无锡市八年级上学期 期末模拟数学试题

无锡市八年级上学期期末模拟数学试题
一、选择题
1．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，点P从点A出发以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA 向终点A运动．当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为（）
A．4s B．3s C．2s D．1s
2．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝12，如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分△BED的面积是（）
A．18 B．22.5 C．36 D．45
3．如图，在△ABC中，AB="AC," AB＋BC=8．将△ABC折叠，使得点A落在点B处，折痕DF分别与AB、AC交于点D、F，连接BF，则△BCF的周长是（）
A．8 B．16 C．4 D．10
4．下列说法正确的是（）
A．（﹣3）2的平方根是3 B16±4
C．1的平方根是1 D．4的算术平方根是2
m,n在一次函数y=3x+b的图象上,且3m-n>2,则b的取值范围为( ) 5．若点Α()
A．b>2 B．b>-2 C．b<2 D．b<-2
6．一次函数y＝﹣2x+3的图象不经过的象限是( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
7．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点()
3,2，···，按这样的运动规律，1,1，第2次接着运动到点()
2,0，第3次接着运动到点()
经过第2020次运动后，动点P的坐标是（）
A ．()2020,1
B ．()2020,0
C ．()2020,2
D ．()2019,0
8．一组不为零的数a ，b ，c ，d ，满足a c
b d
=，则以下等式不一定成立的是（ ） A ．a c ＝b d
B ．a b b +＝c d
d
+ C ．
9a b -＝
9
c d
- D ．
99a b a b -+＝99c d
c d
-+ 9．若
25
3
x +在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＞﹣52 B ．x ＞﹣52且x ≠0 C ．x ≥﹣52 D ．x ≥﹣52
且x ≠0 10．已知点(,)P a b 在第四象限，且点P 到x 轴的距离为3，到y 轴的距离为6，则点P 的
坐标是（ ） A ．(3,6)-
B ．(6,3)-
C ．(3,6)-
D ．()3,3-或(6,6)-
二、填空题
11．17.85精确到十分位是_____．
12．如果点P （m+1，m+3）在y 轴上，则m=_____．
13．如图，D 在BC 边上，△ABC ≌△ADE ，∠EAC ＝40°，则∠B 的度数为_____．
14．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6cm ，AC ＝8cm ，按图中所示方法将△BCD 沿BD 折叠，使点C 落在AB 边的C ′处，那么CD ＝_____．
15．如图,已知一次函数()0y ax b a =+≠和()0y kx k =≠的图象交于点P ,则二元一次方
程组220y ax b y kx --=⎧⎨--=⎩
的解是 _______．
16．因式分解：24ax ay -=__________．
17．如图①，四边形ABCD 中，//,90BC AD A ∠=︒，点P 从A 点出发，沿折线
AB BC CD →→运动，到点D 时停止，已知PAD △的面积s 与点P 运动的路程x 的函数图象如图②所示，则点P 从开始到停止运动的总路程为________.
18．化简：|32|-=__________．
19．若函数y=kx +3的图象经过点（3，6），则k=_____．
20．如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC ，交AC 于D ，DE ⊥AB 于点E ，△ABC 的面积是42cm 2，AB ＝10cm ，BC ＝14cm ，则DE ＝_____cm ．
三、解答题
21．如图，一次函数的图像经过点P （1，3），Q （0，4）．
（1）求该函数的表达式；
（2）该图像怎样平移后经过原点？ 22．先化简，再求值：
35
(2)362
x x x x -÷+---，其中53x =- 23．如图，四边形ABCD 中，AB =20，BC =15，CD =7，AD =24，∠B =90°．
（1）判断∠D 是否是直角，并说明理由． （2）求四边形ABCD 的面积.
24．如图所示，AC=AE ，∠1=∠2，AB=AD ．求证：BC=DE ．
25．证明：如果两个三角形有两边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形全等．
四、压轴题
26．在ABC 中，AB AC =，D 是直线BC 上一点（不与点B 、C 重合），以AD 为一边在AD 的右侧作ADE ，AD AE =，DAE BAC ∠=∠，连接CE .
（1）如图，当 D 在线段BC 上时，求证：BD CE =.
（2）如图，若点D 在线段CB 的延长线上，BCE α∠=，BAC β∠=.则α、β之间有怎样的数量关系？写出你的理由.
