双曲函数

arsh x= ln(x+ x 2 1)的证明： y=arsh x是x=sh y的反函数，因此满足
x= 2 (ey-e-y) ，
令u=ey， 由上式得 u2-2xu- 1=0， 解方程得
1
u=x + x 2 1 ，
即 ey=x + x 2 1 ， y= ln(x+ x2 1 )
两边取对数得
2．反三角函数 反三角函数是三角函数的反函数，它们都是多值函数. 反正弦函数： y=Arcsin x， 定义域为[-1，1]. 反正弦函数的主值： y y
y=Arcsin x
y=Arccos x
p 2
y=arcsin x， 其值域规定为[ p ， p ]. 2 2 反余弦函数： y=Arccos x． 定义域为[-1，1]．
域为D2，u称为中间变量．
u=j(x) D2 y =f [j(x)] D1
y =f(u)
例 函数y=arctan (x)2可看作是由y=arctan x和u=x2复合而成
的．
函数y= 1 ln 2 x 可看作是由y= u ，u=1+v2，v=lnx 复合而成的．其中u， v 都是中间变量． x 函数y= u ，u=cot v，v= 经复合可得函数 2 y=
§1．2
初等函数
一、幂函数 二、指数函数与对数函数
指数函数、 对数函数
三、三角函数与反三角函数
正弦和余弦函数、 正切和余切函数、正割和余割函数、 反正弦和反余弦函数、 反正切函数、 反余切函数
四、复合函数
初等函数
复合函数、基本初等函数与初等函数
五、双曲函数与反双曲函数
双曲函数、 双曲函数的性质、 反双曲函数
一、幂函数
函数 y=xm （m 是常数）叫做幂函数． 幂函数的定义域：与常数m 有关， 但函数在（0，）内总有定义． y
1
y=x3
y=x-1 O x
最常见的幂函数：
y y=x2 y= x y=x
1
1
O
1
x
二、指数函数与对数函数
1．指数函数
函数 y=ax (a是常数，且a>0，a 1)叫做指数函数． 指数函数的定义域：D=（- ，+ ）． 单调性：若a>1，则指数函数单调增加； 若0<a<1，则指数函数单调减少． 常用的指数函数为 y=ex. y=( 1 )x a 1 x y=ax y a>1
O p 2 x
y=Arctan x
反余切函数： y=Arccot x， 定义域为(- ， ).
反余切函数的主值：
y=arccot x， 其值域规定为(0，p) p
y y=Arccot x
y=arccot x
O
x
四、复合函数
2 表示 y是 x的函数，它的定义域为 [-1，1]．
1
y= 1 ex 2
O
-1
y= 1 e-x 2 x
O
x
双曲函数的性质： sh(x y)=sh x ch y ch x sh y， 比较 sin(x y)=sin x cos y cos x sin y; ch(x y)=ch x ch y sh x sh y; 比较 cos(x y)=cos x cos y - sin x sin y; ch2 x - sh2 x=1; sh 2x=2sh x ch x; ch 2x=ch2 x+sh2 x.
1
y=sin x O -1 余弦函数： y=cos x y 1 y=cos x O -1 x x
正切函数： y=tan x
余切函数： y=cot x
y
y=tan x
y y=cot x
-p
p 2
O
p 2
p
x
-p
p 2
O
p 2
p
x
正割函数： 1 y = sec x = ---- 。 cos x 余割函数： 1 y= csc x =---- 。 sin x 正割、余割函数的性质：是以2p为周期的函数，在区间(0, p ) 2 内是无界函数．
五、双曲函数与反双曲函数
1．双曲函数 应用上常遇到的双曲函数是： 双曲正弦：sh x= 1 (ex-e-x) 2 双曲余弦：ch x= 1 (exe-x) 2 e x - e- x 双曲正切：th x = sh x = x ch x e e - x y y=th x y y=ch x
1
y=sh x
O
2．对数函数
指数函数y=ax的反函数叫做对数函数，记为y=logax(a>0，a 1)．
对数函数的定义域是区间(0，+ )．
y y=ax
1
自然对数函数：y=ln x=loge x.
y=logax
O a>1
x
三、三角函数与反三角函数
1．三角函数 常用的三角函数有：
正弦函数： y=sin x
y
设 u=1-x2，则函数 y= 1 - x 2 的值可以按如下方法计算： 对于任一 x [-1，1]，先计算 u=1-x2，然后再计算 y= u ， 这就是说函数 y= 1 - x 2 所决定的，我们称函数 y= 的对应法则是由函数u=1-x2和y= u
1- x2
是由函数u=1-x2和y= u
复合而成的复合函数，变量 u称为中间变量．
反余弦函数的主值： y=arccos x， 其值域规定为(0，p)
-1
p
y=arcsin x O
1 p 2
y=arccos x
-1
x O
1
x
反正切函数： y=Arctan x,
定义域为(- ， ).
反正切函数的主值： y=arctan x， y p 2
其值域规定为( p ，p )． 2 2
y=arctan x
复合函数： 一般地，设函数y =f(u)的定义域为D1，函数u=j(x)在数集
D2上有定义，如果
{u | u= j(x)， xD2} D1 则对于任一 xD2，通过变量u能确定一个变量y的值，这样就得 到了一个以x为自变量、y为因变量的函数，这个函数称为由函数 y =f(u)和u=j(x)复合而成的复合函数，记为y =f [j(x)] ，其中定义
x cot 2
问：函数y=arcsin u与u=2+x2能构成复合函数吗？
2．基本初等函数与初等函数 幂函数、指数函数、对数函数、三函数和反三角函数统称为 基本初等函数． 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函
数复合步骤所构成的并可用一个式子表示的函数，称为初等函
数．
x 例如 y = 1 - x 2 ， y = cot ， y = sin 2 x 都是初等函数． 2
2．反双曲函数 双曲函数 y=sh x， y=ch x， y=th x的反函数依次记为 反双曲正弦： 反双曲余弦： 反双曲正切： 可以证明 arsh x= ln(x+ arch x= ln(x+ 1 x arth x= ln 2 1- x 1 x2 1) x2 - 1) y=arsh x， y=arch x， y=arth x．