大连理工大学《工科数学分析基础》第二章复习.docx

第二章复习
X.l 各类导数的求法
复合函数微分法 包=空更
dx du dx
=arcsin 3 兀-2丫 3x + 2 丿 12 (3兀+ 2
尸
d 3y _ d (d 2y\ _ dtydx 1) _ /^(r) dx It 隐函数微分法1对方程两边求导，要记住y 是兀的函数，则y 的函数是兀的复合函数。

2利用微分形式不变性，在方程两边求微分，然后解出芈
dx
例 3 设方程 xy 2
+ e y
= cos(x + y 2
),求 y'
解法一：y 2
+ 2xyy + e y
y = -sin(% + >,2)(1 + 2y/),
‘3兀-2、
<3x + 2 >
,/\x) = arcsin x 2
,求空
dx A=()
于是
dy dx
3
=(arcsin 1)・ 3 =—龙 x=o 2
参数方程微分法
f
dx dy d y - dt _ /(O d ~y _ x ，(0/(0 一 y\t)x (r) dx _/(/) dx 1
dt
[V(0]3
,英屮f ⑴的三阶导数存在，且f”⑴H 0 ,求乞，
ax dx~ dx
解 dy 二血）二厂⑴+（T （/） -广⑴二£ dx
x\t ） f\t ） d(dy
d 2
y d
■
■
I
dx~ dx
dt\dx) _
1
dt
dx‘ dx
I
dx 1
]
r （t ）
r 3
（o
y 2 +sin(x+ b) 〉
2xy 4- e y + 2j ,
sin(x+ y 2)
解法二：d (xy 2
+ e y
) = d (cos(x + y~))
y 2
dx + 2xydy + e y
dy = -sin(x + y 2
)(clx^2ydy)
[(2xy + e y
+2ysin(x+ y 2
)]dy = -[y 2
+sin(x+ y 2
)]dx
,_
y 2
+sin (兀 + y 2
)
2xy + R + 2ysin(x+)，)
幕指函数的微分法 设 y = w(x)v(x) (w(x) > O,w(x) H1) => y = e v(x,,nM(J)
y 二 /讪“(彳/(x)lnw(%) + y (x)也 |
_
心)」
=u(x)v(x)
v\x) In u(x) + 咻)""
_ U(x)」
例 4 设 y = x a
' + a x
+ x v ,求 y‘
解尸/皿+口严+/呎
X
y = e
(,x ,n
\a x
ln^zlnx + —) +
”夕,nx (1 + In x)In a + /,n
”(心心 i n% + 齐)
X
=x°x a x
(In d In 兀 + —) + a e
(1 + In x)x x
• In a + x x
°+</_, (alnx +1)
函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的微分法：
采用对数微分法（即先对式子的两边取口然对数，然后在等式的两端再对x 求导）
解先将表达式写成分式指数幕的形式
2 4 £
y =(兀 一 2尸(兀 + 3)^(3 - 2 兀$ )*1 + x 2 )刁(5 一 3x 3)'5 In y 二 2 ln(x-2) + | ln(x + 3) + 彳 ln(3-2x 2)-|ln(l + x 2)-| ln(5 一 3x 3)
上式两边对x 求导，得
2L = _2_ + _? -------- -- --------- - -- +
—
y x-2
3(兀 + 3) 3(3-2x 2)
3(1+ 〒)5-3x 3
(X + 3)2(3-2X 2)4
(1 + X 2)(5-3X 3
)
2 (兀+ 3)2(3-2 兀2 )4
例5设尸（“后E
U-2)2s
2
2
16x 2x 3x 2 + — — +
兀一 2 3(x + 3) 3(3-2x 2) 3(1+ x 2) 5-3x 3_
分段函数微分法：各区间内的导数求法与一般所讲的导数求法无界，要特別注意的
是分界点处的导数一定要用导数的定义求°例如使用公式/©)=lim "兀)_/(和 及左右 XTXo X
- X (} 导数来求是否可导。

