轴对称与中心对称
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例1 [2013· 泰州] 下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心 对称图形的是( B )
图32－1
考点聚焦 归类探究 回归教材 中考预测
轴对称与中心对称
(1)把所要判断的图形沿一条直线折叠后，直线两 旁的部分能够互相重合的图形是轴对称图形； (2)把所要判断的图形绕着某个点旋转180°后能与 自身重合的图形是中心对称图形．
轴对
中考预测
轴对称与中心对称
考点2 中心对称与中心对称图形 中心对称 把一个图形绕着某一点 180° 后，如果 旋转________ 它能与另一个图形 重合 ，那么就说这 ________ 两个图形关于这个点成 中心对称，该点叫做 对称中心 ________ 中心对称图形 把一个图形绕着某一点旋 转________ 180° ，如果旋转后 的图形能够与原来的图形 重合，那么我们把这个图 形叫中心对称图形，这个 对称中心 点叫做________
轴对称与中心对称
轴对称与中心对称
考 点 聚 焦
考点1 轴对称与轴对称图形 轴对称 把一个图形沿着某一条 直线折叠，如果它能够 与另一个图形____ ，那 重合 么就说这两个图形关于 这条直线对称，这条直 线叫做对称轴．折叠后 重合的点是对应点，叫 对称点 轴对称是指________ 两个 全 等图形之间的相互位置 关系
∴∠B＋∠BAF＝60°＋120°＝180°，∠F＋∠ BAF＝60°＋120°
＝180°. ∴AF∥BC，AB∥EF. ∴四边形ABPF是平行四边形． 又∵AB＝AF，∴▱ABPF是菱形．
考点聚焦 归类探究 回归教材 中考预测
平移与旋转
(1)求旋转角时，只要找到一对对应点和旋转中心 的夹角即可；(2)旋转不改变图形的大小，旋转前后 的两个图形全等．
轴对称与中心对称
中 考 预 测
在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究 题． 如图 32－7(a)，要在燃气管道 l 上修建一个泵站，分别向 A、B 两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气 管线最短？ 你可以在 l 上找几个点试一试，能发现什么规律？
图 32－7 聪明的小华通过独立思考， 很快得出了解决这个问题的正 确办法．他把管道 l 看成一条直线(图(b))，问题就转化为，要 在直线 l 上找一点 P，使 AP 与 BP 的和最小．他的做法是这 样的：
考点聚焦
归类探究
回归教材
中考预测
第33讲┃平移与旋转
探究三 平移、旋转的作图
命题角度： 1. 平移作图； 2. 旋转作图； 3. 平移、旋转的综合作图． 图33－3 例3 [2013·成都] 如图33－3，在边长为1的小正方形组 成的方格纸上，将△ABC绕着点A顺时针旋转90°. (1)画出旋转后的△AB′C′； (2)求线段AC在旋转过程中所扫过的扇形的面积．
归类探究 回归教材 中考预测
考点聚焦
第33讲┃平移与旋转
归 类 探 究
探究一 图形的平移 命题角度： 1. 平移的概念； 2. 平移前后的两个图形的对应角、对应线段的关系． 例1 [ 2013· 宜宾] 如图33－1，将面积为 5 的 △ ABC 沿BC 方 向平移至 △DEF 的位置，平移的距离是边 BC 长的两倍，那 15 ． 么图中的四边形 ACED 的面积为________
考点聚焦
归类探究
回归教材
中考预测
轴对称与中心对称
图形折叠的本质是轴对称，折叠前后的两个部分全 等．
考点聚焦
归类探究
回归教材
中考预测
轴对称与中心对称
探究三 与轴对称或中心对称有关的作图问题
命题角度： 1. 利用轴对称的性质作图； 2. 利用中心对称的性质作图； 3. 利用轴对称或中心对称的性质设计图案． 图32－3 例3 [2013·钦州] 如图32－3，在平面直角坐标系中， △ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为(2，4)，请解 答下列问题： (1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标； (2)画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2，并 写出点A2的坐标．
