d
Sin xi2n y2 =2d
(位移取最小值时， t
an
2
2
3
即：sinθ=0.5)
或： x d ( 2 si n ) = 2d d t an
cos
水的阻力）
2v0
v0
10m
甲
乙 12m
解：设抛出的货物的速度为 v，抛出后乙船速度为 v 乙，甲船接住货物后速度为 v 甲 根据动量守恒得：
20mv0 mv 11mv乙
12mv0 11mv乙 -mv
避免相碰的条件是：v 甲≤v 乙 解得：v≥4v0 最小值为 4v0 如果乙船原来的速度方向向左，要注意方向。取向右方向为正方向
2v0t
1 2
g t 2
gt v0
<
2v0 g
解得： 2v0 t 4v0
g
g
（2）B 球上升时与 A 相遇的条件为： 0 t v0 将（2）带入得： g
(1 3)v0 t 4v0
g
g
（3）B 球下降时相遇的条件为： v0 t 2v0 将（2）带入得：
g
g
2v0 t (1ห้องสมุดไป่ตู้3)v0
2v0 a/
≥ tA
…………（3 分）
解得：v0≥5m/s
…………（1 分）
或：
1 2
aAt 2
v0t
1 a/ t2
2
L
…………（1 分）
t
L v
≤ tA
0
(或： t ≤ 2v0 ) …………（3 分） a/
解得：v0≥5m/s
…………（1 分）
(如果要求在小球 B 上升过程中相碰呢？下降过程中相碰呢？)