第一章 线性规划问题概述

由以上几个例子，我们看到线形函数。目的是要求目标函数 在约束下的极大或极小。我们称这样一类模型为线性规划模型。
建立数学规划模型主要由以下三个步骤（隐含着三个要素） 1．确定决策变量，亦即选取适当的量为问题的待确定量， 这是问题的基础。 2．建立适当的约束条件。 3．建立目标函数。 下面我们再举一些例子说明如何建立线性规划模型： 例4：（装配成套）某产品的一个单件包括四个A个零和三个 B零件。这两种零件由两种不同原料制成，而这两种原料可利用 的数额分别为100个单位和200个单位。由三个车间按不同的方法 制造。下面表格给出每个生产班的原料耗用量和每种零件的产量。 目标是确定每个生产班数使产品得配套数最大？
例 3
主要配料是：石灰石，谷物，大豆粉，其营养成分如 下：
配料 石灰石 谷物 大豆粉 每斤配料中的含量 钙 蛋白质 纤维 0.380 0.00 0.00 0.001 0.09 0.02 0.002 0.50 0.08 每斤成 本 0.164 0.463 1.250
问应如何处理配料，使在营养和物质条件均 满足的情况下费用最少。 解： 设生产100斤饲料，需用x1斤石灰石，x2斤谷物，x3斤 大豆粉，于是可找出问题的模型：
x y 0 x y 30( x y z 30, z 0) 0 x 15 4 y9
§1.2 线性规划的标准形式
一 标准形式: 我们由上面的实际例子已经看到,线性规划问题的模型 是由一组线性等式或不等式表示的约束条件及一个线性目 标参数组成的.即下面的一般形式: 求一组变量
车间 1 2 3
每班进料 （单位） 每班产量（个数） 原料 1 原料 2 零件 1 零件 2 8 6 7 5 5 3 9 8 6 8 9 4
解：设 x 、x 、x 是第 1 ，2，3 车间的生产班数，则 三个车间生产零件 A 的总数是 7x 1+6x 2+8x 3 生产零件 B 的总数是 5 x 1+9x 2+4x 3
三
线性规划的主要应用
线性规划主要应用在以下几个方面： （1）在某一企业内部，如何配合产品的销售时间，在各 部门的原料，产品的存储，分配的数量等最为合理。 （2）在某一企业生产的产品数量（或产值），如何使 现有的设备，人力，原料等条件限制下，合理组织生 产，使经济效益最高。 （3）在某地的交通网中，如何合理组织运输，使运费 最小。
二 线性规划问题的特点
由于是管理科学的重要分支，也是它的最成熟，最完整 的分支。而管理科学的特点是利用数学模型为管理人员提供 方针，以便在现有信息的情况下作出有效的决策，或现有信 息不足作出决策时，而去搜索更多的信息。这里我们要抓住 以下几个要素： 第一 管理科学的核心是建立模型。即运用数学的抽象， 住所要探讨对策问题最重要的特征。模型是现实的简化表示。 笫二 通过模型设计，给管理工作提供方便. 笫三 进行有效决策所需信息的多少，决策所要探讨问题 的复杂程度，而不决定于研究过程所用的工具。模型要求过 多的信息就不是好模型。 线性规划也是这样通过模型，求解， 分析综合，为决策者提供科学决策依据。
例 2．设有钢材150根，长15米，需轧成配套钢料。每套由 7根2米长与2根7米长的钢梁组成，问如何下料使钢材废料 最少（设不计下料损耗）？ 解：依题意，每根钢材的下料有三种可能情形： 1）截7米长0根，2米的7根，余1米废料。 2）截7米长1根，2米长4根，无废料。 3）截7米长2根，2米长0根。余1米废料。 设用第 j 截法，用去钢材 xj 根（j=1，2，3）。则这批钢 材截成7米长的钢梁为x2+2x3 根，2米长的7x1+4x2 根，废 料总长x1+x3米. 于是，得出问题的数学模型为： 求一组变量x1、x2、x3 的值，使满足：
