普通物理学答案 祝之光 总第四章
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定义分子平均平动动能： k 4.压强的物理意义 2 p n k 3 左边宏观可测量 右边微观量的统计平均值 四 理想气体的温度
3
石家庄学院-----普通物理讲义
祝之光
第四章
气体动理论
主讲教师
-吴海滨
1 温度公式
2 n k 3 理想气体状态方程 p nkT 2 n k nkT 3 1 3 k m v 2 kT 2 2 理想气体分子平均平动动能只和温度有关，并且与热力学温度成正比。 2 温度的微观意义 由k T
T
p pV 2.67 105 103 23 K 193K nk Nk 10 1.38 1023
4-3 能量均分定理 理想气体的内能
教学要求：理解能量均分定理。 掌握理想气体内能的概念、公式及其特点. 麦克斯韦速率分布律 重点：理想气体内能的概念、公式及其特点 难点：平衡态时物质分子的能量会按自由度均分
y
X
单原子分子 双原子分子 多原子分子
t 平动 3 3 3
r 转动 0 2 3
i总 3 5 6
二 能量按自由度均分定理 1 3 由 k m v 2 kT 2 2
1 2 2 2 理想气体统计假设，平衡状态下 v x v2 v y vz 3 1 1 1 11 1 2 2 得 m vx m vz mv2 m v 2 kT y 2 2 2 3 2 2 可见，在温度为 T 的平衡态下，气体分子每个自由度的平均动能都相等，而且等于 kT/2。 由于气体分子频繁碰撞，在平衡态下，不可能有哪种运动形式和在哪个自由度上运动占优， 每个自由度上应分配有和每个自由度平动动能相等的平均动能。
由牛顿第三定律， A1 面受到分子的冲量为 I ix 2mvix 又与 A1 面发生碰撞， 相继两次对 A1 面碰撞所用的时间：t 2 x / vix 3.分子与 A2 面发生碰撞后， 1 v 单位时间内对 A1 面的碰撞次数为： ix t 2 x 4.单位时间一个分子对 A1 面的冲量（即平均冲力）: 2 I ix vix mvix Fix 2mvix t 2x x 5.容器内 N 个分子对器壁的平均冲力为： N N mv 2 F F ix ix x i 1 i 1 6.A1 面受到的压强为： N mv 2 F P ix 体积 V 为： V xyz S i 1 xyz N mv 2 则压强 P x i 1 V 2 Nm N vix 上下同乘 N 得 P V i 1 N
5
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第四章
气体动理论
主讲教师
-吴海滨
i i i N A kT RT （一个分子的平均动能 kT ） 2 2 2 m i m 千克气体的能量为： E RT M 2 注意：理想气体的内能只是温度的单值函数，而且和热力学温度成正比，也是状态函数。 对于一定量的理想气体，当温度改变 T 时，内能的改变量为 m i E RT M 2 无论经由什么过程，只要温度变化相同，一定内能理想气体的内能变化就相同。
3RT
3 8.31 273 461.8m/s 32 103
例 4-2 ： 贮 藏 于 体 积 为 103 m 2 容 器 中 的 某 种 气 体 分 子 总 数 N 1023 , 每 个 分 子 的 质 量 为 5 1026 kg ，分子的方均根速率为 400m.s 1 。求气体的压强和气体分子的总平动动能以及气体 的温度。 解：由气体压强公式： 2 1 2 N 1 2 p n mv 2 mv 3 2 3V 2 23 2 10 5 1016 4002 代入数值： p pa 2.67 105 pa 3 3 10 2 N 1023 5 1026 4002 2 气体分子的总平动动能： Ek N mv J 400 J 2 2 气体的温度，由 p nkT 得：
由于分子沿 x 轴正向和 x 轴负向的运动概率是相同的，因此，在 x 方向上分子的平均速度 为 0。 v v2 x vNx v x 1x 0 N 同样有 v y 0, v z 0,
3 分子速度在各方向分量的方均值相等。 1 1 2 2 2 vix vi2z vx ， vz N i N i 由于分子在 x、y、z 三个方向上没有哪个方向的运动占优势，所以，分子的三个速度方均 值相等.