区别
轴对称与中心对称
联系
①如果把轴对称的两个图形看成一个整 体(一个图形)，那么这个图形是轴对称 图形；②如果把一个轴对称图形中对称 的部分看成是两个图形，那么它们成轴 对称 垂直平分 (1)对称点的连线被对称轴________ 相等 (2)对应线段________ 对称轴 (3)对应线段或延长线的交点在________ 上 全等 (4)成轴对称的两个图形________
析
考点聚焦
归类探究
回归教材
中考预测
平移与旋转
(1)对应点的距离等于平移的距离； (2)利用“平移前后的两个图形全等”“平移前后 对应线段平行且相等”是解决平移问题的基本方法．
考点聚焦
归类探究
回归教材
中考预测
平移与旋转
探究二 图形的旋转 命题角度： 1. 旋转的概念； 2. 求旋转中心、旋转角； 图33－2 3. 求旋转后图形的位置和点的坐标． 例2 [2013·娄底] 某校九年级学习小组在探究学习过 程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与 AFE按如图33－2①所示位置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆 时针方向旋转角α (0°<α <90°)，如图②，AE与BC交于点 M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P. (1)求证：AM＝AN；
轴对称与中心对称
解
(1)△A1B1C1 如图所示，A1(2，－4)． (2)△A2B2C2 如图所示，A2(－2，4)．
考点聚焦
归类探究
回归教材
中考预测
轴对称与中心对称
此类作图问题的关键是根据轴对称与中心对称坐标 特征求出对称点的坐标．
考点聚焦
归类探究
回归教材
中考预测
轴对称与中心对称
回 归 教 材
(1)中心对称的两个图形，对称点所连线段都 中心对称 平分 经过对称中心，而且被对称中心________ 的性质 全等 (2)成中心对称的两个图形________
考点聚焦
归类探究
回归教材
中考预测
轴对称与中心对称
归 类 探 究
探究一 轴对称图形与中心对称图形的概念 命题角度： 1. 轴对称的定义，轴对称图形的判断； 2. 中心对称的定义，中心对称图形的判断．
考点聚焦 归类探究 回归教材 中考预测
轴对称与中心对称
点
析
最短距离问题是勾股定理在实际生活中的具体
应用，一般地，最短距离问题可以利用“两点之间线段
最短”，或“垂线段最短”以及“勾股定理”等性质来 解决．
考点聚焦
归类探究
回归教材
中考预测
轴对称与中心对称
①作点 B 关于直线 l 的对称点 B′. ②连接 AB′交直线 l 于点 P，则点 P 为所求． 请你参考小华的做法解决下列问题．如图 32－8，在△ABC 中， 点 D、E 分别是 AB、AC 边的中点，BC＝6，BC 边上的高为 4，请 你在 BC 边上确定一点 P，使△PDE 的周长最小．
轴对称与中心对称
解：(1)如图 32－5，将点 A 沿竖直的方向向下移动，平 移距离等于桥宽，到达 A1 点，连接 A1B，与街道靠近 B 的一 侧交于点 B1，过 B1 点建桥即符合要求． 图 32－5
图 32－6
(2)如图 32－6，作 B 关于街道的对称点 B2，连接 AB2， 作 AB2 的垂直平分线，与街道靠近 A 的一侧相交于点 A2，过 A2 点建桥即符合要求． 考点聚焦 归类探究 回归教材 中考预测
考点聚焦 归类探究 回归教材 中考预测
平移与旋转
平移与旋转
考 点 聚 焦
考点1 平移 方向 移动一 在平面内，将一个图形沿某个________ 距离 ，这样的图形移动称为平移 定的________ 图形平移 (1)图形平移的方向就是这个图形上的某一点 有两个基本 到平移后的图形对应点的方向；(2)图形平移 条件 的距离就是连接一对对应点的线段的长度 相等 ，对应 (1)对应线段平行(或共线)且________ 平行且相等 ，图形上的每个点 点所连的线段____________ 都沿同一个方向移动了相同的距离 平移性质 相等 ，且对应角的两边分 (2)对应角分别________ 别平行、方向一致 全等 (3)平移变换后的图形与原图形________ 定义
