初中数学常见模型及部分解题思路
初中数学常见模型
初中数学常见模型初中数学中的常见模型有很多，下面列举一些常见的模型及其解题思路。
1.分数运算模型分数运算是初中数学中必修的一部分，它们的解决方法有很多，其中最常见的是通分、约分、加减乘除以及比较大小。
例如：“小明有2/3个馒头，他一共要平均分给3个人，每个人分到多少馒头？”解题思路：先将小明所有的馒头转化为分数，即2/3，然后乘以3，得到2份馒头。
将2份馒头平均分给3个人，即每个人得到2/3÷3=2/9份馒头。
2.速度、时间、距离模型速度、时间、距离模型是初中数学中另一个重要的模型。
在解决这类问题时，我们需要了解速度是距离和时间的比值，可以用“路程=速度×时间”的公式来计算。
例如：“A、B两人同向行驶，A的速度是20km/h，B的速度是30km/h，当A超过B后，用多长时间可以与B再次相遇？”解题思路：设相遇后A已经行驶了t小时，此时B行驶了30t千米，A行驶了20t千米。
由于A超过B后会比B多行驶一段距离，因此有20t-30t=（20+30）t-30t=10t=路程。
根据两车速度相等的原则，得到（20+30）t=30t+20t，即t=4小时。
因此，用4小时后A与B再次相遇。
3.百分数模型百分数模型是初中数学中常见的一种模型。
在解决这类问题时，我们需要将百分数转换为小数，并将问题转化为数学运算问题，如加减乘除等。
例如：“小明已经学了某科目的65%，如果他想达到90%的水平，还需要学习多久？”解题思路：因为小明已经学了该科目的65%，还需要学习的就是35%。
设他还需要学习的时间为t天。
因此，35%=0.35，得到小明还需要学习的时间为0.35t天。
根据题目要求，0.35t应该等于25%，即0.25，得到方程0.35t=0.25，则t=0.25÷0.35≈0.71。
因此，小明还需要学0.71天。
4.几何模型初中数学中的几何模型包括各种形状的面积、周长和体积计算等。
在计算这些模型时，需要了解计算公式，例如长方形面积公式为长×宽，三角形面积公式为底边×高÷2等。
初中数学58种模型 31、勾股定理知识点与常见题型总结
初中数学58种模型勾股定理复习一．知识归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． c ba HG FEDCB A方法二：b ac b a cca b c a b四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证 a b ccb a E DCB A３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b =，a②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：A B C 30°D CB A AD B CCB D A题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接应用勾股定理222a b c +=解：⑴10AB⑵8BC ==题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解解：⑴4AC ， 2.4AC BC CD AB⋅==DB AC⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S =⑶设两直角边分别为a ，b ，则17a b +=，22289a b +=，可得60ab =1302S ab ∴==2cm 例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21DCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来解：作DE AB ⊥于E ，12∠=∠，90C ∠=︒∴ 1.5DE CD ==在BDE ∆中90,2BED BE ∠=︒=Rt ACD Rt AED ∆≅∆AC AE ∴=在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积答案：6题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 mAB CD E分析：根据题意建立数学模型，如图8AB =m ，2CD =m ，8BC =m ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，则6AE =m ，8DE =m在Rt ADE ∆中，由勾股定理得10AD ==答案：10m题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ∆是否为Rt ∆ ① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23c = 解：①22221.52 6.25a b +=+=，222.5 6.25c ==∴ABC ∆是直角三角形且90C ∠=︒ ②22139b c +=，22516a =，222bc a +≠ABC ∴∆不是直角三角形 例7.三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？ 解：此三角形是直角三角形 理由：222()264a b a b ab +=+-=，且264c =222a b c ∴+= 所以此三角形是直角三角形题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.已知ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =证明：D CB AAD 为中线，5BD DC ∴==cm在ABD ∆中，22169AD BD +=，2169AB =222AD BD AB ∴+=， 90ADB ∴∠=︒，222169AC AD DC ∴=+=，13AC =cm ， AB AC ∴=。
初中数学必考模型及解题方法
初中数学必考模型及解题方法初中数学是中学阶段的重要学科之一，也是学生日后职业发展中不可或缺的知识。
在初中数学考试中，模型化问题是很关键的一部分。
以下是初中数学必考模型及解题方法的列表：1. 百分数问题百分数问题是初中数学中最基础的模型之一。
通常，百分数问题涉及到以下类型的问题：百分数的计算，百分数的转化等等。
其解题方法如下：（1）计算百分数：a. 计算百分数的值：将百分数表示成小数，乘以对应的数值。
b. 计算数值对应的百分数：将给定的数值除以总数，把结果转成百分数即可。
（2）转化百分数：a. 百分数转化为小数：直接将百分数除以100。
b. 小数转化为百分数：将小数乘以100即可。
2. 比例问题比例问题通常涉及到两个数值之间的比值关系，其解题方法如下：（1）计算比例值：将给定的比例值化为分数，根据题目要求进行计算。
（2）计算比例数值：将给定的两个数值相除，得出对应的比例值。
（3）利用比例解决问题：通过构建等比例关系，解决实际问题。
3. 均值问题均值问题通常涉及到多个数值之间的加减运算关系，其解题方法如下：（1）计算平均数值：将给定的数值加起来，再除以数值的个数。
（2）解决均值问题：通过平均数的特点，解决实际问题。
4. 几何问题几何问题通常涉及到图形的构造和运算，其解题方法如下：（1）计算几何图形的面积、周长等：根据给定的几何图形，选择相应的公式进行计算。
（2）构造几何图形：通过给定的信息，构造出符合要求的几何图形。
5. 等价关系问题等价关系是初中数学中比较难的模型，通常涉及到不同数值之间的等价关系。