（3）如图，当点D 在线段BC 上，90BAC ∠=︒，4BC =，求DCE
S
最大值.
27．如图，A 点的坐标为（0，3），B 点的坐标为（﹣3，0），D 为x 轴上的一个动点且不与B ，O 重合，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得线段AE ，使得AE ⊥AD ，且AE ＝AD ，连接BE 交y 轴于点M ．
（1）如图，当点D 在线段OB 的延长线上时， ①若D 点的坐标为（﹣5，0），求点E 的坐标． ②求证：M 为BE 的中点．
③探究：若在点D 运动的过程中，OM
BD
的值是否是定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
（2）请直接写出三条线段AO ，DO ，AM 之间的数量关系（不需要说明理由）．
28．观察下列两个等式：55
32321,44133
+=⨯-+
=⨯-，给出定义如下：我们称使等式1a b ab +=-成立的一对有理数,a b 为“白马有理数对”，记为(,)a b ，如：数对
5(3,2),4,3⎛⎫
⎪⎝⎭
都是“白马有理数对”．
（1）数对3(2,1),5,
2⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
中是“白马有理数对”的是_________； （2）若(,3)a 是“白马有理数对”，求a 的值；
（3）若(,)m n 是“白马有理数对”，则(,)n m --是“白马有理数对”吗？请说明理由． （4）请再写出一对符合条件的“白马有理数对”_________（注意：不能与题目中已有的“白马有理数对”重复）
29．如图已知ABC 中，,8B C AB AC ∠=∠==厘米，6BC =厘来，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以每秒2厘米的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段
CA 上由C 点向A 点运动，设运动时间为t (秒)． （1）用含t 的代数式表示线段PC 的长度；
（2）若点,P Q 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP 是否全等，请说明理由； （3）若点,P Q 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与
CQP 全等？
（4）若点Q 以（3）中的运动速度从点C 出发，点v 以原来的运动速度从点B 同时出发，都顺时针沿三边运动，求经过多长时间，点P 与点Q 第一次在ABC 的哪条边上相遇？
30．已知，在平面直角坐标系中，(42,0)A ，(0,42)B ，C 为AB 的中点，P 是线段AB 上一动点，D 是线段OA 上一点，且PO PD =，DE AB ⊥于E ．
（1）求OAB ∠的度数；
（2）当点P 运动时，PE 的值是否变化？若变化，说明理由；若不变，请求PE 的值． （3）若45OPD ∠=︒，求点D 的坐标．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
解：设运动时间为t 秒，则CP=12-3t ，BQ=t ， 根据题意得到12-3t=t ， 解得：t=3，
【点睛】
本题考查一元一次方程及平行四边形的判定，难度不大．
2．B
解析：B
【解析】
【分析】
易得BE=DE，利用勾股定理求得DE的长，利用三角形的面积公式可得阴影部分的面积．【详解】
根据翻折的性质可知：∠EBD=∠DBC．
又∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∴∠ADB=∠EBD，∴BE=DE．设BE=DE=x，∴AE=12﹣x．∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∴AE2+AB2=BE2，即（12﹣x）2+62=x2，x=7.5，
∴S△EDB=1
2
×7.5×6=22.5．
故选B．
【点睛】
本题考查了折叠的性质：折叠前后的两个图形全等，即对应线段相等，对应角相等．同时也考查了勾股定理，利用勾股定理得到DE的长是解决本题的关键．
3．A
解析：A
【解析】
【分析】
由将△ABC折叠，使得点A落在点B处，折痕DF分别与AB、AC交于点D、F，可得
BF=AF，又由在△ABC中，AB=AC，AB+BC=8，易得△BCF的周长等于AB+BC，则可求得答案．
【详解】
解：由将△ABC折叠，使得点A落在点B处，折痕DF分别与AB、AC交于点D、F，可得BF=AF，
又由在△ABC中，AB=AC，AB+BC=8，
所以△BCF的周长等于BC+CF+BF=BC+CF+AF=AB+BC=8．
故答案选A．
【点睛】
此题考查了折叠的性质．此题难度不大，解题的关键是掌握折叠前后图形的对应关系，注意等量代换，注意数形结合思想的应用．
4．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据平方根和算术平方根的定义解答即可.