兀 3 sin Y 工 0
例6设0(力=
1
I
,又函数/(兀)可导，求F(x) = f[(p(x)]的导数.
x = O
解 当兀工0时，F'(JC ) = f\(p{x)] 3x 2sin —-xcos —
L x X
当x = Q 时
x.2高阶导数求法
1.直接法：求出所给函数的1〜3阶或4阶导数后，分析所得结果的规律性，从而写出 几
阶导数的方法。

例 1 设 y = e x cosx,求 y in)。

( 龙) cos
x + — 4丿
I
X
V X x)
故 F\x)= <
F(0)Mn/(“)"(°)“n/g )]7(°)
XT° X-0 5
(3 1) f x 3sin- -/(0)
=lim I X
A->0
x-0 x 3 sin —-0 X
3・1) 兀 sin-
兀丿
f lim — t XT O 3 . 1
八
x' sin ——0
x
-/(0) x 3sin —
兀
x
( 1 \
•lim x 2sin — x 丿
/z (0)・ 0 = 0.
解 y = e x cos x - e x sin x = X H(cosx
-e sin x + —
I 4丿
/ 、= (V2)2^v cos x + 2 •—
(兀、cos x + —
I 4丿
y （"）=（Q ）"『cos （x + m^）。

4 2间接法
利用已知的高阶导数公式，通过四则运算，变量代换等方法。

求出给定的函数的n 阶导 数。

（1）分式有理幣数的高阶导数
y ⑷=(x + 3)⑷ + [8(x - 2)_, ](w)-[(x -I)-' ](w)
=0 + (_1)“. 8 • n!(x - 2尸-"- (-1)”祕(兀 一 l)-,_w (n > 2)
（2） rtlcos H 6a,sin w 0均为口然数）的和、差、积所构成的函数的高阶导
数可利用积化和差和差与倍角公式把函数的次数逐次降低，最后变为cosAx,sin 也Z 和、差 形
式，再用公式 sin (/z) kx = k n sin(fcx + n - —),cos (/,)
kx = k n cos(fcr + 77 •—)将给出函数的 n 阶导数写出来。

例 3 ijy = sin 6x + cos 6x,求理。

解 y = (sin 2 x)3 + (cos 2 x)3 = (sin 2 x + cos 2 x)(sin 4 x-sin 2 xcos 2 x + cos 4 x)
=sin 4 x +cos 4 x-sin 2 xcos 2 x = (sin 2 x + cos 2
x)2
-3sin 2 xcos 2 x
1 3 .[ 3 l-cos4兀 5 3 . =l ——snr 2x = I ------------------ = —+ -cos4x
4 4 2 8 8 3 兀、 y {n} = • 4" • cos 4x + /?• o
8 I 2丿
（V2）2 '
Jl\ ( JI e x cos x + 2•— -e x sin 兀+ 2・一 I 4丿
兀、
4J
兀、
(V2)3^A
cos x + 3 • —
例2设『=
— X 2-3X +2
求 y (,,)
兀+3
x~ — 3x + 2
x 3
- 3x 2
+ 2x
3x 2-9x4-6
7x-6 7x-6 A B
----------------------------------- = ---------------------- 1 --------------
(x — 2)(x — 1) x — 2 x — }
_ A(x- l) + B(x-2)
(x-2)(x-l)
7x-6 = A(x-l) + B(x-2)
3x 2 一 2x
y = (x + 3) +
7x-6
(3)利用递推公式求n解导数
例4 设y = , arcsin x ,求y""(0)。

Vl-x2
5 ， X 1 . 1
解y = --------- . arcsin x + ----- ?
* i-x27iZ? 1」
(1 - %2)y - AJ' -1=o
=> (l-x2)y^- 3xy?, - y = 0
=> (1 - x2 )^ - 5x)^ - 4/ = 0
a
i
i
=>(1 -F)严)一⑵7 + \)xy(n) - n2y(n'{) = 0
显然，当x = 0时，
C = 0,〉严=4, ...................
y(T)(O)»2)MT)(0)
y^ = 22=4V,
严=42.22 =42-22-12 =42(2!)2
y ⑺=6— 43• 32 >2242 = 43 (3!)2
故严(0) = 0,严D(0) = 4"(刃)2 。

