映射的概念分类及与函数的关系

映射的概念分类及与函数的关系

1.映射：对于非空集合A、B，定义从A到B得对应法则f，

对于A中的每一个元素a，按照法则f的作用，在B中都有唯一的元素b与之对应。这就叫做从A到B得一个映射。记作f:A→B。通常把集合A叫做像集（源像），集合B 叫做像。为了理解透彻，对其有两点说明：

（1）集合A的遍历性，即集合A中的所有元素都必须参与法则f的作用，也就是说A中没有“剩余”

元素，但是集合B不要求遍历性，B中可以有“剩

余”元素，即B中可以有一部分元素不存在A中

的任何元素与之对应。

（2）对应的唯一性，即对于A中的每一个元素，在法则f作用下，只能对应B中的一个元素，即“一

对一”，如果“一对多”，则不叫做映射，只能叫

做对应。所以可以说映射是对应的一个子集。同

时，“多对一”也是映射所允许的，因为它仍满足

唯一性。

2.单射：对于f:A→B，B中的每一个不“剩余”的元素b在

A中只有一个a与之对应。即除去了“多对一”的情况，但是仍然保留了B中可以有“剩余”元素这一点。

3.满射：集合B中的每一个元素在A中都至少有一个元素与

之对应。即对A、B都要求遍历性，使B中元素也没有“剩

余”的。即“满”之意。当然，也允许“多对一”。

4.双射：既单又满谓之双，即“一一对应”，A、B元素皆遍

历，并除去了“多对一”的情况。换句话说，映射f:A→B 反过来（即f:B→A）也是映射。这大概就是“双”的意思吧。其他的类型则不然，所以双射的约束是最严苛的。

5.函数：是映射的一个子集，通常将A和B限定在数集中（对

实际问题也总能够进行数学建模抽象成数域上的函数），集合A和B分别叫做定义域和值域。法则f就抽练为函数表达式。显然，它首先必须是一个满射，即值域不能有“剩余”，如果有了，则它不是函数值，当然集合B就不能叫做值域了。其次，当函数又满足双射的条件时，自然就是所谓的严格单调函数了，或者说反函数存在（当然，函数的分类有许多种，我这样的说法严格来说是不准确的。但是对于高中生，一般处理的是一元连续实函数，故可以按此理解）。

需要说明一点，本人的这些定义并不是教材上的数学语言，故希望学子们先按照课本的严格定义学习，有一定基础时再按我说的加深理解。如有错误与遗漏，敬请大家批评指正并参与讨论