映射的概念分类及与函数的关系
映射与函数习题
广州至慧教育学生姓名 就读年级映射；②“存在性”：对于集合A 中的任何一个元素，集合B 中都存在元素和它对应； ③“唯一性”：对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中和它对应的元素是唯一的.3.用映射定义函数(1).函数的定义：如果A 、B 都是非空数集，那末A 到B 的映射f :A →B 就叫做A →B 的函数。
记作：y=f (x ).（2）定义域：原象集合A 叫做函数y =f (x)的定义域。
（3）值域：象的集合C 叫做函数y =f (x)的值域。
)(B C定义：给定一个集合A到集合B的映射，且a∈A，b∈B。
如果元素a和元素b 对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象。
给定映射f：A→B。
则集合A中任何一个元素在集合B中都有唯一的象，而集合B中的元素在集合A中不一定都有原象，也不一定只有一个原象。
问题1：下图中的（1）（2）所示的映射有什么特点？答：发现规律：（1）对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象，我们把这样的映射称为单射。
（2）集合B中的每一个元素都有原象，我们把这样的映射称为满射。
定义：一般地，设A、B是两个集合。
f：A→B是集合A到集合B的映射，如果B的映射共有n m个。
【映射例题精解】例1在下列对应中、哪些是映射、那些映射是函数、那些不是？为什么？设A={1,2,3,4}，B={3,5,7,9}，对应关系是f(x)=2x+1,x属于A设A={1,4,9},B+{-1,1,-2,2,-3,3}对应关系是‘A中的元素开平方’设A=R，B=R,对应关系是f(x)=x的3次方，x属于A设A=R,B=R,对应关系是f(x)=2x的2次方+1，x属于A解析：1、是一一映射，且是函数2、不是映射（象是有且唯一）3、是一一映射，且是函数4、是映射，但不是函数，因为B中不是所有值在A中都有对应。
方案中有m种不同的方法,在第二类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有N=m+n中不同的方法,这是分类加法计数原理;完成一件事需要两个步骤,做第一步有m种不同的方法,做第二步有n种不同的方法.那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法例5已知：集合{,,}f a f b f c++=，M a b c→满足()()()0N=-，映射:f M N=，{1,0,1}那么映射:f M N→的个数是多少？思路提示：满足()()()0f a f b f c ++=，则只可能00001(1)0++=++-=，即()f a 、()f b 、()f c 中可以全部为0，或0,1,1-各取一个．解：∵(),(),()f a N f b N f c N ∈ ∈ ∈，且()()()0f a f b f c ++= ∴有00001(1)0++=++-=．当()()()0f a f b f c ===时，只有一个映射；例8．已知集合{04}P x x =≤≤，{02}Q y y =≤≤，下列不表示从P 到Q 的映射是（） 答案：C提示：C 选项中2:3f x y x →=，则对于P 集合中的元素4，对应的元素83，不在集合Q 中，不符合映射的概念．例9．集合{3,4}A = ，{5,6,7}B = ，那么可建立从A 到B 的映射个数是__________，从B 到A 的映射个数是__________． 答案：9,8提示：从A 到B 可分两步进行：第一步A 中的元素3可有3种对应方法（可对应5或6或7），第二步A 中的元素4也有这3种对应方法．则不同的映射种数1339N =⨯=．反之从B 到A ，道理相同，有22228N =⨯⨯=种不同映射．3B 中的元素n n +2，则在映射f 下，象20的原象是（）A.2B.3 C.4D.54．如果(x,y)在映射f 下的象是(x+y,x-y)，那么(1,2)在映射下的原象是（）A.（3，1）B.（21,23-）C.（23,21-）D.（-1，3）5.已知点(x ，y)在映射f 下的象是(2x －y ，2x ＋y)，求(1)点（２，３）在映射f 下的像；（２）点(4，6)在映射f 下的原象.6.设集合A ＝{1,2,3,k},B ＝{4,7,a 4,a 2＋3a},其中a,k ∈N,映射f:A →B ，使B 中元素y ＝3x ＋1与A 中元素x 对应，求a 及k 的值. 【综合练习】 一、选择题：1．下列对应是从集合A 到集合B 的映射的是（）A ．A =R ，B ={x |x ＞0且x ∈R}，x ∈A ，f ：x →|x | B ．A =N ，B =N ＋，x ∈A ，f ：x →|x －1|C ．A ={x |x ＞0且x ∈R}，B =R ，x ∈A ，f ：x →x 2C ．(－∞，0)∪(0，＋∞)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)6．下列各组中，函数f (x )和g(x )的图象相同的是（）A ．f (x )=x ，g(x )=(x )2B ．f (x )=1，g(x )=x 0C ．f (x )=|x |，g(x )=2xD ．f (x )=|x |，g(x )=⎩⎨⎧-∞∈-+∞∈)0,(,),0(,x x x x7．函数y =1122---x x 的定义域为（）A ．{x |－1≤x ≤1}B ．{x |x ≤－1或x ≥1}C ．{x |0≤x ≤1}D ．{－1，1}8．已知函数f (x )的定义域为［0，1］，则f (x 2)的定义域为（）A ．(－1，0)B ．[－1，1]C ．(0，1)D ．［0，1］9．设函数f (x )对任意x 、y 满足f (x ＋y )=f (x )＋f (y )，且f (2)=4，则f (－1)的值为（）三、解答题：17．（1）若函数y =f (2x ＋1)的定义域为[1，2]，求f (x )的定义域.（2）已知函数f (x )的定义域为［－21，23］，求函数g (x )=f (3x )＋f (3x)的定义域.18．（1）已f (x 1)=xx -1，求f (x )的解析式.（2）已知y =f (x )是一次函数，且有f [f (x )]=9x ＋8，求此一次函数的解析式. 19．求下列函数的值域：（1）y =－x 2＋x ，x ∈[1，3] （2）y =11-+x x（3）y x =20．已知函数ϕ(x )=f (x )＋g (x )，其中f (x )是x 的正比例函数，g (x )是x 的反比例函。
函数的概念与分类
函数的概念与分类函数是数学中常见且重要的概念，它在数学及其他领域中起到了至关重要的作用。
本文将介绍函数的概念以及函数的分类，并通过实例来解释和说明。
一、函数的概念函数是一种映射关系，它将一个集合中的每个元素都映射到另一个集合中的唯一元素。
其中，第一个集合称为定义域，第二个集合称为值域。
函数的定义可以用数学的语言来表达为：如果存在一个集合A 和一个集合B，对于集合A中的每个元素a，都有一个在B中的唯一对应元素b与之对应，则称此对应关系为函数。
函数的符号表达通常形式为f(x)，其中f表示函数的名称，x表示定义域中的元素。
例如，如果我们有一个函数f，将实数集合R中的每个数x映射到它的平方即f(x)=x^2。
这样，我们可以通过给函数输入一个具体的数值来得到对应的输出。
二、函数的分类函数可以按照不同的特征和性质进行分类。
以下是几种常见的函数分类。
1. 数学函数数学函数是最基本的函数形式，它涵盖了多种函数类型，如线性函数、二次函数、多项式函数、指数函数、对数函数等等。
这些函数在数学中有广泛的应用，在实际问题中用来描述各种变化规律。
例如，线性函数是一种形如f(x) = ax + b的函数，其中a和b是常数。
它表示了一个呈现直线变化的函数关系。
多项式函数是指由若干个项组成的函数，每个项都是常数与自变量的幂的乘积，并通过相加得到。
指数函数和对数函数则是描述指数增长和对数关系的函数形式。
2. 三角函数三角函数是一类由角度变量产生的函数，如正弦函数、余弦函数、正切函数等。
这些函数在三角学和物理学等领域中具有重要的应用。
以正弦函数为例，它表示了一个角度变化的周期性波动，其表达式为f(x) = sin(x)，其中x是角度。
正弦函数在振动、波动等问题中起到了关键的作用。
3. 特殊函数特殊函数是一类具有特殊性质和特定定义的函数类型，如阶乘函数、伽马函数、贝塞尔函数等。
这些函数在数学中有广泛的应用，用于解决复杂的数学问题。
以阶乘函数为例，它表示一个正整数n的阶乘，即n!。
第一讲 函数及映射