X. 3洛必达法则
使用洛必达法则求极限时，需要注意两点（1）先检查法则的条件是否具备（2）配合其他求极限的方法，例如化简、分子（或分母）有理化、先求出非零因式的极限、等价无穷小替换（要注意只能在乘积项上替换）等等，以使运算简捷。

n . .. Vl + tanx-Vl + sinx
例1 求lim -------------- ---------- o
xsin^x
XT（）
Jl + tan x-71 +sin x
A7J「
解lim ----------------- .----------
兀TO xsin^x
(1 +tanx)-(l + sinx) 八丁若丫中小
=\m , —/ . ------- —分子有理化
(VI + tanx + A/1 + sin x) xsin^x
=lim tanX ~f inX
• lim / 1 / .
提取极限不为零的因子
go 兀 siir x XTO + tan x + "I + sin x 兀3
1 “ 1 + tan
2 x-cosx — lim ---------- ； ----- 2 go 3兀 2 1 1-cosx 1 tan 2 x =—lim ------- - + — lim ---- — 2心（）3；r 2 心（）3x 2
等价无穷小代换
sinx • 1 ------ sinx =丄lim — 2 5 %3
1sinx .. =—lim ------- lim --------------- 2
牙T0 COS X 牙TO x
1 sin 尢 1 —• 1 • 1 • lim -- =—
2 XTO 2x 4
X.4中值定理
构造出使用中值定理的函数，对证明式变形，并将§换为X,从而得到所使用函数的导 数式，由此构造出所需的函数。

例1已知函数/(兀)在［0, 1］±连续，在(0, 1)内可导。

证明：至少存在一点gw (0, 1), 使得 /*(1) = 3孑/。

分析：将§换为x 得，/⑴=3扌/(兀)+疋/©),而后面的表达式显然为x 3f(x)的 导数。

所以可设F(x) = x 3/U) o
证明设F(x) = x 3f(x),易知该函数在［0,1］上连续，在(0,1)内可导。

从而由拉各朗 口中值定理有
F ⑴ 一 F(0)=尸©(1 - 0) = e (0,1)
9
sec 〜x-cosx
“ tan x-sin x =lim
XT O
=丄恤 9
2 3）3X 2
化简 分离因式
1 -cosx • lim
即/(1) = 3孑/© +孑/毬)。

习题课二
例1求下列函数的导数
(1) y = sin如(兀)+沁x),其中0(兀)、肖(兀)可导；
（2）y = e x2f（x e2）,其中/（况）可导；
⑶y = f{f[fM]},其中/⑷可导。

解（1）# = [sin 7（p1（x） + y/~ （x） ]' = cos7^2W + </2U） •[如⑷ + 以劝丫=cosj0“x） + 02（x）. —, , "• [（p\x） + 才（兀）了
2如（兀）+沁兀）
=cosJe’OO + TO）. —7==! ---------- --- • [2°（x）0（兀）+ 20（兀）
『（兀）]
2 J心）+沁兀）
=如怦X）+ 站（兀）+心）
E +心）7屮屮
o o o 2。

