(完整版)与球有关的高考试题

2016年高考数学微专题：与球体有关的问题

一、高考趋势分析：

立体几何章节在传统的高考中分值占22分左右，以两小一大的形式出现较多。与球相关的问题也时有考题出现，现针对近年高考考题形式总结如下 ，也是每年高考热点，每年高考中主要考查选择、填空题目、解答题。

二、基础知识点拨：

1．长方体、正方体的外接球其体对角线长为该球的直径．

2．正方体的内切球其棱长为球的直径．

3．正三棱锥的外接球中要注意正三棱锥的顶点、球心及底面正三角形中心共线． 4．正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 方法主要是“补体”和“找球心”

考试核心：性质的应用22212r R OO d -==，构造直角三角形建立三者之间的关系。

三、高考试题精练

1.（2015高考新课标2，理9）已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )

A ．36π B.64π C.144π D.256π 【答案】C

【考点定位】外接球表面积和椎体的体积．

2．(2015·辽宁高考)已知直三棱柱

ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的

球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( )

A.3172 B ．210

C.132

D ．310

解析：选C 如图，由球心作平面ABC 的垂线，则垂足为BC 的中点M .又AM ＝12BC ＝52，OM ＝1

2

AA 1＝6，所以球O 的半径R ＝OA ＝

⎝ ⎛⎭

⎪⎫522＋62＝13

2.

3．(2016·长春模拟)若一个正四面体的表面积为S 1，其内切球的表面

积为S 2，则S 1

S 2

＝________.

解析：设正四面体棱长为a ，则正四面体表面积为S 1＝4·34·a 2

＝3

a 2

，其内切球半径为正四面体高的14，即r ＝14·63a ＝6

12

a ，因此内切球表

面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1

S 2＝3a 2

π6

a 2＝63π

.

答案：63π

4．四棱锥P -ABCD 的五个顶点都在一个球面上，该四棱锥的三视图如图所示，E ，F 分别是棱AB ，CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为22，则该球的表面积为( )

A ．9π

B ．3π

C ．22π

D ．12π

解析：选D 该几何体的直观图如图所示，

该几何体可看作由正方体截得，则正方体外接球的直径即为PC .由直

线EF 被球面所截得的线段长为22，可知正方形ABCD 对角线AC 的长为22，可得a ＝2，在△PAC 中PC ＝ 22＋?22?2＝23，球的半径R ＝ 3，∴S 表＝4πR 2＝4π×(3)2＝12π.

四、典型例题精析

类型一：有公共底边的等腰三角形，借助余弦定理求球心角。（两题互换

条件形成不同的题）

1.15．如图球O 的半径为2，圆

1O 是一小圆，1

OO =A 、B 是圆1O 上两点，若A ，B 两点间的球面距离为23

π

，则1AO B ∠= . （2015年理科）

2.15．如图球O 的半径为2，圆1O 是一小圆，1

OO =A 、B 是圆1O 上两点，若1AO B ∠=2

π，则A,B 两点间的球面距离为 （2014年文科）

类型二：球内接多面体，利用圆内接多边形的性质求出小圆半径，通常用

到余弦定理求余弦值，通过余弦值再利用正弦定理得到小圆半径

r C

c

2sin =，从而解决问题。 3.15. 直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,

120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 。

（2014年理科） 析：欲求球的表面积，归根结底求球半径R ，与R 相关的是重要性质

222d r R +=。

∵AA 1=2, ∴12

1

121====AA OO OO d 。 现将问题转化到⊙O 2的半径之上。

因为△ABC 是⊙O 2的内接三角形，又知AB=AC=2，∠BAC=120°，三角

形可解。

由余弦定理有32444cos 222=++=∠⋅⋅-+=BAC AC AB AC AB BC ， 由正弦定理有

2sin 22sin =∠=⇒=∠BAC

BC

r r BAC BC

∴.514222=+=+=d r R ∴ππ2042==R S 。

4.14．正三棱柱111ABC A B C -内接于半径为2的球，若,A B 两点的球面距离为

π，则正三棱柱的体积为 8 ．（2013年理科）

5.12．已知球的直径SC =4，A ，B 是该球球面上的两点，AB =

3

，

ο30=∠=∠BSC ASC ，则棱锥

S —ABC 的体积为 C （2014年理科）

A ．33

B ．32

C ．3

D ．1

6.（11）已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==，

BC =O 表面积等于 A （2015年文科）

（A ）4π （B ）3π （C ）2π （D ）π

类型三：通过线线角、线面角、面面角之间的平面的转化，构造勾股定理处理问题。

7.15.设OA 是球O 的半径，M 是OA 的中点，过M 且与OA 成45°角的平面截球O 的表面得到圆C 。若圆C 的面积等于74

π

，则球O 的表面积等于 .（2015年文科）

析：问题的解决根本——求球半径OB R =。 与R 相关的重要性质222d r R +=中，2r 可求（∵4

72

ππ=

r ∴4

72

=

r

）

问题转化到求OC d =上

充分运用题目中未用的条件，2R

OM

=

，∠OMC=45°，∴2

2R d =

于是8

472

2

R R +

=求得22=R ，∴ππ842==R S