第十章 质心运动定理

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m1下降h时，假设m4向左水平移动S:
m1 x1 m2 x2 m3 x3 m4 x4 m1 m2 m3 m4
m1 x1 S m2 x2 h S m3 x3 h cos S m4 x4 S xC 1 m1 m2 m3 m4
质点系的质心就像一个质点那样运 动，这个质点的质量等于质点系的质量， 而且在这个质点上作用着质点系的所有 外力。
－－质心运动定理
对于刚体系统：
E maC mi aCi Fi
m aC m
2 d rC 2
dt
E Fi
－－质心运动定理
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W2 W3
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解： 3. 质心加速度
Fx
W1
d 2 xC ( W2 2W3 )l 2 sint 2 2( W1 W2 W3 ) dt d yC ( W2 2W3 )l cos t 2 2( W1 W2 W3 ) dt
结论：
1. 质心“像一个质点一样遵循牛顿第二定 理”。 2. 无论刚体（系）、质点系做何形式的运
动，此定理成立。 3. 质心的运动仅与质系的外力有关，与
内力无关。
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根据质心运动定理，某些质点系动力学问题可以 直接用质点动力学理论来解答。如刚体平移。刚 体平移问题完全可以看作为质点问题来求解。
maC m i aC i maCn m i aCN i maCb 0
m aC m
2 d rC 2
特殊情形： E 1、若 Fi 0 则 aC 0 vC const
这表明若作用于质系的所有外力矢量和恒
dt
E Fi
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2 2
Fy
例 2: 电动机重 W1 ，外壳用螺栓固定在基础上，如图 所示。另有一均质杆，长l，重W2，一端固连在电动 机轴上，并与机轴垂直，另一端刚连一重 W3 的小球。 设电动机轴以匀角速 ω 转动，求螺栓和基础作用于 电动机的最大总水平力及铅直力。 4. 质心运动定理
W2 W1
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动力学中约束力 静约束力 动约束力 Fx
Fy
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W2
W1
W3
解：
W2 2W3 2 Fx l sin t 2g
W2 2W3 2 Fy W1 W2 W3 l cost 2g
静反力
附加动反力
Fy
由 xC 1 xC 0
m2 h m3 h cos 得 S m1 m2 m3 m4
例 2: 电动机重 W1 ，外壳用螺栓固定在基础上，如图 所示。另有一均质杆，长 l，重 W2，一端固连在电动 机轴上，并与机轴垂直，另一端刚连一重 W3 的小球。 设电动机轴以匀角速ω转动，求螺栓和基础作用于电 动机的最大总水平力及铅直力。 解： 1.取坐标系Oxy
第十章
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质心运动定理 动量定理
质点运动微分方程：
求解单个质点动力学问题、简单质点系动力学问题 在许多实际问题中，并不需要求出质点系中每个质 点的运动，而只有知道整个质点系运动的某些特征 就够了。因此，本章将建立描述描述整个质点系 运动特征的一些物理量（如动量、动量矩、
aC3 aC2
W2 2W3 2 同理，求得 Fy W1 W2 W3 l cost 2g
例3: 质量m，半径r的均质圆轮在一个力偶作用下， 沿水平面纯滚动。已知某时刻轮上最前点A的加速度 为aA，方向如图。试求：（1）质心的加速度；（2） 圆轮所受摩擦力的大小。
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系统由几个刚体构成，每个刚体质心位置已知，
1. 系统质心如何确定？
2. 质心的速度如何确定？
mrC mi rCi mvC mi vCi mi aCi
maC 3. 质心的加速度如何确定？
在重力场内，质心与重心重合
Wi xi xC W Wi yi yC W Wi zi zC W
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动能等），并建立作用在质点系上的力与这些
物理量的变化率之间的关系，这些关系统称为
动力学普遍定理
动力学普遍定理：
动量定理、动量矩定理、动能定理等
§1 质心运动定理
质点系在力的作用下，其运动状态不但与各质 点的质量有关，而且与质量的分布情况有关。
振动块
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蛙式打夯机
a2
a3 W2 W3
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解：另外一种解法
W1
maCx mi aCix
Fx
Fy
W2 W3 aC 2 sint aC 3 sint g g W2 2W3 2 l sint 2g Fx
质心运动定理的表示方法
直角坐标表示法：
dvC E d 2 xC E ma m F C i maCx m F ix dt dt 2 2 2 d yC vC E E maCy m F Fin iy maCn m 2 dt 2 d zC E E maCz m 2 Fiz maCb 0 Fib dt
解：1运动分析(轮作平面运动)2、质心加速度 n y 以O为基点 a A aO a AO a AO
其中
aO r
a AO
n a AO 2
r, r 2 a / 2 r r 投影方程 x轴 A
y轴
O
aO
n a AO
A aO 600
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质量中心是反映质点系质量分布特征的物理量之
一。
（一）质量中心（质心或惯性中心）
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mi ri rC mi
问题：
mi x i x C mi mi yi yC mi mi z i zC mi
x
3a A / 2 r