第一讲函数第1课时变量与函数的概念[学习目标]1.理解函数的概念，了解构成函数的三要素.2.能正确使用区间表示数集.3.会求一些简单函数的定义域、函数值.[知识链接]1.在初中，学习过正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等，它们的表达形式分别为y＝kx(k≠0)，y＝kx(k≠0)，y＝ax＋b(a≠0)，y＝ax2＋bx＋c(a≠0).2.反比例函数y＝kx(k≠0)在x＝0时无意义.[预习导引]1.函数(1)函数的定义：设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数.记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域.(3)函数的值域：所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域.2.区间设a，b∈R，且a＜b.3.要点一 函数概念的应用例1 设M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有( )A.0个B.1个C.2个D.3个 答案 B 解析数集；(2)A 中任意一个数在B 中必须有并且是唯一的实数和它对应. 注意：A 中元素无剩余，B 中元素允许有剩余.2.函数的定义中“任意一个x ”与“有唯一确定的y ”说明函数中两变量x ，y 的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”. 跟踪演练1 下列对应或关系式中是A 到B 的函数的是( ) A.A ∈R ，B ∈R ，x 2＋y 2＝1B.A ＝{1,2,3,4}，B ＝{0,1}，对应关系如图：C.A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x －2D.A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝2x －1 答案 B解析 对于A 项，x 2＋y 2＝1可化为y ＝±1－x 2，显然对任意x ∈A ，y 值不唯一，故不符合.对于B 项，符合函数的定义.对于C 项，2∈A ，但在集合B 中找不到与之相对应的数，故不符合.对于D 项，－1∈A ，但在集合B 中找不到与之相对应的数，故不符合. 要点二 求函数的定义域 例2 求下列函数的定义域：(1)y ＝x ＋12x ＋1－1－x ；(2)y ＝x ＋1|x |－x.解 (1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足 ⎩⎨⎧x ＋1≠0，1－x ≥0，即⎩⎨⎧x ≠－1，x ≤1.所以函数的定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}. (2)要使函数有意义，必须满足|x |－x ≠0，即|x |≠x ， ∴x ＜0.∴函数的定义域为{x |x ＜0}.规律方法 1.当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合，必须考虑下列各种情形：(1)负数不能开偶次方，所以偶次根号下的式子大于或等于零；(2)分式中分母不能为0；(3)零次幂的底数不为0；(4)如果f (x )由几部分构成，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合；(5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况. 2.求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.跟踪演练2 函数f (x )＝x －2＋1x －3的定义域是( )A.[2,3)B.(3，＋∞)C.[2,3)∪(3，＋∞)D.(2,3)∪(3，＋∞)答案 C解析 要使函数有意义，需满足⎩⎨⎧x －2≥0，x －3≠0，即x ≥2且x ≠3. 要点三 求函数值或值域 例3 已知f (x )＝11＋x(x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R ). (1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f [g (3)]的值. 解 (1)∵f (x )＝11＋x ，∴f (2)＝11＋2＝13.又∵g (x )＝x 2＋2， ∴g (2)＝22＋2＝6. (2)∵g (3)＝32＋2＝11， ∴f [g (3)]＝f (11)＝11＋11＝112. 规律方法 求函数值时，首先要确定出函数的对应法则f 的具体含义，然后将变量代入解析式计算，对于f [g (x )]型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f [g (x )]与g [f (x )]的区别. 跟踪演练3 求下列函数的值域. (1)y ＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； (2)y ＝x ＋1；(3)y ＝x x ＋1.解 (1)(直接法)将x ＝1,2,3,4,5分别代入y ＝2x ＋1计算得函数的值域为{3,5,7,9,11}.(2)(观察法)∵函数的定义域为{x |x ≥0}， ∴x ≥0， ∴x ＋1≥1.∴函数y ＝x ＋1的值域为[1，＋∞). (3)(分离常数法)∵y ＝x x ＋1＝1－1x ＋1， 且定义域为{x |x ≠－1}，∴1x ＋1≠0，即y ≠1. ∴函数y ＝x x ＋1的值域为{y |y ∈R ，且y ≠1}.1.下列图形中，不可能是函数y ＝f (x )的图象的是( )答案 B解析 根据函数的存在性和唯一性(定义)可知，B 不正确. 2.函数f (x )＝x －1x －2的定义域为( ) A.[1,2)∪(2，＋∞) B.(1，＋∞) C.[1,2) D.[1，＋∞)答案 A解析 由题意可知，要使函数有意义，需满足 ⎩⎨⎧x －1≥0，x －2≠0，即x ≥1且x ≠2.3.已知f (x )＝x 2＋x ＋1，则f [f (1)]的值是( )A.11B.12C.13D.10答案 C解析f[f(1)]＝f(3)＝9＋3＋1＝13.4.下列各组函数中，表示同一个函数的是( )A.y＝x－1和y＝x2－1 x＋1B.y＝x0和y＝1C.f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2D.f(x)＝x2x和g(x)＝xx2答案 D解析A中的函数定义域不同；B中y＝x0的x不能取0；C中两函数的对应关系不同，故选D.5.集合{x|－1≤x＜0，或1＜x≤2}用区间表示为________.答案[－1,0)∪(1,2]解析结合区间的定义知，用区间表示为[－1,0)∪(1,2].第2课时映射与函数[学习目标]1.了解映射、一一映射的概念及表示方法.2.了解象与原象的概念.3.了解映射与函数的区别与联系.[知识链接]函数的定义：设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数.记作y＝f(x)，x∈A.[预习导引]1.映射和一一映射的有关概念映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射.典型例题要点一映射的判断例1 下列对应是不是从A到B的映射，能否构成函数？(1)A＝R，B＝R，f：x→y＝1x＋1；(2)A＝{a|a＝n，n∈N＋}；B＝{b|b＝1n，n∈N＋}，f：a→b＝1a；(3)A＝[0，＋∞)，B＝R，f：x→y2＝x；(4)A＝{x|x是平面M内的矩形}，B＝{x|x是平面M内的圆}，f：作矩形的外接圆.解(1)当x＝－1时，y的值不存在，∴不是映射，更不是函数.(2)是映射，也是函数，因A中所有的元素的倒数都是B中的元素.(3)∵当A中的元素不为零时，B中有两个元素与之对应，所以不是映射，更不是函数.(4)是映射，但不是函数，因为A，B不是非空数集.规律方法按照映射定义可知，映射应满足存在性——集合A中的每一个元素在集合B中都有对应元素；唯一性——集合A中的每一个元素在集合B中只有唯一的对应元素.跟踪演练1 在图(1)(2)(3)(4)中用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则，试判断由A到B是不是映射？是不是函数关系？解在图(1)中，集合A中任一个数，通过“开平方”在B中有两个数与之对应，不符合映射的定义，不是映射，当然也不是函数关系.图(2)中，元素6在B中没有象，则由A到B的对应关系不是映射，也不是函数关系.图(3)中，集合A中任一个数，通过“2倍”的运算，在B中有且只有一个数与之对应，所以A到B的对应法则是数集到数集的映射，并且是一一映射，这两个数集之间的对应关系是函数关系.图(4)中，对A中的每一个数，通过平方运算在B中都有唯一的一个数与之对应，是映射，数集A到B之间的对应关系是函数关系.要点二映射个数问题例2 已知A＝{a，b，c}，B＝{－2,0,2}，映射f：A→B满足f(a)＋f(b)＝f(c)，求满足条件的映射的个数.解(1)当A中三个元素都对应0时，则f(a)＋f(b)＝0＋0＝0＝f(c)有1个映射；(2)当A中三个元素对应B中两个时，满足f(a)＋f(b)＝f(c)的映射有4个，分别为2＋0＝2,0＋2＝2，(－2)＋0＝－2,0＋(－2)＝－2.(3)当A中的三个元素对应B中三个元素时，有2个映射，分别为(－2)＋2＝0,2＋(－2)＝0.因此满足条件的映射共有7个.规律方法对含有附加条件的映射问题，须按映射的定义一一列举或进行分类讨论.跟踪演练2 集合A＝{1,2,3}，B＝{3,4}，从A到B的映射f满足f(3)＝3，则这样的映射共有( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 答案 B解析 由于要求f (3)＝3，因此只需考虑剩下两个元素的象的问题，总共有如图所示的4种可能.要点三 映射的象与原象例3 已知映射f ：A →B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，f ：(x ，y )→(x ＋2y ＋2,4x ＋y ).(1)求A 中元素(5,5)的象； (2)求B 中元素(5,5)的原象.解 (1)当x ＝5，y ＝5时，x ＋2y ＋2＝17,4x ＋y ＝25. 故A 中元素(5,5)的象是(17,25). (2)令B 中元素(5,5)的原象为(x ，y )， 则⎩⎨⎧x ＋2y ＋2＝5，4x ＋y ＝5，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1.故B 中元素(5,5)的原象是(1,1).规律方法 1.解答此类问题：关键是：(1)分清原象和象；(2)搞清楚由原象到象的对应法则.2.一般已知原象求象时，常采用代入法，已知象求原象时，通常由方程组求解，求解过程中要注意象与原象的区别和联系.跟踪演练3 已知映射f ：A →B 中，A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，f ：(x ，y )→(3x －2y ＋1,4x ＋3y －1). (1)求A 中元素(1,2)的象； (2)求B 中元素(1,2)的原象；解 (1)当x ＝1，y ＝2时，3x －2y ＋1＝0,4x ＋3y －1＝9. 