第三章劳斯判据1

某行的第一列项为0，其余各项不为0或不 全为0。（１）用（s+a）因子乘原特征方 程（a为任意正数），（２）或用很小的正 数代替零元素。
劳斯表
s4
s3 s2 s
1
3 0 ∞ 1 3
1
3 1 1 3 1
1
D(s)=s4+3s3+s2+3s+1=0
第一列为零 方法１：(s+3)乘原式，得 D(s)=s5+6s4+10s3+6s2+10s+3=0 s5 s4 s3 s2 1 6 10 6 10 3
2
劳斯阵列
设系统的特征方程为 D( s) a0 s n a1s n 1 a2 s n 2 ... an 1s an 0 第一列符号改变的次数等于特征方程正实部根的个数
sn s n 1 s
n 2
a0 a1
a2 a3
a4 a5

s n 3

s0
a 1a 2 a 0 a 3 a 1a 4 a 0 a 5 a 1a 6 a 0 a 7 c 13 c 23 c 33 a1 a1 a1 c 13a 3 a 1c 23 c 13a 5 a 1c 33 c 13a 7 a 1c 43 c 14 c 24 c 34 c 13 c 13 c 13
5 6 7 7
7
(6-14)/1= (6－4)/2=1-8 (10-6)/2=2
劳斯表特点
1 右移一位降两阶
2 行列式第一列不动第二列右移 3 次对角线减主对角线 4 每两行个数相等 5 分母总是上一行第一个元素 6 第一列出现零元素时，用正无 穷小量ε代替。 7 一行可同乘以或同除以某正数
2
特殊情况１：第一列某行出现0
t
（渐近）稳定 系统不稳定 临界稳定 非零常数
t
lim c(t )
t
lim c(t ) A
设n阶系统表达式为 若全部特征根有负实部，则 m
C ( s ) b0 s b1s m 1 bm 1s bm ( s ) c (t ) 0 n lim R( s) a s a s n 1 （渐近）稳定 an 1s an t 0 1
s2+1=0
对其求导得零行系数: 2s1
6
这是零行
继续计算劳斯表
第一列全大于零,所以系统稳定
劳斯表出现零行 1 注意：纯虚根为重根 劳斯表何时会出现零行? 时，系统不再等幅振 由综合除法或比较系数法 系统一定不稳定 2 出现零行怎么办? 荡，而是振荡发散。 可得另两个根s3,4= -2,-3 3 如何求对称的根?

