正态总体均值方差区间估计

X
③ μ的1-α置信区间:
( X t / 2 ( n 1 ) S n , X t / 2 ( n 1 ) S n )
1-α
例1 设正态总体的方差为1, 根据取自该总体的容 量为100的样本计算得到样本均值为5, 求总体均 值的置信度为0.95的置信区间.
解 已知σ2=1, α=0.05, μ的1-α置信区间：
四. 区间估计
譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若 我们根据一个实际样本，得到鱼数的极大 似然估计为1000条. 湖中鱼数的真值
ˆ 1
[
]
ˆ 2
ˆ ˆ } 1 P{ 1 2
1. 区间估计定义： 设 是 一个待估参数，给定 0, 若由样本X1,X2,…Xn确定的两个统计量 ˆ ˆ ( X , X ,, X ), ˆ ˆ ( X , X ,, X ) 1 1 1 2 n 2 2 1 2 n (ˆ1 ˆ2 ) 满足
ˆ ˆ } 1 P{ 1 2
ˆ ,ˆ ]是 的置信水平（置信度、 则称区间 [ 1 2
置信概率）为 1 的置信区间. ˆ1和ˆ2 分别称为置信下限和置信上限.
两个要求：
ˆ ,ˆ ] 1. 要求 以很大的可能被包含在区间 [ 1 2 ˆ ˆ } 要尽可能大. 内，就是说，概率P{ 1 2
对给定的置信水平1 , 查正态分布表得 Z 2 ,
[ ( z ) 1 ] 2 2
φ(x)

α/2
-zα/2 zα/2
α/2
X
使
P{| X

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n
| Z 2 } 1
1-α
由
P{|
X


n
n
| Z 2 } 1
从中解得
P{ X Z 2 X
1. 明确问题, 是求什么参数的置信区间? 置信水平 1 是多少? 2. 寻找参数 的一个良好的点估计 T (X1,X2,…Xn) 3. 寻找一个待估参数 和估计量T的函数 只能含有 S(T, ),且其分布为已知. 待估参数 称S(T, )为枢轴量.
4. 对于给定的置信水平1 ，根据S(T, ) 的分布，确定常数a, b，使得 P(a<S(T, )<b)= 1 5. 对“a≤S(T, )≤b”作等价变形,得到如下 形式: ˆ ˆ } 1 P{ 1 2
n t ( n 1) 2.1315 计算：x 503.75, s 6.2022 查表：
查表：( z ) 1 , z 1.96 2 2 2
( X z , X z ) n n 2 2
(4.804, 5.196)
μ的1-α置信区间:
例 2 有一大批糖果 . 现从中随机地取 16 袋 , 称得重量 (单位: 克)如下： 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496 假设袋装糖果的重量近似服从正态分布, 求平均重量 的区间估计, 置信系数是0.95. 解 未知σ2, α=0.05,求 μ的1-α置信区间:
误差限 .
2. 根据置信水平1 ，找一个正数 ，
ˆ | 可以解出 ： 3. 由不等式 |
ˆ ˆ
2 例1 设X1,…Xn是取自N ( , 2 )的样本， 已知,
求参数 的置信水平为1 的置信区间. 解： 选 的点估计为X
ˆ , ˆ ) 就是 的100(1 )％的置信区间. 则 ( 1 2
第五节 正态总体均值与方差的区间估计
一、单个总体的情况 1.均值的置信区间 2.方差的置信区间
二、两个总体的情况 1.两个总体均值差的置信区间 2.两个总体方差比的置信区间
一、单个正态总体数学期望的区间估计 设总体X~N(μ,σ2), X1,X2,…,Xn 为一组样本， (1) σ2已知, 求μ的置信度为1-α置信区间

n
Z 2 } 1
于是所求 的 置信区间为
(X

n
Z 2 , X

n
Z 2 )
注意 置信区间不是唯一的.对于同一个置信度,可以
有不同的置信区间.置信度相同时,当然置信区间越短越 好.一般来说,置信区间取成概率对称区间.
从例1解题的过程，我们归纳出求置 信区间的一般步骤如下:
X ①从点估计着手构造枢轴量: Z / n
~ N ( 0 ,1 )
② 构造Z的 一个1-α区间:
P{|
X
③ μ的1-α置信区间:
( X z , X z ) n n 2 2

n
| Z 2 } 1
(2)σ2未知,求μ的置信度为1-α置信区间
X ①从点估计着手构造枢轴变量: T ~ t( n 1 ) S/ n
取 Z
寻找未知参数的 明确问题,是求什么参数的置信区间 ? 一个良好估计. 置信水平是多少？ X

n
~N(0, 1)
寻找一个待估参数和 估计量的函数 ，要求 其分布为已知.
有了分布，就可以求出 U取值于任意区间的概率.
对于给定的置信水平(大概率), 根据U的分布， 确定一个区间, 使得U取值于该区间的概率为 置信水平.
② 构造T的 一个1-α区间: P(| T | t / 2 (n 1)) 1
P{ X t / 2 ( n 1 ) X t / 2 ( n 1 ) S n S n
f(x)
α/2
t /2 (n 1)
α/2
t / 2 ( n 1 )
} 1
即要求估计尽量可靠.
2. 估计的精度要尽可能的高. 如要求区间 长度 ˆ2 ˆ1 尽可能短，或能体现该要求的其 它准则. 可靠度与精度是一对矛盾， 一般是在保证可靠度的条件下 尽可能提高精度
2. 寻找置信区间的方法
ˆ， 1. 选取未知参数的某个估计量
使得
ˆ | } 1 P{|