数学、指数函数、对数函数求值域详解
指数函数、对数函数求值域【学习目标】
1.掌握指数、对数型复合函数求值域的方法
2.掌握二次型函数求值域的方法
3.理解双变量问题中任意、存在的含义,确定值域间的关系
【学习重难点】
1.在指数、对数型复合函数求值域过程中换元法的应用
2.在底数范围不确定情况下应用分类讨论思想解决问题
【知识精讲】
1.指数、对数复合型函数求值域
求指数、对数函数与其他函数复合而成的函数的值域问题,一般要借助换元法,令内层函数为u ,先求u 的取值范围,再把u 看成自变量,求对应指数或对数函数的值域即可.
2.二次型函数求值域
此类问题将指数、对数函数与二次函数综合考察,仍然借助换元法,换元后本质是二次函数,再借助二次函数的图像和性质来解决问题.
3.底数含参讨论
在指数、对数函数底数a 范围不确定的情况下需按011a a <<>和分类讨论
4.双变量综合问题
此类问题考察两个函数值域间的关系,借助函数图像理解“任意”“存在”的含义,从而确定值域间的关系.
【经典例题】
例1. 求下列函数的值域：
(1)22()2x x f x += (2)212
()log (617)f x x x =-+
【答案】
(1) 1[,)2+∞;(2) (,3]-∞- 【解析】(1)由222(1)11u x x x =+=+-≥-,所以函数()2u f x =的值域为1[,)2
+∞ (2)由22617(3)88u x x x =-+=-+≥,所以函数12()log f x u =的值域为(,3]-∞-
【变式】
求下列函数的值域： (1)|1|1()()2
x f x += (2)22()log (1)log (62)f x x x =++-
【答案】（1）(0,1] ;（2）(,3]-∞
【解析】（1）由|1|0u x =+≥,所以函数1()()2u f x =的值域为(0,1] （2）由10620x x +>??->?
知函数()f x 的定义域为(1,3)-,由对数的运算法则知2()log (1)(62)f x x x =+-,令 (1)(62)u x x =+-,所以08u <≤,所以函数2()log f x u =的值域为(,3]-∞
例2. 已知函数223()3ax x f x ++=,若()f x 的值域是(0,)+∞,求实数a 的取值范围及()f x 的定义域．
【答案】0a =;定义域为R
【解析】令223u ax x =++,因为()f x 的值域是(0,)+∞,所以u 取遍所有的实数,故0a =;因为对任意实数x ,()f x 都有意义,所以定义域为R
例3. 已知函数2()lg(21)f x ax x =++
(1)若()f x 的定义域是R ,求实数a 的取值范围及()f x 的值域;
(2)若()f x 的值域是R ,求实数a 的取值范围及()f x 的定义域．
【答案】见解析
【解析】（１）因为()f x 的定义域为R ,所以2210ax x ++> 对一切x R ∈成立;由此得0440a a >???=-．又因为2211121()11ax x a x a a a ++=++-≥-,所以21()lg(21)lg(1)f x ax x a =++≥-,故实数a 的取值范围是(1,)+∞,()f x 的值域为1[lg(1),)a
-+∞; （２）令221u ax x =++,因为()f x 的值域为R ,所以u 取遍全体正数,当0a =时,符合要求;当0a ≠,需满足0440a a >???=-≥? ,解得01a <≤ ,所以a 的取值范围是[0,1];要使函数()f x 有意义,则2210ax x ++>①,则由
上面知方程221=0ax x ++有两个实根：1x =,2x = 所以不等式①的解是12(,)(,)x x -∞?+∞,故a 的取值范围是[0,1],()f x 的定义域为12(,)(,)x x -∞?+∞.
【变式】
已知函数22()log (1)f x mx mx =-+的值域是R ,则m 的取值范围是( )
A.04m <≤
B.01m ≤≤
C.4m ≥
D.04m ≤≤
【答案】A ．
【解析】当0m =时,()0f x =,不合题意;
当0m ≠时,令2()1g x mx mx =-+,
只需2040m m m >???=-≥?
, 解得：4m ≥
故选：A ．
例4. （1）设02x ≤≤,求函数1
24325x x y -=-?+的值域_______．
（2）函数2()log 5log 6f x x x =-+的值域为_______．
【变式】
求函数11()()142x x y =-+在[3,2]-上的值域． 【答案】3[,57]4 【解析】令11(),[,8]24x t t =∈,得22131()24y t t t =-+=-+, ∴当12
t =,即1x =时,y 得最小值为34; 当8t =,即3x =-时,y 的最大值为57.
∴函数11()()142x x y =-+在[3,2]-上的值域为3[,57]4
例5. (1)已知指数函数21()(),[1,1][()]2()3()3x f x x y f x af x g a =∈-=-+当时，求函数的最小值 (2)已知对数函数213
1()log ,[,3][()]2()3()3f x x x y f x af x h a =∈=-+当时，求函数的最大值 【解析】（1）当[1,1]x ∈-时, 11()()[,3]33x t f x ==∈,
所以22223()3y t at t a a =-+=--+.
当13a <
时,228()39
g a a =-+, 当133a ≤≤时,2()3g a a =-+, 当3a >时,()126g a a =-, 综上所述,22281,3931()3,33126,3a a g a a a a a ?-+?? （2）当1[,3]3x ∈时,13()log [1,1]t f x x ==∈- 所以22223()3y t at t a a =-+=--+ 当0a ≤时,函数y 在1t =处取得最大值,()42h a a =-;
当0a >时,函数y 在1t =-处取得最大值,()24h a a =+;
综上所述,42,0()24,0a a h a a a -≤?=?+>?
例6. 若函数()(0,1)x f x a a a =>≠
在[1,2]-上的最大值为4,最小值为m ,且函数()(14g x m =-在[0,)+∞上是