第五章 机器人操作机工作空间

C1
分别是灵活工作空间的边界。
它们之间的环形面积即Wp(P)。
C2
4
3）圆C1到圆C2之间；圆C3到圆C4之间两环形面积即为次工作
空间。
由此可以看出：
1) 在 Wp(P)中 的 任 意点 为 全 方位可达点。
2)在C1和C4圆上的任一点，
只可实现沿该圆的切线方 向的运动。
3)末杆H越长，即h越大，C1
再设曲面 以 为参数运动，得到曲面族 ，其方程为:
uur uur
： r r u, v,
曲面族的包络 的方程为：
uur uur
：
r r u,v,
uuur uuur uuur
(ru rv ) ra 0
式中
uuur ru
uur r
u
，ruuuvr
uuur r
v，ruuur
uuur
r
一般说来，工作空间都是一块或多块体积空间，它们都具
有一定的边界曲面(有时是边界线)。W(P) 边界面上的点所 对应的操作机的位置和姿态均为奇异位形。与奇异位形相应
的机器人的速度雅可比矩阵是奇异的，所以操作机的工作空
间边界面又常称作雅可比曲面，即雅可比矩阵的行列式等于 零所对应的曲面。
灵活空间内点的灵活程度受到操作机结构的影响，通常分
在应用图解法时．也将关节分为两组，即前三关节和后 三关节(有时为两关节或一关节)，前三关节称位置结构， 主要确定工作空间大小，后三关节称定向结构，主要决定 手部姿势。首先分别求出该两组关节所形成的腕点空间和 参考点在腕坐标系中的工作空间，再进行包络整合。
下面取两旋转关节进行图解讨论。
18
若 n1 0
其绕将各后关面节各运杆动（形4、成5的、曲6 面杆的）包划络为，另得一到组界，限在曲末面杆上 取W0(参P3) 考。点 P6(可取手心点)，求出其绕后面关节运动形成的曲面（线）的 包的络包让，络 W得面3(Pn到公) 沿界式限求W0曲出(P3)面末运杆动W上3，(P参n)就考。形点成的了工双作参空数间曲界面限族曲，面可用W0(相Pn)。应
长度(即H杆的长度)，则：
1) 圆C1:半径为 R1 l1 l2 h ， 圆C4:半径为 R4 l1 l2 h ，
分别是该操作机的总工作空 间的边界。它们之间的环形 而积即W(P) 。
2）圆C2:半径为 R4 l1 l2 h ， 圆C3:半径为 R1 l1 l2 h ， C4 C3
P6 ap6 , 0, d p6
64 T64 P6 x42 y42 z42 aP6 2 dP6 2 R42
64 Rot(z4,4 ) 64
有了曲面族方程式，利用包络公式可求出包络条件，并与 上式联立，即得该球面方程
14
对于前三关节一组，腕点P3 = O4
P3 a3,d4,0
相切于不同点，称 为该曲线族的包络。
若存在一曲面 ，与曲面族中的任一曲面都沿一条曲
线 Ct 相切，这时 就称作该曲面族的包络。
7
下面给出一种分组求解操作机工作空间 W0 (Pn ) 包络界限曲 面 W0(Pn) 的基本思想。
对于自由度 F 6 的机器人操作机，将操作机的前三杆(或前
三关节)划为一组，在第三杆上设置参考点P3(相当于腕点)，求
1、解析法 由操作机工作空间的形成可以看出，其工作空间 W0 (Pn ) 的 界限曲面 W0(Pn) 可以看作是由末端参考点绕各关节运动形成 的曲线族或曲面族的包络。因此，多次运用单参数曲面族的 包络公式能够顺序求得工作空间的界限曲面。
若在空间有一条曲线 存在，它上面的每一个点都是与曲
线族 中的每一条曲线相切的切点，曲线中的不同的线与
32
▪ 重复精度 指机器人重复到达同样位置的精确程度。它不仅 与机器人驱动器的分辨率及反馈装置有关，还与传动机构的 精度及机器人的动态性能有关。 ▪ 控制模式 引导或点到点示教模式；连续轨迹示教模式；软 件编程模式；自主模式。 ▪ 运动速度 单关节速度；合成速度。 ▪ 其它动态特性 如稳定性、柔顺性等。
越大，C4越小，总工作空 C4
间越大；但相应的灵活工
C3
