大连理工大学《工科数学分析基础》第二章复习.docx

第二章复习

X.l 各类导数的求法

复合函数微分法 包=空更

dx du dx

=arcsin 3 兀-2丫 3x + 2 丿 12 (3兀+ 2

尸

d 3y _ d (d 2y\ _ dtydx 1) _ /^(r) dx It 隐函数微分法1对方程两边求导，要记住y 是兀的函数，则y 的函数是兀的复合函数。

2利用微分形式不变性，在方程两边求微分，然后解出芈

dx

例 3 设方程 xy 2

+ e y

= cos(x + y 2

),求 y'

解法一：y 2

+ 2xyy + e y

y = -sin(% + >,2)(1 + 2y/),

‘3兀-2、

<3x + 2 >

,/\x) = arcsin x 2

,求空

dx A=()

于是

dy dx

3

=(arcsin 1)・ 3 =—龙 x=o 2

参数方程微分法

f

dx dy d y - dt _ /(O d ~y _ x ，(0/(0 一 y\t)x (r) dx _/(/) dx 1

dt

[V(0]3

,英屮f ⑴的三阶导数存在，且f”⑴H 0 ,求乞，

ax dx~ dx

解 dy 二血）二厂⑴+（T （/） -广⑴二£ dx

x\t ） f\t ） d(dy

d 2

y d

■

■

I

dx~ dx

dt\dx) _

1

dt

dx‘ dx

I

dx 1

]

r （t ）

r 3

（o

y 2 +sin(x+ b) 〉

2xy 4- e y + 2j ,

sin(x+ y 2)

解法二：d (xy 2

+ e y

) = d (cos(x + y~))

y 2

dx + 2xydy + e y

dy = -sin(x + y 2

)(clx^2ydy)

[(2xy + e y

+2ysin(x+ y 2

)]dy = -[y 2

+sin(x+ y 2

)]dx

,_

y 2

+sin (兀 + y 2

)

2xy + R + 2ysin(x+)，)

幕指函数的微分法 设 y = w(x)v(x) (w(x) > O,w(x) H1) => y = e v(x,,nM(J)

y 二 /讪“(彳/(x)lnw(%) + y (x)也 |

_

心)」

=u(x)v(x)

v\x) In u(x) + 咻)""

_ U(x)」

例 4 设 y = x a

' + a x

+ x v ,求 y‘

解尸/皿+口严+/呎

X

y = e

(,x ,n

\a x

ln^zlnx + —) +

”夕,nx (1 + In x)In a + /,n

”(心心 i n% + 齐)

X

=x°x a x

(In d In 兀 + —) + a e

(1 + In x)x x

• In a + x x

°+

函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的微分法：

采用对数微分法（即先对式子的两边取口然对数，然后在等式的两端再对x 求导）

解先将表达式写成分式指数幕的形式

2 4 £

y =(兀 一 2尸(兀 + 3)^(3 - 2 兀$ )*1 + x 2 )刁(5 一 3x 3)'5 In y 二 2 ln(x-2) + | ln(x + 3) + 彳 ln(3-2x 2)-|ln(l + x 2)-| ln(5 一 3x 3)

上式两边对x 求导，得

2L = _2_ + _? -------- -- --------- - -- +

—

y x-2

3(兀 + 3) 3(3-2x 2)

3(1+ 〒)5-3x 3

(X + 3)2(3-2X 2)4

(1 + X 2)(5-3X 3

)

2 (兀+ 3)2(3-2 兀2 )4

例5设尸（“后E

U-2)2s

2

2

16x 2x 3x 2 + — — +

兀一 2 3(x + 3) 3(3-2x 2) 3(1+ x 2) 5-3x 3_

分段函数微分法：各区间内的导数求法与一般所讲的导数求法无界，要特別注意的

是分界点处的导数一定要用导数的定义求°例如使用公式/©)=lim "兀)_/(和 及左右 XTXo X

- X (} 导数来求是否可导。

兀 3 sin Y 工 0

例6设0(力=

1

I

,又函数/(兀)可导，求F(x) = f[(p(x)]的导数.

x = O

解 当兀工0时，F'(JC ) = f\(p{x)] 3x 2sin —-xcos —

L x X

当x = Q 时

x.2高阶导数求法

1.直接法：求出所给函数的1〜3阶或4阶导数后，分析所得结果的规律性，从而写出 几

阶导数的方法。

例 1 设 y = e x cosx,求 y in)。

( 龙) cos

x + — 4丿

I

X

V X x)

故 F\x)= <

F(0)Mn/(“)"(°)“n/g )]7(°)

XT° X-0 5

(3 1) f x 3sin- -/(0)

=lim I X

A->0

x-0 x 3 sin —-0 X

3・1) 兀 sin-

兀丿

f lim — t XT O 3 . 1

八

x' sin ——0

x

-/(0) x 3sin —

兀

x

( 1 \

•lim x 2sin — x 丿

/z (0)・ 0 = 0.

解 y = e x cos x - e x sin x = X H(cosx