2
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气体动理论
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N V 1.跟踪第 i 个分子，它在某一时刻的速度 在 x 方向的分量为 vix 。 n
2.分子以 vix 向 A1 面碰撞，并以 -vix 弹回，分子受 A1 面的冲量
' I ix Pix Pi 0 x mvix (mvix ) 2mvix
PV 常量 T 玻意尔-马略特定律 盖-台萨克定律 查理定律 m N ， 并引入玻耳 M NA
设容器中气体分子数为 N，1mol 气体分子数 N A ，气体的物质的量 兹曼常数 k
R ，则理想气体的状态方程又可表示为 P nkT NA 4-2 理想气体的压强和温度 一 理想气体的微观模型 1）分子可视为质点； 线度 d ~ 1010 m, 间距 r ~ 109 m, d r ; 2）除碰撞瞬间, 分子间及分子与器壁之间均无相互作用力； 3）分子之间以及分子与器壁之间是完全弹性碰撞 即理想气体分子像一个个极小的彼此间无相互作用的遵守经典力学的弹性质点。 二 关于气体分子集体的统计假设 dN N 常量 1 分子按位置的分布是均匀的 n dV V 其中，N 表示容器体积 V 内的分子总数，n 是分子数密度. 2 分子速度在各方向分量的算术平均值相等. 即 vx v y vz 0
4-3 能量均分定理 理想气体的内能
4
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气体动理论
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一 气体分子的自由度 1. 自由度：自由度是描写物体在空间位置所需的独立坐标数. 2. 气体分子的自由度数目 刚性气体分子的自由度=平动自由度+转动自由度 i tr Z 1）单原子分子气体 其模型可用一个质点来代替 平动自由度 t 3 z 转动自由度 r 0 o 总自由度 i t r 3 0 3 x Y 2）双原子分子气体 其模型可用看成一根刚性杆两端各连一质点的模型来代替. 平动自由度 t 3 转动自由度 r 2 总自由度 i t r 3 2 5 3）多原子分子气体 其模型可用多个刚性质点来代替. 平动自由度 t 3 转动自由度 r 3 总自由度 i t r 3 3 6 刚性分子能量自由度
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4-1 宏观与微观
统计规律
教学要求：了解气体分子热运动图象, 了解微观描述与宏观描述的区别和联系。 理解平衡态的概念和理想气体的状态方程。 理解理想气体的压强公式和温度公式. 通过推导压强公式, 建立宏观量与微观量的联系， 从而 建立统计概念，能从宏观和统计意义上理解压强、温度和内能的概念。 重点：能从宏观和统计意义上理解压强、温度和内能的概念 难点：微观描述与宏观描述的区别和联系
理想气体压强公式 p 热力学温度是分子平均平动动能的量度. 温度反映了物体内部分子无规则运动的激烈程度。 3 温度 T 的统计意义 温度是对大量分子热运动的统计平均结果，对个别分子温度无意义。 4 在同一温度下，各种气体分子平均平动动能均相等.其已为比林实验间接证实。 5 方均根速率 1 3 k m v 2 kT ， v 2 3kT / m 2 2 3kT 3RT v2 m M 例 4-1：求 273K 时的氢气、氧气、氮气方均根速率. 解：氧气： v 2
能量均分定理：在温度为 T 的平衡态下，物质分子的任何一个自由度上分配有 kT/2 的平均动 i 能，对有个 i 个自由度的气体分子，其平均动能为 kT 。 2 三 理想气体的内能 定义：气体内部所有分子的动能和分子间的相互作用势能的总和称为气体的内能。 对于理想气体，分子之间无势能，因此理想气体的内能就是它的所有分子的动能之和。 i 一个分子的能量为 kT 2
4-1 宏观与微观
统计规律
一 宏观与微观 1 热力学系统 热学研究的对象. 通常是由大量微观粒子组成的系统。 2 气体分子热运动的图象 1)分子数巨大，常态下任何气体。 . 2）分子频繁碰撞，每秒内的平均碰撞次数约为 10 亿次。 3) 分子的位置和速度瞬息万变无法预测。 只能用统计方法寻找大量分子整体所遵循的规律性。 3 宏观量 实测的物理量, 反映大量分子的集体特征. 如压强 P、体积 V 和温度 T 等. 4 微观量 描述组成系统的单个粒子(分子、原子、或其它)性质和状态的物理量, 如质量、动量、 能量等。 5 平衡态和非平衡态 一个系统若和外界无能量交换，其内部也无能量交换， 经过足够长的时间后系统达到一个宏 观性质不随时间变化的状态, 即为平衡态，否则为非平衡态。 热平衡时，系统内分子的热运动不会停息，因此热平衡是一种动态平衡. 二 统计规律 1 统计规律 对大量偶然事件整体所遵守的规律为统计规律，对个别或少量事件不成立. 宏观系统的热现 象及其规律就是它所包含的大量分子热运动的统计规律性表现。 2 宏观量和微观量的关系 宏观量是大量分子微观量的统计平均值，体现统计规律。实测值与统计平均值会存在一定偏 差，称为涨落。分子数越多，涨落越小。 3 概率 对大量无规则的事件进行统计，其满足一定的规律性，事件的次数越多，规律性也越强，用 “概率”来表示。 1）定义: 某一事件 i 发生的概率 Pi Ni --事件 i 发生的次数 N --各种事件在相同条件下发生的总次数 2）概率的性质 a. 0 pi 1
2 由 vx
v 3
2
v
i 1
N
2 ix
N
和n
N V
1 得压强公式： P nm v 2 3 1 m v2 2 1 2 压强公式又可表示为： P nm v 2 n k 3 3 注意： 1.压强是大量分子对时间和面积的统计平均结果. 压强具有统计意义，即它对于大量气体分 子才有明确的意义。 2.压强公式建立起宏观量压强 P 与微观气体分子运动之间的关系。 3. P n 分子数密度越大，压强越大； P k 分子运动得越激烈，压强越大。
b.