故A 中元素(1,2)的象为(0,9).(2)令⎩⎨⎧3x －2y ＋1＝1，4x ＋3y －1＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝617，y ＝917，故B 中元素(1,2)的原象是⎝ ⎛⎭⎪⎫617，917.1.在从集合A 到集合B 的映射中，下列说法正确的是( ) A.集合B 中的某一个元素b 的原象可能不止一个 B.集合A 中的某一个元素a 的象可能不止一个 C.集合A 中的两个不同元素所对应的象必不相同 D.集合B 中的两个不同元素的原象可能相同 答案 A解析 根据映射的概念可知：A 中元素必有唯一确定的象，但在象的集合中一个象可以有不同的原象，故A 正确.2.下列对应法则f 为A 到B 的函数的是( ) A.A ＝R ，B ＝{x |x ＞0}，f ：x →y ＝|x | B.A ＝Z ，B ＝N ＋，f ：x →y ＝x 2 C.A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x D.A ＝[－1,1]，B ＝{0}，f ：x →y ＝0 答案 D解析 在选项A 、B 、C 中，集合A 中的有些元素在对应法则作用下，在集合B 中找不到象.选项D 表示无论x 取何值y 都等于0.所以选D. 3.下列集合A 到集合B 的对应中，构成映射的是( )答案 D解析 按映射的定义判断知，D 项符合.4.设集合A 、B 都是坐标平面上的点集{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，映射f ：A →B 使集合A 中的元素(x ，y )映射成集合B 中的元素(x ＋y ，x －y )，则在f 下，象(2,1)的原象是( )A.(3,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12 D.(1,3)答案 B 解析 由⎩⎨⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝32，y ＝12，故选B.5.已知集合A ＝{a ，b }，B ＝{c ，d }，则从A 到B 的不同映射有________个. 答案 4解析 a →c ，b →c ；a →d ，b →d ；a →c ，b →d ；a →d ，b →c ，共4个.。
高中数学 第13课时《映射》教案(学生版) 苏教版必修1
第十三课时 映射的概念[学习导航]知识网络映射⎪⎩⎪⎨⎧映射与函数的关系映射的概念对应的概念学习要求1、了解映射的概念，能够判定一些简单的对应是不是映射。
2、通过对映射特殊化的分析，揭示出映射与函数之间的内在联系。
自学评价1、对应是两个集合元素之间的一种关系，对应关系可用图示或文字描述来表示。
2、一般地设A 、B 两个集合，如果按某种对应法那么f ，对于A 中的每一个元素，在B 中都有唯一的元素与之对应，那么，这样的单值对应叫做集合A 到集合B 的映射，记作：f:A →B3、由映射的概念可以看出，映射是函数概念的推广，特殊在函数概念中，A 、B 为两个非空数集。
[精典X 例]一、判断对应是否为映射例1、以下集合M 到P 的对应f 是映射的是( )A.M={－2，0，2}，P={－1，0，4},f ：M 中数的平方B.M={0，1}，P={－1，0，1}，f:M 中数的平方根C.M=Z ，P=Q ，f:M 中数的倒数。
D.M=R ，P=R +，f:M 中数的平方二、映射概念的应用例2、集合A=R ，B={(x,y)|x,y ∈R}，f:A →B 是从A 到B 的映射，f:x →(x+1,x 2+1)，求A 中的元素2在B 中的象和B 中元素(23,45)在A 中的原象。
思维分析：将x=2代入对应关系，可求出其在B 中对应元素，(23,45)在A 中对应的元素可通过列方程组解出。
三、映射与函数的关系例3、给出以下四个对应的关系①A=N*,B=Z,f:x→y=2x－3；②A={1，2，3，4，5，6}，B={y|y∈N*,y ≤5}，f:x→y=|x－1|；③A={x|x≥2}，B={y|y=x2－4x+3}，f:x →y=x－3；④A=N,B={y∈N*|y=2x－1，x∈N*}，f:x →y=2x－1。
上述四个对应中是函数的有( )A.①B.①③C.②③ D.③④思维分析：判断两个集合之间的对应是否构成函数，首先应判断能否构成映射，且构成映射的两个集合之间对应必须是非空数集之间的对应。
高职高等数学教材答案
高职高等数学教材答案第一章：函数与极限1. 函数与映射函数的定义：函数是一个数集到另一个数集的映射关系，每个自变量对应唯一的因变量。
映射的表示：可以通过映射图、函数表、解析式等多种方式来表示函数。
元素的分类：自变量属于定义域，因变量属于值域。
2. 极限与连续极限的概念：当自变量趋近于某一值时，函数对应的因变量也趋近于一个确定的值。
极限的性质：极限存在且唯一，可以通过代入法、夹逼定理等方法进行求解。
连续的定义：函数在某一点连续，即该点的函数值与极限值相等。
3. 导数与微分导数的定义：描述函数在某一点的变化速率，也可以理解为切线的斜率。
导数的计算：可以使用导数定义、导数的性质、基本函数导数法则等进行计算。
微分的定义：微分等于函数在某一点的导数与自变量的增量的乘积。
4. 微分中值定理与泰勒公式中值定理的概念：描述函数在某一区间内的平均变化率与瞬时变化率相等的情况。
中值定理的类型：拉格朗日中值定理、柯西中值定理等。
泰勒公式的定义：用函数在某一点的导数以及高阶导数来逼近函数的方法。
第二章：数列与级数1. 数列与数列极限数列的定义：按照一定规律排列的一组数。
数列极限的概念：当数列项无限逼近某个确定的值时，称该值为数列的极限。
数列极限的性质：数列极限存在则唯一，可以使用夹逼定理等方法进行求解。
2. 级数与级数的收敛性级数的定义：将数列中的各项相加得到的无穷和。
级数的收敛性概念：当无穷项级数的部分和无限逼近某个确定的值时，称该级数为收敛的。
收敛级数的性质：收敛级数的部分和有界，可以使用比较判别法、比值判别法等进行求解。
3. 幂级数与函数展开幂级数的定义：一种特殊的级数形式，以自变量的幂次递增排列。
幂级数的收敛域：幂级数在收敛域内可以展开成函数的形式。
函数展开的应用：通过幂级数展开可以对函数进行逼近计算。
第三章：微分学应用1. 函数的极值与最值极值的定义：函数在某一点的导数为零或不存在时，称该点为极值点。
极值的判断：可以使用二阶导数判别法、端点判别法等进行判断。
高等数学教材第八版本
高等数学教材第八版本第一章函数与映射高等数学是大学数学中的重要基础课程，主要涉及函数、极限、微积分等内容。
而在高等数学教材第八版本中，函数与映射是第一章的重点内容。
本章将引导学生深入了解函数与映射的定义、性质和应用。
1.1 函数的概念与性质函数是实数集之间的一种特殊关系，它将每个自变量与唯一一个因变量相对应。
在本章中，我们将学习函数的各种定义方式，例如显式定义、隐式定义、参数方程等。
此外，我们还将研究函数的性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。
1.2 映射与复合函数映射是一种更一般的函数关系，它可以将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。
在本节中，我们将学习映射的定义、分类以及常见的映射表示方法，如箭头图、集合对集合的表示法等。
此外，我们还将讨论复合函数的概念，即将一个函数的输出作为另一个函数的输入。
1.3 反函数与参数方程在某些情况下，我们需要找到一个函数的逆函数，以便求解方程或解决实际问题。
本节将介绍反函数的概念与求解方法，并且会讨论参数方程的基本概念与应用。
第二章极限与连续性函数的极限与连续性是高等数学中的重要概念，对理解微积分和实分析等学科有着重要作用。
在高等数学教材第八版本中，极限与连续性是第二章的重点内容。
2.1 函数的极限函数的极限是函数在无穷接近某一点时的行为，它是微积分的基础。
在本节中，我们将学习函数极限的定义、性质以及极限存在的判定方法。
此外，我们还将研究函数的左极限和右极限，并探讨无穷极限的概念与性质。
2.2 连续与间断函数的连续性是指函数在某一点上无间断，即函数图像没有突变。
本节将介绍函数连续性的定义与判定方法，包括闭区间上的连续性、间断点的分类等。
2.3 无穷小与无穷大无穷小与无穷大是描述函数在某一点上逼近某些特殊值的概念。
本节将讲解无穷小与无穷大的定义、性质以及它们与函数极限的关系。
第三章导数与微分导数是微积分的核心概念之一，它描述了函数在某一点的变化率。
在高等数学教材第八版本中，导数与微分是第三章的重点内容。
第12课映射与函数（经典例题练习、附答案）
第12课 映射与函数◇考纲解读① 了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念； ② 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数．表示函数．◇知识梳理；1．映射的定义：．映射的定义：一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的___________元素x ，在集合B 中都有_________的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A ®B 为从集合A 到集合B 的一个映射。
记作“f ：A ®B ” ．由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求A 、B 非空且皆为数集.2.2.映射的概念中象、原象的理解：映射的概念中象、原象的理解：映射的概念中象、原象的理解： ① A 中每一个元素中每一个元素__________________象；②象；②象；②B B 中每一个元素中每一个元素___________________________原象，不一定只一个原象；原象，不一定只一个原象； ③A 中每一个元素的象中每一个元素的象________________________．． 3．函数的概念：．函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的__________x ，在集合B 中都有____________的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数。
