(完整版)与球有关的高考试题

2016年高考数学微专题：与球体有关的问题
一、高考趋势分析：
立体几何章节在传统的高考中分值占22分左右，以两小一大的形式出现较多。

与球相关的问题也时有考题出现，现针对近年高考考题形式总结如下 ，也是每年高考热点，每年高考中主要考查选择、填空题目、解答题。

二、基础知识点拨：
1．长方体、正方体的外接球其体对角线长为该球的直径．
2．正方体的内切球其棱长为球的直径．
3．正三棱锥的外接球中要注意正三棱锥的顶点、球心及底面正三角形中心共线． 4．正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 方法主要是“补体”和“找球心”
考试核心：性质的应用22212r R OO d -==，构造直角三角形建立三者之间的关系。

三、高考试题精练
1.（2015高考新课标2，理9）已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )
A ．36π B.64π C.144π D.256π 【答案】C
【考点定位】外接球表面积和椎体的体积．
2．(2015·辽宁高考)已知直三棱柱
ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的
球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( )
A.3172 B ．210
C.132
D ．310
解析：选C 如图，由球心作平面ABC 的垂线，则垂足为BC 的中点M .又AM ＝12BC ＝52，OM ＝1
2
AA 1＝6，所以球O 的半径R ＝OA ＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫522＋62＝13
2.
3．(2016·长春模拟)若一个正四面体的表面积为S 1，其内切球的表面
积为S 2，则S 1
S 2
＝________.
解析：设正四面体棱长为a ，则正四面体表面积为S 1＝4·34·a 2
＝3
a 2
，其内切球半径为正四面体高的14，即r ＝14·63a ＝6
12
a ，因此内切球表
面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1
S 2＝3a 2
π6
a 2＝63π
.
答案：63π
4．四棱锥P -ABCD 的五个顶点都在一个球面上，该四棱锥的三视图如图所示，E ，F 分别是棱AB ，CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为22，则该球的表面积为( )
A ．9π
B ．3π
C ．22π
D ．12π
解析：选D 该几何体的直观图如图所示，
该几何体可看作由正方体截得，则正方体外接球的直径即为PC .由直
线EF 被球面所截得的线段长为22，可知正方形ABCD 对角线AC 的长为22，可得a ＝2，在△PAC 中PC ＝ 22＋?22?2＝23，球的半径R ＝ 3，∴S 表＝4πR 2＝4π×(3)2＝12π.
四、典型例题精析
类型一：有公共底边的等腰三角形，借助余弦定理求球心角。

（两题互换
条件形成不同的题）
1.15．如图球O 的半径为2，圆
1O 是一小圆，1
OO =A 、B 是圆1O 上两点，若A ，B 两点间的球面距离为23
π
，则1AO B ∠= . （2015年理科）
2.15．如图球O 的半径为2，圆1O 是一小圆，1
OO =A 、B 是圆1O 上两点，若1AO B ∠=2
π，则A,B 两点间的球面距离为 （2014年文科）
类型二：球内接多面体，利用圆内接多边形的性质求出小圆半径，通常用
到余弦定理求余弦值，通过余弦值再利用正弦定理得到小圆半径
r C
c
2sin =，从而解决问题。

3.15. 直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,
120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 。

（2014年理科） 析：欲求球的表面积，归根结底求球半径R ，与R 相关的是重要性质
222d r R +=。

∵AA 1=2, ∴12
1
121====AA OO OO d 。

现将问题转化到⊙O 2的半径之上。

因为△ABC 是⊙O 2的内接三角形，又知AB=AC=2，∠BAC=120°，三角
形可解。

由余弦定理有32444cos 222=++=∠⋅⋅-+=BAC AC AB AC AB BC ， 由正弦定理有
2sin 22sin =∠=⇒=∠BAC
BC
r r BAC BC
∴.514222=+=+=d r R ∴ππ2042==R S 。