A 、（﹣3）2的平方根是±3，故该项错误；
B 4，故该项错误；
C 、1的平方根是±1，故该项错误；
D 、4的算术平方根是2，故该项正确.故选D. 【点睛】
本题考查了平方根、算术平方根的定义，解决本题的关键是熟记平方根、算术平方根的定义.
5．D
解析：D 【解析】
分析：由点（m,n ）在一次函数3y x b =+的图像上，可得出3m+b=n ，再由3m-n ＞2，即可得出b ＜-2，此题得解． 详解：
∵点A （m ，n ）在一次函数y=3x+b 的图象上， ∴3m+b=n ． ∵3m-n ＞2，
∴3m-(3m+b)＞2，即-b>2, ∴b ＜-2． 故选D ．
点睛：考查了一次函数图象上点的坐标特征:点的坐标满足函数的解析式，根据一次函数图象上点的坐标特征，再结合3m-n ＞2，得出-b ＞2是解题的关键．
6．C
解析：C 【解析】
试题解析：∵k=-2＜0， ∴一次函数经过二四象限； ∵b=3＞0，
∴一次函数又经过第一象限，
∴一次函数y=-x+3的图象不经过第三象限， 故选C ．
7．B
解析：B 【解析】 【分析】
观察可得点P 的变化规律，
“()()()()44 1 4243 4, 041
, 1 42, 0 43, 2n n n n P n P n P n P n ++++++，，， (n 为自然数)”，由此即可得出结论. 【详解】
观察， ()()()()()()0123450,01,12,0,3,2,4,0,5,1....P P P P P P ，，，
，
发现规律:()()()()44 1 4243 4, 041
, 1 42, 0 43, 2n n n n P n P n P n P n ++++++，，， (n 为自然数) .
∵20204505=⨯
∴2020P 点的坐标为()2020,0. 故选: B. 【点睛】
本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出规律
“()()()()44 1 4243 4, 041
, 1 42, 0 43, 2n n n n P n P n P n P n ++++++，，， (n 为自然数)”，本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点P 的变化罗列出部分点的坐标，再根据坐标的变化找出规律是关键.
8．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据比例的性质，对所给选项进行整理，找到不一定正确的选项即可． 【详解】 解：
一组不为零的数a ，b ，c ，d ，满足
a c
b d
=， ∴
a b c d =，11a c b d +=+，即a b c d b d
++=，故A 、B 一定成立； 设
a c
k b d
==， ∴a bk =，c dk =， ∴999999a b kb b k a b kb b k ---==+++，999
999
c d kd d k c d kd d k ---==+++， ∴9999a b c d
a b c d
--=++，故D 一定成立； 若
99a c b d --=则99a c b b d d -=-，则需99
b d
=， ∵b 、d 不一定相等，故不能得出99
a c
b d
--=，故D 不一定成立． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了比例性质；根据比例的性质灵活变形是解题关键．
9．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据二次根式有意义的条件即可确定x的取值范围.【详解】
解：由题意得，2x+5≥0，解得x≥﹣5
2
，
故选：C．
【点睛】
a 时有意义，正确理解二次根式有意义的条件是解题的关键.