P 1 归一化条件
i i
N
三 理想气体的状态方程 实验表明，对质量为 m，摩尔质量为 M 的理想气体系统，在平衡态下遵从方程 m PV RT M
1
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式中对质量一定的理想气体，
1）T 一定，PV=常量 2）P 一定，V/T=常量 3）V 一定，P/T=常量
2 2 vx v2 y vz
由矢量合成法则，分子速度的方均值为：
2 2 2 v 2 vx v2 y v z 3v x
1 2 2 2 各方向运动概率均等 v x v2 v y vz 3 三 理想气体压强公式 设长方形容器的边长分别为 x、y、z。 体积为 V，其内有 N 个分子，分子的 质量为 m，视为弹性小球，速度为 v 。 分子数密度 n：单位体积内的分子数.
1 mol 气体分子的能量为:
4-4 麦克斯韦速率分布律
*玻尔兹曼能量分布律
一 麦克斯韦速率分布律 大量分子速度分布遵循的统计规律叫麦克斯韦速度分布律，只考虑分子速率的分布的规律叫 麦克斯韦速率分布律. 1 分子速率分布的实验结果图（典型实验为施特恩实验）
N /( Nv)
N：分子总数
S
3
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1 温度公式
2 n k 3 理想气体状态方程 p nkT 2 n k nkT 3 1 3 k m v 2 kT 2 2 理想气体分子平均平动动能只和温度有关，并且与热力学温度成正比。 2 温度的微观意义 由k T
T
p pV 2.67 105 103 23 K 193K nk Nk 10 1.38 1023
4-3 能量均分定理 理想气体的内能
教学要求：理解能量均分定理。 掌握理想气体内能的概念、公式及其特点. 麦克斯韦速率分布律 重点：理想气体内能的概念、公式及其特点 难点：平衡态时物质分子的能量会按自由度均分
y
X
单原子分子 双原子分子 多原子分子
t 平动 3 3 3
r 转动 0 2 3
i总 3 5 6
二 能量按自由度均分定理 1 3 由 k m v 2 kT 2 2
1 2 2 2 理想气体统计假设，平衡状态下 v x v2 v y vz 3 1 1 1 11 1 2 2 得 m vx m vz mv2 m v 2 kT y 2 2 2 3 2 2 可见，在温度为 T 的平衡态下，气体分子每个自由度的平均动能都相等，而且等于 kT/2。 由于气体分子频繁碰撞，在平衡态下，不可能有哪种运动形式和在哪个自由度上运动占优， 每个自由度上应分配有和每个自由度平动动能相等的平均动能。
由牛顿第三定律， A1 面受到分子的冲量为 I ix 2mvix 又与 A1 面发生碰撞， 相继两次对 A1 面碰撞所用的时间：t 2 x / vix 3.分子与 A2 面发生碰撞后， 1 v 单位时间内对 A1 面的碰撞次数为： ix t 2 x 4.单位时间一个分子对 A1 面的冲量（即平均冲力）: 2 I ix vix mvix Fix 2mvix t 2x x 5.容器内 N 个分子对器壁的平均冲力为： N N mv 2 F F ix ix x i 1 i 1 6.A1 面受到的压强为： N mv 2 F P ix 体积 V 为： V xyz S i 1 xyz N mv 2 则压强 P x i 1 V 2 Nm N vix 上下同乘 N 得 P V i 1 N
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i i i N A kT RT （一个分子的平均动能 kT ） 2 2 2 m i m 千克气体的能量为： E RT M 2 注意：理想气体的内能只是温度的单值函数，而且和热力学温度成正比，也是状态函数。 对于一定量的理想气体，当温度改变 T 时，内能的改变量为 m i E RT M 2 无论经由什么过程，只要温度变化相同，一定内能理想气体的内能变化就相同。
3RT
3 8.31 273 461.8m/s 32 103