考点聚焦
归类探究
回归教材
中考预测
轴对称与中心对称
探究二 图形的折叠与轴对称
命题角度： 图形的折叠与轴对称的关系． 例2 [2013·莱芜] 如图32－2，矩形ABCD中， AB＝1，E、F分别为AD、CD的中点，沿BE将△ABE 2 折叠，若点A恰好落在BF上，则AD＝________ ．
图32－2
考点聚焦 归类探究 回归教材 中考预测
平移与旋转
考点2 旋转 在平面内，把一个图形绕着某一个定点 沿着某个方向旋转一定的角度，这样的 图形运动称为旋转．这个定点叫做 旋转中心 角旋转 ________，转动的角叫做________
定义
图形的旋转有三 (1)旋转中心；(2)旋转方向；(3)旋转角 个基本条件 度 旋转的 性质 相等 (1)对应点到旋转中心的距离________ (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等 旋转角 于________ 全等 (3)旋转前后的图形________
考点聚焦 归类探究 回归教材 中考预测
轴对称与中心对称
解
析
连接 EF，
∵点 E、F 是 AD、DC 的中点， 1 1 1 ∴AE＝ED，CF＝DF＝ CD＝ AB＝ . 2 2 2 由折叠的性质可得 AE＝A′E， ∴A′E＝DE，
考点聚焦
归类探究
回归教材
中考预测
轴对称与中心对称
解
析
在 Rt△EA′F 和 Rt△EDF 中， ∵ ∴Rt△EA′F≌Rt△EDF(HL)． 1 ∴A′F＝DF＝ . 2 1 3 ∴BF＝BA′＋A′F＝AB＋DF＝1＋ ＝ . 2 2 在 Rt△BCF 中，BC＝ BF2－FC2＝ 2. ∴AD＝BC＝ 2.
“线路最短”问题的拓展创新
教材母题 北师大版八上P95问题解决第13题
如图32－4，甲、乙两个单位分别位于一条封闭街道的两旁 ，现准备合作修建一座过街天桥，问： (1)桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短？注意，桥必须 与街道垂直． (2)桥建在何处才能使甲、乙到桥的距离相等？
图32－4
考点聚焦 归类探究 回归教材 中考预测
图33－1
考点聚焦 归类探究 回归教材 中考预测
平移与旋转
解
设点 A 到 BC 的距离为 h， 1 则 S△ABC＝ BC· h＝5. 2 ∵平移的距离是 BC 的长的 2 倍， ∴AD＝2BC，CE＝BC， 1 1 ∴四边形 ACED 的面积＝ (AD＋CE)· h＝ (2BC＋BC)· h 2 2 1 ＝3× BC· h＝3× 5＝15. 2
定义
区别
中心对称是指两个全等 中心对称图形是指具有特 图形之间的相互位置关 殊形状的一个图形 系
归类探究 回归教材 中考预测
考点聚焦
轴对称与中心对称
联系
①如果把中心对称的两个图形看成一个整体 (一个图形)，那么这个图形是中心对称图形； ②如果把一个中心对称图形中对称的部分看 成是两个图形，那么它们成中心对称
考点聚焦 归类探究 回归教材
轴对称图形 如果一个图形沿某一直线对 折后，直线两旁的部分能够 互相重合，这个图形叫做 ____________ 轴对称图形 ，这条直线叫 做它的对称轴．这时我们也 说这个图形关于这条直线(成 轴)对称 轴对称图形是指具有特殊形 状的________ 一个 图形
中考预测
定义
图 32－8 (1)在图中作出点 P(保留作图痕迹，不写作法)； (2)请直接写出△PDE 周长的最小值：________.
考点聚焦
归类探究
回归教材
中考预测
轴对称与中心对称
解
(1)作 D 点关于 BC 的对称点 D′，连接 D′E，与 BC 交于点 P，P 点即为所求；
(2)∵点 D、E 分别是 AB、AC 边的中点， ∴DE 为△ABC 的中位线． ∵BC＝6，BC 边上的高为 4， ∴DE＝3，DD′＝4， ∴D′E＝ DE2＋DD′2＝ 32＋42＝5， ∴△PDE 周长的最小值为： DE＋D′E＝3＋5＝8， 故答案为：8.