作空间则由于C2的增大和
C3的减小而越小。
C1 C2
4)工作空间同时受关节的转角限制。
5
5.1.2 工作空间的两个基本问题
1)给出某一结构形式和结构参数的操作机以及关节变量的变 化范围，求工作空间。称为工作空间分析或工作空间正问题。
2)给出某一限定的工作空间，求操作机的结构形式、参数和 关节变量的变化范围。称工作空间的综合或工作空间逆问题。
uuuur r
uuuur r
uuuur
，r
uuuur r
11
若母线 和 母面 ， 以及 ， ， 都 是参数方程形式给
出的，则可从上三式导出更便于计算的形式，如： 式中
12
例1 用解析法考察PUMA560型机器人在关节变量无结构限制
条件下(即0＜ ＜360。。)的工作空间界限曲面
13
将O4= O5= O6= P3定为手腕点，6个关节分为两组：后三关 节(4，5，6)为轴线交于W 的旋转关节；前三关节另一组。 在末杆上取参考点P6(可取手心点)，对于后三关节一组
机器人技术
陶建国
哈尔滨工业大学机电学院 2005. 2.
第五章 机器人操作机工作空间
5.1 概述
工作空间是从几何方面讨论操作机的工作性能。B．Roth 在1975年提出了操作机工作空间的概念。
5.1.1 基本概念
➢ 操作机的工作空间：机器人操作机正常运行时，末端执
行器坐标系的原点能在空间活动的最大范围；或者说该原
10
若 再以 为参数运动，得到曲面族 ，其包络（称为
二次包络） 的方程为:
uuur uuur
：
r r u, v, ,
uuur uuuur uuur
(ruuuur
ruuuuvr
)
源自文库
r uuur
a
0
(ru rv ) r 0
式中
uuuur
r
u
uuur r u
uuuur
，rv
uuuur r v
机器人静力学研究机器人静止或缓慢运动式，作用在机器 人上的力和力矩问题。特别是当手端与环境接触时，各关节 力（矩）与接触力的关系。
机器人动力学研究机器人运动与关节驱动力（矩）间的动 态关系。描述这种动态关系的微分方程称为动力学模型。由 于机器人结构的复杂性，其动力学模型也常常很复杂，因此 很难实现基于机器人动力学模型的实时控制。然而高质量的 控制应当基于被控对象的动态特性，因此，如何合理简化机 器人动力学模型，使其适合于实时控制的要求，一直是机器 人动力学研究者追求的目标。
空间。
1——空腔；2——空洞
23
二、空洞及空腔约形成条件 1、空洞的形成条件及其判别 工作空间 Wn (Pn )与其后级旋 转轴 zn1 若不相交，则在该旋 转轴的周围形成空洞。 空洞存在与否可根据前级空 间Wn (Pn ) 和后级旋转轴 zn1之 间的最小距离来判断。 若 Rxmin 0 。 则不存在空 洞； 若 Rxmin 0 则存在空洞。
点可达点占有的体积空间。这一空间又称可达空间或总工
作空间，记作W(P)。
➢ 灵活工作空间：在总工作空间内，末端执行器可以任意
姿态达到的点所构成的工作空间。记作Wp (P)。
➢ 次工作空间：总工作空间中去掉灵活工作生间所余下的
部分。记作Ws (P)。
2
根据定义，有:
W ( p) Wp ( p) Ws ( p)
作两类：
I类 —末端执行器以全方位到达的点所构成的灵活空间，
表示为 Wp1 (P) ；
II类 —只能以有限个方位到达的点所构成的灵活空间，
表示为 Wp2 (P)。
3
下面以平面3R操作机为例，说明上述基本概念。
如图所示的3R操作机，由三杆L1，L2，和H组成。后两杆的 长度之和小于L1的长度。取手心点P 为末端执行器的参考点， 令l1，l2 分别为l1，l2 杆的长度，h为手心点P 到关节点O8 的
Zn
Zn-1
Zn
Zn-1
Zn-1
Zn
19
若 n1 90
Zn-1
Zn-1
20
例2 用图解法考察Motorman型机器人操作机的工作空间。
21
22
5.3 工作空间中的空洞和空腔
一、定义