2
a AO

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aA
3a A 解得 2r

3 1 aA aO 2r

3a A 2
例3: 质量m，半径r的均质圆轮在一个力偶作用下， 沿水平面纯滚动。已知某时刻轮上最前点A的加速度 为aA，方向如图。试求：（1）质心的加速度；（2） 圆轮所受摩擦力的大小。 解：
为零，则质心作惯性运动。
2、 若
E Fi x
这表明若作用于质系的所有外力在某固定轴
0 则 acx
0 vcx const
上投影的代数和恒为零，则质心速度在该轴上
的投影保持不变。 外力为零速度为常数
这两个结论称为质心运动守恒定理。
问题1：两个相同均质圆盘，初始时刻皆静止于光 滑的桌面上。受大小、方向相同的力作用，但作用 位置不同（如图示），哪个圆盘跑得更快？
W3
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2.任意时刻质心坐标
l W2 sint W3 l sint 2 xC Fx W1 W2 W3 l W2 cos t W3 l cos t 2 yC W1 W2 W3
W2 W1
Fy
例 2: 电动机重 W1 ，外壳用螺栓固定在基础上，如图 所示。另有一均质杆，长 l，重 W2，一端固连在电动 机轴上，并与机轴垂直，另一端刚连一重 W3 的小球。 设电动机轴以匀角速 ω 转动，求螺栓和基础作用于 电动机的最大总水平力及铅直力。
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质心坐标
质心是永远存在，而重心只有在重力场中才存在
（二）质心运动定理 d 2 ri mi 2 Fi 对每个质点 dt2 d ri 求和 mi 2 Fi dt 2 2 2 d d d rC 左边 2 miri 2 mr C m 2 dt dt dt 右边 FiE FiI FiE FiI
F F
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问题2：AB、AC为两相同 B 的均质杆，每根质量为m。 系统初始时刻静止于光 滑的水平桌面，受大小 为F的力作用如图示。问 A点的加速度等于？
A
C
F
例1：图示机构，地面光滑，初始时刻系统静止。 问m1下降h时，m4水平移动多少？ 解： 1.建立坐标系 m 记四个物块的质心初始时刻 m3 坐标分别为x1、 x2、 x3、 x4。 θ o 2.质心运动定理 ∵所有的外力都竖直向下，所以
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系统外部对i 质点的合力
d rC E maC m 2 Fi dt
2
系统内部其它 所有质点对i质 点的合力
m aC m
2 d rC 2
dt
E Fi
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W3
W1 W2 W3 d xC Fx 2 g dt
2
2
Fx Fy
W1 W2 W3 d yC Fy W1 W2 W3 2 g dt
例 2: 电动机重 W1 ，外壳用螺栓固定在基础上，如图 所示。另有一均质杆，长l，重W2，一端固连在电动 机轴上，并与机轴垂直，另一端刚连一重 W3 的小球。 设电动机轴以匀角速 ω 转动，求螺栓和基础作用于 电动机的最大总水平力及铅直力。
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aO
3a A 2
M
2.受力分析
3.质心运动定理
C
aO
mg
FN
maO F
3 F ma A 2
F
练习1： 质量50kg，长度2 2m的均质杆A端搁在光滑水平
质点系的复杂运动总可以看作随同质心的运 动与相对于质心的运动（相对于随同质心平 移的坐标系的运动）两部分合成的结果。应用 质心运动定理求出质心的运动，也就确定了质 点系随同质心的平移。
m aC m
2 d rC 2
dt
E Fi
自然表示法：
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m aC m
2 d rC 2
dt
E Fi
自然表示法：
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质心运动定理的表示方法(刚体)
直角坐标表示法：
maCx m i aCix maCy m i aCiy maCz m i aCiz
y
2
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m4
m1
x
dvCx E 由 maCx m Fix 0 dt 得vCx const 而初始时刻系统静止 vCx 0 dxC 又 vCx 0 xC const dt
例1：图示机构，地面光滑，初始时刻系统静止。 问m1下降h时，m4水平移动多少？ m2 y 解： m3 m1 记四个物块的质心初始时刻 m4 θ x o 坐标分别为x1、 x2、 x3、 x4。 初始时刻质心坐标：xC 0