正交矩阵与正交变换的性质及应用

正交矩阵与正交变换的性质及应用

程祥

河南大学数学与信息科学学院 开封 475004

摘要 矩阵是数学中的重要概念，是代数学重要研究对象之一，也是数学与其他领域研究与应用的一个重要工具，而正交矩阵作为一类特殊且常用的矩阵，在矩阵论中占有重要地位，且应用非常广泛，因此对正交矩阵的探讨具有十分重要的意义.本文主要对正交矩阵的性质及结论进行归纳总结，并对相关性质进行推广. 关键词:正交矩阵;正交变换;性质

1.1 正交矩阵的的定义及其判定

定义1 n 阶实矩阵A , 若满足E A A =', 则称A 为正交矩阵. 性质1 A 为正交矩阵1'-=⇔A A .

性质2 A 为正交矩阵⇔'1,,

,1,2,

,0,,

i j i j i j n i j αα=⎧==⎨≠⎩.的列向量为A i α.

性质3 A 为正交矩阵⇔'1,,

1,2,...0,,

i j i j i j n i j ββ=⎧===⎨≠⎩.的行向量为A i β.

1.2 正交矩阵的性质

性质1]3[ 若A 为正交矩阵则*'1,,A A A -均为正交矩阵. 证明 有E A A A A E A A A A ====---1''11''''')()(,)()(,

E A A A A ==*''**)()(,

可得

*'1,,A A A -均为正交矩阵.

性质2 若A 为正交矩阵则11)det(-=或A 证明 对E A A ='两边同取行列式,

可得

1))(det(2=A ,

故

11)det(-=或A .

性质3]4[ 若B A ,为正交矩阵，则AB 也为正交矩阵. 证明 有E AA A ABB AB AB ===''''))((, 可得

AB 为正交矩阵.

性质4 正交矩阵的特征值的模为1.

证明 设A 为正交矩阵，复数λ为其任一特征值X 为其对应的特

征向量，即X AX λ=，0≠X

两边取转置

'''X A X λ=，

由此得

X X AX A X λλ'''=,

有E A A ='可得

X X X X '2

'λ=,

从而1=λ.

性质5 正交矩阵的实特征值为1±.

性质6]5[ 行列式为1的奇数阶正交矩阵必有特征值1. 证明 设A 为n 阶正交矩阵且1)det(=A ，n 为奇数 则

''')()1()1(A E A E A A A A E n n --=--=-=-

A E n --=)1(A E --=, 故

0=-A E ,

即A 有特征值1.

性质7 行列式为-1的正交矩阵必有特征值-1. 证明 设A 为正交矩阵且1)det(-=A 则

''')(A E A A E A A A A A E +=+=+=+

A E +-=, 故

0=+A E ,

即

A 有特征值-1.

性质8]6[ 设λ为正交矩阵A 的特征值，则1-λ也为A 的特征值. 证明 因λ为A 的特征值

故存在特征向量λααα=A 使得 从而

λαα''A A A =,

得

αλα1'-=A ,

即1-λ为'A 的特征值, 从而

1-λ也为A 的特征值.

性质9]8[ 设A 为一n 阶正交矩阵，有一特征值为)0(≠+ββαi ，相应的特征向量为iy x +，则.0,'''==xy y y x x 证明 有))(()(iy x i iy x A ++=+βα, 得

()()⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=αββα

y x

y x A ,

两边转置得

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛'''''y x A y x αββα, 令

y x Z y y Y x x X ''',,===,

故

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛-Y Z Z X Y Z Z X

αββα

αββα

, 计算可得

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛++-+--+--+Y Z Z X

Z X Y Y X Z Z Y X Z Z Z Y X αββααββααββααββα2)()(222222222, 比较第一行元素可知

Z Y X αββα2)1(22=+-,

)()1(22Y X Z -=-+αβαβ,

又A 为正交矩阵，有性质4知

122=+βα,

代入并注意到0≠β有

)(2Y X Z -=-βα, )(2Y X Z -=αβ,

可得

0))((22=-+Y X βα即Y X =,

易得

0=Z ,

从而

0,'''==xy y y x x .

下面举具体例子说明正交矩阵上述性质的应用.

例1]1[ 证明：不存在正交矩阵22,B AB A B A +=使得. 证明 设有正交矩阵22,B AB A B A +=使得,

则'22''

',,B A B A B A 以及

都是正交矩阵, 且

B A B A B A B A +=-='22',,

故

B A B A +-,为正交矩阵,

从而

B A A B E B A B A E '-'-='--=2))((, B A A B E B A B A E '+'+='++=2))((,

两式相加，得

E E 42=,

矛盾 故得证.

例2 设1)(,0,≤+=+*B A r B A n B A 证明阶正交方阵且为 证明 因B A ,为正交方阵，故

1,±=='A E A A ,

又

A B B A -==+估,0,

从而

12

-=-='='A B A B A ,

得

B A '有特征值-1,

故

0)1('='+-='--B A AA B A E n ,

即