其解题方法如下：（1）确定等价的数值：通过给定的条件，确定两个或多个数值之间的等价关系。
（2）解决等价关系问题：通过等价关系的特点，解决实际问题。
总之，初中数学必考模型及解题方法对于初中数学学习非常重要，学生需要借助规律和公式，灵活运用解题方法，多加练习，才能在数学中取得更好的成绩。
初中数学几何模型的60种解题技巧
初中数学作为学生学习的基础课程之一，其中的几何模型在数学解题中占据着重要的地位。
掌握几何模型的解题技巧不仅可以帮助学生更好地理解数学知识，还可以提高他们的解题效率。
本文将介绍初中数学几何模型的60种解题技巧，希望能为学生们的学习提供帮助。
1. 角度概念的运用：在几何模型的解题过程中，学生可以通过具体的角度概念来解答问题，例如利用垂直角、平行线、内角和为180度等概念来解题。
2. 图形相似的判断：判断两个图形是否相似是解题的基础，学生可以利用边长比例、角度比例等方法来确定图形的相似性。
3. 平行线相关性质的应用：平行线的性质在几何模型的解题中经常会出现，学生可以通过平行线与角度的关系来解答问题。
4. 圆的相关性质的利用：圆的性质在几何模型中也是常见的，学生需要掌握圆的直径、半径、圆心角等概念，以便解题。
5. 三角形的分类和性质的运用：学生需要掌握等边三角形、等腰三角形、直角三角形等不同类型三角形的性质，并根据题目的要求来进行合理的运用。
6. 应用解题：在学习几何模型的解题过程中，学生需要结合实际的应用场景，将抽象的几何原理与具体的问题相结合来解答问题。
7. 连线问题的求解：对于一些多边形的连线问题，学生可以通过几何模型的知识来进行合理的求解。
8. 几何图形的对称性：对称图形在几何模型中也是常见的，学生可以通过对称性来解答与对称图形相关的问题。
9. 正多边形的性质：正多边形的性质是几何模型解题中的重要内容，学生需要掌握正多边形的内角和为180度、外角的性质等知识。
10. 形状的变换：在几何模型的解题中，学生需要掌握形状的平移、旋转、翻转等变换操作，以便解答形状变换后的问题。
11. 圆的面积和周长的求解：学生需要掌握圆的面积和周长的相关公式，并结合题目要求来进行求解。
12. 三角形的面积和周长的求解：学生需要掌握不同类型三角形的面积和周长的求解方法，并灵活运用到不同的题目中。
13. 平行四边形的面积和周长的求解：平行四边形的面积和周长的求解也是初中数学几何模型解题的重要内容，学生需要掌握相关公式及其应用。
初中数学压轴题常见解题模型及套路
初中数学压轴题常见解题模型及套路
初中数学压轴题常见解题模型及套路初中数学的压轴题往往是学生们最为担心的，因为这些题目难度较高，需要运用多种解题技巧。
以下是几种常见的解题模型及套路。
1. 分类讨论法
这种方法适用于需要分类讨论的题目，如排列组合、几何题等。
首先将题目分成不同的情况，然后分别解决每种情况，最后将答案综合起来即可。
2. 反证法
反证法是通过假设结论不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明原结论成立的方法。
这种方法适用于需要证明某个结论的题目，如证明两个角相等、证明两个数相等等。
3. 数学归纳法
数学归纳法是一种递推证明方法，适用于需要证明某个结论对于所有自然数都成立的题目。
首先证明该结论对于某个自然数成立，然后证明该结论对于下一个自然数也成立，最后通过归纳证明该结论对于所有自然数都成立。
4. 等式变形法
等式变形法是通过对等式进行变形，从而达到解题的目的。
这种方法适用于需要利用等式求解的题目，如方程、不等式等。
以上是初中数学压轴题常见解题模型及套路，希望能对学生们在解题时有所帮助。
初中数学常见解题模型及套路(思路、题眼)总汇
初中数学压轴题常见解题模型及套路（自有定理）A ．代数篇：1．循环小数化分数:设元—扩大——相减（无限变有限）相消法。
例.把0.108108108化为分数。
设S=0.108108108（1）两边同乘1000得：1000S=108.108108（2）（2）-（1）得：999S=108 从而：S=108999余例仿此——2．对称式计算技巧：“平方差公式—完全平方公式”—整体思想之结合：x+y ；x-y ；xy ；22xy中，知二求二。
222222()2()2x y x y x y xy x y x y2222()2()4xy xyx y x y x y加减配合，灵活变型。
3．特殊公式22112x xx x2（）的变型几应用。
4．立方差公式：3322a b a b a abb m （）（）5．等差数列求和的三种方法：首尾相加法；梯形大法；倒序相加法。
例.求：1+2+3+···+2017的和。
三种方法举例：略6．等比数列求和法：方法+公式：设元—乘等比—相减—求解。
例.求1+2+4+8+16+32+ (2)n令S=1+2+4+8+16+32+···+2n（1）两边同乘2得:2S=2+4+8+32+64+ (2)+12n （2）（2）-（1）得：2S-S=12n - 1 从而求得S 。
7．11nmmnmn的灵活应用：如：111162323等。
8．用二次函数的待定系数法求数列（图列）的通项公式f （n ）。
9．韦达定理求关于两根的代数式值的套路：⑴．对称式：变和积。
22221111xy xy xy22；；；xy +x y 等（x 、y 为一元二次方程方程的两根）⑵．非对称式：根的定义—降次—变和积（一代二韦）。
10. 三大非负数：三大永正数；11．常用最值式：2x y （）正数等（非负数+正数）。
12．换元大法。
13．自圆其说加减法与两肋插刀法。
代数式或函数变型（如配方）只能加一个数，同时减去同一个数；如果是方程则只需要两边同时加上或者减去同一个数即可。
初中数学解题思路分析(含学习方法技巧、例题示范教学方法)
初中数学解题思路分析第一篇范文在学生的数学学习过程中，掌握解题思路和方法至关重要。
本文将从初中数学教学实践出发，对初中数学解题思路进行分析，以期为广大师生提供有益的参考。
一、理解题目要求首先，我们要充分理解题目的要求。
在阅读题目时，要仔细观察题目的类型、结构、已知条件和求解目标。
对于不熟悉的问题类型，我们要通过查阅资料或向教师请教，以便对问题有一个全面、准确的理解。
二、分析题目条件在理解题目要求的基础上，我们需要分析题目给出的条件。
这些条件可能是直接的，也可能是隐含的。
我们需要通过数学推理和逻辑思维，将这些条件挖掘出来，并明确它们与求解目标之间的关系。
三、构建数学模型根据题目条件和求解目标，我们需要构建合适的数学模型。
数学模型可以是方程、不等式、函数等。
在构建模型的过程中，我们要注意运用数学知识和方法，如代数、几何、概率等。
同时，我们要保持模型的简洁性和准确性。
四、求解数学模型在构建数学模型后，我们需要对其进行求解。
在求解过程中，我们要遵循数学运算的规则，注意化简、变形、合并同类项等操作。
对于复杂的问题，我们要善于运用数学工具，如计算器、数学软件等。
在求解过程中，我们要保持解答的简洁性和条理性。
五、检验解答在得到解答后，我们需要对解答进行检验。
检验的方法有多种，如代入法、画图法、逻辑推理法等。
我们要确保解答的正确性和合理性。
若发现解答有误，我们要回过头来检查解题过程中的错误，并重新求解。
六、总结解题经验在完成解题后，我们要对解题过程进行总结。
总结的内容包括解题思路、方法、技巧等。
我们要认真反思自己在解题过程中的优点和不足，以便在今后的学习中更好地提高解题能力。
七、注重实践与应用最后，我们要注重数学解题实践与应用。
通过大量的练习，提高自己的解题能力。
同时，我们要将所学的数学知识应用到实际生活中，解决实际问题，从而提高自己的数学素养。
总之，初中数学解题思路分析是数学学习的重要组成部分。
我们要掌握解题的基本思路和方法，注重实践与应用，从而提高自己的数学素养和能力。
