数学文化9-悖论及其意义

深圳大学综合选修课 程——《数学欣赏》
格：我有三个
问题，请你对 每个问题只用 “Yes”或“No” 回答，不必多 做解释。 姑：嗯。
格：第一个问题是：你愿意如实地
回答我的下面两个问题吗？ 姑：“Yes !” 格： 很好，我的第二个问题是，如
果我的第三个问题是‘你愿意和我 一道吃晚饭吗’，那么，你对这后 两个问题的答案是不是一致的呢？
原理之中还存在着不完善、不准确之处，有待
于数学家们进一步探讨和解决。数学就正是在 这不断发现和解决矛盾的过程中发展起来的。
智慧故事
让她无法说 NO
的约会
一次，美国滑稽大师马 丁.格登纳根据哈佛大学 著名数学教授贝克先生 告诉他的办法，成功地 邀请了一位年轻姑娘一 起吃晚饭。
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第九讲 悖论与三次数学危机
在数学史上，有三次数学危机，每一次都使数学陷
入尴尬的境地，或说是危机的境地。而每一次危机都是 由数学悖论引起的。
悖论, 就是“自相矛盾的论述”,是一种说不明道不 清的“荒谬”理论。悖论的通常形式是:“如果承认某命 题正确,就会推出它是错误的;如果认为它不正确,就会推 出它是正确的。”从而得出不符合排除律的矛盾命题。 即由它的真,可以推出它的假;由它的假,则可推出它的真。 由于严格性被公认为是数学的一个主要特点,因此如果 数学中出现悖论,就会造成对数学可靠性的怀疑。因而 引发人们认识上的危机。因此,在这种情况下,悖论往往 会直接导致“数学危机”的产生。
但是，悖论并非无稽之谈,它在荒诞中蕴含着哲理, 给人以启迪。沿着它所指引的推理思路,可以使你走上 一条貌似正确,在开始时觉得顺理成章,而后又使您在不 知不觉中陷入自相矛盾的泥潭,但经过破译,将会使您感 到回味无穷,并从中启迪思维,提高能力,给您以奇异的美 感。
奥地利学者班格特·汉生(Benguet Hansen)认为,一 些常见的悖论,除了非直接的原因外,其性质就和数学上 的方程没有解一样。在算术中是靠引进新数,扩大数系 来解决的,例如：x+1=0,在正整数系里无解,扩大到有理
的。它们对ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ学及哲学都造成了巨大的影响。
（1） 希伯索斯悖论与第一次数学危机 毕达哥拉斯学派研究数学,把“几何、算术、
天文学、音乐”称为“四艺”,倡导一种“唯数 论”的哲学观,“数”与“和谐”是他们的主要哲 学思想。他们认为,宇宙的本质是数的和谐。一 切事物都必须而且只能通过数学得到解释。他们 坚持的信条是:“宇宙间的开始现象都可归结为整 数或整数的比。”也就是一切现象都可以用有理 数来描述。例如他们认为“任何两条不等的线段, 总有一个最大公度线段。”其求法如图1。
从逻辑上来看,一个陈述不应该有两个或多 个不相容的前提假设,否则就无法进行推理。如 “先有鸡,还是先有蛋?”其中隐含着两个“不言 而喻的假设”:“鸡一定是由蛋孵出来的,而蛋又 一定是鸡生出来的。”单独来看,每个观察似乎 都成立,但合起来却是不相容的。
数学是以严密的逻辑推理为甚础.容不得任 何自相矛盾的命题或结论。悖论破坏了数学的 严密性。它反映了数学科学不是铁板一块,在它 的宏伟大厦中还存在有裂缝，它的一些概念和
姑娘不知如何回答是好。 因为不管她怎样回答第 二个问题，她对第三个 问题的回答都是肯定的。
那次，他们很愉快地在 一起吃了顿很好的晚饭。
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问题2的符号 =问题2的符号 × 问题3的符号 问题3的符号为正
话中套话 = 复合函数
2、 三次数学危机 数学史上所谓的三次危机,都是与悖论有关
的一个重要的语义学悖论，通俗的表述是“我正 在说的这句话是谎话”。此话到底是真是假?如 果此话为真,则就肯定了他所说的这句话确实是 “谎话”；如果此话为假,则又肯定了他说的这句 话是真话。到底他说的是真话是谎话,谁也说不清
（2 ） 上帝全能悖论 这一悖论是针对“上帝是全能的”这一命
题其意义为“全能就是可以办到世界上的任何 事都。请问:上帝能创造出一个对手来击败他自 己吗?”如果说能,则上帝可以被对手击败,并非是 全能的；如果说不能,则说明上帝并非是全能的。 这个悖论的特点是,上帝能肯定一切,也能否定一 切,但他自己也在这一切之中,所以当他否定一切 的时候,同时也就否定了自己。
（3） 理发师悖论 这是罗素(B.A.W.Russell)集合悖论的一
种通俗说法。萨维尔村里的一名理发师,给自 己定了一条店规:“我只给那些自己不给自己
刮胡子的人刮胡子。”那么这位理发师的胡 子该不该由他自己刮?如果理发师的胡子由 他自己刮,则他属于“自己给自己刮胡子的 人”,因此,理发师不应该给自己刮胡子；如 果理发师的胡子不由自己刮,则他属于“自己 不给自己刮胡子的人”。因此,他的胡子可以 由他自己刮。总之,他给自己刮也不是,不刮 也不是。
设两条线段AB、CD(AB>CD),在AB上用圆规从一端 点A起, 连续截取长度为CD的线段,使截取的次数尽可能的 多。若没有剩余,则CD就是最大公度线段。若有剩余, 则 设剩余线段为EB(EB<CD),再在CD上截取次数尽可能多的 EB线段,若没有剩余,则EB就是最大公度线段。若有剩余, 则设为FD(FD<EB),再在EB上连续截取次数尽可能多的 FD线段,如此反复下去。由于作图工具的限制(仅用圆规)
总会出现没有剩余的现象。也即最大公度线段总是可以求 出的。例如图1中, 最后有FD=2GB, 所以GB就是AB和CD 最大公度线段，
故有,即为两个整数之比。即任何两条线段都 可以有最大公度线段,亦即有“可公度比”。
然而就是由毕达哥拉斯学派所发现的毕达哥
数系便有解了。因此悖论的发生常常是与人们在相应的 历史条件下的认识水平有着密切的关系。
由于悖论是与一定的历史条件相联系,是相对 于某个理论体系的,因此,面对悖论,我们应努力去 探寻或建立新的理论,使之既不损害原有理论的精 华,又能消除悖论。因此,客观上,悖论推动了数学 理论的研究与发展。
1 历史上的几个有名悖论 （1） 说谎者悖论 这是公元前4世纪希腊数学家欧几里得提出来