an
第一列中各数 符号相同系统稳定
符号不同 系统不稳定
稳定的充要条件是劳思阵列第一列元素不改变符号
例3.12 特征方程为s4+2s3+3s2+4s+5=0; 用劳斯稳定判据 判别系统稳定性。
解：劳斯表
s s3
1
4
1
3
5 0
5 0 5
2
4
3 4 2
4 6
s2
符号改变一次
1
2
2 1 1 1
③ 解辅助方程得对称根: 错啦!!! s1,2=±j
劳斯阵列出现全零行:
大小相等符号相反的实根
系统在s平面有对称分布的根
共轭虚根
对称于实轴的两对共轭复根
注意两种特殊情况的处理：
1）某行的 第一列项为0 ，而其余各项不为0或
不全为0。用因子（s+a）乘原特征方程（其中a为任
意正数），或用很小的正数代替零元素，然后对新特 征方程应用劳斯判据。
r(t) r(t)
C(t)
(a)外加扰动
C(t) C(t)
(b)稳定
(c)不稳定 注意：仅适用于线性定常系统
线性系统的稳定性概念
系统工作在平衡状态,受到扰动偏离了平衡状态， 扰动消失之后，系统又恢复到平衡状态，称系统是稳 定的。稳定性只由结构、参数决定，与初始条件及外 作用无关。 • 设初始条件为零时，作用一理想脉冲信号到一线性 系统，这相当于给系统加了一扰动信号。 若lim g(t ) 0 ，则系统稳定。
（1）求系统稳定K1的取值范围； （2）要求闭环极点全部位于s= -1垂线之左，求K1的取值范围。 （2）将s=z-1代入原式，新特征方程 解：（1）系统闭环传递函数为 6500 +6443z+(6500K1-6471)=0 ( D(z)=z3+27z2s K 1) ( s ) 3 劳斯表 s 30s 2 6500s 6500K1 闭环特征方程 D(s)= s 3+30 s 2+6500 s +6500K1=0 z3 1 6443 劳斯表 3 s27 1 6500 z2 6500K1-6471 s2 30 6500K 30 6500 6500K 1 z1 s 1 6443 6500K 130 27 6471 s0 27 6500K1 K1取值范围是０＞ K1 ＞３０ K1取值范围是 1 K1 27.76 z0 6500K1-6471
3-6 线性系统的误差分析
26
一、 稳态误差的定义
有一个或一个以上正实根或实部为正的共轭复根，其余 理想脉冲函数作用下R(s)=1,输出量的拉氏变换为 m 的根具有负实部,则 K ( s zi ) n A i 1 C ( s ) ( s ) R(lim t ) i q s ) c( 系统不稳定 (m≤n) r t i 1 ( s si ) 有一个或一个以上零实部根，其余的具有负实部 k ) (s s j ) (s 2 2 k k s 2
小扰动恢复到原平衡状态， 大扰动不能恢复到原平衡状 态，系统为小范围稳定。 线性系统，小范围稳定， 必然大范围稳定。 扰动消失后，输出与原平衡 状态间存在恒定的偏差或输出 维持等幅振荡，系统处于临界 稳定状态。 经典控制论中，临界稳定视 为不稳定。
大范围稳定
小范围稳定
图示用曲线表示稳定性的概念和定义
9 9.5 -0.33 3
s1 s0
91.4 3
0
s4 s3 方法２ s2 s2 s
３
1

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(3
-3)/
代替 了０
1
特殊情况2：
劳斯表出现零行
① 有大小相等符号相反的 特征根时会出现零行 ② 由零行的上一行构成 辅助方程:
设系统特征方程为：
s4+5s3+7s2+5s+6=0 劳 斯 表
s4 1 s3 5 s2 6 s1 0 2 s0 1 7 5 6
该系统不稳定
有两个正实部根
变号的次数为特征根在s右半平面的个数!
1、劳斯稳定判据（首项为０） 设系统特征方程为： s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0
劳 斯 表
s6 s5 s4 s3 s2 s1 s0
3 4 2 -8 -8 2 ε +8 7 ε -8(2 +8)-7 ε ε ε 7
1 2 1 ε 0
试用劳斯稳定判据判别系统稳定性。
解：列劳斯表
s4 s3
1
1
3
3
5
2
4
1 5
0
s2
s
1
2
2 4 1 2 0 5 2 2
4
s
0
1 5 6 1 1 5
0
第一列元素符号变化两次，因此系统不稳定性。
6 0 5 6
1、劳斯稳定判据（劳斯表介绍） 设系统特征方程为： s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0
2）当劳斯表中出现全零行时，用上一行的系数构
成一个辅助方程，对辅助方程求导，用所得方程的系 数代替全零行。
例3.5
设系统特征方程为s4+2s3+s2+2s+2=0；试用 劳斯 稳定判据判断系统的稳定性。
解：劳斯表
s4 s3 s2 s1 s0
(取代0) 2-4/ 2
1 2
1 2 2
2 0
第一列元素的符号改变两次，故系统是不稳定。并 且在S右半平面上有两个极点。
5 3
稳定性与零点无关
s平面
O

s2
s1

s4

s6
3.5.3
线性系统的代数判据
代数判据可以省略高阶系统求征特根带来的麻
烦。常用的代数判据有劳斯判据.
重点
劳斯阵列 劳斯(routh)判据 劳斯(routh)判据的特殊情况 劳斯(routh)判据的应用
例3.4 设系统特征方程为s4+2s3+3s2+4s+5=0;
求导得： (s) / ds 8s3 16s dF
以导数的系数取代全零行的各元素，继续列写劳斯表： s6 s5 s4 s3 s2 s1 s0 • • • 1 2 2 8 4 8 4 6 8 8 16 4 10 4 4 4
dA(s)/ds的系数
第一列元素全为正，系统并非不稳定； 阵列出现全零行，系统不是稳定的； 综合可见，系统临界稳定的（存在有共轭纯虚根）。
t
• 线性系统稳定的充分必要条件： 闭环系统特征方程的所有根都具有负实部。
判别系统稳定性的基本方法：
[S平面] j
(1) (2) (3) (4)
劳斯—古尔维茨判据 根轨迹法 奈奎斯特判据 李雅普诺夫第二方法
稳定区域
不稳定区域