记作：y =f (x )，x ∈A 。
其中，x 叫做_________，x 的取值范围A 叫做函数的_______；与x 的值相对应的y 值叫做__________，函数值的集合{f (x )| x ∈A }叫做函数的_________．注意：（1）“y =f (x )”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y =g(x )”；（2）函数符号“y =f (x )”中的f (x )表示与x 对应的函数值，一个数，而不是f 乘x ． 4．两个函数的相等：．两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即_____________________________．当且仅当两个函数的__________________________都分别相同时，这两个函数才是同一个函数．都分别相同时，这两个函数才是同一个函数． 5．区间．区间（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；）无穷区间；（3）区间的数轴表示．）区间的数轴表示．◇基础训练1．设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射f ：A →B 把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素2n ＋n ，则在映射f 下，象20的原象是的原象是 （ ） A.2 B.3 C.4D.5 2．设M ={x |－2≤x ≤2}，N ={y |0≤y ≤2}，函数f （x ）的定义域为M ，值域为N ，则f （x ）的图象可以是（的图象可以是（） 22-2Aoy x22-2B oy x22-2C oy x22-2D o y x3．集合A ={3，4}，B ={5，6，7}，那么可建立从A 到B 的映射个数是__________，从B 到A 的映射个数是__________.4．若函数2743kx y kx kx +=++的定义域为R ，则k Î＿＿＿＿＿＿．◇典型例题例1．设集合{1,0,1}M =-，{2,1,0,1,2}N =--，如果从M 到N 的映射f 满足条件：对M 中的每个元素x 与它在N 中的象()f x 的和都为奇数，则映射f 的个数是（的个数是（） A.8个 B.12个 C.16个 D.18个例2． 试判断以下各组函数是否表示同一函数？试判断以下各组函数是否表示同一函数？ （1）f （x ）=2x ，g （x ）=33x ； （2）f （x ）=xx ||，g （x ）=îíì<-³;01,01x x（3）f （x ）=x 1+x ，g （x ）=x x +2；（4）f （x ）=x 2－2x －1，g （t ）=t 2－2t －1.◇能力提升1．下列各对函数中，相同的是（．下列各对函数中，相同的是（） A ．x x g x x f lg 2)(,lg )(2==B ． )1lg()1lg()(,11lg )(--+=-+=x x x g x x x fC ． vv v g uu u f -+=-+=11)(,11)(D ．f （x ）=x ，2)(xx f =2. 已知集合A={}40££x x ， B={}20££y y ,下列从A 到B 的对应f 不是映射的是（ ）A ．x y x f 21:=®B ．x y x f 31:=®C ．x y x f 32:=®D ．281:x y x f =®3．已知函数12||4)(-+=x x f 的定义域是[]b a ,(,)a b ÎZ ，值域是[]1,0，那么满足条件的整数数对),(b a 共有共有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．5个 D ．无数个．无数个4．点),(b a 在映射f 的作用下的象是),(b a b a +-，则f 的作用下点)1,3(的原象为点____ 5．设B A f ®:是从集合A 到B 的映射，{}R y R x y x B A ÎÎ==,),(， ),(),(:b y kx y x f +®，若B 中元素（6，2）在映射f 下的原象是(3,1)， 则b k ,的值分别为________.6．（2008佛山二模）已知函数()f x 自变量取值区间为A ，若其值域区间也为A ，则称区间A 为()f x 的保值区间的保值区间..求函数2()f x x =形如[,)()n n R +¥Î的保值区间；的保值区间；第12课 映射与函数◇知识梳理1.任意一个，唯一确定的.2.①都有，②不一定都有，③唯一①都有，②不一定都有，③唯一3．任意一个数，唯一确定，自变量，定义域．任意一个数，唯一确定，自变量，定义域4．定义域A 、值域C 和对应法则f ，定义域和对应法则定义域和对应法则◇基础训练1. C ，2. B ，3. 9，84. 30,4éö÷êëø◇典型例题例1.1. 解：∵()x f x +为奇数，∴当x 为奇数1-、1时，它们在N 中的象只能为偶数2-、0或2，由分步计数原理和对应方法有239=种；而当0x =时，它在N 中的象为奇数1-或1，共有2种对应方法．故映射f的个数是9218´=．故选D.例2.2. 解：（1）由于f （x ）=2x =|x |，g （x ）=33x =x ，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数.（2）由于函数f （x ）=x x ||的定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），而g （x ）=îíì<-³;01,01x x 的定义域为R ，所以它们不是同一函数. （3）由于函数f （x ）=x1+x 的定义域为{x |x ≥0}，而g （x ）=x x +2的定义域为{x |x ≤－1或x ≥0}，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数.（4）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数. 点评：（1）第（4）小题易错判断成它们是不同的函数，原因是对函数的概念理解不透.要知道，在函数的定义域及对应法则f 不变的条件下，自变量变换字母，以至变换成其他字母的表达式,这对于函数本身并无影响,比如f （x ）=x 2+1，f （t ）=t 2+1，f （u +1）=（u +1）2+1都可视为同一函数.◇能力提升1.C ,2.C ,3. C ,4. ()2,1-,5. 2,16.解:若0n <,则(0)0n f ==,矛盾矛盾. . 若0n ³,则2()n f n n ==,解得0n =或1 所以)(x f 的保值区间为[)0,+¥或[)1,+¥。
映射重要知识点总结
映射重要知识点总结一、映射的定义1.1 映射的概念映射是一种将一个集合中的元素对应到另一个集合中的元素的规则。
具体来说，如果从集合A到集合B的每个元素a都能找到集合B中的唯一元素b与之对应，那么我们就说存在从集合A到集合B的一个映射。
我们通常用f: A → B来表示这个映射，其中f表示映射的规则，A称为定义域，B称为值域，而对应的元素对(a, b)称为映射对。
1.2 映射的表示方式映射可以用图、公式、表格等形式来表示。
在图中，我们可以用箭头连接集合A和集合B 的元素，表示它们之间的对应关系；在公式中，我们可以用f(x) = y来表示映射的规则，其中x表示集合A中的元素，y表示集合B中的元素；在表格中，我们可以将集合A的元素和对应的集合B的元素按一定顺序排列，表示它们之间的对应关系。
1.3 映射的例子为了更好地理解映射的概念，我们可以举几个具体的例子。
比如说，将一个学生的学号与他的成绩对应起来，就是一个映射；将一个人的身高与体重对应起来，也是一个映射；将一个城市的名称与它的人口数量对应起来，同样也是一个映射。
二、映射的性质2.1 单射、满射和双射在研究映射的性质时，我们通常关注三个重要的性质，即单射、满射和双射。
- 单射：如果一个映射f: A → B满足对任意的x1, x2∈A，只要x1≠x2就有f(x1)≠f(x2)，那么我们就说这个映射是单射。
单射也可以表述为：对于集合A中的任意两个不同的元素，它们在集合B中的像也是不同的。
- 满射：如果一个映射f: A → B满足对于集合B中的任意元素y，都能在集合A中找到一个元素x与之对应，那么我们就说这个映射是满射。
- 双射：如果一个映射既是单射又是满射，那么我们就说这个映射是双射。
2.2 映射的复合在实际问题中，有时我们会遇到多个映射的复合。
设有两个映射f: A → B和g: B → C，我们可以定义它们的复合映射g∘f: A → C为：对于A中的任意元素x，它在C中对应的像为(g∘f)(x) = g(f(x))。
映射、对应和函数1
中都有唯一的元素和它对应.
8
四.映射与函数的联系和区别
映射、对应和函数 2019/4/29
映射:
设A,B是两个非空集合,如果按照某种对应法则f,
对A中的任意一个元素x,在B中有一个且仅有一个元素y
与x对应,则称f是集合A到集合B的映射。
记作 f: A → B 函数： 设集合A是一个非空的数集，对A内任意数x，按
如果A、B是非空数集，那么A到B 的映射f:A B 就叫做A到B的函数
记作： y=f(x)
函数是一种特殊的映射
10
映射、对应和函数
例3：在下列对应中、哪些是映射、那些映射是20函19/4数/29 、
那些不是？为什么？
（1）设A={1,2,3,4}，B={3,5,7,9}，对应关系：
f(x)=2x+1,x∈A .
设A,B是两个非空集合,如果按照 某种对应法则f,对A中的任意一个 元素x,在B中有且仅有一个元素y与 x对应,则称f是集合A到集合B的映 射.
这时, X称作y的原象,y称作是x在映射f的作
用的象,记作f(x), 于是
y=f(x).