o
⑵ y=[“/*）]‘=（护）w）+”[/（/）]
=/（兀2）了（才2）+訂八/）•（小
=2xe x2 f（x e2） + f（x e2）
（3）y=/{/[/（%）]i•{/t/wir
=/V[/wj}-/vu）]-[/u）r
/V[/W]}-/V（x）]/（x）o
例2设f\x）存在，求lim /（兀+ 心）-/（兀-血）ATT（）A X
解lim “X + 心）一 /（兀一"心）
A YT O
lim Mx + Q心）一/G） + /（兀）一 /（兀一〃心）
AXTO A X
Ax 心T（） Av Hm /（% + 込）-/ （劝 _ lim /（兀-皿）-/（劝心T（）
lim •心+心）7C%_怙用-处）-〃）（」）山T（）a\x山T（）—
b^X
q厂（X）- （-b）f（x） = （a + b）f（x）.
例3 若0（兀）在x = a处连续，/（x）=（x-a）（p（x）,求f\a） o
解由于0（兀）在x = a处连续而不是可导，所以不能直接对f（x）=（x-a）（p（x）运用求导公式，而应按定义来求fS
fXa) = lin/⑴一弘)=lim^^W)-0=恤久尢)=恥)。

XT" X-a XT" X-a XT"
■
曲彳広“、Fsin 一CxHO), ,
例4 设/(x) = < x 求f (x) o
1 (x = 0),
解当x^O时，/（x） = x3sin-为一初等函数,
f\x) = 3x2
si J * ?
X
2 2 • 1 1
=3x sin ——xcos—;
x x
当兀=0时，由于
lim/(x) = limx3sin— = OH /(0),
XT O XT O %
所以/（x）在x = 0处不连续，由此可知/（x）在x = 0处不可导O 例§设心;::叢问"为何值时’加在“°处可导?
解 /（兀）在兀=0处可导的充要条件是在该点处左、右导数存在且相等。

£（0）=恤Kv）7（°）=加+一（1 +叽亦兰二［=2
X—>0 X -V—>0 X X—>0 X
r（0） = lim f（x） - /（0） = lim 血奴一（1 + 盯
A•—>0+X XT O X
要上述极限存在，必须分子的极限为零，即得1+方=0,于是方=-1,此时
仃sin or
A（°）= hm ------ = a.
XT0+
X
由斤（0）=穴（0）,得d = 2,所以当a = Zb = -\时，.f（x）在兀=0处可导。

例6求y = sin4无+ cos・得料阶导数。

解y = sin4x + cos4x = (sin2x + cos2x)2 -2sin2 xcos2x
l<l-cos4x>
目2丿
这时
i Y
sin — + f cos—
= 4cos(4x + 2*y)
所以 y {n) = cos(4x + n-彳).
I_arclan-
z/r d^X
例7设Z —,求齐硬
arc tan —
x
解 讲两边取对数得 ^ln(^2
4-y 2
) = ln5 + arctan
2x — + 2y
两边求导得丄
d
、' ,=—'—
2忒+ *
1 +占
X
dx x
~y~r
7
即冬=q dy 兀+y
d 2x _ d dx dy 2
dy dy
r/r
整理后得(兀+刃竺=兀一歹,
dy
z
dx =、/ 、 / xz dx (、 (3—1)(*+y) — (x —y )(〒 +1)
(x+y)2
用dx = x-y 代入，得 dy x
+ y
d 2
x = 2(x 2
+ /) dy 2
~
(兀 + 刃$
rr
例8求三叶玫瑰线r = asin3&在对应&二一的点处的切线方程。

4
x =厂(&)cos 0-a sin3&cos&
y -厂(&)sin & = asin 3&sin 0
dy _ dO _ 3acos3&sin& + asin3&cos& dx dx 3d cos 3& cos & 一 a sin 3& sin &
d0
j
1
x =—
d 丄切点为
2
dx &上 2
a
4
5
r
切线方程x — 2y +纟=0。

2
例9某人以2m/s 的速度通过一座桥，桥而高处水而20m,在此人正下方有一条小船以
4
-mis 的速度在与桥垂直的方向航行，求5秒后人与小船分离的速度。

3
解 设经过/秒后船与人的距离为$加人行走距离为xm ,船行距离为yw,则
r(r) = x 2(r) + r(r) + 202 o 所建立的方程并不是$与/的直接函数关系，但因为所求的
V = W 且已知知2号号所以可借助于相关变化率来求。

