初中数学常见模型及部分解题思路

初中数学常见模型解题思路

代 数 篇

1、循环小数化分数：(1)设元(2)扩大(3)相减抵消法【等式性质的运用】

例：把0.108108108...化为分数.

设a =0.108108108...①两边同时乘以1000，得 1000a =108.108108...②

②-①，得999a =108，从而得a =108/999=4/37.

2、对称式计算技巧：“平方差公式、完全平方公式”【整体思想的结合】 22,,,y x xy y x y x +-+中，知二求二. (加减配合，灵活变形.)

如xy y x y x 2)(222++=+ xy y x y x 2)(222-+=+；

xy y x xy y x y x 4)(2)(2222-+=-+=-.

3、特殊公式21)1(222±+=±x

x x x 的变型及应用. 4、立方和/差公式：).)(())((22332233y xy x y x y x y xy x y x y x ++-=-+-+=+；

5、等差数列求和的法：首尾相加法. (方法+公式)

例：计算1+2+3+4+...+2018. 【规律推导法；等式性质推导】

6、等比数列求和法：(1)设元(2)乘等比(3)相减(4)求解.

例：计算1+2+4+8+...+2n . 【这两种数列均可用等式性质进行推导】

7、mn

m n n m mn m n n m +=+-=-11;11的灵活应用. 例：计算(1)3801...3012011216121++++++；(2).17

1532151328...97167512538314⨯-⨯++⨯-⨯+⨯-⨯ 8、韦达定理求关于两根的代数式的值.

(1) 对称式：变和积..1111222222y

x y x y x xy y x ++++；；；(x 、y 为一元二次方程的两根) (2) 非对称式：根的定义 降次 变和积(一代入二韦达)

9、三大非负数及三大永正数(如|x |+2).

10、常用最值式：正数+±2)(y x 等

11、换元大法.

12、自圆其说加减法与两肋插刀法。代数式或函数变型(如配方)只能加一个数，同时减去同一个数；如果是方程则只需要两边同时加上或者减去同一个数即可。

13、拆项法、配方法。(原理同上)

14、十字相乘法.

15、统计概率：两查(抽样；普查)、三事(必然；随机；不可能)、四图(折线；条形；扇形；直方)、三数三差、两频(频数；频率)一概(概率).

16、一元二次方程应用题.如利率问题、握手送花问题等

17、b a =，则b a ±=在动点问题中的巧妙应用(避免繁琐的因为点的相对位置变

化引起的符号变化问题；平面直角坐标系中动态问题之“坐距互变”时巧施绝对值的代数解法).

18、四个角的正切值：22.5度的正切值为12-；67.5度的正切值为12+；

75度的正切值为32+；15度的正切值为32-.

几 何 篇

1、线、角的等量问题：

等角(如右图)：条件COD AOB ∠=∠ 结论：BOD AOC ∠=∠

说明：可视作由旋转产生的“共点等角” 等线(如下图)：条件CD AB = 结论：BD AC = 说明：可视作由平移产生 2、两条平行线夹一角(即“拐点问题”) 例：如图1，条件AE ∥CF 结论：︒=∠+∠+∠360PFC AEP P

如图2，条件AE ∥CF 结论：FCP EAP P ∠+∠=∠

3、平行线夹等(同)底三角形：面积相等。 同底三角形面积相等，则过顶点的直线与底所在直线平行。

若m ∥n ，则ABD ABC S S ∆∆=.反之，若ABD ABC S S ∆∆=，则m ∥n .

4、已知三角形两边长，定第三边的范围：大于两边的差，小于两边的和。

5、三角形的角平分线. (1)两内角平分线相交角：290A P ∠+︒=∠ 一内一外角平分线相交角：2A M ∠=∠ 两外角平分线相交角：2

90A N ∠-︒=∠(

(2)等于该角两边之比.

如：AD 平分∠BAC ，则CD BD AC AB =. 6、三角形的中线：重心分中线为1:2两部分. 如：三中线AD 、BE 、CF 交于点K ，则

AD KD AK 322==;BE KE BK 322==;CF KF CK 322==. 7、三角形的高：底与高积相等；三高得相似；三高得四点共圆. 如：AD 、BE 、CF 为高，则AB CF AC BE BC AD ⋅=⋅=⋅;

△ADB ∽△CFB 等；B 、C 、E 、F 四点共圆等. A O

B C D A O

C B

D

A B C D ••••••••A C B D C F A E A E C F P C D m A B n P B C A A M K C D B A F E B C A F E

8、(1)高与一角平分线的夹角等于另外两角差的一半.

如：AD 、AE 分别为△ABC(AB ≠AC)的角平分线和高， 则∠DAE=

2

B C ∠-∠. (2)两中线垂直的三角形中两边平方和等于第三边平方的5倍. 如：AE 、BF 分别为△ABC 的中线，且AE ⊥BF ， 则2225AB BC AC =+.

9、三角形一分为二面积的比及其推广到蝴蝶面积.

(1)在△ABC 中，AD 、BE 、CF 相交于同一点O ，

则CD BD S S ACO ABO ::=∆∆.

(2)任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：

)(:)(:4321S S S S OC AO ++=

4321::S S S S =或者3241S S S S ⨯=⨯. 10、等腰三角形三线合一的逆定理：两线合一亦等腰；一垂两等变等腰；一垂三等变等直.等腰三角形存在性常用公式：底角的余弦=底边的一半/腰

*重要推论：已知三角形中一个角的余弦，这个角的一边×这个角的余弦=另一边

的一半，此三角形为等腰三角形(一边为腰，另一边为底).

如图：2

cos BC B AB =⋅△ABC 为等腰三角形(BC 为底). *“两线一圆模型”：已知线段AB(两定点A 、B)，在平面内

找一点C ，使△ABC 为等腰三角形.这样的点C 的集合在以 A 、B 为半径的圆和AB 的垂直平分线上(与A 、B 共线的点

除外)【等腰三角形存在性问题】

11、直角三角形斜高的求法：斜高=两直角边的乘积/斜边

*直角三角形存在性之“两线一圆模型”：已知线段AB(两

定点A 、B)，在平面内找一点C ，使△ABC 为直角三角形. 满足条件的C 的集合在过A 、B 作线段AB 的垂线及以AB

为直径的圆上的除A 、B 两点的任意点都可与A 、B 组成

直角三角形.(即所谓的“两线一圆”)

12、等边三角形面积的求法：24

3a S a =的等边三角形边长为 13、求面积的套路：(1)复杂图形：一拆用加；二放用减.

(2)三角形：①面积公式；

②两边与夹角正弦的积的一半(遇钝变补)； ③铅垂线法(宽高法)；④等边三角形的面积；

⑤利用相似比的平方等于面积比(借助面积可求的三角形的面积和相似比求解)；⑥让出去(化归).

D B

E C A

A B C E F O C

D B A F

E A D S 1 A B A B A B B C O S 2 S 3 S 4