映射f也可记为:
f: A →B
X → f(x)
4
二、对概念的认识
映射、对应和函数 2019/4/29
照 确定的法则f，都有唯一确定的数值y与它应，则这 种对应关系叫做集合A上的一个函数。
记作 y=f(x),x∈A
联系：都是从A到B 的单值对应 区别：构成函数的两个集合必须是数集，而构成映射的两个集
合可以是其它集合
9
四.映射和函数的联系和区别
映射、对应和函数 2019/4/29
因此还可以用映射的概念来定义函数：
一函数与映射的基本概念
一、函数与映射的基本概念一、基本概念1．函数的定义：设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么就称这样的对应“f :A →B ”为从集合A 到B 的一个函数，记作y =f （x ），x ∈A ，其中x 叫做自变量.x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合C={y|y = f （x ）,x ∈A }叫做函数的值域)(B C ⊆. 函数符号y =f (x )表示“y 是x 的函数”，或简记为f (x )．这里的“f ”即对应法则，它确定了y 与x 的对应关系．从函数概念看，“定义域、值域和对应法则”是构成函数的三个要素，其中，“定义域和对应法则”是两个关键性要素，定义域和对应法则一旦确定，函数的值域也随之确定．2、对应法则是指y 与x 的对应关系，它含有两层意思，一是对应的过程（形式），即由x 求出y 的运算过程，一般体现在函数的解析表达式中；二是运算的结果（本质），即y 的值，两个对应法则是否相同，要看对于同一个自变量的值所得到的函数值是否相同，有时形式上不同的对应法则本质上是相同的。
例如：x x x y x y ++=+=22cos sin 1与的对应法则是相同的。
3、同一个函数两个函数当且仅当定义域和对应法则二者均相同时才表示同一个函数，而值域相同是两函数为同一函数的必要非充分条件．4、变换字母在函数的定义域及对应法则不变的条件下，用不同的字母表示自变量及对应法则，这对于函数本身并无影响，比如f （x ）=x 2+1，g （t ）= t 2+1，都表示同一函数.5、区间及其表示方法．区间是数学中常用的表示数集的术语与符号．设b a R b a <∈,、，规定闭区间: [a ，b ]={}b x a x ≤≤|，开区间:（a ，b ）={}b x a x <<|，半开半闭区间:（a ，b ]={}b x a x ≤<|，[a ，b ）={}b x a x <≤|． 其中a 、b 分别为区间的左端点、右端点，b -a 为区间长度．符号+∞读作正无穷大，﹣∞读作负无穷大，它们都不是一个具体的数． 用+∞或-∞作为区间的端点，表示无穷区间，并且只能用开区间的形式． 如：{}a x x a >=+∞|),(，{}}|),(b x x b <=-∞，R =+∞-∞),(6．映射的概念：映射是两个集合间的一种特殊的对应关系，即若按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任一元素，在集合B 中都有唯一的元素与之对应，那么这样的对应（包括集合A 、B 和对应法则f ）就叫做集合A 到集合B 的映射，记作f ：A →B ．在映射f ：A →B 中，若A 中元素a 与B 中元素b 对应，则b 叫做a 的象，a 叫做b 的原象．因而，映射可以理解为“使A 中任一元素在B 中都有唯一象”的特殊对应（即单值对应）．如果映射f ：A →B 满足①A 中不同元素在B 中有不同的象；②B 中任一元素均有原象，那么这个映射就是A 到B 上的一一映射．7、映射与函数的关系函数是映射，但映射不一定是函数。
新高一预科第8讲___映射与函数的概念
第8讲 映射与函数的概念一【学习目标】1.了解映射的概念及表示方法；2.理解函数的概念，了解简单的分段函数及应用，明确函数的三种表示方法；3.会求一些简单函数的定义域和值域.二【知识梳理】1.映射引入：复习初中常见的对应关系（1）对于任何一个实数a ，数轴上都有唯一的点p 和它对应；（2）对于坐标平面内任何一个点A ，都有唯一的有序实数对（,x y ）和它对应； （3）对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；（4）某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；定义：一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．记作“f ：A →B ”.点拨：（1）这两个集合有先后顺序，A 到B 的映射与B 到A 的映射是截然不同的，其中f 表示具体的对应法则，可以用多种形式表述．（2）“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思．（3）设f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射，且f ：a →b ，则b 叫做a 的象；a 叫做b 的原象. 2.函数（1）函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作：y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )| x ∈A }叫做函数的值域．点拨：① “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；②函数符号“y=f(x)”中的f (x )表示与x 对应的函数值，是一个数，而不是f 乘x ． ③函数是特殊的映射.（2）函数的三要素：定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则称这两个函数相等（或为同一函数）.即：两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关. （3）函数的表示方法：解析法、列表法、图象法三种.三【典例精析】例1．下列哪些对应是从集合A 到集合B 的映射？（1）A={|P P 是数轴上的点}，B=R ，对应关系f ：数轴上的点与它所代表的实数对应； （2）A={|P P 是平面直角坐标中的点}，}{(,)|,,B x y x R y R =∈∈对应关系f ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；（3）A={三角形}，B={|},x x 是圆对应关系f ：每一个三角形都对应它的内切圆； （4）A={|x x 是新华中学的班级}，}{|,B x x =是新华中学的学生对应关系f ：每一个班级都对应班里的学生．思考：将（3）中的对应关系f 改为：每一个圆都对应它的内接三角形；（4）中的对应关系f 改为：每一个学生都对应他的班级，那么对应f ：B →A 是从集合B 到集合A 的映射吗？例2．在下图中，图（1），（2），（3），（4）用箭头所标明的A 中元素与B 中元素的对应法则，是不是映射？是不是函数关系？A 求平方B A例3.画图表示集合A 到集合B 的对应（集合A ，B 各取4个元素）已知：（1）}}{{1,2,3,4,2,4,6,8A B ==，对应法则是“乘以2”； （2）A={|x x ＞}0，B=R ，对应法则是“求算术平方根”； （3）{}|0,A x x B R =≠=，对应法则是“求倒数”；（4）{0|0A α=∠＜}}{090,|1,B x x α∠≤=≤对应法则是“求余弦”．例4．在下图中的映射中，A 中元素600的象是什么？B A 求正弦 B点拨：判定是否是映射主要看两条：一条是A 集合中的元素都要有象，但B 中元素未必要有原象；二条是A 中元素与B 中元素只能出现“一对一”或“多对一”的对应形式． 例5.已知函数f(x)=3+x +21+x （1）求函数的定义域； （2）求f （－3），f(32)的值； （3）当a ＞0时，求f （a ）,f(a －1)的值.例6.设一个矩形周长为80，其中一边长为x ，求它的面积关于x 的函数的解析式，并写出定义域.解：由题意知，另一边长为2280x-，且边长为正数，所以0＜x ＜40. 所以S=8022xx -⋅=（40－x ）x （0＜x ＜40） 点拨：（1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R .（2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合 .（3）如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.（4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）（5）满足实际问题有意义.例7.下列函数中哪个与函数y=x 相等？（1）y=(x )2; （2）y=(33x );（3）y=2x; （4）y=xx 2例8．某种笔记本的单价是5元，买}{(1,2,3,4,5)x x ∈个笔记本需要y 元，试用三种表示法表示函数()y f x =．点拨：①函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等； ②解析法：必须注明函数的定义域； ③图象法：是否连线；④列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．例9．某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定： （1）乘坐汽车5公里以内，票价2元；（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算），已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．分析：本例是一个实际问题，有具体的实际意义，根据实际情况公共汽车到站才能停车，所以行车里程只能取整数值．点拨：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．四【过关精练】一、选择题1.已知集合{1,2,3,}M m =，42{4,7,,3}N n n n =+，*,m n N ∈，映射:31f y x →+是从M 到N 的一个函数，则m n -的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52.}30|{},20|{≤≤=≤≤=y y N x x M 给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有（ ）A.0个B.1个C.2个D.3个3.设函数2211()21x x f x x x x ⎧-⎪=⎨+->⎪⎩，，，，≤则1(2)f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．1516B ．2716- C ．89 D ．184.若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是（ ） A ．[0,1] B ．[0,1) C ．[0,1)(1,4] D ．(0,1)5．设函数f (x )对任意x 、y 满足f (x ＋y )=f (x )＋f (y )，且f (2)=4，则f (－1)的值为（ ）A ．－2B ．±21C ．±1D ．26．已知函数f (x ＋1)=x ＋1，则函数f (x )的解析式为（ ）A ．f (x )=x 2B ．f (x )=x 2＋1(x ≥1)C ．f (x )=x 2－2x (x ≥1)D ．f (x )=x 2－2x ＋2(x ≥1) 7．下列各组中，函数f (x )和g(x )的图象相同的是（ ）A ．f (x )=x ，g(x )=(x )2B ．f (x )=1，g(x )=x 0C ．f (x )=|x |，g(x )=2xD ．f (x )=|x |，g(x )=⎩⎨⎧-∞∈-+∞∈)0,(,),0(,x x x x二、填空题8.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<++=)0(2)0()(2x x c bx x x f 且)0()4(f f =-，2)2(-=-f 则方程f(x)=x 解的个数为9.设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f 则不等式)1()(f x f >的解集是10.已知函数()()()x g x f x +=ϕ,其中()f x 是x 的正比例函数,()g x 是x 的反比例函数，且,1631=⎪⎭⎫⎝⎛ϕ()81=ϕ,则()=x ϕ .三、解答题11.（1）若函数)(x f y =的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，求(1)f x +的定义域；（2）若函数2(1)f x +的定义域为[2,1)-，求函数()f x 的定义域.12.已知函数2()426()f x x ax a x R =-++∈. （1）若函数()f x 的值域为［0，+∞)时的a 的值；（2）若函数()f x 的值均为非负值，求函数()23f a a a =-+的值域.。