0
二、劳斯—赫尔维茨判据

线性系统特征方程为：
D(s) a0 s n a1s n1 an1s an 0, a0 0
e k k t sin( k 1 k )t (t≥0)
系统稳定的充分必要条件
系统特征方程的根全部具有负实部，即闭环系 统的极点全部在s平面左半部。 稳定的必要条件
特征方程 D(s) a 0 s n a 1s n 1 ... a n 1s a n 0 各项系数有相同的符 j s 号，无零系数 s
例3.6
设系统特征方程为s6+2s5+6s4+8s3+10s2+4s+4=0；试 用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。 解：列出劳斯表 s6 s5 s4 s3 用 1 2 2 0 6 8 8 0 10 4 4 0 4 辅助多项式A(s)的系数
s
4 行的系数构造系列辅助方程
F (s) 2s 4 8s2 4 0
1
2 2
s
符号改变一次
1
5
0
s
0
5
6 0 5 6
符号改变两次，s平面右侧有两个根，系统不稳定性。 动画
劳斯(routh)判据小结
系统稳定的必要条件: 特征方程各项系数
全>0或全<0 有正有负一定不稳定! 缺项一定不稳定! -s2-5s-6=0稳定吗？
系统稳定的充分条件: 劳斯表第一列元素不变号! 若变号系统不稳定!
解辅助方程可得共轭纯虚根：
F (s) 2s 8s 4 0
4
2
s1.2 j 0.586 j0.766 s3.4 j 3.414 j1.848
即在虚轴上有根。
例3.14 负反馈系统的开环传递函数
G( s) H ( s)
6500 s K1 ) ( s 2 ( s 30)
劳 斯 表
s6 s5 s4 s3 s2 s1 s0
3 4 2 -8 -8 2 ε +8 7 ε -8(2 +8)-7 ε ε ε 7
1 2 1 ε 0
5 6 7 7
7
(6-14)/1= (6－4)/2=1-8 (10-6)/2=2
劳斯表特点
1 右移一位降两阶
2 行列式第一列不动第二列右移 3 次对角线减主对角线 4 每两行个数相等 5 分母总是上一行第一个元素 6 第一列出现零元素时，用正无 穷小量ε代替。 7 一行可同乘以或同除以某正数

稳定判据：只要根据特征方程的系数便可判别出特征根是 否具有负实部，从而判断出系统是否闭环稳定。
3.5.2线性系统稳定的充要条件
稳定的条件
系统初始条件为零时，受到δ( t)的作用，输出 c(t ) 为 单位脉冲响应，这相当于系统在扰动作用下，输出信号偏 离平衡点的问题，当t→∞时，
若 若 若
lim c (t ) 0
3-5
稳定性分析
3.5线性系统的稳定性分析
35.1 稳定性概念及定义
系统受到扰动偏离了平衡状态，扰动消失后，又恢复到 平衡状态，称系统是稳定的。 线性系统的稳定性由系统的结构和参数决定，与初始条 件及外作用无关。
稳 定 的 摆
不 稳 定 的 摆
不论扰动引起的初始偏差有 多大，扰动取消后，系统都能 够恢复到原有的平衡状态是大 范围稳定。
lim n 拉氏反变换为 临界稳定 其中 0 k 1 q 2 c(t ) A
t
j 1 k 1
c(t ) A j e
j 1
q
s jt
Bk e
k 1
r
k k t
cos( k 1 k )t
2
2

k 1
r
Ck Bk k k
k 1 k 2