例 4-2 ： 贮 藏 于 体 积 为 103 m 2 容 器 中 的 某 种 气 体 分 子 总 数 N 1023 , 每 个 分 子 的 质 量 为 5 1026 kg ，分子的方均根速率为 400m.s 1 。求气体的压强和气体分子的总平动动能以及气体 的温度。 解：由气体压强公式： 2 1 2 N 1 2 p n mv 2 mv 3 2 3V 2 23 2 10 5 1016 4002 代入数值： p pa 2.67 105 pa 3 3 10 2 N 1023 5 1026 4002 2 气体分子的总平动动能： Ek N mv J 400 J 2 2 气体的温度，由 p nkT 得：
由于分子沿 x 轴正向和 x 轴负向的运动概率是相同的，因此，在 x 方向上分子的平均速度 为 0。 v v2 x vNx v x 1x 0 N 同样有 v y 0, v z 0,
3 分子速度在各方向分量的方均值相等。 1 1 2 2 2 vix vi2z vx ， vz N i N i 由于分子在 x、y、z 三个方向上没有哪个方向的运动占优势，所以，分子的三个速度方均 值相等.
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N V 1.跟踪第 i 个分子，它在某一时刻的速度 在 x 方向的分量为 vix 。 n
2.分子以 vix 向 A1 面碰撞，并以 -vix 弹回，分子受 A1 面的冲量
' I ix Pix Pi 0 x mvix (mvix ) 2mvix
PV 常量 T 玻意尔-马略特定律 盖-台萨克定律 查理定律 m N ， 并引入玻耳 M NA
设容器中气体分子数为 N，1mol 气体分子数 N A ，气体的物质的量 兹曼常数 k
R ，则理想气体的状态方程又可表示为 P nkT NA 4-2 理想气体的压强和温度 一 理想气体的微观模型 1）分子可视为质点； 线度 d ~ 1010 m, 间距 r ~ 109 m, d r ; 2）除碰撞瞬间, 分子间及分子与器壁之间均无相互作用力； 3）分子之间以及分子与器壁之间是完全弹性碰撞 即理想气体分子像一个个极小的彼此间无相互作用的遵守经典力学的弹性质点。 二 关于气体分子集体的统计假设 dN N 常量 1 分子按位置的分布是均匀的 n dV V 其中，N 表示容器体积 V 内的分子总数，n 是分子数密度. 2 分子速度在各方向分量的算术平均值相等. 即 vx v y vz 0
4-3 能量均分定理 理想气体的内能
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一 气体分子的自由度 1. 自由度：自由度是描写物体在空间位置所需的独立坐标数. 2. 气体分子的自由度数目 刚性气体分子的自由度=平动自由度+转动自由度 i tr Z 1）单原子分子气体 其模型可用一个质点来代替 平动自由度 t 3 z 转动自由度 r 0 o 总自由度 i t r 3 0 3 x Y 2）双原子分子气体 其模型可用看成一根刚性杆两端各连一质点的模型来代替. 平动自由度 t 3 转动自由度 r 2 总自由度 i t r 3 2 5 3）多原子分子气体 其模型可用多个刚性质点来代替. 平动自由度 t 3 转动自由度 r 3 总自由度 i t r 3 3 6 刚性分子能量自由度
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4-1 宏观与微观
统计规律
教学要求：了解气体分子热运动图象, 了解微观描述与宏观描述的区别和联系。 理解平衡态的概念和理想气体的状态方程。 理解理想气体的压强公式和温度公式. 通过推导压强公式, 建立宏观量与微观量的联系， 从而 建立统计概念，能从宏观和统计意义上理解压强、温度和内能的概念。 重点：能从宏观和统计意义上理解压强、温度和内能的概念 难点：微观描述与宏观描述的区别和联系
