子空间迭代法

与其他方法相比，具有精度高和可靠的优点。

因此，它已成为大型复杂结构振动分析的最有
效的方法之一。
谢 谢！
是选取的s个线性独立的假设振型
s a a1 a2 as
T
A a
a
T T T
1
2

n s
RⅠ ( A) K a M a p
2
矩阵
s维待定系数
a
T
采用取驻值的方法求系数a…
2
n个自由度缩减至s 自由度！

K a p M a 0
其中
、A
2
、 、A
n
而假设的s个线性无关的n维矢量张成一个s 维子空间，
1、 2、 、 s
迭代的功能是使这s个矢量的低阶成分不断地相对放大，即向 张成的子空间 A 1 、 A 2 、 、 A s 靠拢。
子空间迭代法的几何解释
如果只迭代不进行正交化，最后这s个矢量将指向同
i j i j
李兹(Ritz)法是一种缩减系统自由度数的近似方法
矩阵迭代法求第一阶固有频率和主振型
动力矩阵
( M 1 p
2
I)A 0
D M
MA 1 p
2
A
选取某个经过归一化 的假设振型A0
D A 0 a 1 A1
A1 A 0
再以A1为假设振型进行迭代， 并且归一化得到A2 直至 A k A k 1 时停止
比A0含有较强的低
阶振型成分，缩小高阶成分
按李兹法求出 AⅠ
AⅠ ⅠaⅠ
以求出的 AⅠ 作为假设振型进行迭代
Ⅱ MA
Ⅰ
再按李兹法求出 A
AⅡ
Ⅱ
aⅡ
子空间迭代法的几何解释
从几何观点上看，原n阶特征值系统有n个线性无关的特征矢 量，它们之间是正交的，张成一个n维空间。
A
1
K
M




T
T
K
M
李兹（Ritz）法
求出n自由度系统的前s阶主振型 正交性
(a
i i
A
i
a
i
i 1, 2 , , s
) M a
T

j
0 1
i
i j i j
T
(A
) MA
T
j
(a
)
T
பைடு நூலகம்
M a
j
0 1
ak 1 p
2
D A1 a 2 A 2
若A 2 A1 ，则继续 重复上述迭代步骤
D A k 1 a k A k
子空间迭代法
按照李兹法，可假设s个振型且s＞P
A 0 1

2

s
D M
将A0代入动力矩阵中进行迭代，并对 各列阵分别归一化
Ⅰ
M A0

Ⅰ
目的是使
一方向，即A(1)的方向。
由于用李兹法作了正交处理，则这些矢量不断旋转， 最后分别指向前s个特征值的方向。 即由张成的一个s 维子空间，
1、 2、 、 s
经反复地迭代正交化的旋转而逼近于由 所张成的子空间。
A 、A
1
2
、 、A
s
子空间迭代法的优点

可以有效克服由于等固有频率或几个频率非常接 近时收敛速度慢的困难。
多自由度系统的数值计算方法
——子空间迭代法
子空间迭代法
李兹 (Ritz)法
子空间 迭代法
矩阵 迭代法
子空间迭代法对求解自由度数较大系统的较 低的前若干阶固有频率及主振型非常有效。
李兹(Ritz)法
A a1 1 a 2 2 a s s
1 , 2 , , s