初中数学压轴题常见解题模型及套路
初中数学压轴题常见解题模型及套路
1.考察解方程的能力：常见的解题思路是化简式子、移项、合并同类项、分离变量等。
还有一些特殊的解题方法，如倍角公式、三倍角公式、逆三角函数等。
2. 考察求最值的能力：这种题目要用到求导、求极值的知识。
需要特别注意的是，在求最值时，不要忘记判断极值点是否为最值。
3. 考察几何知识的应用：这种题目一般会给出一些图形，要求求出其面积、周长、体积等。
求解时需要熟悉各种图形的特点、性质，如平行四边形、直角三角形、圆等。
4. 考察函数知识的应用：这种题目一般是给出一条函数曲线或函数式子，要求求出其性质，如定义域、值域、奇偶性、单调性等。
需要熟悉各种函数的图像和性质。
5. 考察统计数据的分析：这种题目一般会给出一些数据，要求求出其均值、方差、标准差等。
需要掌握统计学的基本概念和公式。
6. 考察逻辑思维的应用：这种题目一般是给出一些条件，要求求出另一些条件或结论。
需要灵活运用逻辑推理和证明方法。
7. 考察实际问题的解决能力：这种题目一般是给出一些实际情况，要求求出相应的解决方案或策略。
需要具备实际问题解决的思维能力和应对能力。
常见的解题套路包括：把问题拆分成更小的子问题，推导出公式或定理，寻找规律和特殊性质，灵活使用图形、表格、图像等辅助工具。
同时，需要注重练习，多做例题、模拟题和真题，不断提高解题
能力和应对能力。
初中数学九大几何模型解题思路
、手拉手模型----旋转型全等【条件】：△ OAB^□A OCD均为等边三角形;【条件】：△ OAB^□A OCD均为等腰直角三角形;九大几何模型(1)等边三角形DAED【结论】：①厶OAC^A OBD②∠ AEB=60 :③OE平分∠【结论】：①厶OAC^A OBD②∠ AEB=90 :③OE平分∠AEDED、模型二：手拉手模型----旋转型相似(1) 一般情况 【条件】：CD// AB, 将厶OCD 旋转至右图的位置 O OJ DEA【结论】：①右图中△ OC 3A OAB÷→→A OAS A OBD ②延长 AC 交BD 于点E ,必有∠ BEC=∠ BOA (2)特殊情况 A 【条件】：CD// AB,∠ AOB=90 将厶OCD 旋转至右图的位置 A 【结论】：①右图中△ OC 3A OAB÷→→A OAS A OBD ②延长 AC 交BD 于点E ,必有∠ BEC=∠ BOA ③ACOD OBtan∠OCD ④BD 丄AC ⑤连接AD BC,必有AD 2 BC 2 AB 2 CD :⑥ SA BCD三、模型三、对角互补模型 (1)全等型-90 ° 【条件】：①∠ AOB ∠ DCE=90 :②OC 平分∠ AOB【结论】：①CD=CE ②OD+OE= 2 OC ③S A DCE证明提示: ①作垂直，如图 2,证明△ CDM ^△ CEN ②过点C 作CF ⊥ OC 如图3,证明△ OD BA FEC ※当∠ DCE 的一边交 Ao 的延长线于 D 时(如图4): SA OCDS以上三个结论：① CD=CE ② OE-ODw 2 OC ③ S A OCE SA OCD(2) 全等型-120 °【条件】：①∠ AOB=∠ DCE=120 :②OC平分∠ AoB【结论】：① CD=CE ②OD+OE=OC③ S MC E S A OC D S^OCE— OC24证明提示：①可参考“全等型-90 ° ”证法一；②如右下图：在OB上取一点F,使OF=OC证明△ OCF为等边三角形。
初中数学竞赛必备——42个定理与解题模型
初中数学竞赛必备——42个定理与解题模型一、概述1. 数学竞赛在培养学生的逻辑思维能力、数学解决问题的能力以及快速计算的能力方面具有重要的作用。
2. 初中数学竞赛中，掌握一定的数学定理和解题模型对于取得好成绩至关重要。
3. 本文将介绍初中数学竞赛必备的42个定理与解题模型，希望能为参加数学竞赛的同学们提供帮助。
二、数学定理与解题模型1. 代数部分1.1. 一元二次方程的求解方法1.2. 因式分解1.3. 角平分线定理1.4. 勾股定理1.5. 平方差公式1.6. 公式a^2-b^2=(a+b)(a-b)1.7. a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)2. 几何部分2.1. 同位角性质2.2. 对顶角性质2.3. 三角形的内角和2.4. 三角形的外角和2.5. 圆的性质2.6. 相似三角形的性质2.7. 三角形的高到底边的距离是线段的中线3. 概率部分3.1. 随机事件的概率计算3.2. 排列组合问题的概率计算3.3. 互斥事件和对立事件4. 数论部分4.1. 奇数与偶数的性质4.2. 质数与合数4.3. 最大公约数与最小公倍数5. 解题模型5.1. 分析题目5.2. 构建数学模型5.3. 运用定理解题5.4. 推理思路与方法三、数学竞赛练习与应用1. 多做数学竞赛题目，提高解题速度和正确率。
2. 运用所学的定理和解题模型解决实际问题，提高数学应用能力。
3. 对于涉及到竞赛的数学知识点，进行整体性的复习和整理。
四、结语1. 数学竞赛对于学生的数学能力提升有着一定的促进作用。
2. 要想在数学竞赛中取得好成绩，掌握基本数学定理和解题模型至关重要。
3. 希望本文介绍的42个定理与解题模型能为广大初中生在数学竞赛中取得优异成绩提供一定帮助。
五、举例演练1. 代数部分：一元二次方程的求解方法：解方程x^2+5x+6=0，可以使用因式分解或者配方法来进行求解。
因式分解：对于表达式x^2-4，可以因式分解为(x+2)(x-2)。
初中数学学习中的解题思路分析(含学习方法技巧、例题示范教学方法)
初中数学学习中的解题思路分析第一篇范文在初中数学学习中，解题思路分析是培养学生逻辑思维、提高解决问题能力的重要环节。
本文从以下几个方面对初中数学学习中的解题思路进行分析：理解题意、寻找解题规律、运用数学知识、转化问题、检验答案。
一、理解题意理解题意是解题的第一步，也是关键一步。
在解题过程中，要仔细阅读题目，弄清楚题目的已知条件、所求目标以及题目中的关键词。
对于一些复杂题目，还需要对题目进行逐步分解，明确各个部分之间的关系。
二、寻找解题规律寻找解题规律是解题过程中的核心环节。
通过观察题目，找出已知条件与所求目标之间的关系，运用已掌握的数学知识，寻找解决问题的方法。
在寻找解题规律时，要注意以下几点：1.熟悉各类数学运算规则，如加减乘除、平方、立方等。
2.掌握基本数学公式，如勾股定理、平方根、绝对值等。
3.了解数学中的性质和定理，如奇偶性、质数与合数、同底数幂的乘法等。
4.学会运用图形辅助解题，如画图、标注关键点等。
三、运用数学知识在找到解题规律后，就要运用所学的数学知识来解决问题。
这一环节需要学生熟练掌握各类数学运算，能够灵活运用基本公式和定理。
同时，还要注意将实际问题转化为数学问题，运用数学语言和符号进行表达。
四、转化问题转化问题是解题过程中的一种重要策略。
在面对复杂问题时，要学会将问题简化，将复杂问题转化为简单问题。
转化问题的方法有：1.分解问题：将复杂问题分解为若干个简单问题，逐一解决。
2.替换变量：将复杂问题中的变量替换为易于处理的变量，从而简化问题。
3.改变问题形式：将问题转化为另一种形式，如几何问题转化为代数问题等。
五、检验答案在求得答案后，要进行检验。
检验的方法有：1.代入法：将求得的答案代入原题，看是否满足题意。
2.逻辑推理：运用逻辑推理，检查答案的合理性。
3.互换法：将答案中的变量进行互换，检查是否仍然成立。
通过以上五个环节，学生可以更好地理解初中数学学习中的解题思路，提高解题能力。
初中数学解题思想及十大解题方法