高中数学必修2-2
第2课时映射与函数学习目标 1.了解映射、一一映射的概念.2.了解映射与函数间的关系.3.会判定一些对应法则是否为映射或一一映射．知识点一映射思考设A＝{三角形}，B＝R，对应法则是f：每一个三角形对应它的周长．请问：A中的元素与B中的元素有什么关系？答案A中的任一元素，在B中都有唯一确定的元素与之对应．梳理映射的概念(1)映射的定义设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射，记作f：A→B.提醒：映射f：A→B中，集合A，B可以是数集，也可以是点集或其他集合，这两个集合有先后次序．(2)象、原象的概念给定一个集合A到集合B的映射f，若集合B中的元素y与集合A中的元素x相对应，则称y是x在映射f作用下的象，记作f(x)，x称作y的原象．知识点二一一映射思考映射f：y＝2x是A＝{1,2,3}→B＝{2,4,6}的映射；映射：y＝2x是A＝{1,2,3}→C＝{1,2,4,6}的映射，问映射f与映射g有什么不同？答案在映射f下，集合A中的每个元素都有象，集合B中的每个元素都有原象；在映射g 下，集合C中的元素不一定都有原象，如1.梳理一一映射的定义如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的任意一个元素，在集合A中都有且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合A 到集合B 的一一映射．知识点三 映射和函数的关系思考 一个映射是否一定是一个函数？函数能看成一个映射吗？ 答案 映射不一定是函数，函数一定是映射． 梳理 1.映射下的函数定义设A ，B 是两个非空数集，f 是A 到B 的一个映射，那么映射f ：A →B 就叫做A 到B 的函数． 2．映射和函数的关系函数是数集到数集的映射，即映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射．1．映射是特殊的函数．( × ) 2．函数是从数集到数集的映射．( √ )类型一 映射的概念例1 下列对应是否构成映射？若是映射，是否为一一映射？ (1)A ＝{x |0≤x ≤3}，B ＝{y |0≤y ≤1}， f ：y ＝13x ，x ∈A ，y ∈B ；(2)A ＝N ，B ＝N ＋，f ：y ＝|x －1|，x ∈A ，y ∈B ；(3)A ＝{x |0＜x ≤1}，B ＝{y |y ≥1}，f ：y ＝1x ，x ∈A ，y ∈B ；(4)A ＝R ，B ＝{y |y ∈R ，y ≥0}，f ：y ＝|x |，x ∈B ，y ∈B . 考点 题点解 (1)是映射，是一一映射．(2)不是映射．(3)是映射，是一一映射．(4)是映射，不是一一映射．反思与感悟 判定一个对应法则f ：A →B 是映射的方法 (1)明确集合A ，B 中的元素的特征．(2)判断A 中的每个元素是否在集合B 中有唯一的元素与之对应．若进一步判断是否为一一映射，还需注意B 中的每一个元素在A 中都有原象，且原象唯一．跟踪训练1 下图中(1)，(2)，(3)，(4)用箭头所标明的A 中元素与B 中元素的对应法则是不是映射？是不是一一映射？是不是函数关系？考点 题点解 (1)是映射，是一一映射，是函数．(2)是映射，是一一映射，不是函数．(3)不是映射．(4)是映射，不是一一映射，不是函数．类型二 象与原象例2 已知映射f ：A →B 中A ＝B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，若f ：A 中的元素(x ，y )对应到B 中的元素是(3x －2y ＋1,4x ＋3y －1)． (1)求A 中的元素(3,2)在B 中对应的象； (2)求B 中的元素(3,2)在A 中对应的原象． 考点 题点解 (1)∵f ：(x ，y )→(3x －2y ＋1,4x ＋3y －1)， 且(3,2)是A 中的元素，∴3x －2y ＋1＝3×3－2×2＋1＝6,4x ＋3y －1＝4×3＋3×2－1＝17， ∴(3,2)在B 中对应的象为(6,17)．(2)⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＋1＝3，4x ＋3y －1＝2，解得⎩⎨⎧x ＝1217，y ＝117，∴(3,2)在A 中的原象为⎝⎛⎭⎫1217，117.引申探究1．若使A 中的元素(x ，y )在B 中与其自身(x ，y )对应，这样的元素存在吗？解 若在A 中的元素(x ，y )在B 中能与自身对应，则⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＋1＝x ，4x ＋3y －1＝y ，解得x ＝0，y ＝12，所以这样的元素存在即⎝⎛⎭⎫0，12. 2．若f ：A 中的元素(x ，y )对应到B 中的元素是(3x －2y ＋1,4x ＋3y －1)改为：对应到B 中的元素是(－xy ，x －y )，则B 中的元素满足什么条件时在A 中有原象？解 设任意(a ，b )∈B ，则它在A 中的原象(x ，y )应满足：⎩⎪⎨⎪⎧－xy ＝a ①，x －y ＝b ②，由②式得，y ＝x－b ，将它代入①式，并化简得x 2－bx ＋a ＝0 ③，当且仅当Δ＝(－b )2－4a ＝b 2－4a ≥0时，方程③有实数根，因此只有当B 中元素(a ，b )满足b 2－4a ≥0时，在A 中才有原象． 反思与感悟 求象与原象的方法(1)若已知A 中的元素a (即原象a )，求B 中与之对应的元素b (即象b )，这时只要将元素a 代入对应法则f 求解即可．(2)若已知B 中的元素b (即象b )，求A 中与之对应的元素a (即原象a )，这时构造方程(组)进行求解即可，需注意解得的结果可能有多个．跟踪训练2 已知(x ，y )在映射f 的作用下的象是(x ＋y ，xy )． (1)求(－2,3)在f 作用下的象；(2)若在f 作用下的象是(2，－3)，求它的原象． 考点 题点解 (1)把(－2,3)代入对应法则，即x ＋y ＝－2＋3＝1，xy ＝－2×3＝－6， 所以(－2,3)在f 作用下的象为(1，－6)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，xy ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.所以在f 作用下的象(2，－3)的原象为(－1,3)或(3，－1)．类型三映射的综合应用例3(1)集合A＝{a，b，c，d}，集合B＝{e，f}，从集合A到集合B的映射的个数为________；(2)已知映射f：A→B，其中A＝B＝R，对应法则f：x→y＝x2－2x＋2，若对实数k∈B，在集合A中不存在原象，则k的取值范围是________．考点题点答案(1)16(2)(－∞，1)解析(1)可以用列举法：∴共有2×2×2×2＝16(种)．(2)由于k∈B且在A中不存在原象，则x2－2x＋2＝k无解，即x2－2x＋2－k＝0无解．∴Δ＝4－4×(2－k)＜0，∴k＜1.反思与感悟求映射个数的两类问题及解法(1)给定两个集合A，B，问由A→B可建立的映射的个数，这类问题与A，B中元素的个数有关系．一般地，若A中有m个元素，B中有n个元素，则从A→B共有n m个不同的映射．(2)含条件的映射个数的确定，解决这类问题一定要注意对应关系所满足的条件，要采用分类讨论的思想方法来解决．跟踪训练3集合A＝{a，b}，B＝{－1,0,1}，从A到B的映射f：A→B满足f(a)＋f(b)＝0，那么这样的映射f：A→B的个数为()A．2 B．3 C．5 D．8考点题点答案B解析f：a→－1b→1；f：a→1b→－1；f：a→0b→0.共有3个.1．在从集合A 到集合B 的映射中，下列说法正确的是( ) A ．集合B 中的某一个元素b 的原象可能不止一个 B ．集合A 中的某一个元素a 的象可能不止一个 C ．集合A 中的两个不同元素所对应的象必不相同 D ．集合B 中的两个不同元素的原象可能相同 考点 题点 答案 A解析 根据映射的概念可知：A 中元素必有唯一确定的象，但在象的集合中一个象可以有不同的原象，故A 正确．2．已知集合A ＝{a ，b }，集合B ＝{0,1}，下列对应不是A 到B 的映射的是( )考点 题点 答案 C解析 C 选项中，b 无象．3．已知(x ，y )在映射f 下的象是(2x －y ，x －2y )，则原象(1,2)在f 下的象为( ) A ．(0，－3) B ．(1，－3) C ．(0,3) D ．(2,3)考点 题点 答案 A解析 2x －y ＝2×1－2＝0，x －2y ＝1－2×2＝－3，故选A.4．设集合A ，B 都是坐标平面上的点集{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，映射f ：A →B 使集合A 中的元素(x ，y )映射成集合B 中的元素(x ＋y ，x －y )，则在f 下，象(2,1)的原象是( ) A ．(3,1) B.⎝⎛⎭⎫32，12 C.⎝⎛⎭⎫32，－12 D ．(1,3)考点 题点 答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝1，得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝12，故选B.5．已知集合A ＝{a ，b }，B ＝{c ，d }，则从A 到B 的不同映射有________个． 考点 题点 答案 4解析 a →c ，b →c ；a →d ，b →d ；a →c ，b →d ；a →d ，b →c ，共4个．1.映射的特征(1)任意性：A 中任意元素x 在B 中都有元素y 与之对应，即A 中元素不能有剩余． (2)唯一性：从集合A 到集合B 的映射，允许多个元素对应一个元素，而不允许一个元素对应多个元素，即一对多不是映射．(3)方向性：f ：A →B 与f ：B →A ，一般是不同的映射． 2．映射与函数的关系函数是特殊的映射，即当两个集合A ，B 均为非空数集时，则从A 到B 的映射就是函数，所以函数一定是映射，而映射不一定是函数，映射是函数的推广．一、选择题1．