10．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度确定出点的横坐标与纵坐标，即可得解．
【详解】
∵点在第四象限且到x轴距离为3，到y轴距离为6，
∴点的横坐标是6，纵坐标是-3，
∴点的坐标为（6，-3）．
故选B．
【点睛】
本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键．
二、填空题
11．9．
【解析】
【分析】
把百分位上的数字5进行四舍五入即可．
【详解】
17.85精确到十分位是17.9
故答案为：17.9．
【点睛】
本题考查了近似数和有效数字：“精确到第几位”和“有几个有效
解析：9．
【解析】
【分析】
把百分位上的数字5进行四舍五入即可．
【详解】
17.85精确到十分位是17.9
故答案为：17.9．
【点睛】
本题考查了近似数和有效数字：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
12．﹣1．
【解析】∵点P（m+1，m+3）在y轴上，
∴m+1=0，
∴m=-1．
故答案为：-1．
解析：﹣1．
【解析】∵点P（m+1，m+3）在y轴上，
∴m+1=0，
∴m=-1．
故答案为：-1．
13．70°．
【解析】
【分析】
根据全等三角形的性质得出AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，求出∠BAD＝∠EAC＝40°，根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠ADB，即可求出答案．
【详解】
解：∵△ABC
解析：70°．
【解析】
【分析】
根据全等三角形的性质得出AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，求出∠BAD＝∠EAC＝40°，根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠ADB，即可求出答案．
【详解】
解：∵△ABC≌△ADE，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠EAC，
∵∠EAC＝40°，
∴∠BAD＝40°，
∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB＝1
2
（180°﹣∠BAD）＝70°，
故答案为：70°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，能根据全等三角形的性质得出AB＝AD和求出∠BAD＝∠EAC是解此题的关键．
14．3cm．
【解析】
【分析】
利用勾股定理列式求出AB，根据翻折变换的性质可得BC′＝BC，C′D＝CD，然后求出AC′，设CD＝x，表示出C′D、AD，然后利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】
解析：3cm．
【解析】
【分析】
利用勾股定理列式求出AB，根据翻折变换的性质可得BC′＝BC，C′D＝CD，然后求出AC′，设CD＝x，表示出C′D、AD，然后利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】
解：∵∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，
∴AB10cm，
由翻折变换的性质得，BC′＝BC＝6cm，C′D＝CD，
∴AC′＝AB﹣BC′＝10﹣6＝4cm，
设CD＝x，则C′D＝x，AD＝8﹣x，
在Rt△AC′D中，由勾股定理得，AC′2+C′D2＝AD2，
即42+x2＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
即CD＝3cm．
故答案为：3cm．
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，此类题目熟记性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．
15．【解析】
【分析】
是图像上移2个单位，是图像上移2个单位，所以交点P也上移两个单位，据此即可求得答案.
【详解】
解：∵是图像上移2个单位得到，
是图像上移2个单位得到，
∴ 交点P （-4，-2
解析：40x y =-⎧⎨=⎩
【解析】
【分析】
2y ax b --=是()0y ax b a =+≠图像上移2个单位，20y kx --=是()0y kx k =≠图像上移2个单位，所以交点P 也上移两个单位，据此即可求得答案.
【详解】
解：∵2y ax b --=是()0y ax b a =+≠图像上移2个单位得到，
20y kx --=是()0y kx k =≠图像上移2个单位得到，
∴ 交点P （-4，-2），也上移两个单位得到P ＇(-4，0)，
∴++2+2y ax b y kx =⎧⎨=⎩的解为40
x y =-⎧⎨=⎩， 即方程组220y ax b y kx --=⎧⎨--=⎩ 的解为40
x y =-⎧⎨=⎩， 故答案为：40x y =-⎧⎨
=⎩. 【点睛】
此题主要考查了一次函数与二元一次方程（组）：函数图像的交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解.
16．【解析】
【分析】
运用提公因式法求解，公因式是2a.
【详解】
故答案为：
【点睛】
考核知识点：因式分解.掌握提公因式法是关键.
解析：()22a x y -
【解析】
【分析】
运用提公因式法求解，公因式是2a.
【详解】
()2422ax ay a x y -=-
故答案为：()22a x y -
【点睛】 考核知识点：因式分解.掌握提公因式法是关键.
17．11
【解析】
【分析】
根据函数图象可以直接得到AB 、BC 和三角形ADB 的面积，从而可以求得AD 的长，作辅助线CE ⊥AD,从而可得CD 的长，进而求得点P 从开始到停止运动的总路程，本题得以解决.
【
解析：11
【解析】
【分析】
根据函数图象可以直接得到AB 、BC 和三角形ADB 的面积，从而可以求得AD 的长，作辅助线CE ⊥AD,从而可得CD 的长，进而求得点P 从开始到停止运动的总路程，本题得以解决.
【详解】
解:作CE ⊥AD 于点E,如下图所示，
由图象可知，点P 从A 到B 运动的路程是3，当点P 与点B 重合时，△PAD 的面积是212
，由B 到C 运动的路程为3, ∴
321222
AD AB AD ⨯⨯== 解得，AD=7, 又∵BC//AD,∠A=90°，CE ⊥AD,
∴∠B=90°，∠CEA=90°，
∴四边形ABCE 是矩形,
∴AE=BC=3,
∴DE=AD-AE=7-3=4,
∴2222 345,CD CE DE =+=+=
∴点P 从开始到停止运动的总路程为: AB+BC+CD=3+3+5=11.