建议同学们在做题型训练之前先了解数学解题思想，掌握解题技巧，并将做过的题⽬加以划分，以便在考试中游刃有余。
解题⽅法01配⽅法通过把⼀个解析式利⽤恒等变形的⽅法，把其中的某些项配成⼀个或⼏个多项式正整数次幂的和形式解决数学问题的⽅法，叫配⽅法。
配⽅法⽤得最多的是配成完全平⽅式，它是数学中⼀种重要的恒等变形的⽅法，它的应⽤⼗分⾮常⼴泛，在因式分解、化简根式、解⽅程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等⽅⾯都经常⽤到它。
02因式分解法因式分解，就是把⼀个多项式化成⼏个整式乘积的形式，是恒等变形的基础，它作为数学的⼀个有⼒⼯具、⼀种数学⽅法，在代数、⼏何、三⾓等的解题中起着重要的作⽤。
因式分解的⽅法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、⼗字相乘法等外，还有利⽤拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
03 换元法通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在⼀个⽐较复杂的数学式⼦中，⽤新的变元去代替原式的⼀个部分或改造原来的式⼦，使它简化，使问题易于解决。
04判别式法与韦达定理⼀元⼆次⽅程ax2bxc=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅⽤来判定根的性质，⽽且作为⼀种解题⽅法，在代数式变形，解⽅程（组），解不等式，研究函数乃⾄⼏何、三⾓运算中都有⾮常⼴泛的应⽤。
韦达定理除了已知⼀元⼆次⽅程的⼀个根，求另⼀根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应⽤外，还可以求根的对称函数，计论⼆次⽅程根的符号，解对称⽅程组，以及解⼀些有关⼆次曲线的问题等。
05待定系数法在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，⽽后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从⽽解答数学问题，这种解题⽅法称为待定系数法。
06构造法在解题时，我们常常会采⽤这样的⽅法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是⼀个图形、⼀个⽅程（组）、⼀个等式、⼀个函数、⼀个等价命题等，架起⼀座连接条件和结论的桥梁，从⽽使问题得以解决，这种解题的数学⽅法，我们称为构造法。
初中数学48个几何模型及题型
初中数学的几何模型是学生学习数学时的重要内容之一，通过学习几何模型和解题，可以帮助学生对几何知识有更深层次的理解，提高数学解题能力。
本文将介绍初中数学中常见的48个几何模型及其相关题型，希望可以帮助学生系统地掌握几何知识。
一、直线和角1. 直线概念直线是由一点不停地延伸而成的。
在平面几何中，直线没有宽度和厚度，只有长度。
2. 角的概念两条相交直线之间的夹角叫做角。
角可以分为锐角、直角、钝角和平角。
3. 直线和角相关题型- 计算夹角的大小- 判断角的种类二、多边形1. 三角形三角形是最简单的多边形，其内角和为180度。
根据边的长度和角的大小，可以分为等腰三角形、等边三角形、直角三角形等不同种类。
2. 四边形四边形是具有四条边的几何图形，常见的四边形有矩形、正方形、平行四边形和菱形等。
3. 多边形相关题型- 计算多边形的内角和- 判断多边形的种类三、圆1. 圆的概念圆是由一个点到另一个点距离恒定的点的集合。
其中，点到圆心的距离为半径，圆上任意两点之间的距离称为弦。
2. 圆的性质圆的直径是圆的两个相对的端点，圆的周长和面积分别为2πr和πr²。
3. 圆相关题型- 计算圆的周长和面积- 判断圆的种类四、平面图形的平移、旋转和对称1. 平移平移是指将一个物体按照一定的规则移动到另一位置，移动前后的图形位置关系不变。
学生需要了解不同平移的规律和图形的位置关系。
2. 旋转旋转是指以某一点为中心，按一定角度将图形进行旋转。
学生需要掌握图形旋转的规律和性质。
3. 对称对称是指一个图形绕某条直线或点对称，对称轴可以分为水平对称轴、垂直对称轴和斜对称轴。
五、三视图和展开图1. 三视图三视图是指物体分别从正视图、侧视图和俯视图所得的图形。
学生需要根据给定的三视图还原出物体的整体图形。
2. 展开图展开图是将立体图形按一定规则展开成平面图形。
学生需要了解展开图的规律和方法。
六、空间图形1. 空间图形的概念空间图形是三维几何中的图形，包括圆柱、圆锥、球体、棱体等。
初中数学常见解题模型及套路(思路、题眼)总汇
初中数学解题方法总结一、选择题的解法1、直接法：根据选择题的题设条件，通过计算、推理或判断，，最后得到题目的所求。
2、特殊值法：（特殊值淘汰法）有些选择题所涉及的数学命题与字母的取值范围有关，在解这类选择题时，可以考虑从取值范围内选取某几个特殊值，代入原命题进行验证，然后淘汰错误的，保留正确的。
3、淘汰法：把题目所给的四个结论逐一代回原题的题干中进行验证，把错误的淘汰掉，直至找到正确的答案。
4、逐步淘汰法：如果我们在计算或推导的过程中不是一步到位，而是逐步进行，既采用“走一走、瞧一瞧”的策略，每走一步都与四个结论比较一次，淘汰掉不可能的，这样也许走不到最后一步，三个错误的结论就被全部淘汰掉了。
5、数形结合法：根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求解题思路，使问题得到解决。
二、常用的数学思想方法1、数形结合思想：就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求解体思路，使问题得到解决。
2、联系与转化的思想：事物之间是相互联系、相互制约的，是可以相互转化的。
数学学科的各部分之间也是相互联系，可以相互转化的。
在解题时，如果能恰当处理它们之间的相互转化，往往可以化难为易，化繁为简。
如：代换转化、已知与未知的转化、特殊与一般的转化、具体与抽象的转化、部分与整体的转化、动与静的转化等等。
3、分类讨论的思想：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查，这种分类思考的方法，是一种重要的数学思想方法，同时也是一种重要的解题策略。
4、待定系数法：当我们所研究的数学式子具有某种特定形式时，要确定它，只要求出式子中待确定的字母得值就可以了。
为此，把已知条件代入这个待定形式的式子中，往往会得到含待定字母的方程或方程组，然后解这个方程或方程组就使问题得到解决。
初中数学常见解题模型及思路
初中数学常见解题模型及思路初中数学是数学学习的重要阶段，在这个阶段，学生需要掌握一些基本的数学概念和技能，如代数、几何、概率和统计等。
为了帮助学生更好地理解和掌握这些数学知识，本文将介绍一些常见的初中数学解题模型和思路。
一、基础知识初中数学的基础知识包括平面几何、立体几何、代数等。
平面几何涉及到点、线、面、三角形等基本概念，而立体几何则涉及到立体图形的性质和面积计算等。
代数方面则涉及到方程、不等式、方程组等基本概念和运算规则。
二、常见解题模型1.数轴模型数轴模型是初中数学中最基本的解题模型之一，它通过将数轴上的点与实数一一对应，将抽象的数学问题转化为直观的图形问题。
例如，在求解一些绝对值问题时，可以通过在数轴上标出绝对值的位置来帮助理解。
2.三角形模型三角形模型是平面几何中最为常见的模型之一，它通过将三角形与方程、不等式等代数概念相结合，将代数问题转化为几何问题。
例如，在求解一些二元一次方程组的解时，可以通过画出该方程组所表示的三角形来帮助理解。
