声学基础第一章-弹性波理论基础1-5(2012年新版)

s
z 2 ds;
据牛顿第二定律，微元dx的y方向运动方程为： Sdx d 2 ( x ,t ) dt
2
EI
4 ( x ,t ) x
4
dx
d 2 ( x, t ) 2 ( x, t ) 小形变条件下，略去高 阶小量有： 2 dt t 2 2 ( x, t ) 4 ( x, t ) S EI 2 t x 4 4 2 ( x, t ) EI 2 ( x, t ) 2 a ; 其中：a 2 4 t x S ！！此式为棒横振动（ 弯曲振动）波动方程。 （ 波的物理量是，是y方向位移；向x方向传播。 是横波。） 注意：它与以前所学波 动方程的差别！ 4阶空间导数。
结论：棒是弯曲波的频 散介质。
3o棒弯曲振动的形式解：
‘ 分离变数法’ 求解： 令， ( x, t ) Y ( x)T (t )；代入棒的弯曲振动波 动方程：
4 2 ( x, t ) 2 ( x, t ) a 2 t x 4
EI ; 其中： a S
2
d 2T (t ) 得： 2T (t ) 0 dt

a
) L cos (

a
) L 1
( 这是超越方程，无解析解）
若 n为方程chx cos x 1的第n个根，则，可得：
1 1.875;
2 4.694;
3 7.855;
4 10.995;
1 n ( n ) ,( n 4 ) 2
a(
S
( z : 距中性面的距离）
x
2 z ds S
EI ； x
(力矩方向：穿出纸面为 正（左示意图）)
其中： I z 2 ds 称作截面 S以o o为轴的转动惯性矩
S
? x
见右示意图：
t an1 t an1
( x) x
1
所以力矩平衡。据此,可以得到微元dx在y方向受力与y方向位移
的关系。
棒弯曲时棒中微元dx：
棒弯曲时，由于形变在 截面上产生的以 o o轴的力矩： z 截面上 ds受力： df（ dsE xx dsE dsE x z） x x 以o o轴的力矩： M zdf（ E x z）

L
) n a(
2
n
L
)
2
EI n 2 ( ) S L
1 1 1.875 2 EI 基频：f1 ( ) 2 2 L S
n a( f2 fn
n
L
)
2
n EI n 2 ( ) ; fn S L 2
n 2 ( ) f1 1
x x
( x) （ 小形变条件） x x x
( x) t an( 2 ) t an 2 x 2 ( x) x
( x) ; t an( 2 ) x x x dx
x x dx
( 小形变条件）
x x dx
4 2



Y ( x) C1e
( )x a

C2 e
( )x a

C3 e
j ( )x a

C4 e
j ( )x a

Ach( ( ) x) Bsh( ( ) x) C cos( ( ) x) D sin( ( ) x) a a a a
T (t )Y ( x) a cos(t )Y ( x)
a cos(t ){Ach( ( ) x) Bsh( ( ) x) C cos( ( ) x) a a a D sin( ( ) x)} a
( x, t ) Y ( x)T (t )

{ A ch( ( ) x) B sh ( ( ) x) C cos( ( ) x) a a a D sin( ( ) x)}cos(t ) a 其中， A , B , C , D , 由边条件和初条件确定 。 初条件 : ( x, t ) t 0 f ( x); d ( x , t ) g ( x) dt t 0
又，由于dx微元段左右两个截面受相邻棒体的y方向力F ( x )作用， 产生以o” o”为轴的力矩（如图）
合力矩为：M ’ F ( x dx ) F ( x )dx
dx dx dx dx F( x ) （F ( x） F ( x） ) F( x ) 2 2 2 2 ( 略去二阶小量, )
由于dx微元段并没有旋转；所以，dx微元形变产生的力矩M 与相邻棒体的y方向作用力F ( x )产生的力矩M ’ 之和为0； 在dx 0时，o o轴o’ o’ 轴及o” o”轴合为同轴，有：
M M ’ 0
EI 3 ( x ) x
3
dx F ( x )dx 0 F ( x ) EI
1 2
( x) x

