运城学院 高等数学试题+答案

运城学院 高等数学试题+答案

一、填空题（每空3分，共30分）

1、设f (x ) = x 15 + 4x 5 – 2x + 1，则f (16)(x ) = 0 。

2、20lim(13)x

x x →+ = e 6 。 3、当k = 1 时，20()0x

e x

f x x k

x ⎧≤=⎨+>⎩在x = 0处连续。 4、设方程x 3 + xy + y 3 = e 确定隐函数y = y (x )，则dy = 2233x y dx x y

+-+。 5、sin lim x x x

→+∞ = 0 。 6、函数2243()(1)

x x f x x x -+=-的第一类间断点为 x = 1 。 7、若()sin 2f x dx x C =+⎰，C 为常数，则f(x)= 2cos2x 。

8、不定积分sin d x e x x =⎰

1e sin cos 2x x x -（）+C 。 9、不定积分2cos xdx =⎰

11sin 224x x C ++ 。 10、不定积分1(1)

dx x x =-⎰ ln ||ln |1|x x C -+-+ 。 二、计算题（每小题10分，共40分）

11、计算极限01lim x x

→。

解：

00011lim 2

x x x x →→→===。......10分 12、计算极限0lim sin x x

x e e x

-→-。 解：000lim lim lim 2sin 1

x x x x x x

x x x e e e e e e x x ---→→→--+===。......10分

13、计算极限22212lim 12n n n n n n →+∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭。 解：由于对任意1 ≤ k ≤ n 有n 2 + 1 ≤ n 2 + k ≤ n 2 + n ，所以

2221k k k n n n k n ≤≤+++，所以2222212121212

1n n n n n n n n n n ++++++≤+++≤+++++，即2222112(1)2122(1)

n n n n n n n n +≤+++≤++++。......7分 由于2(1)1lim 2(1)2n n n n →+∞+=+，所以222121lim 122n n n n n n →+∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝

⎭。......3分 14、设函数y = y (x )由2ln(1)arctan x t y t

⎧=+⎨=⎩确定，计算22d y dx 。 解：22

1

11221dy t t dx t

t +==+，......5分 2222321()12241d dy d y t dt dx t dx t dx t

dt t

+-===-+。......5分 三、解答题（每小题10分，共30分）

15、证明方程x 5 + x – 1 = 0只有一个正根。

证明：令f (x ) = x 5 + x – 1则f ′(x ) = 5x 4 +1 > 0，所以，函数f (x )在(0，+∞)内递增。......4分

又f (1) = 1 > 0，f (0) = -1 < 0，由根的存在定理知道在(0，1)内必有根，......4分 所以方程x 5 + x – 1 = 0只有一个正根。......2分

16、求函数221x y x

=+的极值及单调区间。 解：函数的定义域为(-∞，+∞)，222(1)(1)(1)

x x y x --+'=+，所以导数为零的点为-1、1，没有不可导点。......4分

容易知道，在(-∞，-1)上y ′ < 0，在(-1，1)上y ′ > 0，在(1，∞)上y ′ < 0。所以(-∞，-1]及[1，+∞)是函数的单减区间，[-1，1]是函数的单增区间，......4分

同时得到，-1是极小值点，极小值为-1，1是极大值点，极大值为1。......2分

17、某地区防空洞截面拟建成矩形加半圆(如下图)，若已知截面面积为5m 2，问底宽x 为多少时才能使截面周长最小，从而使建造时使用的材料最省?

解：设截面周长为l ，则1222222

x x l x y x y ππ=++⋅=++，

又据题意得：21 ()522x xy π+=，即58

x y x π=-， 故52()82

x x l x x ππ=+-

+10, (0,4x x x x π=++∈，......5分 又23

10201, 4l l x x π

'''=+-=， 令l ′ = 0

，得驻点x =

由3220040()4x l π

''

=>+

，得x =......4分

又极值点唯一，故极小值点就是最小值点，所以当截面的底宽x =长最小，从而使建造时使用的材料最省。......1分