3.函数模型函数模型是初中数学中最为重要的模型之一，它通过将变量之间的关系用函数来表示，将复杂的问题简化为一元一次方程或一元二次方程。
例如，在求解一些实际问题时，如鸡兔同笼问题，可以通过建立方程来求解。
4.统计模型统计模型是初中数学中较为独立的一个模型，它通过将数据用统计图表来表示，来帮助人们分析和预测一些现象。
例如，在预测一些商品的销售情况时，可以通过制作折线图或柱状图来帮助预测。
三、思维导图在介绍完常见的解题模型后，可以通过思维导图来总结这些模型的特点和应用方法。
思维导图可以清晰地展示各个模型之间的联系和差异，帮助学生更好地理解和掌握这些解题模型。
例如，可以制作一个以初中数学解题模型为主题的思维导图，包括数轴模型、三角形模型、函数模型和统计模型等，并详细阐述每个模型的特点和应用方法。
四、实战演练为了让学生更好地掌握这些解题模型，可以通过一些典型例题来进行实战演练。
初中数学48个解题模型
初中数学48个解题模型数学是一门需要理解和掌握的学科，而解题模型则是数学学习中非常重要的一部分。
解题模型是指在解决数学问题时，根据问题的特点和要求，采用合适的方法和步骤，运用数学知识进行分析、计算和推理的一种解题方式。
在初中数学学习中，掌握一定的解题模型，可以更好地提高数学解题的能力和效率。
下面，我们将介绍初中数学中常用的48个解题模型，其中包括了初中数学的各个方面，希望对初中数学学习有所帮助。
1. 等式变形模型：根据等式变形的性质，对等式进行变形，使其更加简单易解。
2. 分式化简模型：根据分式化简的原理，对分式进行化简，使其更加简单易解。
3. 去括号模型：根据去括号的原理，将括号内的式子进行展开，使其更加简单易解。
4. 合并同类项模型：根据合并同类项的原理，将同类项进行合并，使其更加简单易解。
5. 因式分解模型：根据因式分解的原理，将式子进行因式分解，使其更加简单易解。
6. 基本不等式模型：根据基本不等式的原理，对不等式进行变形，使其更加简单易解。
7. 二次函数解析式模型：根据二次函数解析式的原理，求出二次函数的解析式。
8. 三角函数解析式模型：根据三角函数解析式的原理，求出三角函数的解析式。
9. 解方程模型：根据解方程的原理，对方程进行变形，求出方程的解。
10. 解不等式模型：根据解不等式的原理，对不等式进行变形，求出不等式的解。
11. 平面几何基本定理模型：根据平面几何基本定理的原理，对几何问题进行求解。
12. 空间几何基本定理模型：根据空间几何基本定理的原理，对几何问题进行求解。
13. 三角形的性质模型：根据三角形的性质，对三角形问题进行求解。
14. 相似三角形模型：根据相似三角形的原理，对相似三角形问题进行求解。
15. 同余模型：根据同余的原理，对同余问题进行求解。
16. 勾股定理模型：根据勾股定理的原理，对勾股定理问题进行求解。
17. 三角函数基本关系式模型：根据三角函数的基本关系式，对三角函数问题进行求解。
初中数学66个常考几何模型50个应用题答题公式
初中数学66个常考几何模型50个应用题答题公式摘要：1.初中数学几何模型的重要性2.66个常考几何模型分类及解析3.50个应用题答题公式归纳4.总结与建议正文：众所周知，初中数学中的几何部分是许多学生的难点，而掌握几何模型及应用题解题公式则是解决这一问题的关键。
本文将为大家梳理66个常考几何模型，并提供50个应用题答题公式，以帮助大家在考试中取得更好的成绩。
一、初中数学几何模型的重要性几何模型是在数学几何知识的基础上进行归纳和总结出来的，它们对于相关知识的基础性要求较高。
掌握几何模型有助于提高同学们解决实际问题的能力，尤其是在考试中，熟练运用几何模型可以迅速找到解题思路，从而提高答题效率。
二、66个常考几何模型分类及解析1.基本几何图形：包括点、线、面、角、三角形、四边形等；2.几何变换：平移、旋转、对称等；3.几何性质：角度、边长、周长、面积等；4.几何问题：直线与圆、圆与圆、几何最值、几何构造等。
三、50个应用题答题公式归纳1.三角形面积公式：S = 1/2 * bc * sinA；2.勾股定理：a = b + c；3.相似三角形判定：有两角相等或两边成比例的两个三角形相似；4.相似三角形面积比：面积比等于相似比的平方；5.圆的周长公式：C = 2πr；6.圆的面积公式：S = πr；……四、总结与建议1.熟练掌握各类几何模型及答题公式；2.加强基础知识的巩固，提高解题灵活性；3.多做练习，积累经验，提高解题速度；4.善于总结，归纳解题思路和方法。
通过以上内容的学习，相信大家对初中数学几何模型及应用题答题公式有了更深入的了解。
初中数学48个几何模型解题技巧
初中数学48个几何模型解题技巧1.相似三角形定理：两个三角形中，三个对应的角相等，对应的边成比例。
2.相等三角形的性质：两个三角形中，三边分别相等，或者两边分别相等且夹角相等。
3.三角形中，一个内角和一边：根据一个三角形角度和一边的已知信息，可以推导出其他角度和边的关系。
4.三角形的面积计算公式：可以根据底边和高的关系来计算三角形的面积。
5.正方形的性质：四个内角都是直角，四条边相等。
6.正方形的对角线：两条对角线相等且垂直。
7.矩形的性质：四个内角都是直角，对角线相等。
8.矩形的面积：可以通过长和宽的长度相乘计算矩形的面积。
9.菱形的性质：对角线互相垂直，对角线互相平分。
10.菱形的面积：可以通过对角线的乘积除以2来计算菱形的面积。
11.平行四边形的性质：对边平行，对角线互相平分。
12.平行四边形的面积：可以通过底边长度乘以高来计算平行四边形的面积。
13.梯形的性质：有两条平行边。
14.梯形的面积：可以通过上底和下底的和乘以高除以2来计算梯形的面积。
15.直角三角形的性质：有一个内角是直角。
16.直角三角形的勾股定理：直角三角形的两个直角边的平方之和等于斜边的平方。
17.直角三角形的正弦定理：直角三角形的斜边和对应的直角边之间的正弦值成比例。
18.直角三角形的余弦定理：直角三角形的斜边的平方等于两个直角边的平方之和减去两倍直角边的乘积。
19.直角三角形的正切定理：直角三角形的两个直角边的商等于对应的正切值。
20.平行线与横截线的性质：平行线与横截线之间的对应角相等。
21.平面镜映射的性质：物体与其镜像之间的对应角相等。
22.等腰三角形的性质：两个底角相等。
23.等边三角形的性质：三个内角都是60度。
24.角平分线的性质：角平分线可以将一个角分成两个相等的角。
25.外角的性质：外角等于其对应的内角的补角。
26.平面图形的旋转：点、线、图形按一定角度旋转后，与原来的点、线、图形相对应。
27.平行线的判定：两条直线的斜率相等即为平行线。
初中数学常见模型及解题思路(九年级)
初中数学常见模型解题思路代 数 篇1、循环小数化分数：(1)设元(2)扩大(3)相减相消法【等式性质的运用】例：把0.108108108...化为分数.设a =0.108108108...①两边同时乘以1000，得 1000a =108.108108...②②-①，得999a =108，从而得a =108/999.2、对称式计算技巧：“平方差公式、完全平方公式”【整体思想的结合】 22,,,y x xy y x y x +-+中，知二求二. (加减配合，灵活变形.)如xy y x y x 2)(222++=+⇒xy y x y x 2)(222-+=+；xy y x xy y x y x 4)(2)(2222-+=-+=-.3、特殊公式21)1(222±+=±xx x x 的变型及应用. 4、立方和/差公式：).)(())((22332233y xy x y x y x y xy x y x y x ++-=-+-+=+；5、等差数列求和的法：首尾相加法. (方法+公式)例：计算1+2+3+4+ (2018)6、等比数列求和法：(1)设元(2)乘等比(3)相减(4)求解.例：计算1+2+4+8+...+2n . 【这两种数列均可用等式性质进行推导】7、mnm n n m mn m n n m +=+-=-11;11的灵活应用. 例：计算(1)3801...3012011216121++++++；(2).171532151328...97167512538314⨯-⨯++⨯-⨯+⨯-⨯ 8、韦达定理求关于两根的代数式的值.(1) 对称式：变和积..1111222222yx y x y x xy y x ++++；；；(x 、y 为一元二次方程的两根) (2) 非对称式：根的定义 降次 变和积(一代入二韦达)9、三大非负数、三大永正数.10、常用最值式：正数+±2)(y x 等11、换元大法.12、自圆其说加减法与两肋插刀法。