注意：约束条件两边单位要一致。从而此问题的 数学模型为：求一组变量x1，x2值，使满足：
max{c1 x1 c2 x2 } 9 x1 4 x2 360 4 x 5 x 200 1 2 s.t . 3 x1 10 x2 300 x1 0, x2 0
min{x1 x3} (废料最少) 2 ) ( x2 2 x3 ) 7 (7 x1 4 x2（配套限制） s.t. x1 x2 x3 150(钢材限制) x 0, x 0, x 0(根数) （根数限制） 1 2 3
（营养问题或配料问题）一个简化了的小 鸡食物配方例。 假定每天需要的混合司料质量是 100 斤， 这份饲料 必须包含： 1） 至少 0.8%但不超过 1.2%的钙， 2） 至少 22%的蛋白质， 3） 至多 5%的纤维素。
x j ( j 1 2,... )使满足 , n
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 (或 b1 , 或 b1 ) a21 x1 a22 x2 ... a2 n xn b2 (或 b2 , 或 b2 ) ...... a x a x ... a x b (或 b , 或 b ) mn n m m m m1 1 m 2 2 x1 , x2 ,..., xn 0 并且使目标函数： f c1 x1 c2 x2 ... cn xn 达到最大（或最小）Opt.
（4）在市场上产品的（或原料）价格变动时，对于 这些变动，企业如何做出最优决策。
（5）合理下料问题，即利用某种原料下料时，如何 达到既满足要求，又使原料最少。
（6）配料问题，即生产由各种原料生产的的产品时 （如混合饲料等）时，如何既满足规定的质量的标准，又 使产品的成本最低。 （7）库存问题，在仓库的容量及其他条件的限制下， 确定库存物资的品种，数量，期限，使库存的效益最高。 （8）在投入产出问题中，引进某一目标函数，制定 最优的企业（或地区）经济计划。
当前，我国正在进行以城市为重点的整个经济体制的改革， 企业的自主权在扩大。一个企业要适应国内，国际的市场竞 争，就必须改善经营管理，提高经济效益，制定最优的生产 计划，并对瞬息万变的市场信息作出反映，应用现代数学方 法，特别是线性规划方法，对于提高企业管理水平和企业活 力，将会起着极大的作用。
第一章 线性规划问题概述
在第二次世界大战期间，由于军事运输的需要，提出线 性问题的解法，美国的经济学家柯普曼（Koupman）也研究 了运输问题。直到1947年，美国的G.B.Dantzig提出了求解线 性规划的单纯形法，才使线性规划这门学科在理论上趋于成 熟，并成功地运用到了工业、交通、农业、军事等各个领域 内，使线性规划的理论与方法成为管理科学的重要内容。在 当今电子技术高度发展的信息社会中，线性规划给人类在经 济管理、生产管理、人才事务管理等方面发挥了巨大作用。 现在对于成千上万个约束条件、成千上万个变量的线性规划 问题在计算上已没有任何问题。据20世纪80年代末美国一个 杂志对全美500家大公司的调查，线性规划的应用范围名列前 茅，有85%的公司频繁使用线性规划。
1
2
3
而原料1和原料2对应的约束条件分别是
8 x1 5 x2 3x3 100 6 x1 9 x2 8 x3 200
因为目标是要使产品总件数达到最大，而每件产品要4 个零件A和3个零件B。所以产品的最大数额不能超过
7 x1 6 x2 8 x3 5 x1 9 x2 4 x3 和 4 3 中较小的一个。因此目 标参数变成： 7 x1 6 x2 8 x3 5 x1 9 x2 4 x3 求y min( , )的最大值 4 3
min
f =0.064x1+0.463x2+1.250x3