【点睛】
本题考查了根据函数图象获取信息，解题的关键是明确题意，能从函数图象中找到准确的信息,利用数形结合的思想解答问题.
18．【解析】
【分析】
先判断两个实数的大小关系，再根据绝对值的代数意义化简，进而得出答案．【详解】
解：∵，
∴原式
，
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了绝对值的代数意义，正确判断实数的大小
解析：2
【解析】
【分析】
先判断两个实数的大小关系，再根据绝对值的代数意义化简，进而得出答案．
【详解】
<，
2
=-
∴原式2)
=-
2
故答案为：2．
【点睛】
此题主要考查了绝对值的代数意义，正确判断实数的大小是解题关键．
19．1
【解析】
∵函数y=kx+3的图象经过点（3，6），
∴，解得：k=1.
故答案为：1.
解析：1
【解析】
∵函数y=kx+3的图象经过点（3，6），
k+=，解得：k=1.
∴336
故答案为：1.
20．【解析】
作DF⊥BC于F，如图，根据角平分线的性质得到DE=DF，再利用三角形面积公式得到×10×DE+×14×DF=42，则5DE+7DE=42，从而可求出DE的长．
【详解】
作D
解析：7 2
【解析】
【分析】
作DF⊥BC于F，如图，根据角平分线的性质得到DE=DF，再利用三角形面积公式得到
1 2×10×DE+
1
2
×14×DF=42，则5DE+7DE=42，从而可求出DE的长．
【详解】
作DF⊥BC于F，如图所示：
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE=DF，
∵S△ADB+S△BCD=S△ABC，
∴1
2
×10×DE+
1
2
×14×DF=42，
∴5DE+7DE=42，
∴DE=7
2（cm）．
故答案为7
2
．
【点睛】
此题主要考查角平分线的性质，解题关键是利用三角形面积公式构建方程，即可解题.三、解答题
21．（1）y＝－x＋4；（2）向下平移4个单位长度（或向上平移－4个单位长度）；向左平移4个单位长度；或先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度；或先向下平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度(此问答案不唯一)．
【解析】
【分析】
（1）设y＝kx＋b（k≠0），直接将P（1，3），Q（0，4）代入，即可用待定系数法求得
函数解析式；
（2）平移后经过原点，则平移之后解析式为y=-x ，根据函数y ＝－x ＋4变形为y=-x 的过程，结合函数的平移符合“左加右减，上加下减”即可得出平移方式（答案不唯一）.
【详解】
（1）设y ＝kx ＋b （k ≠0），
所以43b k b =⎧⎨=+⎩
， 解得14k b =-⎧⎨=⎩
所以函数表达式为y ＝－x ＋4．
（2）若平移后经过原点，则平移后函数的解析式为y=-x.
∵y ＝－x ＋4-4=－x ，∴可向下平移4个单位长度（或向上平移－4个单位长度）； ∵y=-( x+4)+4=- x,∴可向左平移4个单位长度；
∵y ＝－（x+1）＋4-3，∴可先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度或先向下平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度．
【点睛】
本题考查用待定系数法求一次函数解析式，一次函数的平移问题.（1）熟练掌握用待定系数法求一次函数解析式是解题关键；（2）中函数的平移满足“左加右减，上加下减”.
22．()133x +,15
【解析】
【分析】
先根据分式混合运算法则进行化简，再代入已知值求值.
【详解】 解：35(2)362
x x x x -÷+--- =()2345()3222
x x x x x --÷---- =()239322
x x x x --÷-- =()()()
323233x x x x x --⨯-+- =()
133x +
当3x =时，原式
15
== 【点睛】
考核知识点：二次根式化简求值.先根据分式性质进行化简是关键
.
23．（1）∠D 是直角．理由见解析；（2）234.
【解析】
【分析】
（1）连接AC ，先根据勾股定理求得AC 的长，再根据勾股定理的逆定理，求得∠D=90°即可；
（2）根据△ACD 和△ACB 的面积之和等于四边形ABCD 的面积，进行计算即可． 【详解】
（1）∠D 是直角．理由如下：
连接AC ． ∵AB =20，BC =15，∠B =90°，
∴由勾股定理得AC 2=202+152=625．
又∵CD =7，AD =24，
∴CD 2+AD 2=625，
∴AC 2=CD 2+AD 2，
∴∠D =90°．
（2）四边形ABCD 的面积=12AD •DC +12AB •BC =12×24×7+12
×20×15=234．
【点睛】
考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的综合运用，解决问题时需要区别勾股定理及其逆定理．通过作辅助线，将四边形问题转化为三角形问题是关键．
24．证明见解析.