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初中数学常见模型解题思路代 数 篇1、循环小数化分数：(1)设元(2)扩大(3)相减抵消法【等式性质的运用】例：把0.108108108...化为分数.设a =0.108108108...①两边同时乘以1000，得 1000a =108.108108...②②-①，得999a =108，从而得a =108/999=4/37.2、对称式计算技巧：“平方差公式、完全平方公式”【整体思想的结合】 22,,,y x xy y x y x +-+中，知二求二. (加减配合，灵活变形.)如xy y x y x 2)(222++=+ xy y x y x 2)(222-+=+；xy y x xy y x y x 4)(2)(2222-+=-+=-.3、特殊公式21)1(222±+=±xx x x 的变型及应用. 4、立方和/差公式：).)(())((22332233y xy x y x y x y xy x y x y x ++-=-+-+=+；5、等差数列求和的法：首尾相加法. (方法+公式)例：计算1+2+3+4+...+2018. 【规律推导法；等式性质推导】6、等比数列求和法：(1)设元(2)乘等比(3)相减(4)求解.例：计算1+2+4+8+...+2n . 【这两种数列均可用等式性质进行推导】7、mnm n n m mn m n n m +=+-=-11;11的灵活应用. 例：计算(1)3801...3012011216121++++++；(2).171532151328...97167512538314⨯-⨯++⨯-⨯+⨯-⨯ 8、韦达定理求关于两根的代数式的值.(1) 对称式：变和积..1111222222yx y x y x xy y x ++++；；；(x 、y 为一元二次方程的两根) (2) 非对称式：根的定义 降次 变和积(一代入二韦达)9、三大非负数及三大永正数(如|x |+2).10、常用最值式：正数+±2)(y x 等11、换元大法.12、自圆其说加减法与两肋插刀法。
代数式或函数变型(如配方)只能加一个数，同时减去同一个数；如果是方程则只需要两边同时加上或者减去同一个数即可。
13、拆项法、配方法。
(原理同上)14、十字相乘法.15、统计概率：两查(抽样；普查)、三事(必然；随机；不可能)、四图(折线；条形；扇形；直方)、三数三差、两频(频数；频率)一概(概率).16、一元二次方程应用题.如利率问题、握手送花问题等17、b a =，则b a ±=在动点问题中的巧妙应用(避免繁琐的因为点的相对位置变化引起的符号变化问题；平面直角坐标系中动态问题之“坐距互变”时巧施绝对值的代数解法).18、四个角的正切值：22.5度的正切值为12-；67.5度的正切值为12+；75度的正切值为32+；15度的正切值为32-.几 何 篇1、线、角的等量问题：等角(如右图)：条件COD AOB ∠=∠ 结论：BOD AOC ∠=∠说明：可视作由旋转产生的“共点等角” 等线(如下图)：条件CD AB = 结论：BD AC = 说明：可视作由平移产生 2、两条平行线夹一角(即“拐点问题”) 例：如图1，条件AE ∥CF 结论：︒=∠+∠+∠360PFC AEP P如图2，条件AE ∥CF 结论：FCP EAP P ∠+∠=∠3、平行线夹等(同)底三角形：面积相等。
同底三角形面积相等，则过顶点的直线与底所在直线平行。
若m ∥n ，则ABD ABC S S ∆∆=.反之，若ABD ABC S S ∆∆=，则m ∥n .4、已知三角形两边长，定第三边的范围：大于两边的差，小于两边的和。
5、三角形的角平分线. (1)两内角平分线相交角：290A P ∠+︒=∠ 一内一外角平分线相交角：2A M ∠=∠ 两外角平分线相交角：290A N ∠-︒=∠((2)等于该角两边之比.如：AD 平分∠BAC ，则CD BD AC AB =. 6、三角形的中线：重心分中线为1:2两部分. 如：三中线AD 、BE 、CF 交于点K ，则AD KD AK 322==;BE KE BK 322==;CF KF CK 322==. 7、三角形的高：底与高积相等；三高得相似；三高得四点共圆. 如：AD 、BE 、CF 为高，则AB CF AC BE BC AD ⋅=⋅=⋅;△ADB ∽△CFB 等；B 、C 、E 、F 四点共圆等. A OB C D A OC BDA B C D ••••••••A C B D C F A E A E C F P C D m A B n P B C A A M K C D B A F E B C A F E8、(1)高与一角平分线的夹角等于另外两角差的一半.如：AD 、AE 分别为△ABC(AB ≠AC)的角平分线和高， 则∠DAE=2B C ∠-∠. (2)两中线垂直的三角形中两边平方和等于第三边平方的5倍. 如：AE 、BF 分别为△ABC 的中线，且AE ⊥BF ， 则2225AB BC AC =+.9、三角形一分为二面积的比及其推广到蝴蝶面积.(1)在△ABC 中，AD 、BE 、CF 相交于同一点O ，则CD BD S S ACO ABO ::=∆∆.(2)任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：)(:)(:4321S S S S OC AO ++=4321::S S S S =或者3241S S S S ⨯=⨯. 10、等腰三角形三线合一的逆定理：两线合一亦等腰；一垂两等变等腰；一垂三等变等直.等腰三角形存在性常用公式：底角的余弦=底边的一半/腰*重要推论：已知三角形中一个角的余弦，这个角的一边×这个角的余弦=另一边的一半，此三角形为等腰三角形(一边为腰，另一边为底).如图：2cos BC B AB =⋅△ABC 为等腰三角形(BC 为底). *“两线一圆模型”：已知线段AB(两定点A 、B)，在平面内找一点C ，使△ABC 为等腰三角形.这样的点C 的集合在以 A 、B 为半径的圆和AB 的垂直平分线上(与A 、B 共线的点除外)【等腰三角形存在性问题】11、直角三角形斜高的求法：斜高=两直角边的乘积/斜边*直角三角形存在性之“两线一圆模型”：已知线段AB(两定点A 、B)，在平面内找一点C ，使△ABC 为直角三角形. 满足条件的C 的集合在过A 、B 作线段AB 的垂线及以AB为直径的圆上的除A 、B 两点的任意点都可与A 、B 组成直角三角形.(即所谓的“两线一圆”)12、等边三角形面积的求法：243a S a =的等边三角形边长为 13、求面积的套路：(1)复杂图形：一拆用加；二放用减.