x1 x2 x3 100 0.380 x 0.001x 0.002 x 0.012 100(钙) 1 2 3 0.380 x1 0.001x2 0.002 x3 0.008 100 s.t. 0.09 x2 0.50 x3 0.22 100(蛋白质) 0.02 x2` 0.08 x3 0.05 100(纤维) x1 0, x2 0, x3 0
整理即得：求f=y的最大值
7 x1 6 x2 8 x3 4 y 0 5 x 9 x 4 x 3 y 0 2 3 1 S.t. 8 x1 5 x2 3 x3 100 6 x 9 x 8 x 200 2 3 1 x1 0, x2 0, x3 0, y 0 例5 某厂准备在电视台做广告，根据电视台收费标准，播 出时间有三种选择：时间（1）星期一至五18：30~22：30热 门时间，每半分钟收费300元；时间（2）星期六、日18： 30~22：30热门时间，每半分钟收费420元；时间（3）18： 30~22：30以外的时间，即平时，每半分钟收费180元。工厂 希望每天播出一次半分钟时间的广告。而电视台希望放在时 间（2）的播出次数不要超过在时间（1）的播出次数，
线性规划
Linear Programming 前言
一 线性规划的发展史
参考书目： 北京理工大学出版社， 许万蓉， 《线性规划》。 山东科学技术出版社 《线性规划》。 29.183 GMG 管梅谷，郑汉鼎。
研究线性规划最早的是苏联的П.В.канторович （康脱洛维奇），1939年，他发表了《生产组织与计 划中的数学方法》一书。主要讨论了机床、负荷、下 料运输等问题。但他提出的问题在当时并未引起人们 的注意。他自己也未能提出一个统一的求解方法。
这是一个非线性的目标函数，可以通过变换转换成线 性规划模型： 求：
max f y 满足: y 7 x1 6 x2 8 x3 4 y 5 x1 9 x2 4 x3 3 8 x1 5 x2 3x3 100 6 x 9 x 8 x 200 2 3 1 x1 0, x2 0, x3 0, y 0.
解：首先列出数据表：
原 料 种类 煤 电力 劳 动 力 收益 单位产品所需原 料（单位） A B 9 4 4 5 3 10 C1
1
原 料 总 数 360 200 300
C2
吨，B 为 x2 吨，而现
设生产 A 为 x
在煤， 电力， 劳动力的消耗均有限制， 所以应满足限制条件：
煤耗： 9x1+4 x2≤360 电耗： 4x1+5 x2≤200 劳动力耗： 3 x1+ 10x2≤300 生产数量： x1 ≥ 0 x2≥0
解：题中需要确定的是在不同的时间内各播出几 次。以一个月30天来考虑，假定星期六、日共9天。 设x为时间（1）播放次数。 y为时间（2）播放次数。
z为时间（3）播放次数。
则x+y+z=30 (每月中每天一次）
电视台要求：y≤x 厂方要求：x≤15及y≥4 非负约束：x≥0，y≥0,z≥0. 又一个月中:y≤9 整理以上的约束条件得
工厂则希望不要在星期一至五热门时间播出，以便平 时也能看到广告播出。因此规定在时间（1）的播出每 月不超过15次。所以规定在时间（2）的播出每月不少 于4次。工厂估计，认为在时间（1）观众为平时的三 倍。在时间（2）观众则为平时的五倍。试列出一个线 性规划模型，确定一个月内播送广告的方案。使（1） 观众最多，（2）费用最少。
§1.1 线性规划问题举例及数学模型
例1．（生产安排问题）某厂生产A、B两种产品。生产 1 吨A需用煤 9 吨，电力 4 千瓦，劳动力 3 个（以劳动日计 算）；生产 1 吨B需用煤 3 吨，电力 5 千瓦，劳动力 10 个。 已知 1 吨A可获利C1元，1 吨B可获利C2元。该厂现有煤360 吨，电力200千瓦，劳动力300个，问：生产A、B各多少吨 获利最大？试建立这一问题的数学模型。