【解析】
试题分析：由1=2∠∠，可得,CAB EAD ∠=∠,,AC AE AB AD ==则可证明
ABC ADE ≅，因此可得.BC DE =
试题解析：1=2∠∠，
12,EAB EAB ∴∠+∠=∠+∠即CAB EAD ∠=∠,在ABC 和ADE 中，{AC AE
CAB EAD AB AD
=∠=∠=(),ABC ADE SAS ∴≅.BC DE ∴=
考点：三角形全等的判定．
25．见解析
【解析】
【分析】
由HL 证明Rt △ABH ≌Rt △DEK 得∠B=∠E ，再用边角边证明△ABC ≌△DEF ．
【详解】
已知：如图所示，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，AH⊥BC，DK⊥EF，且AH＝DK．
求证：△ABC≌△DEF，
证明：∵AH⊥BC，DK⊥EF，
∴∠AHB＝∠DKE＝90°，
在Rt△ABH和Rt△DEK中，
AH DK
AB DE
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴Rt△ABH≌Rt△DEK（HL），
∠B＝∠E，
在△ABC和△DEF中，
AB DE
B E
BC EF
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）
【点睛】
本题综合考查了全等三角形的判定与性质和命题的证明方法，重点掌握全等三角形的判定与性质，难点是将命题用几何语言规范书写成几何证明格式．
四、压轴题
26．（1）见解析；（2）αβ
=，理由见解析；（3）2
【解析】
【分析】
（1）证明()
ABD ACE SAS
≅
△△，根据全等三角形的性质得到BD CE
=；
（2）同（1）先证明()
ABD ACE SAS
≅
△△，得到∠ACE=∠ABD，结合等腰三角形的性质和外角和定理用不同的方法表示∠ACE，得到α和β关系式；
（3）同（1）先证明()
ABD ACE SAS
≅
△△，得到
ABC
ADCE
S S
∆
=
四边形
，那么DCE ADE
ADCE
S S S
∆∆
=-
四边形
，当AD BC
⊥时，
ADE
S
∆
最小，即DCE
S
∆
最大．
【详解】
解：（1）∵BAC DAE ∠=∠，
∴BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠， ∴BAD CAE ∠=∠，
在ABD △和ACE △中，
AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()ABD ACE SAS ≅△△，
∴BD CE =；
（2）同（1）的方法得()ABD ACE SAS ≅△△， ∴∠ACE=∠ABD ，∠BCE=α，
∴∠ACE=∠ ACB+∠BCE=∠ACB+α，
在ABC 中，
∵AB= AC ，∠BAC=β，
∴∠ACB=∠ABC =12(180°-β)= 90°-12
β， ∴∠ABD= 180°-∠ABC= 90°+
12β， ∴∠ACE=∠ACB +α= 90°-
12β+α， ∵∠ACE=∠ABD = 90°+
12β， ∴90°-12β+α= 90°+12
β， ∴α = β；
（3）如图，过A 做AH BC ⊥于点H ， ∵AB AC =，90BAC ∠=︒，
∴45ABC ∠=︒，122
BH AH BC ===， 同（1）的方法得，()ABD ACE SAS ≅△△， AEC ABD S S ∆∆∴=,AEC ADC ABD ADC S S S S ∆∆∆∆+=+， 即142
ABC ADCE S S BC AH ∆==⋅=四边形， ∴DCE ADE ADCE S S S ∆∆=-四边形，
当ADE S ∆最小时，DCE S ∆最大，
∴当AD BC ⊥2AD =，时最小，2122ADE S AD ∆==，
422DCE S ∆∴=-=最大．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的外角和定理，解题的关键是抓住第一问中的那组全等三角形，后面的问题都是在这个基础上进行证明的．
27．（1）①E （3，﹣2）②见解析；③
12
OM BD =，理由见解析；（2）OD+OA ＝2AM 或OA ﹣OD ＝2AM
【解析】
【分析】
（1）①过点E 作EH ⊥y 轴于H ．证明△DOA ≌△AHE （AAS ）可得结论．
