高中文科导数复习与题型归纳

导数复习

知识点

一、导数的概念 导数x

y x f x ∆∆=→∆00lim

)('。

二、导数的几何意义

函数y=f(x)在点0x 处的导数，就是曲线y=(x)在点),(00y x P 处的切线的斜率．由此，可以利用导数求曲线的切线方程．具体求法分两步：

(1)求出函数y=f(x)在点0x 处的导数，即曲线y=f(x)在点),(00y x P 处的切线的斜率； (2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为

))(('000x x x f y y -=-

三、常见函数的导数及运算法则 (1) 八个基本求导公式

)('C ＝ ； )('n x ＝ ；(n∈Q) )(sin 'x ＝ ， )(cos 'x ＝ )('x e ＝ ， )('x a ＝

)(ln 'x ＝ ， )(log 'x a ＝

(2) 导数的四则运算

)('±v u ＝ ])(['x Cf ＝

)('uv ＝ ，)('v

u ＝ )0(≠v (3) 复合函数的导数

设)(x u θ=在点x 处可导，)(u f y =在点)(x u θ=处可导，则复合函数)]([x f θ在点x 处可导， 且

)(x f '＝ ，即x u x u y y '⋅'=' 四、导数的应用（要求：明白解题步骤）

1． 函数的单调性

（1） 设函数y=f(x)在某个区间内可导，若)

(/

x f >0，则

f(x)为增函数；若

)(/x f <0，则f(x)为减函数。

（2） 求可导函数单调区间的一般步骤和方法。 ①分析 )(x f y =的定义域； ②求导数 )(x f y '=' ③解不等式0)(>'x f ，解集在定义域内的部分为 区间 解不等式0)(<'x f ，解集在定义域内的部分为 区间

例如：求函数x

x y 1

+

=的减区间

2． 可导函数的极值（采用表格或画函数图象）

（1） 极值的概念

设函数f(x)在点x 0附近有定义，且若对x 0附近所有的点都有f(x)f(x 0)），则称f(x 0)为函数的一个极大（小）值，称x 0为极大（小）值点。 （2） 求可导函数f(x)极值的步骤 ① 求导数)(x f '；

② 求方程)(x f '＝0的 ；

③ 检验)(x f '在方程)(x f '＝0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负(先增后减)，那么函数y ＝)(x f 在这个根处取得 ；如果在根的左侧附近为负，右侧为正(先减后增)，那么函数y ＝)(x f 在这个根处取得 . 3． 函数的最大值与最小值 ⑴ 设y ＝)(x f 是定义在区间[a ,b ]上的函数，y ＝)(x f 在(a ,b )内有导数，则函数y ＝)(x f 在[a ,b ]上 必 有最大值与最小值；但在开区间内 未必 有最大值与最小值． (2) 求最值可分两步进行：

① 求y ＝)(x f 在(a ,b )内的 值；

② 将y ＝)(x f 的各 值与)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

(3) 若函数y ＝)(x f 在[a ,b ]上单调递增，则)(a f 为函数的 ，)(b f 为函数的 ；若函数y ＝)(x f 在[a ,b ]上单调递减，则)(a f 为函数的 ，)(b f 为函数的 .

4.求过函数上一点的切线的斜率或方程

例题1：分析函数x x y 33

-=（单调性，极值，最值，图象）

例题2：函数ax x y 33

-=在)1,(--∞上为增函数，在)1,1(-上为减函数，求实数a

例题3：求证方程1lg =⋅x x 在区间)3,2(内有且仅有一个实根.（分析解本题要用的知识点）

一．求值

1． ()f x '是3

1()213

f x x x =

++的导函数，则(1)f '-的值是 ．

2.)(x f =ax 3

+3x 2

+2 ，4)1(=-'f ，则a=

3.已知函数f(x)的导函数为)(x f ',且满足f(x)=3x 2

+2x )2('f ,则)5('f = . 二．切线

1(1) 曲线31y x x =++在点(1,3)处的切线方程是 ；

(2)已知函数x x x f 3)(3-=，过点)6,2(-P 作曲线)(x f y =的切线的方程 ． 变式．（1）曲线y ＝x 3

－3x ＋1在点（1，－1）处的切线方程为 （2）已知3

:()2C f x x x =-+，则经过(1,2)P 的曲线C 的切线方程为 （3）曲线f(x)=x 3

－3x ，过点A(0，16)作曲线f (x)的切线，则曲线的切线方程为 。 2 ．（1）曲线3

)(x x f =在点A 处的切线的斜率为3，则该曲线在A 点处的切线方程为 。 （2） 过曲线x x x f -=4

)(上点P 处的切线平行于直线03=-y x ，则点P 的坐标为 (3) 若直线y x =是曲线32

3y x x ax =-+的切线，则a = 。

3.垂直于直线2x-6y+1=0，且与曲线532

3-+=x x y 相切的直线的方程是________． 4．已知直线1+=kx y 与曲线b ax x y ++=3

切于点（1，3），则b 的值为（ ）

A ．3

B ．－3

C ．5

D ．－5 三．单调性

1.（1）设f(x)=x 2

(2-x),则f(x)的单调增区间是 （ ） A.(0,)34

B.(,34+∞)

C.(-∞,0)

D.(-∞,0)∪(3

4,+∞） （2）函数y=(x+1)(x 2

－1)的单调递增区间为（ ） A.(-∞,－1) B.（－1,+∞）

C. (-∞,－1) 与（－1,+∞）

D. (-∞,－1) ∪（－1,+∞） (3)函数13)(2

3+-=x x x f 是减函数的区间为（ ）

A ．),2(+∞

B ．)2,(-∞

C ．)0,(-∞

D ．（0，2）

2.（1）若函数f(x)=x 3

-ax 2

+1在（0，2）内单调递减，则实数a 的取值范围为 （2）设ax x x f a -=>3

)(,0函数在),1[+∞上是单调函数. 则实数a 的取值范围为 ； （3）函数y =ax 3

－x 在(－∞,+∞)上是减函数，则实数a 的取值范围为 ；

3．（1）若函数f （x ）=ax 3－x 2

+x －5在R 上单调递增，则a 的范围是 ．

（2）已知函数13)(23+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，则a 的取值范围是： ． 四．极值

1、函数3

31x x y -+=的极大值，极小值分别是

A. 极小值-1，极大值1

B. 极小值-2，极大值3