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{5,6,7}，在下列A 到B 的四种对应法则中，是A 到B 的映射的为( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④考点 题点 答案 A解析 根据映射定义知①②正确．③中A 的元素4在B 中无对应元素，所以该对应不是A 到B 的映射．④中A 的元素3在B 中有两个元素与之对应，所以不是A 到B 的映射． 2．已知集合M ＝{x |0≤x ≤4}，N ＝{y |0≤y ≤2}，按对应法则f 不能构成从M 到N 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝12xB ．f ：x →y ＝13xC ．f ：x →y ＝23xD ．f ：x →y ＝x 考点 题点 答案 C解析 因为当x ＝4时，y ＝23×4＝83∉N ，所以C 中的对应法则f 不能构成从M 到N 的映射．3．映射f ：A →B ，在f 作用下A 中元素(x ，y )与B 中元素(x －1，3－y )对应，则与B 中元素(0,1)对应的A 中元素是( ) A ．(－1,2) B ．(0,3) C ．(1,2) D ．(－1,3) 考点 题点 答案 C解析 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝0，3－y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，∴A 中的元素为(1,2)．4．已知映射f ：A →B ，其中集合A ＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B 中的元素都是A 中的元素在映射f 下的象，且对任意的a ∈A ，在B 中和它对应的元素是|a |，则集合B 中的元素的个数是( )A ．4B ．5C ．6D ．7 考点 题点 答案 A解析 对应法则是f ：a →|a |.因此，3和－3对应的象是3；－2和2对应的象是2；1和－1对应的象是1；4对应的象是4，所以B ＝{1,2,3,4}．故选A. 5．有下列对应：①A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1－xx ＋1；②A ＝{2016年里约热内卢奥运会的火炬手}，B ＝{2016年里约热内卢奥运会的火炬手的体重}，f ：每个火炬手对应自己的体重； ③A ＝{非负实数}，B ＝R ，f ：x →y ＝±x . 其中是A 到B 的映射的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 考点 题点 答案 B解析 ①中，对于A 中元素－1，在f 下无意义，则①不是映射；②中，由于每个火炬手都有唯一的体重，则②是映射；③中，对于A 中元素4，在B 中有两个元素2和－2与之对应，则③不是映射．6．集合A ＝{1,2,3}，B ＝{3,4}，从A 到B 的映射f 满足f (3)＝3，则这样的映射共有( ) A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 考点 题点 答案 B解析 由于要求f (3)＝3，因此只需考虑剩下两个元素的象的问题，总共有如图所示的4种可能．二、填空题7．f ：A →B 是集合A 到集合B 的映射，A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，f ：(x ，y )→(kx ，y ＋b )．若B 中的元素(6,2)在此映射下的原象是(3,1)，那么k ＝________，b ＝______. 考点 题点 答案 2 1解析 由题意⎩⎪⎨⎪⎧ 3k ＝6，b ＋1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝1.8．设a ，b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，b a ，1，N ＝{a ，b ，b －a }，映射f ：x →x 表示把集合M中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b ＝________. 考点 题点 答案 ±1解析 由f ：x →x ，知集合M 中的元素映射到集合N 中没有变化，且N 中只有3个元素，所以M ＝N .又因为M 中－1,1为相反数，所以a ，b ，b －a 这3个元素中有2个互为相反数，分情况讨论，知b ＝0，a ＝±1，所以a ＋b ＝±1.9．设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射f ：A →B 表示把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素2n ＋n ，则在映射f 下，象20的原象是________． 考点 题点 答案 4解析 ∵20＝2n ＋n ，∴n ＝4. 三、解答题10．以下给出的对应是不是从集合A到集合B的映射？(1)集合A＝{P|P是数轴上的点}，集合B＝R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；(2)集合A＝{P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；(3)集合A＝{x|x是三角形}，集合B＝{x|x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；(4)集合A＝{x|x是新华中学的班级}，集合B＝{x|x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生．考点映射的概念题点判断对应是否为映射解(1)按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有唯一的实数与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射．(2)按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有唯一的一个实数对与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射．(3)由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B 的一个映射．(4)新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个，所以这个对应f：A→B不是从集合A到集合B的一个映射．四、探究与拓展11．规定：区间[m，n]的长度为n－m(n≥m)．设A＝[0，t](t≥0)，B＝[a，b](b≥a)，从A到B的映射f：x→y＝2x＋t，象的集合为B，且B比A的长度大5，求实数t的值．考点题点解由于A和B均是数集，则该映射f：x→y是函数，且f(x)＝2x＋t.当x∈A时，f(x)的值域为[f(0)，f(t)]，即[t,3t]，所以B的长度为3t－t＝2t，又A的长度为t－0＝t，则2t－t＝5，解得t＝5.。
一、函数与映射的基本概念
一、函数与映射的基本概念一、基本概念1．函数的定义：设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么就称这样的对应“f :A →B ”为从集合A 到B 的一个函数，记作y =f （x ），x ∈A ，其中x 叫做自变量.x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合C={y|y = f （x ）,x ∈A }叫做函数的值域)(B C ⊆. 函数符号y =f (x )表示“y 是x 的函数”，或简记为f (x )．这里的“f ”即对应法则，它确定了y 与x 的对应关系．从函数概念看，“定义域、值域和对应法则”是构成函数的三个要素，其中，“定义域和对应法则”是两个关键性要素，定义域和对应法则一旦确定，函数的值域也随之确定．2、对应法则是指y 与x 的对应关系，它含有两层意思，一是对应的过程（形式），即由x 求出y 的运算过程，一般体现在函数的解析表达式中；二是运算的结果（本质），即y 的值，两个对应法则是否相同，要看对于同一个自变量的值所得到的函数值是否相同，有时形式上不同的对应法则本质上是相同的。
例如：x x x y x y ++=+=22cos sin 1与的对应法则是相同的。
3、同一个函数两个函数当且仅当定义域和对应法则二者均相同时才表示同一个函数，而值域相同是两函数为同一函数的必要非充分条件．4、变换字母在函数的定义域及对应法则不变的条件下，用不同的字母表示自变量及对应法则，这对于函数本身并无影响，比如f （x ）=x 2+1，g （t ）= t 2+1，都表示同一函数.5、区间及其表示方法．区间是数学中常用的表示数集的术语与符号．设b a R b a <∈,、，规定闭区间: [a ，b ]={}b x a x ≤≤|，开区间:（a ，b ）={}b x a x <<|， 半开半闭区间:（a ，b ]={}b x a x ≤<|，[a ，b ）={}b x a x <≤|． 其中a 、b 分别为区间的左端点、右端点，b -a 为区间长度．符号+∞读作正无穷大，﹣∞读作负无穷大，它们都不是一个具体的数． 用+∞或-∞作为区间的端点，表示无穷区间，并且只能用开区间的形式． 如：{}a x x a >=+∞|),(，{}}|),(b x x b <=-∞，R =+∞-∞),(6．映射的概念：映射是两个集合间的一种特殊的对应关系，即若按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任一元素，在集合B 中都有唯一的元素与之对应，那么这样的对应（包括集合A 、B 和对应法则f ）就叫做集合A 到集合B 的映射，记作f ：A →B ．在映射f ：A →B 中，若A 中元素a 与B 中元素b 对应，则b 叫做a 的象，a 叫做b 的原象．因而，映射可以理解为“使A 中任一元素在B 中都有唯一象”的特殊对应（即单值对应）．如果映射f ：A →B 满足①A 中不同元素在B 中有不同的象；②B 中任一元素均有原象，那么这个映射就是A 到B 上的一一映射．7、映射与函数的关系函数是映射，但映射不一定是函数。
高数1-1映射与函数12121
C { x x 2 3 x 2 0}, 则 A C .
不含任何元素的集合称为空集. (记作 )
2 { x x R , x 1 0} 例如,
规定 空集为任何集合的子集.
表示法： (1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 . 例: 有限集合 A a1 , a2 , , an (2) 描述法： M x x 所具有的特征 例: 整数集合 Z x
a
a
a
0
x
点a的去心的邻域, 记作U (a, ).
U (a, ) {x 0 x a }.
0
a a0 4.绝对值: a a a 0 ab a b ; 运算性质:
( a 0)
x a ( a 0) x a ( a 0)
o
a o
b
x x
区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度. 3.邻域:
设a与是两个实数, 且 0.
数集{ x x a }称为点a的邻域 ,
点a叫做这邻域的中心 , 叫做这邻域的半径.
U (a, ) {x a x a }.
o
x
o
x
(5)绝对值函数
y
x ,x 0 y | x | x, x 0 值域 [0, ) 定义域 R
o
x
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数.