②证明△BOM ≌△EHM （AAS ）可得结论．
③是定值，证明△BOM ≌△EHM 可得结论．
（2）根据点D 在点B 左侧和右侧分类讨论，分别画出对应的图形，根据全等三角形的判定及性质即可分别求出结论．
【详解】
解：（1）①过点E 作EH ⊥y 轴于H ．
∵A （0，3），B （﹣3，0），D （﹣5，0），
∴OA ＝OB ＝3，OD ＝5，
∵∠AOD ＝∠AHE ＝∠DAE ＝90°，
∴∠DAO+∠EAH ＝90°，∠EAH+∠AEH ＝90°，
∴∠DAO ＝∠AEH ，
∴△DOA ≌△AHE （AAS ），
∴AH ＝OD ＝5，EH ＝OA ＝3，
∴OH ＝AH ﹣OA ＝2，
∴E （3，﹣2）．
②∵EH⊥y轴，
∴∠EHO＝∠BOH＝90°，
∵∠BMO＝∠EMH，OB＝EH＝3，∴△BOM≌△EHM（AAS），
∴BM＝EM．
③结论：OM
BD
＝
1
2
．
理由：∵△DOA≌△AHE，∴OD＝AH，
∵OA＝OB，
∴BD＝OH，
∵△BOM≌△EHM，
∴OM＝MH，
∴OM＝1
2
OH＝
1
2
BD．
（2）结论：OA+OD＝2AM或OA﹣OD＝2AM．理由：当点D在点B左侧时，
∵△BOM≌△EHM，△DOA≌△AHE
∴OM=MH，OD=AH
∴OH=2OM，OD－OB=AH－OA
∴BD=OH
∴BD＝2OM，
∴OD﹣OA＝2（AM﹣AO），
∴OD+OA＝2AM．
当点D在点B右侧时，过点E作EH⊥y轴于点H
∵∠AOD＝∠AHE＝∠DAE＝90°，
∴∠DAO+∠EAH＝90°，∠EAH+∠AEH＝90°，∴∠DAO＝∠AEH，
∵AD=AE
∴△DOA≌△AHE（AAS），
∴EH=AO=3=OB，OD=AH
∴∠EHO＝∠BOH＝90°，
∵∠BMO＝∠EMH，OB＝EH＝3，
∴△BOM≌△EHM（AAS），
∴OM＝MH
∴OA＋OD= OA＋AH=OH=OM＋MH=2MH=2（AM＋AH）=2（AM＋OD）
整理可得OA﹣OD＝2AM．
综上：OA+OD＝2AM或OA﹣OD＝2AM．
【点睛】
此题考查的是全等三角形的判定及性质、旋转的性质和平面直角坐标系，掌握全等三角形的判定及性质、旋转的性质和点的坐标与线段长度的关系是解决此题的关键．
28．（1）
3
5,
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
；（2）2；（3）不是；（4）（6，
7
5
）
【解析】【分析】
（1）根据“白马有理数对”的定义，把数对
3
(2,1),5,
2
⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
分别代入1
a b ab
+=-计算即
可判断；
（2）根据“白马有理数对”的定义，构建方程即可解决问题；（3）根据“白马有理数对”的定义即可判断；
（4）根据“白马有理数对”的定义即可解决问题．
【详解】
（1）∵-2+1=-1，而-2×1-1=-3，
∴-2+1≠-3，
∴（-2，1）不是“白马有理数对”，
∵5+3
2
=
13
2
，5×
3
2
-1=
13
2
，
∴5+3
2
=5×
3
2
-1，
∴
3
5,
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
是“白马有理数对”，
故答案为：
3 5,
2
⎛⎫ ⎪⎝⎭
；
（2）若(,3)
a是“白马有理数对”，则a+3=3a-1，
解得：a=2，
故答案为：2；
（3）若(,)m n 是“白马有理数对”，则m+n=mn-1，
那么-n+（-m ）=-（m+n ）=-（mn-1）=-mn+1，
∵-mn+1≠ mn-1
∴（-n ，-m ）不是“白马有理数对”，
故答案为：不是；
（4）取m=6，则6+x=6x-1，
∴x=75
， ∴（6，75
）是“白马有理数对”， 故答案为：（6，75
）． 【点睛】
本题考查了“白马有理数对”的定义，有理数的加减运算，一次方程的列式求解，理解“白马有理数对”的定义是解题的关键．
29．（1）6-2t ；（2）全等，理由见解析；（3）83
；（4）经过24s 后，点P 与点Q 第一次在ABC 的BC 边上相遇
【解析】
【分析】
（1）根据题意求出BP ，由PC=BC-BP ，即可求得；
（2）根据时间和速度的关系分别求出两个三角形中，点运动轨迹的边长，由∠B=∠C ，利用SAS 判定BPD △和CQP 全等即可；