空洞——在转轴 zi 周围，沿z的全长参考点Pn均不能达到
的空间。 空腔——参考点不能达到的被完全封闭在工作空间之内的
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5.2 工作空间的形成及确定 5.2.1 工作空间的形成
Zn-2
Zn-1
Wn( j1) (Pn ) Rot(Zn j ,n j ) Wn j (Pn ) Pn — 末杆上的参考点； W(*) —参考点占据的工作空间。
工作空间边界上的界限点构成界限 曲面。界限曲面可以用不同方法求出。
Zn Pn
6
5.2.2 工作空间的确定
13 T31 P3
30 Rot(z1,1) 13
利用包络公式可求出包络条件，并与上式联立，即得该 曲面方程 。
15
腕点工作空间 16
PUMA560型机器人无结构限制时的工作空间轴剖面 17
2、图解法 用图解法求工作空间，得到的往往是工作空间的各类别
截面(或削截线)。它直观性强，便于和计算机结合，以显 示在可达点操作机的构形特征。
27
6.1 机器人静力学
一、杆件之间的静力传递
在操作机中，任取两连杆LJ， lfl，，如图7—1。设在杆Lf*，上 作用在点o‘t，有力矩肋lh和力扩 ft：；在杆』f上作用有自屋C 〔道质 Li 心c刀，rf和rcf分别为山o。到 o‘t*和cl的向径rl(或记为rj“l)和 r‘，(或记为rf．。l)。
24
2．空腔的形成条件及其判别 在Wn1(Pn )空间中形成空腔的必要条件是在 Wn (Pn ) 工作
空间中存在空洞，但这还不是形成空腔的充分条件。
25
Zn-1
26
第六章 机器人静力学和动力学
静力学和动力学分析，是机器人操作机设计和动态性能分 析的基础。特别是动力学分析，它还是机器人控制器设计、 动态仿真的基础。
可见，求工作空间的问题，可以归结为求曲面（线）族的包 络问题。
8
分别用 、 ；、； 、 表示母线、母面，曲线族、曲
面族以及它们的包络。
曲线族的包络：
设有曲线 用向量方程表示：
：
r r
r r
t
xt
,
y
t
,
z
t
式中t是曲线 的几何参数。
再设曲线 以 为参数运动，则在空间相应于不同的 ，就
形成了一系列的以uur u为ur 母线的曲线族。记作，其方程为:
六轮漫游机器人
仿鸟机器人
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1.3.3 机器人的性能要素
▪ 自由度数 衡量机器人适应性和灵活性的重要指标，一般 等于机器人的关节数。机器人所需要的自由度数决定与其 作业任务。 ▪ 负荷能力 机器人在满足其它性能要求的前提下，能够承 载的负荷重量。 ▪ 运动范围 机器人在其工作区域内可以达到的最大距离。 它是机器人关节长度和其构型的函数。 ▪ 精度 指机器人到达指定点的精确程度。它与机器人驱动 器的分辨率及反馈装置有关。
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5、平面关节型 (SCARA) 仅平面运动有耦合性，控制较通用关节型简单。但运动
灵活性更好，铅垂平面刚性好。
SCARA型装配机器人
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二、特种机器人
仿生型 自由度一般较多，具有更强的适应性和灵活性，但控制
更复杂，成本更高，刚性较差。
类人型机器人
蛇形机器人
仿狗机器人
30
六足漫游机器人 仿鱼机器人
： r r t, x t, , y t, , z t,
式中 是曲线 的运动参数。 曲线族的包络方程为：
uur uur
：
r r t,
ur uur
式中
ur rt
uur r
t
，ruur
rt r
r
0
9
曲面族的包络：
设有曲面 用向量方程表示：
：
rr
r r u,v
式中 u，v 是曲面 的几何参数。