(2)当旋转角α ＝30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边 形？并说明理由．
考点聚焦 归类探究 回归教材 中考预测
平移与旋转
解 (1)证明：∵∠α＋∠EAC＝90°，∠NAF＋∠EAC＝90°，
∴∠α＝∠NAF.
又∵∠B＝∠F，AB＝AF，∴△ABM≌△AFN. ∴AB＝AF. (2)四边形ABPF是菱形． 理由：∵∠α＝30°，∠EAF＝90°，∴∠BAF＝120°. 又∵∠B＝∠F＝60°，
图32－1
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轴对称与中心对称
(1)把所要判断的图形沿一条直线折叠后，直线两 旁的部分能够互相重合的图形是轴对称图形； (2)把所要判断的图形绕着某个点旋转180°后能与 自身重合的图形是中心对称图形．
轴对
中考预测
轴对称与中心对称
考点2 中心对称与中心对称图形 中心对称 把一个图形绕着某一点 180° 后，如果 旋转________ 它能与另一个图形 重合 ，那么就说这 ________ 两个图形关于这个点成 中心对称，该点叫做 对称中心 ________ 中心对称图形 把一个图形绕着某一点旋 转________ 180° ，如果旋转后 的图形能够与原来的图形 重合，那么我们把这个图 形叫中心对称图形，这个 对称中心 点叫做________
轴对称与中心对称
轴对称与中心对称
考 点 聚 焦
考点1 轴对称与轴对称图形 轴对称 把一个图形沿着某一条 直线折叠，如果它能够 与另一个图形____ ，那 重合 么就说这两个图形关于 这条直线对称，这条直 线叫做对称轴．折叠后 重合的点是对应点，叫 对称点 轴对称是指________ 两个 全 等图形之间的相互位置 关系
∴∠B＋∠BAF＝60°＋120°＝180°，∠F＋∠ BAF＝60°＋120°
＝180°. ∴AF∥BC，AB∥EF. ∴四边形ABPF是平行四边形． 又∵AB＝AF，∴▱ABPF是菱形．
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平移与旋转
(1)求旋转角时，只要找到一对对应点和旋转中心 的夹角即可；(2)旋转不改变图形的大小，旋转前后 的两个图形全等．
轴对称与中心对称
中 考 预 测
在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究 题． 如图 32－7(a)，要在燃气管道 l 上修建一个泵站，分别向 A、B 两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气 管线最短？ 你可以在 l 上找几个点试一试，能发现什么规律？
图 32－7 聪明的小华通过独立思考， 很快得出了解决这个问题的正 确办法．他把管道 l 看成一条直线(图(b))，问题就转化为，要 在直线 l 上找一点 P，使 AP 与 BP 的和最小．他的做法是这 样的：
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第33讲┃平移与旋转
探究三 平移、旋转的作图
命题角度： 1. 平移作图； 2. 旋转作图； 3. 平移、旋转的综合作图． 图33－3 例3 [2013·成都] 如图33－3，在边长为1的小正方形组 成的方格纸上，将△ABC绕着点A顺时针旋转90°. (1)画出旋转后的△AB′C′； (2)求线段AC在旋转过程中所扫过的扇形的面积．
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第33讲┃平移与旋转
归 类 探 究
探究一 图形的平移 命题角度： 1. 平移的概念； 2. 平移前后的两个图形的对应角、对应线段的关系． 例1 [ 2013· 宜宾] 如图33－1，将面积为 5 的 △ ABC 沿BC 方 向平移至 △DEF 的位置，平移的距离是边 BC 长的两倍，那 15 ． 么图中的四边形 ACED 的面积为________
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中考预测
轴对称与中心对称
图形折叠的本质是轴对称，折叠前后的两个部分全 等．
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轴对称与中心对称
探究三 与轴对称或中心对称有关的作图问题
命题角度： 1. 利用轴对称的性质作图； 2. 利用中心对称的性质作图； 3. 利用轴对称或中心对称的性质设计图案． 图32－3 例3 [2013·钦州] 如图32－3，在平面直角坐标系中， △ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为(2，4)，请解 答下列问题： (1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标； (2)画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2，并 写出点A2的坐标．
