高考数学巧解：线性规划约束条件中含参数问题

高考数学巧解：线性规划约束条件中含参数问题

一、单选题

1．已知x ，y 满足条件0020x y y x x y k ≥≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩

，（k 为常数），若目标函数3z x y =+的最大值

为9，则k =（ ）

A ．16-

B ．6-

C ．274-

D ．274

2．已知x ，y 满足不等式00224

x y x y t x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，且目标函数z ＝9x +6y 最大值的变化范围[20，22]，则t 的取值范围（ ）

A ．[2，4]

B ．[4，6]

C ．[5，8]

D ．[6，7]

3．已知实数x y ，满足1{21y y x x y m ≥≤-+≤，

，．

如果目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m 等

于（ ）

A ．7

B ．5

C ．4

D ．3

二、填空题 4．设2z x y =+，其中,x y 满足2000x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩

，若z 的最小值是9-，则z 的最大值为

_______．

5．若变量x ，y 满足约束条件0200y x x y x a -≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩

，且2z x y =+的最大值是最小值的3倍，

则实数a =______.

参考答案

1．B 画出x ，y 满足的0,0(20x y y x

k x y k ⎧⎪⎨⎪++⎩

厖……为常数）可行域如下图：

由于目标函数3z x y =+的最大值为9，

可得直线0y =与直线93x y =+的交点(3,0)B ，

使目标函数3z x y =+取得最大值，

将3x =，0y =代入20x y k ++=得：6k

=-．故选：B ．

点评：

如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组)，代入另一条直线方程，消去x ，y 后，即可求出参数的值．

2．B 画出不等式组0024x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+=⎩

所表示的可行域如图△

AOB

当t ≤2时，可行域即为如图中的△OAM ，此时目标函数z ＝9x +6y 在A （2，0）取得最大值Z ＝18不符合题意

t ＞2时可知目标函数Z ＝9x +6y 在224x y t x y +=⎧⎨+=⎩的交点（82433t t --，）处取得最大值，此时Z ＝t +16

由题意可得，20≤t +16≤22解可得4≤t ≤6故选：B ．

点评：

此题考查线性规划，根据可行域结合目标函数的最大值的取值范围求参数的取值范围，涉及分类讨论思想，关键在于熟练掌握截距型目标函数的最大值最优解的处理办法.

3．B 考虑特殊的交点再验证，由题设可能在

1

2101213{{15021333m x x y m m m x m m y +=

--=+-⇒⇒-=-⇒=+-=-=，运动变化的观念验证满足，则选B ．

4．9

如图画出不等式组表示的平面区域，转化2z x y =+为2+y x z =-

当z 取得最小值时，直线经过阴影部分，且截距最小

因此当经过A 点时，z 取得最小值

联立：2,(2,)20y k x k y k A k k x y =⎧∴=-=∴-⎨+=⎩

因此：2(2)393z k k k k =⨯-+=-=-∴=

当经过点B 时，截距最大，z 取得最大值

联立：33,3(3,3)0y x y A x y =⎧∴==∴⎨-=⎩

因此：2339z =⨯+=故答案为：9

5．1

3

作出不等式组表示的区域如图，设2z x y =+，则2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，当直线过点A 时，直线截距最大，此时z 也最大，由020y x x y -=⎧⎨+-=⎩

，解得点(1,1)A ，则z 的最大值是213z =+=，同理，当直线过点B 时，z 最小，由0y x x a

-=⎧⎨=⎩，解得(,)B a a ，则z 的最小值是23z a a a =+=，又最大值是最小值的3倍，则有333a =⨯，解得13

a =.

故答案为：

13