正定矩阵的性质与应用

本科生学年论文（设计）

论文（设计）题目正定矩阵的性质及应用

作者

分院、专业理学分院数学与应用数学专业

班级

指导教师（职称）

字数 5488 成果完成时间

正定矩阵的性质及应用

摘要：我们在化二次型为标准型的过程中，得到了正定矩阵的定义，而关于正定矩阵的等价定理及其性质我们在本文中进行了详细的举例及证明．同时，本文也就正定矩阵的性质在矩阵、不等式和极值问题的应用进行了深刻的探讨．

关键词：正定矩阵；等价定理；性质；应用

The nature and application of positive definite matrices

Abstract：We are of the two type is a standard process, obtained the positive definite matrix is defined, and on the positive definite matrix equivalence theorem and its properties in this paper we carried out a detailed examples and proved. At the same time, this paper also has the properties of positive definite matrix in matrix, inequalities and extremum problems for application of the profound discussion.

Key words：Positive definite matrix; equivalence theorem; properties; application

目录

1引言 (1)

2矩阵的概述 (1)

2.1正定矩阵的等价定理 (1)

2.2正定矩阵的性质 (3)

3矩阵的应用 (5)

3.1正定矩阵在矩阵运算中的的应用 (5)

3.2正定矩阵在不等式问题中的应用 (6)

3.2.1正定矩阵与一般不等式 (6)

3.2.1正定矩阵与柯西不等式 (7)

3.3正定矩阵在多元函数极值问题中的应用 (8)

4小结 (10)

正定矩阵的性质及应用

1引言

代数学是数学学科中的一个重要分支，而正定矩阵又是其中的重中之重。在二次型证明过程中，我们设

(,,,)n f x x x 是一个实二次型，若对应的任意一组不全为零的实数n c c c ,,,21 ，都有

12(,,,)0n f c c c > ，则称12(,,,)n f x x x 为实正定二次型，它所对应的对称矩阵A 为正定对称定称

阵，简称正定矩阵．

2矩阵的概述

2.1正定矩阵的等价定理

判定一个矩阵是否为正定矩阵时，除用定理外还可以运用一些等价定理．以下为一些判定矩阵正定的一些充要条件:

定理1 n 阶实对称矩阵A 是正定矩阵的充要条件是：矩阵A 合同于阶单位矩阵I ． 证 充分性 由于n 阶实对称矩阵A 是正定矩阵，则其对应的二次型为正二次型．另外，正二次型可以经非退化线性替换X PY =使得

121212(,,,)()()()(,,(,,)),,n T T T n n f x x x PY A PY Y P AP diag a Y g y y a a y ==== ．

其中T n P AP I =，所以矩阵A 合同于阶单位矩阵I ．

必要性 由于矩阵A 合同于阶单位矩阵I ，则存在n 阶可逆矩阵P ，使得T n P AP I =，则其对应二次型得到

1212(,,,)()()(,,,)n T T n n g y y y Y I Y PY A PY f x x x ===．

其中12(,,,)n g y y y 为正定二次型，则12(,,,)n f x x x 也是正定二次型，所以n 阶实对称矩阵A 是正定矩阵．

定理2 n 阶实对称矩阵A 是正定矩阵的充要条件是：矩阵A 的正惯性指数等于n ． 证 充分性 由于n 阶实对称矩阵A 是正定矩阵，由定理1得到矩阵A 合同于阶单位矩阵I ，所以矩阵A 的正惯性指数等于n ．

必要性 由于矩阵A 的正惯性指数等于n ，则其对应的二次型为正定二次型，所以矩阵A 是正定矩阵．

定理3 n 阶实对称矩阵A 是正定矩阵的充要条件是：存在满秩矩阵C ，使得C C A T

=成立．

证 充分性 由于矩阵A 是正定矩阵，则矩阵A 与同阶单位矩阵I 合同，所以存在实可逆矩阵

C ，使得T T A C IC C C ==．

必要性 由于矩阵T

A C C = ,且C 是实可逆矩阵，则对于

00()()0T T T T X CX X AX X C CX CX CX ∀≠≠==>，，．

所以矩阵A 是正定矩阵．

定理4 n 阶实对称矩阵A 是正定矩阵的充要条件是：n 个特征根全为正值．

证 充分性 由于n 阶实对称矩阵A 是正定矩阵，则存在正交矩阵P ，即1

T

P P -=，满足

12(,,,)T n P AP diag a a a = ，其中12,,,n a a a 是矩阵A 的全部特征值，则矩阵A 对应的二次型为T f X AT =．令X PY =，则

121221(,,,)()()(,,,,)(,,)n T T T n T n f x x x PY A PY Y P APY Y dia Y g y y g a y a a ==== ．

另外，由矩阵A 是正定矩阵得到二次型也为正二次型，所以矩阵A 的特征根1(1,2,,)a i n = 全为正值．

必要性 由于 n 阶实对称矩阵A 的特征根1(1,2,,)a i n = 全为正值．则存在正交矩阵P ，即

1T P P -=，满足12(,,,)T n P AP diag a a a = ，则其对应的二次型可表示为

122121(,,,)()()(,,,(,,,))n n T T T T n g y y y Y Y Y P APY PY A PY f x x x diag a a a ==== ．

则12(,,,)n g y y y 为正二次型，所以其对应的矩阵A 是正定矩阵．

定理5 n 阶实对称矩阵A 是正定矩阵的充要条件是：矩阵A 所有顺序主子式都大于零．

证 充分性 由于n 阶实对称矩阵A 是正定矩阵，则其对应的二次型12(,,,)n f x x x 为正定二次型．构造二次型函数12(,,,)(0)k f x x x k n <≤ ，则其也为正二次型，则对应的矩阵k A 为正定矩阵，即0k A >，所以正定矩阵A 所有顺序主子式大于零．

必要性 由于n 阶实对称矩阵A 所有顺序主子式都大于零，则其构造的顺序主子式

(0)k A k n <≤对应的二次函数12(,,,)k f x x x 皆为正二次型．得到当k n =时的二次型12(,,,)k f x x x 为正二次型，所以对应的n 阶实对称矩阵A 是正定矩阵．

定理6 n 阶实对称矩阵A 是正定矩阵的充要条件是：存在满秩矩阵P ，使AP P T 成为对角线元素皆正的对角阵D ．

证 充分性 由于n 阶实对称矩阵A 是正定矩阵，则矩阵A 合同于阶单位矩阵I ，且单位矩阵I 的对角线元素皆为正，而对角线元素皆正的对角阵D 必定与单位矩I 合同，所以存在满秩矩阵P ，使AP P T 成为对角线元素皆正的对角阵D ．

必要性 由于存在满秩矩阵P ，使AP P T 成为对角线元素皆正的对角阵D ，而对角线元素皆正的对角阵D 必定与单位矩I 合同，得带矩阵A 与单位矩I 合同，所以矩阵A 是正定矩阵．

定理7 n 阶实对称矩阵A 是正定矩阵的充要条件是：存在对称正定阵B ，使得2=B A ． 证 充分性 由于矩阵B 是正定矩阵，且2=B A ，则

对于任意0X ≠，20T T T T

X AX X B X X BXX BX ==>．

所以 矩阵A 是正定矩阵．

必要性 由于矩阵A 是n 阶实对称正定矩阵，则存在正交阵Q ，使得

T T T T A QNQ ===．

其中

diag = （(1,2,,)i i n λ= 为矩阵A 的特征向量）

．所以记

T B =，得到2A B =．

定理8 n 阶实对称矩阵A 是正定矩阵的充要条件是：－１A 是正定矩阵．