两边对/求导，得2s — = 2x — + 2y^
dt dt dt
例 10 设e v+v - ysinx = 0 ,求心。

解 方程两边取微分，有d(e x+y )-d(ysmx) = Q
即 e x+y
d(x + y) - [sin xdy + yd sin x] = 0,即 e x+y
(dx + dy) 一 [sin xdy + ycosxdx] = 0,
例11设/(兀)在[a.b] ±连续，在(a,b)内可导，证明在(a,b)内存在一点使
/@)=弋_严)成立。

b_E
分析 此题一般用中值定理证，困难在于如何构造辅助函数，将
/'© = /电一严)变形为/©- f(a) = /毬)@-, b_g
即
— ◎ — /© + f(a) = 0.由此式，应构造一个函数F(x),使其满足
尸(兀)=fM(b -x)-f(x) + f(a\ F(a) = F(b)
F\x) = bf(x) - [xf\x) + f{x)] + f(a)=財⑴丫 - [#« + [f(a)x]f
=[hf(x) 一 xf(x) + f(a)xX = [(b -x)(/(x) 一 f(a) + bf(a)X
由此取F(x) = (^-x)[/(x)-/(tz)],显然有F(a) = F(b)«由此再由罗尔定理即得。

例12 设/(兀)在[a,切上连续，在(％)内可导(a>0,b>0)。

求证：方程 f(b)-f(a) = x\n —广(兀)在(a,b)内至少有一个根。

分析 将方程变形为xln - f\x) 一 [/(/?) 一 /(a)] = 0, a
a
x
如果能构造函数F(x),使F(b) = F(a),且
F\x) = ln b fXx)-[f(b)-f(a)]1
a
x
由此可得 F(x) = In -[ /(x) - f(a)] -1 f(b) - /(«)|(ln % - In
则按罗尔定理即可
a
,当 t = 5 时，x = lQ.y = —
3
心+学+ 20—罟，代入上式碍
(10-2 + —上)/ — = —(m/s)o
3 3 3 21
整理后得dy=豐―严dx = e 〉一 sin x
y(cosx-sin x)
(^-l)sinx
dx o
例13 /(x)在[0,1] ±可导，且0V /(兀)<1,在(0,1)内/(x) / 1,证明在(0,1)内有
且仅有一点兀()，使/(x0) = x0 o
证令F(x) = /(x)-x, F(x)在在[O,1J±连续，且F(0) = /(0)-0 = /(0)>0,
F(l) = /(l)-l<0,因此F(0) F(l)<0,
由零点定理，在(0,1)内有一点兀0,使F(x o) = O ,即/(%0) = x0
如果存在兀]，兀0(西MX。

)，使/U1) = x1,/(x0) = x0,不妨设0<兀0<西<1。

则F(x) 在[兀0,西]上满足罗尔定理得条件，故在(兀。

,西)内至少有一点§，使
F© =广©-1 = 0,从而= 1
与所给条件f\x) 1矛盾，所以仅有一点勺使/(兀())=无).
例14设函数于(劝二阶可导，证明
广(力=lim /(兀 * 心)* ‘° -心)-2/(兀) J心T0
(Ar)2
证原式右端是9形未定式，用洛必达法则得到
右端=lim /© + 心)+ /©-心)(-1)
心TO2(心)
=lim l /'(X + Ax) - 广(兀) (兀一A Y)- (兀)
心TO 2 _ Ax Ax
=扣3 +厂(兀)]=厂(兀)
例15设/(Q可导，试证/(Q的两个零点之间一定有/(%) + f(x)的零点。

分析我们需要找到一个F(x)使F(a) = F(b) = 0,其中a,b是f(x)的零点,且F\x)
应能表示成形式/(%) 4- f\x) o由于f\a) = /(/?) = 0 ,所以可设F(x) = w(x) • /(x),则
F(a) = F(b) = 0 o 这时
F\x) = u\x)f(x) + u(x)f\x)
要想使F(x)能表示成形式/(%) + /(%),如果有u\x) = u(x)就行了。