(2)三角形：①面积公式；②两边与夹角正弦的积的一半(遇钝变补)； ③铅垂线法(宽高法)；④等边三角形的面积；⑤利用相似比的平方等于面积比(借助面积可求的三角形的面积和相似比求解)；⑥让出去(化归).D BE C AA B C E F O CD B A FE A D S 1 A B A B A B B C O S 2 S 3 S 4B E A D D BC CE K GF E D C B A A E D B CG A B C D O A BC D PA B CD E F (3) 平行四边形面积=两邻边与其夹角的正弦的乘积；菱形的面积=边长的平方与 一个内角的正弦的乘积；梯形的面积=两对角线与其夹角的正弦的乘积的一半.(4) 共角(有一个角相等)三角形：面积的比等于等角两边乘积的比(鸟头定理). 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形.共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角) 两夹边的乘积之比. 如图，在△ABC 中，D 、E 分别是 AB 、AC 上(或延长线上)的点，则)(:)(:AE AD AC AB S S ADE ABC ⋅⋅=∆∆ 14、三大蝴蝶：(1)一线两等边.如图，△ABC 、△ECD 为等边三角形，B 、C 、D共线，则有：△BCE ≌△ACD 、△DCG ≌△ECF 、△BCF ≌△ACG ；旋转60°形成的全等三角形，所以 △CGF 也是等边三角形；三组平行线； ∠AKB=∠BKC=∠DKC=60°;KC 平分∠BKD ；K 、F 、C 、G 四点共圆. (2)一个三角形两等边.如图，以△ABC 的两边AB 、AC 为边向外作等边△ADB 和等边△ACE ，则有：△ADC ≌△ABE →CD=BE,∠DGB=60°,∠DGE=120°又ABE ADC S S ∆∆=→点A 到DC 和到BE 的距离相等→AG 是∠DGE 的平分线，∠DGA=∠EGA=60°.(3)一个三角形两个正方形.如图，以△ABC 的两边AB 、AC 为边向外作正方形ABGF 和正方形ACDE ，则有：FC=BE ，FC ⊥BE ；AH 平分∠FHE ； A 、F 、B 、H 四点共圆.15、平行四边形的面积关系：(1) ABCD AED S S 平行四边形21=∆； (2)平行四边形的对角顶点到过对称中心的任意一条直线(一般找平行于两轴的直线)的距离相等.16、平行四边形对角线平方的和等于四边平方的和：222222DA CD BC AB BD AC +++=+17、矩形一边上任意一点到对角线距离的和=对角线宽长⨯. 18、矩形内任意一点到对角顶点距离的平方和相等. 如图，矩形ABCD 内任意一点P ，则有：2222PD PB PC PA +=+.19、矩形经典对折图.如图，矩形ABCD 沿对角线BD 对折， C 点到了E 点，则一对全等(小直角三角形)一对相似，两个等腰.例：AE:BD=3:5则AB:BC=4:8=1:2，这是因为相似比为3:5，所以EF:FB=3:5,因此ED=4(勾股)而AD=DF+FA=8. A F C E A D GH20、正方形垂等图.横平竖直；“改邪归正”的辅助线方法.21、正方形三兄弟成面积图. 三个正方形如图摆放，AN 恰好过E 点. 结论：ECGF AGN S S 正方形=∆.解法：AC ∥EC ∥FN(关键点)EGN AGE AGN S S S ∆∆∆+=; ECG AGE S S ∆∆=,EGF EGN S S ∆∆=. 22、两正方形垂直相等图.如图，ABCD 、CGFE 是正方形：(1)△DCG ≌△BCE;(2)BE ⊥DG ，BE=GD ；(3)A 、B 、M 、D 四点共圆，∠ADB=∠AMB=∠AMD=45°,△ADM ∽△AND, AN AM AD ⋅=2；(4)若DM 2=ME •MA ，则BD=BG ，△BDG 为等腰三角形. (∠GDC=∠DAM=∠DBM=∠MBG)，此时MA=MB.23、正方形内含半角(其中产生的两个双八字相似和等腰直角三角形)---邻边相等的圆内接四边形内含半角图. 条件：正方形ABCD 中，∠EBF=45°,结论：(1) EF=AE+FC ；(2)ABCD AGN l l 正方形21=∆;(3)∠DCA=∠EBF=45° →B 、C 、F 、H 四点共圆，∠BFH=90°→ △BHF 为等腰直角三角形；(4)同上：∠DAC=∠EBF=45°→B 、K 、E 、A 四点共圆，∠BFE=90°→△BHE 为等腰直角三角形.24(1) 正方形内含45°模型推广到圆内接四边形(有一组邻边相等，且相等的邻边的夹角内含半角. 条件：四边形ABCD 中，BA=BC ，∠ABC+∠ABC EBF ∠=∠21,结论：EF=AE+CF. (2) 等腰直角三角形内含45°.条件：等腰直角△ABC ，∠FBE=45°， 结论：222CE AF EF +=. (3) 其他特殊的等腰三角形“顶角”内含半角图.(根据上述模型类比解决：用三角比找到相关边的关系.) 正方形互补型.(1)对称中心有直角：OE=OF (2)直角顶点在对角线上： PB=PQ A G M D N F E B H CH E F M A D B CNG N B C A D E F G M K H G F B C A E D D O E FA B D C A B D C A B D C P QD E F n D A B C m C OE D A O A A B B C D C D EF E F A BC ED 1 2 小结：对角互补模型 (1) 全等型--90° 条件：①∠AOB=∠DCE=90°;②OC 平分∠AOB 结论：①CD=CE;②OD+OE=2OC ；③221OC S S S OCE OCD ODCE =+=∆∆. (2) 全等型--120° 条件：①∠AOB=2∠DCE=120°; ②OC 平分∠AOB 结论：①CD=CE;②OD+OE=OC ；③243OC S S S OCE OCD ODCE =+=∆∆. 25、正方形中123成135°点E 是正方形ABCD 内的一点，连接AE 、BE 、CE ，将△ABE 绕点B 顺时针旋转90°到△CBE’的位置. 若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE’C = .26、相似模型：(1) 正A 、错A ；正八、错八；正射影、错射影；正K 、错K(一线三等角) 射影图中：两直角边平方的比等于其在斜边上的射影的比. (2)双八字(共圆图之一) 条件：∠BAC=∠BDC(同弦对等角)结论：B 、C 、D 、A 四点共圆；△ABM ∽△DCM,△ADM ∽△BCM;其中AB 、BC 、CD 、DA 四条弦所对的四对圆周角相等.(3)线束定理：两平行线被过一点的三线所截得的四条“横线”对应成比例.条件：直线m ∥n ，结论：EFBC DE AB =. (4)平行于一边的线段截得的图形 (三角形、四边形)面积之间的关系.条件：DE ∥BC ， 结论：图形中“对应”线段的比， 相关面积的比，知一求其它. (5)三角形内叉型：知两比求其它比.BE:EC CD:DA AF:FE BF:FD知二求二(过已知比的节点作平行线) (6)四线六点型：过其中的三条线组成 的被标记的一个三角形的一个顶点， 作不过这个顶点的直线的平行线(有两条)，问题迎刃而解.技巧：如过C 点可作AB 或者DE 的平行线.善于从纷繁复杂 的图形中找到这样的模型是关键.(7)歪A 模型.条件：∠1=∠2，结论：歪A 生歪八， 歪八补型得歪A(延长BD 、CE 相交于点A)；对角互补的圆内接四边形补型. AA O OB BCC DD E E C C A B O D D E E A BO A D B C EE ’ A B CO D C B E(x A (B B x B )C C y )D y 28、解直角三角形、解斜三角形(双勾股)(1)直角三角形：内高型、外高型、双高型(梯形)、单高型(直角梯形)口诀：角优先、多求边；造模型、设表列.