x x
( x) x
x x dx
1 ( x) { x x x
x x
( x) x
2 ( x) } x 2 x x dx
综上，dx 0时，得到由于y方向位移形变 ( x )，在棒的x处截面上
3 ( x ) x 3
这样，得到了棒中x处y方向位移 ( x )与y方向力F ( x )的关系。
下面推导细棒弯曲振动位移函数 ( x )的波动方程：
微元dx的y方向受力： F ( x ) 4 ( x ,t ) f y F ( x dx ) F ( x ) dx EI dx 4 x x 其中：E ,棒的杨氏模量； I ,棒截面与中性面相交的直线为轴的转动惯性矩: I
2o棒弯曲振动的波动特性：
棒的弯曲振动位移波动 方程 :
4 2 ( x, t ) ( x, t ) 2 a t 2 x 4
记作方程 (*); 其中： a 2
EI S
令， ( x, t ) A cos(t kx )； 2 ( x, t ) 得： 2 2 A cos(t kx ) t 4 ( x, t ) 4 k A cos(t kx ) 4 x 代入方程 (*) 中，得 k关系式： 2 a 2 k 4 dx 棒弯曲波的位移相速度 ：c p a dt (t kx ) 常数 k
EI ; 其中：a S
2
边条件： x 0端嵌定 : Y ( x ) x 0 0; x L端自由 : d 3Y ( x ) dx
3 xL
dY( x ) dx
0
x 0
0;
d 2Y ( x ) dx
2 xL
0
方程形式解：
( x ,t ) Y ( x )T ( t )

a
) L } B { sh ( ) L } B { ch (

a
) L sin ( ) L cos (

a
)L } 0 )L } 0

a

a

a

a
A , B 不同时为0的充要条件： { ch ( { sh (

a
) L cos ( ) L sin (

a


{ A ch( (

a
) x ) B sh( (

a
) x ) C cos( (

a
)x )
D sin( (

a
) x )} cos(t ) B D 0
代入边条件得：A C 0; A { ch ( A { sh (

a
) L cos ( ) L sin (




4o棒弯曲振动的边界条件类型：
( 1 )端点嵌定 （夹死不动） ; 位移为0; 位移曲线的斜率为 0: Y ( x ) x 端点 0; ( 2 )端点自由; 力为0; 力矩为0 : d 3Y ( x ) dx
3 x 端点
dY( x ) dx
0
x 端点
0;
d 2Y ( x ) dx
1－5
弹性体振动问题之二：均匀弹性细棒的弯曲振动
弯曲振动：棒中质点位移垂直与棒的长度方向。 1o棒弯曲振动的波动方程：
棒中取微元，建立y方向运动方程。
为此，要求出y方向受力 F ( x, t ) 与y方向位移 ( x, t ) 的关系。 思路：棒弯曲时棒中微元dx在y方向位移形变产生的力矩与微元 两端所受 y 方向力产生的力矩之和为零 --- 因为微元 dx 没有旋转，
)L } )L }
{ sh ( { ch (
2 2

a
) L sin ( ) L cos (

a
)L } 0 )L }

a

a

a

a
2
{ ch (

a
) L cБайду номын сангаасs (

a
) L } { sh
(

a
) L sin
(

a
)L }
（ sin2 x cos2 x 1; ch 2 x sh2 x 1 ) ch (
(是分离变数得到的常数 ，与 x, t无关)
T (t ) B1 cost B2 sin t a cos(t ) d 4Y ( x) 2 ( ) Y ( x) 0; 4 dx a
本征方程： ( ) 0； 本征值： 1， )；3， ) 2 ( 4 j ( a a a
2 ( x ) 以o o为轴的力矩：M ( x ) EI EI x x 2
棒中dx微元段左右两个截面均有力矩； ( 见图 ) 又，由于dx 0时，o o轴与o' o' 轴趋于相同 由于y方向位移形变 ( x )，dx微元段的净力矩为： M ( x ) 3 ( x ) M M ( x ) M ( x dx ) dx EI dx 3 x x
f3
2 2 ( ) 6.267; f1 1 4 2 ( ) 34.387; f1 1
3 2 ( ) 17.548 f1 1
(n
f4
1 ) fn 2 ( n )2 ( )2 f1 1 1.875
结论：细棒自由弯曲振动，泛音频率不是基频的谐音频率；
基频与相邻泛音频率间隔较大。
2 x 端点
0
( 3 )端点简支 （未夹死） ; 位移为0; 力矩为0 : Y ( x ) x 端点 0; d 2Y ( x ) dx
2 x 端点
0
5o棒弯曲振动求解举例 一端自由，另一端嵌定的细棒自由弯曲振动：
棒的弯曲振动波动方程： 2( x ,t ) t
2
a
2
4 ( x ,t ) x 4