理想气体压强公式 p 热力学温度是分子平均平动动能的量度. 温度反映了物体内部分子无规则运动的激烈程度。 3 温度 T 的统计意义 温度是对大量分子热运动的统计平均结果，对个别分子温度无意义。 4 在同一温度下，各种气体分子平均平动动能均相等.其已为比林实验间接证实。 5 方均根速率 1 3 k m v 2 kT ， v 2 3kT / m 2 2 3kT 3RT v2 m M 例 4-1：求 273K 时的氢气、氧气、氮气方均根速率. 解：氧气： v 2
能量均分定理：在温度为 T 的平衡态下，物质分子的任何一个自由度上分配有 kT/2 的平均动 i 能，对有个 i 个自由度的气体分子，其平均动能为 kT 。 2 三 理想气体的内能 定义：气体内部所有分子的动能和分子间的相互作用势能的总和称为气体的内能。 对于理想气体，分子之间无势能，因此理想气体的内能就是它的所有分子的动能之和。 i 一个分子的能量为 kT 2
4-1 宏观与微观
统计规律
一 宏观与微观 1 热力学系统 热学研究的对象. 通常是由大量微观粒子组成的系统。 2 气体分子热运动的图象 1)分子数巨大，常态下任何气体。 . 2）分子频繁碰撞，每秒内的平均碰撞次数约为 10 亿次。 3) 分子的位置和速度瞬息万变无法预测。 只能用统计方法寻找大量分子整体所遵循的规律性。 3 宏观量 实测的物理量, 反映大量分子的集体特征. 如压强 P、体积 V 和温度 T 等. 4 微观量 描述组成系统的单个粒子(分子、原子、或其它)性质和状态的物理量, 如质量、动量、 能量等。 5 平衡态和非平衡态 一个系统若和外界无能量交换，其内部也无能量交换， 经过足够长的时间后系统达到一个宏 观性质不随时间变化的状态, 即为平衡态，否则为非平衡态。 热平衡时，系统内分子的热运动不会停息，因此热平衡是一种动态平衡. 二 统计规律 1 统计规律 对大量偶然事件整体所遵守的规律为统计规律，对个别或少量事件不成立. 宏观系统的热现 象及其规律就是它所包含的大量分子热运动的统计规律性表现。 2 宏观量和微观量的关系 宏观量是大量分子微观量的统计平均值，体现统计规律。实测值与统计平均值会存在一定偏 差，称为涨落。分子数越多，涨落越小。 3 概率 对大量无规则的事件进行统计，其满足一定的规律性，事件的次数越多，规律性也越强，用 “概率”来表示。 1）定义: 某一事件 i 发生的概率 Pi Ni --事件 i 发生的次数 N --各种事件在相同条件下发生的总次数 2）概率的性质 a. 0 pi 1
2 由 vx
v 3
2
v
i 1
N
2 ix
N
和n
N V
1 得压强公式： P nm v 2 3 1 m v2 2 1 2 压强公式又可表示为： P nm v 2 n k 3 3 注意： 1.压强是大量分子对时间和面积的统计平均结果. 压强具有统计意义，即它对于大量气体分 子才有明确的意义。 2.压强公式建立起宏观量压强 P 与微观气体分子运动之间的关系。 3. P n 分子数密度越大，压强越大； P k 分子运动得越激烈，压强越大。
b.
P 1 归一化条件
i i
N
三 理想气体的状态方程 实验表明，对质量为 m，摩尔质量为 M 的理想气体系统，在平衡态下遵从方程 m PV RT M
1
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式中对质量一定的理想气体，
1）T 一定，PV=常量 2）P 一定，V/T=常量 3）V 一定，P/T=常量
2 2 vx v2 y vz
由矢量合成法则，分子速度的方均值为：
2 2 2 v 2 vx v2 y v z 3v x
1 2 2 2 各方向运动概率均等 v x v2 v y vz 3 三 理想气体压强公式 设长方形容器的边长分别为 x、y、z。 体积为 V，其内有 N 个分子，分子的 质量为 m，视为弹性小球，速度为 v 。 分子数密度 n：单位体积内的分子数.
1 mol 气体分子的能量为:
4-4 麦克斯韦速率分布律
*玻尔兹曼能量分布律
一 麦克斯韦速率分布律 大量分子速度分布遵循的统计规律叫麦克斯韦速度分布律，只考虑分子速率的分布的规律叫 麦克斯韦速率分布律. 1 分子速率分布的实验结果图（典型实验为施特恩实验）
N /( Nv)
N：分子总数
S