(2)任意三角形：知三求三(三边、两角一边、两边及夹角)--尽量不破坏已知的边和角(内高、外高)29、解三角形之：角优先、套模型.(附加模型：坡度、坡角、斜率、仰角、俯角、方向角--图略) 30、手拉手模型 *模型一：手拉手模型--旋转型全等 (1)等边三角形 条件：△OAB 、△OCD 均为等边三角形 结论：△OAC ≌△OBD;∠AEB=60°;OE 平分∠AED. (2)等腰直角三角形 条件：△OAB 、△OCD 均为等腰直角三角形 结论：△OAC ≌△OBD;∠AEB=90°;OE 平分∠AED.(3)任意等腰三角形 条件：△OAB 、△OCD 均为等腰三角形结论：△OAC ≌△OBD;∠AEB=∠AOB;OE 平分∠AED. *模型二：手拉手模型--旋转型相似 (1)一般情况 条件：CD ∥AB ，将△OCD 旋转至右图位置. 结论：右图中△OCD ∽△OAB ⇔△OAC ∽△OBD;延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA.(2)特殊情况 条件：CD ∥AB ，∠AOB=90°，将△OCD 旋转至右图位置.结论：右图中△OCD ∽△OAB ⇔△OAC ∽△OBD; 延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA; OCD OA OB OC OD AC BD ∠===tan ;BD ⊥AC ； 连接AD 、BC ，必有AD 2+BC 2=AB 2+CD 2；BD AC S BCD ⋅=∆21(对角线互相垂直的四边形) 31、三平三交造平四(两对对角顶点横、纵坐标的和分别相等条件：平行四边形ABCD公式：⎩⎨⎧+=++=+DB C A D B C A y y y y x x x x 用中点或平移两种思路都可推理 C E A B O D E A B O D A C E B O DO A B C D E E C A B O D E A B O C D O O A B B C D D32、共圆图.(1)共边两等角(直角)--见“双八字”图；(2)对角互补(对角有两直角)、外角等于内对角.--等腰梯形四顶点永远共圆33、垂径图、弦切图、双切图、切割图、双割图、相交弦定理(对顶三角形相似)、平行弦、圆内共点等弦所成角被过这点的直径(半径)平分.34、等腰直角三角形斜边上的中点为顶点的直角构造全等.条件：AB=AC ，∠BAC=90°，D 为BC 之中点，∠EDF=90° 结论：△ADF ≌△BDE;ABCAEDF S S ∆=21四边形; △EDF 为等腰直角三角形；E 、D 、F 、A 四点共圆；DE 2=DF 2=DG •DA ；AE+AF=AB=AC;AD+AE+AF=ABC l ∆21. 35、相似+公共边比例中项(平方：共边相似+勾股定理)36、方程思想设表列，几何勿忘角优先，以角定边找关系，比例已知用负元.37、两边分别平行或相等的两个角相等或互补.38、中点四边形口诀：对垂为矩；对等为菱；菱矩互变；任四为平.平正自变39、正A 面积比法(知一比求全比)40、三角形内十字叉：知二比求全比(六个比知二求四)41、等腰直角三角形的面积直角边的平方斜边的平方⨯=⨯=2141 42、动点问题的解题套路：(1) 相似三角形的存在性；(2)等腰三角形的存在性：两点间距离公式、余弦大法、几何法；(3)直角三角形存在性：射逆、勾逆、斜中逆、一线三直角之逆、直线垂直交轨法(4)面积的函数关系及最值：正弦法、铅垂线法、拆放法、相似比转化法(5)将军饮马问题：线段和最小、差最大；动点变定线段怎么办；两路一村；两路两村.(6)平行四边形的存在性：三定一动(相对顶点横、纵坐标和相等)；两动两定(按照定点之间线段分别做对角线及边分类：平行四边形相关的全等性质求坐标).(7)几何法(思路难、计算简)；代数法(思路简、计算难)；代几混合法(取长补短更优越)43、圆内接四边形(对角互补)的补形法：补形构造大A 型(歪A)全等三角形. (特别注意：双勾股的用法)44、被“误解”和“冤枉”的SSA ：两边和一边的对角相等，且第三边所对的角不互补，则这两个三角形全等.A E F G函 数 篇1、平面内两点间的距离：(1) 横平(平行于x 轴的直线上两点间的距离)=|横坐标之差|=右-左；(2) 竖直(平行于y 轴的直线上两点间的距离)=|纵坐标之差|=上-下；(3) 平面内任意两点间的距离：开方式(求距离)；平方式(列方程)；(4) 横纵坐标的绝对值：点到两轴的距离.2、中点坐标公式：横和取半、纵和取半.3、函数图象平移规律：上加下减、左加右减.4、交轨法：交点坐标⇔方程组的解(代数法出发点)5、代数(函数) 设横表纵，坐距互变 几何(图形)6、函数与图象的对应关系：两数对一点、一点对两距；一式对一线、一线对一式7、已知一点和一条直线，求这点关于这条直线的对称点的坐标(垂直定k ，点k 定关系式.交轨法求垂足，中点坐标公式得结论.)8、求点到直线的距离：垂直定k ，点k 定关系式，交轨法求垂足，两点间距离公 式得结论.9、一次函数y=kx+b (k ≠0)：(1) 三点：与两轴的两个交点、图象上的动点(m ，km+b )(2) 一k 三比一角：|k |=坡度=坡角的正切(以k 定比、定角；以比、以角定k ) k 的特殊求法：竖比横1212x x y y --；横竖法秒杀关系式； 根据一次函数的关系式确定一个三边的比确定的基本三角形.3/331、、=k 时产生的特殊角：45°、60°、30°.(3) 两直线平行⇔k 相等；两直线垂直⇔k 的积为-1.(4) 两条直线(一次函数)关于x 轴(含平行于x 轴的直线对称)或y 轴(含平行于y 轴 的直线对称)，则其斜率的和为零(互为相反数).(5) 最值的确定：关系式+图象+自变量取值范围.10、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)解题模型及套路：(1)二次函数的信息题的破解套路：系数的意义+不等式+等式+判别式+根与系数的关系+最值的意义+123特殊值+三特殊值定关系式法.(2)二次函数比大小：远近法(对称轴法)(3)一式三型：一轴三法、五定一动、五个死点一个活点(4)针对活点：设横表纵、一线冲天、横平竖直、坐距互变---改斜归正(5)解题套路(四列)：列点--求定点，设动点，找关系列线--改斜归正，以点定线定式列角--以式(直线：一次函数的关系式中的k确定对应的角及其基本三角形中三边的比和三角比)列式--方程(交轨法)求解、函数关系式(对应的性质)求解(6)三大函数最值的求法.其中二次函数分三种情况.11、轨迹的思想：确定动点运动轨迹的形状：设动点的坐标--找二者之间的关系--列出二元一次方程--化为函数--一式定型.12、解提策略篇：抓住不变量和特殊点，找到破题点.化归法、交轨法、横平竖直、改斜归正.(把题中的每个条件充分利用一遍基本就有思路了)13、三交法确定函数关系式：若函数图象与两轴有三个交点，且交点坐标已知，则用韦达定理列方程求a、b、c较容易.初中几何常见辅助线的添加技巧和方法在几何的教学中，添加辅助线既是难点也是重点，如果能帮助学生梳理常规辅助线的添法，再配上经典的试题，往往就能让学生形成正确的添线“直觉”，体会到数学解题中的“对立”和“统一”，提高解题效率.一、添加辅助线的方法1、注意题目中背景图案的处理：(续上)2、注意题目中条件的处理：3、注意题目中所求结论的处理：(1)线段和差---截长补短或面积法注意：截的端点不同、线段不同，补的方向不同、线段不同，方法很多，注意筛选出能形成基本图形解题的方法。