（3）根据全等三角形的判定条件探求边之间的关系，得出BP=PC ，再根据路程=速度×时间公式，求点P 的运动时间，然后求点Q 的运动速度即得；
（4）求出点P 、Q 的路程，根据三角形ABC 的三边长度，即可得出答案．
【详解】
（1）由题意知，BP=2t ，则
PC=BC-BP=6-2t ，
故答案为：6-2t ；
（2）全等，理由如下：
∵p Q V V =，t=1，
∴BP=2=CQ ，
∵AB=8cm ，点D 为AB 的中点，
∴BD=4（cm ），
又∵PC=BC-BP=6-2=4（cm ），
在BPD △和CQP 中
BD PC B C BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴BPD △≌CQP （SAS ）
故答案为：全等．
（3）∵p Q V V ≠，
∴BP CQ ≠，
又∵BPD △≌CPQ ，∠B=∠C ，
∴BP=PC=3cm ，CQ=BD=4cm ，
∴点,P Q 运动时间322
BP t ==（s ）， ∴48332
Q CQ V t
===（cm/s ）， 故答案为：83
； （4）设经过t 秒时，P 、Q 第一次相遇，
∵2/p V cm s =，8/3
Q V cm s =
， ∴2t+8+8=83t ， 解得：t=24
此时点Q 走了824643⨯=（cm ），
∵ABC 的周长为：8+8+6=22（cm ），
∴6422220÷=，
∴20-8-8=4（cm ），
经过24s 后，点P 与点Q 第一次在ABC 的BC 边上相遇，
故答案为：24s ，在 BC 边上相遇．
【点睛】
考查了全等三角形的判定和性质，路程，速度，时间的关系，全等三角形中的动点问题，动点的追及问题，熟记三角形性质和判定，熟练掌握全等的判定依据和动点的运动规律是解题的关键，注意动点中追及问题的方向．
30．（1）45°；（2）PE 的值不变，PE=4，理由见详解；（3）
D(8-，0)．
【解析】
【分析】
（1
）根据A
，(0,B ，得△AOB 为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，即可求出∠OAB 的度数；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠AOC=∠BOC=45°，OC ⊥AB ，再证明
△POC ≌△DPE ，根据全等三角形的性质得到OC=PE ，即可得到答案；
（3）证明△POB ≌△DPA ，得到
PA=OB=，DA=PB ，进而得OD 的值，即可求出点D 的坐标．
【详解】
（1
）A
，(0,B ，
∴
OA=OB=
∵∠AOB=90°，
∴△AOB 为等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°；
（2）PE 的值不变，理由如下：
∵△AOB 为等腰直角三角形，C 为AB 的中点，
∴∠AOC=∠BOC=45°，OC ⊥AB ，
∵PO=PD ，
∴∠POD=∠PDO ，
∵D 是线段OA 上一点，
∴点P 在线段BC 上，
∵∠POD=45°+∠POC ，∠PDO=45°+∠DPE ，
∴∠POC=∠DPE ，
在△POC 和△DPE 中，
90POC DPE OCP PED PO PD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
，
∴△POC ≅△DPE(AAS)，
∴OC=PE ，
∵OC=
12AB=12
×
×=4， ∴PE=4；
（3）∵OP=PD ， ∴∠POD=∠PDO=(180°−45°)÷2=67.5°，
∴∠APD=∠PDO−∠A=22.5°，∠BOP=90°−∠POD=22.5°，
∴∠APD=∠BOP ，
在△POB 和△DPA 中，
OBP PAD BOP APD OP PD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△POB ≌△DPA(AAS)，
∴PA=OB=DA=PB，
∴DA=PB=-，
∴OD=OA−DA=8
-，
∴点D的坐标为(8，0)．
【点睛】
本题主要考查等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质定理，图形与坐标，掌握等腰直角三角形的性质，是解题的关键．。