4.14．正三棱柱111ABC A B C -内接于半径为2的球，若,A B 两点的球面距离为
π，则正三棱柱的体积为 8 ．（2013年理科）
5.12．已知球的直径SC =4，A ，B 是该球球面上的两点，AB =
3
，
ο30=∠=∠BSC ASC ，则棱锥
S —ABC 的体积为 C （2014年理科）
A ．33
B ．32
C ．3
D ．1
6.（11）已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==，
BC =O 表面积等于 A （2015年文科）
（A ）4π （B ）3π （C ）2π （D ）π
类型三：通过线线角、线面角、面面角之间的平面的转化，构造勾股定理处理问题。

7.15.设OA 是球O 的半径，M 是OA 的中点，过M 且与OA 成45°角的平面截球O 的表面得到圆C 。

若圆C 的面积等于74
π
，则球O 的表面积等于 .（2015年文科）
析：问题的解决根本——求球半径OB R =。

与R 相关的重要性质222d r R +=中，2r 可求（∵4
72
ππ=
r ∴4
72
=
r
）
问题转化到求OC d =上
充分运用题目中未用的条件，2R
OM
=
，∠OMC=45°，∴2
2R d =
于是8
472
2
R R +
=求得22=R ，∴ππ842==R S
8.(11)已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为 D （2014年理科）
(A)7π (B)9π (C)11π (D)13π
9.（5）如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬060纬线长和赤道长的比值为C （2015文科）
（A ）0.8 （B ）0.75 （C ）0.5 （D ）0.25 类型四：球内接多面体的相关元素之间的联系。

10.13．圆柱形容器内部盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示)，则球的半径是 4 cm ．（2010年理科）
11.16．长方体1111ABCD A B C D -的顶点均在同一个球面上，11AB AA ==，
2BC =，则A ，B 两点间的球面距离为
3
π
.（2015年文科） 12.14．体积为8的一个正方体，其全面积与球O 的表面积相等，则球O 的体积等于 π34 ．（2009年文科）
13.16．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底
面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的
3
16
，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为___1/3____．（2015年文科） 14.15.如图，半径为R 的球O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大是，求的表面积与改圆柱的侧面积之差是 22R π . 类型五：平面几何性质在球中的综合应用。

15.（16）已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆M 与圆N 的公共弦，4AB =．若3OM ON ==，则两圆圆心的距离MN = ．
（2015年理科） 析：由OM=ON 知，⊙M 与⊙No 为等圆，根据球中的重要性质∴
7916222=-=-=d R r
又MH ⊥AB 得H 为AB 中点，∴BH=AH=2 ∴322=-==BH r NH MH ∵∠OMH=∠ONH=90°∴∠MON=π－∠MHN 由余弦定理有MN 2=OM 2+ON 2－2OM ·ON ·cos ∠MON MN 2=MH 2+NH 2－2MH ·NH ·cos(解得cos ∠MON=21
，即∠MON=3
π
∴三角形OMN 为等边三角形， ∴MN=3. 类型六：性质的简单应用。

16.(15)已知OA 为球O 的半径，过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆M ，若圆M 的面积为3π，则球O 的表面积等于______16π_______.（2009年文科）
17.（15）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O
的球面上，且6,AB BC ==,则棱锥O ABCD -的体积为 24 。

（2011年理科）
18.（9
的四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S 、A 、
B 、
C 、
D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为 C （2011年理科） （A
（B
五、模拟试题精练
1.（2015高考新课标2，理9）已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面
上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )
A．36π B.64π C.144π D.256π
【答案】C
2．(2015·辽宁高考)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA
1
＝12，则球O的半径为( )
A.317
2
B．210
C.13
2
D．310
答案：选C
3．(2016·长春模拟)若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则S
1
S
2
＝________.
答案：63π
4．四棱锥P-ABCD的五个顶点都在一个球面上，该四棱锥的三视图如图所示，E，F分别是棱AB，CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为22，则该球的表面积为( )
A．9πB．3π
C．22πD．12π
答案：选D .
5.如图所示，已知E，F分别是棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1
的棱A1A，CC1的中点，则四棱锥C1－B1EDF的体积为________.
答案(1)1 6 a3
6.已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为( )
A.
2
6
B.
3
6
C.
2
3
D.
2
2
答案 A
7.一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为( ) A.233 B.476
C.6
D.7
答案 A
8.已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，
AA 1＝12，则球O 的体积为( ) A.133π8
B.133π6
C.133π4
D.133π2
答案：B。