只有一个函数能使 u(x) =
u(x),即几 从而我们可设F(x) = e x
f(x),则在［a 上］上使用罗尔定理即可。

例16在近丽册，…;眉,…中求出最大的一个数.
£
丄
解 设/(x) = X x
,求/(X )= X x
的最大值.
.
丄Inx > 丄Inx 1 — In r — 1 — In r
.
f (x) = (e x
) =e x
------------- 7— =
% v
----- o —；令 / (x) = °,解得 x = e o
x
当0 vxva 时，f\x) > 0 ；当时，f\x) < 0,所以/(x)在x = €取得最大值。

又因为/(兀)可导，且只有一个极值点，所以为最大值。

又2<e<3,因此最大值在血，明 之I'可。

而(V2)6=8,(V3)6=9,知血v 明，所以明为数列屮的最大值。

例17曲线y = lx 6(x>0)上哪一点处的法线在y 轴上的截距最小. 解设丿=丄< 在(兀,刃处的法线方程为 Y -y = k(X-x)f 因为y z = 2x 5,所以£ = 一一,法线方程为 Y-y = --
(X —兀)， 2x'
2r
法线在y 轴上的截距为/? = ^T + |X 6O
求此函数的极值：令// = 0,解得x }=^x 2=-l (舍去)；// = £ + 10/,//(1) = 20>(),
故b ⑴为极小值。

由于驻点唯一，知它即是最小值，因此曲线在点(1丄］处的法线在y 轴上
< 3)
截距最小。

例18讨论方程ln% = ^ (其屮a>0)有几个实根？
解 设f\x) = \nx-ax, xe (0,+oo),则厂(兀)二丄一口，故x =—为f(x)的驻点，且 兀 a 兀v 丄时,f(x) > 0,当兀〉丄时,f(x) < 0,从而/(丄)为最大值,
a a a 当/(-) > 0时，即一 \na-\〉0,亦即0 vgv 丄时，由于 a e
lim f(x) = 一x, lim f(x) = 一^ , A-»0+
XT8
整理后为
2x 5 2x 4
所以此时方程有两个根
当f (丄)=0时，即口 =丄时，此时方程有一个根
a e 当/(-) v0时，即a>-时，方程无根. a e
例19设函数/(兀)在［0,1］上可导，当05兀5 1时，|/(兀)(兀)|52。

证明：当
0<x<lW, | f\x) \< 3.
分析 题目中出现了 /(兀),/©),厂⑴，及点兀=0和x = l,所以可把/(0),/(1)在x 处展成一阶泰勒公式.
证由泰勒公式，有
/(0) = /(x) + r (x)(0 — X )+ 今』(0 —兀)2占在 0 与 X 之间 (1) /(1)=/(兀)+rw (i-x )+广弊(1 -兀)2, §2 在 1 与 x 之间
(2)
由(2) - (1)得 /⑴—/(0) = /3+，胃(1一兀)2-丄字无2 所以
I f(X)|<| /(1)| + | /(0) I +* I 厂 ©) I X 2+|| 厂(匚)I (1 - 兀)2 <2 + X 2+(1-X )2<3
例20设函数/(劝在0,切上二阶可导,f(a) = f(b) = 0,证明：存在 兵(a,b),
4
使 g'E/w
4 1
分析 题目中出现了一阶导数及二阶导数，由于出现了 ab ---------- 二一-— ,所
(b-a)2 fb-a)>2
以我们可以考虑泰勒公式在x = a,x = h,x =
-处的情况。

2
证由泰勒公式，有
由(2) - (1)得
/(字)=/(d)+/'(d)
'a + b )
------ a +
I 2丿
、2
-a
< 2丿
(1)
1广G )
1 2丿
2 1 2丿
(2)
叫加b
2 -
/(/?)-/(a)+ •
=0 令| 厂© |= max{in^）M r（^2）l}，所以有
4 i
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