区别
轴对称与中心对称
联系
①如果把轴对称的两个图形看成一个整 体(一个图形)，那么这个图形是轴对称 图形；②如果把一个轴对称图形中对称 的部分看成是两个图形，那么它们成轴 对称 垂直平分 (1)对称点的连线被对称轴________ 相等 (2)对应线段________ 对称轴 (3)对应线段或延长线的交点在________ 上 全等 (4)成轴对称的两个图形________
析
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平移与旋转
(1)对应点的距离等于平移的距离； (2)利用“平移前后的两个图形全等”“平移前后 对应线段平行且相等”是解决平移问题的基本方法．
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平移与旋转
探究二 图形的旋转 命题角度： 1. 旋转的概念； 2. 求旋转中心、旋转角； 图33－2 3. 求旋转后图形的位置和点的坐标． 例2 [2013·娄底] 某校九年级学习小组在探究学习过 程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与 AFE按如图33－2①所示位置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆 时针方向旋转角α (0°<α <90°)，如图②，AE与BC交于点 M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P. (1)求证：AM＝AN；
轴对称与中心对称
解
(1)△A1B1C1 如图所示，A1(2，－4)． (2)△A2B2C2 如图所示，A2(－2，4)．
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轴对称与中心对称
此类作图问题的关键是根据轴对称与中心对称坐标 特征求出对称点的坐标．
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轴对称与中心对称
回 归 教 材
(1)中心对称的两个图形，对称点所连线段都 中心对称 平分 经过对称中心，而且被对称中心________ 的性质 全等 (2)成中心对称的两个图形________
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轴对称与中心对称
归 类 探 究
探究一 轴对称图形与中心对称图形的概念 命题角度： 1. 轴对称的定义，轴对称图形的判断； 2. 中心对称的定义，中心对称图形的判断．
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轴对称与中心对称
点
析
最短距离问题是勾股定理在实际生活中的具体
应用，一般地，最短距离问题可以利用“两点之间线段
最短”，或“垂线段最短”以及“勾股定理”等性质来 解决．
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中考预测
轴对称与中心对称
①作点 B 关于直线 l 的对称点 B′. ②连接 AB′交直线 l 于点 P，则点 P 为所求． 请你参考小华的做法解决下列问题．如图 32－8，在△ABC 中， 点 D、E 分别是 AB、AC 边的中点，BC＝6，BC 边上的高为 4，请 你在 BC 边上确定一点 P，使△PDE 的周长最小．
轴对称与中心对称
解：(1)如图 32－5，将点 A 沿竖直的方向向下移动，平 移距离等于桥宽，到达 A1 点，连接 A1B，与街道靠近 B 的一 侧交于点 B1，过 B1 点建桥即符合要求． 图 32－5
图 32－6
(2)如图 32－6，作 B 关于街道的对称点 B2，连接 AB2， 作 AB2 的垂直平分线，与街道靠近 A 的一侧相交于点 A2，过 A2 点建桥即符合要求． 考点聚焦 归类探究 回归教材 中考预测
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平移与旋转
平移与旋转
考 点 聚 焦
考点1 平移 方向 移动一 在平面内，将一个图形沿某个________ 距离 ，这样的图形移动称为平移 定的________ 图形平移 (1)图形平移的方向就是这个图形上的某一点 有两个基本 到平移后的图形对应点的方向；(2)图形平移 条件 的距离就是连接一对对应点的线段的长度 相等 ，对应 (1)对应线段平行(或共线)且________ 平行且相等 ，图形上的每个点 点所连的线段____________ 都沿同一个方向移动了相同的距离 平移性质 相等 ，且对应角的两边分 (2)对应角分别________ 别平行、方向一致 全等 (3)平移变换后的图形与原图形________ 定义
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轴对称与中心对称
探究二 图形的折叠与轴对称