例如,
2 x 1, f ( x) 2 x 1,
x0 x0
y x2 1
恒有 (2) f ( x1 ) f ( x2 ),
则称函数 f ( x )在区间I上是单调减少的 ;
映射知识点总结
映射知识点总结一、概念及基本原理映射是数学中一个非常重要的概念，它指的是将某个集合中的元素通过一个函数对应到另一个集合中的元素的过程。
在数学中，映射通常被称为函数，而两个集合之间的映射关系则被称为函数的定义域和值域。
映射的基本原理是一一对应，即一个元素只能对应到另一个元素，不能对应到多个元素，也不能没有对应的元素。
二、映射的符号表示在数学中，映射一般用函数的符号表示，即f: A → B，其中f表示函数的名称，A表示函数的定义域，B表示函数的值域。
当我们说“f是从集合A到集合B的映射”时，就是指函数f将集合A中的元素映射到集合B中的元素。
三、映射的分类根据映射的函数特性和性质，可以将映射分为多种不同的类型。
常见的映射类型包括：1. 单射：如果函数f：A → B满足对任意的x1、x2∈A，当x1≠x2时，有f(x1)≠f(x2)，则称函数f是单射。
2. 满射：如果函数f：A → B满足对任意的y∈B，存在x∈A使得f(x)=y，即每一个B中的元素都有对应的A中的元素与之对应，则称函数f是满射。
3. 双射：如果函数f：A → B既是单射又是满射，则称函数f是双射。
四、映射的应用映射在实际生活和科学研究中有着广泛的应用。
例如，在工程技术领域，映射常用于描述物理量和控制系统之间的关系；在经济学和管理学领域，映射常用于描述市场供求关系和企业决策模型；在生物学和医学领域，映射常用于描述遗传规律和生理现象等。
其实，映射在数学上的应用是最为丰富和广泛的，几乎贯穿于整个数学领域。
五、映射的相关定理映射作为数学中的一个重要概念，有着许多重要的定理和性质。
其中，最为著名的定理之一就是庞加莱-齐帕多定理。
该定理是解析函数论领域中的一个重要结果，它表明了圆盘上的解析映射具有特殊的性质，可以通过保角映射将圆盘上的问题转化为单位圆上的问题。
六、映射的发展与研究自底加莱-齐帕多定理被提出以来，映射的研究领域得到了很大的发展。
在此基础上，许多数学家提出了各种不同类型的映射和函数，并研究了它们的性质与应用。
大一高数映射知识点汇总
大一高数映射知识点汇总在大一的高等数学课程中，映射是一个重要的概念。
它在数学中有着广泛的应用，并且在不同的领域中都有着重要的作用。
本文将汇总大一高数中与映射相关的各个知识点，以帮助读者全面了解和掌握映射的概念和应用。
定义和基本概念在开始探讨映射的不同方面之前，我们需要了解一些基本的定义和概念。
在数学中，映射可以被定义为一个将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素的规则。
其中，我们称映射的起始集合为定义域，映射的终止集合为值域。
映射通常用符号表示，如f: A → B，表示从集合 A 到集合 B 的映射 f。
映射的分类根据映射的性质和特点，可以将映射分为不同的类型。
以下是几种常见的映射分类：1. 单射：如果映射中的每一个元素都对应不同的元素，则称其为单射，也叫一一映射。
2. 满射：如果映射中的每一个元素都有至少一个元素与之对应，则称其为满射，也叫到上映射。
3. 双射：如果一个映射既是单射又是满射，则称其为双射，也叫一一对应。
4. 非单射：如果一个映射中存在不同的元素对应到相同的元素，则称其为非单射。
5. 非满射：如果一个映射中存在无元素与之对应的元素，则称其为非满射。
映射的性质映射具有一些重要的性质，其对于研究映射的特性和应用至关重要。
以下是映射的一些常见性质：1. 传递性：对于映射f: A → B 和g: B → C，如果 f 和 g 都是映射，那么 f ∘ g 也是映射。
2. 反函数：对于映射f: A → B，如果对于任意的 y ∈ B，存在唯一的 x ∈ A，使得 f(x) = y，则称g: B → A 为 f 的反函数。
3. 复合函数：对于映射f: A → B 和g: B → C，定义 f ∘ g(x) =f(g(x))，其中 x ∈ A，称 f ∘ g 为映射 f 和 g 的复合函数。
4. 逆映射：对于映射f: A → B，如果存在映射g: B → A 使得 f ∘ g = I_B 和 g ∘ f = I_A，其中 I_A 和 I_B 分别是集合 A 和集合 B 上的恒等映射，则称 g 为 f 的逆映射。
反射投射折射映射影射行测区分
反射投射折射映射影射行测区分在数学里，映射是个术语，指两个元素的集之间元素相互“对应”的关系，为名词。
映射，或者射影，在数学及相关的领域经常等同于函数。
基于此，部分映射就相当于部分函数，而完全映射相当于完全函数。
两个非空集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有有唯一的一个元素y与它对应，就这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B。
其中，b 称为元素a在映射f下的象，记作：b=f(a)。
a称为b关于映射f的原象。
集合A中所有元素的象的集合称为映射f的值域，记作f(A)。
或者说，设A,B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。
映射，或者射影，在数学及相关的领域还用于定义函数。
函数是从非空数集到非空数集的映射，而且只能是一对一映射或多对一映射。
映射在不同的领域有很多的名称，它们的本质是相同的。
如函数，算子等等。
这里要说明，函数是两个数集之间的映射，其他的映射并非函数。
一一映射(双射)是映射中特殊的一种，即两集合元素间的唯一对应，通俗来讲就是一个对一个（一对一）。
注意：(1) 对于A中不同的元素，在B中不一定有不同的象；（2）B中每个元素都有原象（即满射），且集合A中不同的元素在集合B中都有不同的象（即单射），则称映射f建立了集合A和集合B之间的一个一一对应关系，也称f是A到B上的一一映射。
成立条件映射的成立条件简单的表述就是：1．定义域的遍历性：X中的每个元素x在映射的值域中都有对应对象2．对应的唯一性：定义域中的一个元素只能与映射值域中的一个元素对应个数关系集合AB的元素个数为m,n，那么，从集合A到集合B的映射的个数为。
以及函数映射、全映射、单映射的区别。
函数是数集到数集映射，并且这个映射是“满”的。
即满映射f: A→B是一个函数，其中原像集A称做函数的定义域，像集B称做函数的值域。
高考数学复习第2章函数导数及其应用第1讲函数与映射的概念
解析：x＝1∈A,x→|x－1|＝0 B,即对集合 A 中元素 1, 在集合 B 中没有元素与之对应.故选 C.
答案：C
(2)(多选)下列四个图象中,是函数图象的是(
解析：由已知得 7＋6x－x2≥0,即x2－6x－7≤0, 解得－1≤x≤7,故函数的定义域为[－1,7]. 答案：[－1,7]
(3)若函数 f(x)＝x＋1 1，则函数 y＝f(f(x))的定义域为 ______________________.
素 了 2.知解,会道映求指射一数的些函概简数念单y.＝函a数x 与的对定数义函域数和y值＝域；决反在连函求2续0数函三11年的数年、概的都2念定考01及义 查2年求域 求、法简,但2单,新也01函课涉3年数标及
logax互为反函数(a＞0, a≠1)
的反函数
设 A,B 是两个非空集合,如果按照某种对应关系 f,对于集
第二章 函数、导数及其应用
第1讲 函数与映射的概念
课标要求
考情风向标
1.通过丰富实例,进一步体会函数是描 述变量之间的依赖关系的重要数学模
对函数概念的理解是学好函 数的关键,函数的概念比较抽
型,在此基础上学习用集合与对应的语 言来刻画函数,体会对应关系在刻画函 数概念中的作用；了解构成函数的要
象,不易理解,应做适量练习, 通过练习弥补理解的缺陷,纠 正理解上的错误.本讲重点解
答案：D
(4)已知函数 f(x),g(x)分别由下表给出：
x
1
2
3
f(x) 1
3
1
x
1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
映射的概念分类及与函数的关系
1.映射：对于非空集合A、B，定义从A到B得对应法则f，
对于A中的每一个元素a，按照法则f的作用，在B中都有唯一的元素b与之对应。
这就叫做从A到B得一个映射。
记作f:A→B。
通常把集合A叫做像集（源像），集合B 叫做像。
为了理解透彻，对其有两点说明：
（1）集合A的遍历性，即集合A中的所有元素都必须参与法则f的作用，也就是说A中没有“剩余”
元素，但是集合B不要求遍历性，B中可以有“剩
余”元素，即B中可以有一部分元素不存在A中
的任何元素与之对应。
（2）对应的唯一性，即对于A中的每一个元素，在法则f作用下，只能对应B中的一个元素，即“一
对一”，如果“一对多”，则不叫做映射，只能叫
做对应。
所以可以说映射是对应的一个子集。
同
时，“多对一”也是映射所允许的，因为它仍满足
唯一性。
2.单射：对于f:A→B，B中的每一个不“剩余”的元素b在
A中只有一个a与之对应。
即除去了“多对一”的情况，但是仍然保留了B中可以有“剩余”元素这一点。
3.满射：集合B中的每一个元素在A中都至少有一个元素与
之对应。
即对A、B都要求遍历性，使B中元素也没有“剩
余”的。
即“满”之意。
当然，也允许“多对一”。
4.双射：既单又满谓之双，即“一一对应”，A、B元素皆遍
历，并除去了“多对一”的情况。
换句话说，映射f:A→B 反过来（即f:B→A）也是映射。
这大概就是“双”的意思吧。
其他的类型则不然，所以双射的约束是最严苛的。
5.函数：是映射的一个子集，通常将A和B限定在数集中（对
实际问题也总能够进行数学建模抽象成数域上的函数），集合A和B分别叫做定义域和值域。
法则f就抽练为函数表达式。
显然，它首先必须是一个满射，即值域不能有“剩余”，如果有了，则它不是函数值，当然集合B就不能叫做值域了。
其次，当函数又满足双射的条件时，自然就是所谓的严格单调函数了，或者说反函数存在（当然，函数的分类有许多种，我这样的说法严格来说是不准确的。
但是对于高中生，一般处理的是一元连续实函数，故可以按此理解）。
需要说明一点，本人的这些定义并不是教材上的数学语言，故希望学子们先按照课本的严格定义学习，有一定基础时再按我说的加深理解。
如有错误与遗漏，敬请大家批评指正并参与讨论。