命题角度： 图形的折叠与轴对称的关系． 例2 [2013·莱芜] 如图32－2，矩形ABCD中， AB＝1，E、F分别为AD、CD的中点，沿BE将△ABE 2 折叠，若点A恰好落在BF上，则AD＝________ ．
图32－2
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平移与旋转
考点2 旋转 在平面内，把一个图形绕着某一个定点 沿着某个方向旋转一定的角度，这样的 图形运动称为旋转．这个定点叫做 旋转中心 角旋转 ________，转动的角叫做________
定义
图形的旋转有三 (1)旋转中心；(2)旋转方向；(3)旋转角 个基本条件 度 旋转的 性质 相等 (1)对应点到旋转中心的距离________ (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等 旋转角 于________ 全等 (3)旋转前后的图形________
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轴对称与中心对称
解
析
连接 EF，
∵点 E、F 是 AD、DC 的中点， 1 1 1 ∴AE＝ED，CF＝DF＝ CD＝ AB＝ . 2 2 2 由折叠的性质可得 AE＝A′E， ∴A′E＝DE，
考点聚焦
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轴对称与中心对称
解
析
在 Rt△EA′F 和 Rt△EDF 中， ∵ ∴Rt△EA′F≌Rt△EDF(HL)． 1 ∴A′F＝DF＝ . 2 1 3 ∴BF＝BA′＋A′F＝AB＋DF＝1＋ ＝ . 2 2 在 Rt△BCF 中，BC＝ BF2－FC2＝ 2. ∴AD＝BC＝ 2.
“线路最短”问题的拓展创新
教材母题 北师大版八上P95问题解决第13题
如图32－4，甲、乙两个单位分别位于一条封闭街道的两旁 ，现准备合作修建一座过街天桥，问： (1)桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短？注意，桥必须 与街道垂直． (2)桥建在何处才能使甲、乙到桥的距离相等？
图32－4
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图33－1
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平移与旋转
解
设点 A 到 BC 的距离为 h， 1 则 S△ABC＝ BC· h＝5. 2 ∵平移的距离是 BC 的长的 2 倍， ∴AD＝2BC，CE＝BC， 1 1 ∴四边形 ACED 的面积＝ (AD＋CE)· h＝ (2BC＋BC)· h 2 2 1 ＝3× BC· h＝3× 5＝15. 2
定义
区别
中心对称是指两个全等 中心对称图形是指具有特 图形之间的相互位置关 殊形状的一个图形 系
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轴对称与中心对称
联系
①如果把中心对称的两个图形看成一个整体 (一个图形)，那么这个图形是中心对称图形； ②如果把一个中心对称图形中对称的部分看 成是两个图形，那么它们成中心对称
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轴对称图形 如果一个图形沿某一直线对 折后，直线两旁的部分能够 互相重合，这个图形叫做 ____________ 轴对称图形 ，这条直线叫 做它的对称轴．这时我们也 说这个图形关于这条直线(成 轴)对称 轴对称图形是指具有特殊形 状的________ 一个 图形
中考预测
定义
图 32－8 (1)在图中作出点 P(保留作图痕迹，不写作法)； (2)请直接写出△PDE 周长的最小值：________.
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轴对称与中心对称
解
(1)作 D 点关于 BC 的对称点 D′，连接 D′E，与 BC 交于点 P，P 点即为所求；
(2)∵点 D、E 分别是 AB、AC 边的中点， ∴DE 为△ABC 的中位线． ∵BC＝6，BC 边上的高为 4， ∴DE＝3，DD′＝4， ∴D′E＝ DE2＋DD′2＝ 32＋42＝5， ∴△PDE 周长的最小值为： DE＋D′E＝3＋5＝8， 故答案为：8.
(2)当旋转角α ＝30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边 形？并说明理由．
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平移与旋转
解 (1)证明：∵∠α＋∠EAC＝90°，∠NAF＋∠EAC＝90°，
∴∠α＝∠NAF.
又∵∠B＝∠F，AB＝AF，∴△ABM≌△AFN. ∴AB＝AF. (2)四边形ABPF是菱形． 理由：∵∠α＝30°，∠EAF＝90°，∴∠BAF＝120°. 又∵∠B＝∠F＝60°，