长春理工大学量子力学考试题

2002级量子力学期末考试试题和答案

A 卷

一、简答与证明：（共25分）

1、什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。（4分）

2、什么样的状态是定态，其性质是什么？（6分）

3、全同费米子的波函数有什么特点？并写出两个费米子组成的全同粒子体系的波函数。（4分）

4、证明

是厄密算符（5分）

5、简述测不准关系的主要内容，并写出坐标和动量

之间的测不准关系。

（6分）

二、（15分）已知厄密算符，满足，且，求

1、在A 表象中算符、的矩阵表示；

2、在B 表象中算符的本征值和本征函数；

3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵S 。 三、（15分）设氢原子在时处于状态

，求

1、时氢原子的、和的取值几率和平均值；

2、时体系的波函数，并给出此时体系的、和的取值几率和平均值。

四、（15分）考虑一个三维状态空间的问题，在取定的一组正交基下哈密顿算符

由下面的矩阵给出

这里，，是一个常数，，用微扰公式求能量至二级修正值，并与精确解相比较。 五、（10分）令

，

，分别求和作用于的本征态

和的结果，并根据所得的结果说明和的重要性是什

么？

)

ˆˆ(2

2x x p x x p i -x x p

ˆB A ˆ,ˆ1

ˆˆ22==B A 0ˆˆˆˆ=+A B B A A ˆB ˆA ˆ

0=t ),()(21

),()(21),()(21)0,(112110311021ϕθϕθϕθψ-+-=

Y r R Y r R Y r R r 0=t E 2

L ˆz L ˆ0>t E 2

L ˆz L ˆ⎪⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=C C C H 000000200030001ˆH H H

'+=ˆˆˆ)0(C 1<

x iS S S +=+y

x iS S S -=-+S -S z S ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+0121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1021

+S -S

一、1、描写自由粒子的平面波称为德布罗意波；其表达式：

2、定态：定态是能量取确定值的状态。性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变。

3、全同费米子的波函数是反对称波函数。两个费米子组成的全同粒子体系的波函数为：

。

4、=，因为是厄密算符，所以是厄密算符。

5、设和的对易关系，是一个算符或普通的数。以、和依次表示、和在态中的平均值，令，，

则有

，这个关系式称为测不准关系。 坐标和动量之间的测不准关系为：

二、解1、由于，所以算符的本征值是，因为在A 表象中，算符的矩阵是对角矩阵，所以，在A 表象中算符的矩阵是：

设在A 表象中算符的矩阵是，利用得：

；由于，所以，

；由于是厄密算符，，

令，其中为任意实常数，得在A 表象中的矩阵表示式为：

2、类似地，可求出在B 表象中算符的矩阵表示为：

在B 表象中算符的本征方程为：，即)(Et r p i Ae -⋅=

ψ[])()()()(21

12212211q q q q A ϕϕϕϕφ-=

)ˆˆ(22x x p x x p i -x x x x x x p p x p i x p p i x p i ˆ2ˆ],ˆ[],ˆ[ˆ],ˆ[2

=+=x p

ˆ)

ˆˆ(2

2x x p x x p i -F ˆG ˆk ˆi F ˆG ˆG ˆF ˆ=-k F G k F ˆG ˆk ψF F ˆF ˆ-=∆G G ˆG ˆ-=∆4222k )G ˆ()F ˆ(≥

⋅∆∆x x p

ˆ2ˆ

≥∆⋅∆x p

x 1ˆ2=A A ˆ1±A

ˆ

A ˆ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001)(ˆA A

B ˆ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22211211)(ˆb b b b A B 0ˆˆˆˆ=+A B B A 02211==b b 1ˆ2=B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛002112b b ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛002112b b 100122121

12=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b b b b 21121b b =∴B ˆB B ˆˆ=+∴⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01

12

12b b ⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛

=010*

12*12b b *

12121

b b =∴δ

i e b =12δB ˆ⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛=-00)(ˆδδi i e

e A B A ˆ⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=-00)(ˆδ

δi i e e B A A ˆ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛-βαλβαδδ00i i e e ⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-βαλαβδδi i e e ⇒

和不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即

对有：

，对有：

所以，在B 表象中算符的本征值是，本征函数为

和

3、类似地，在A 表象中算符的本征值是，本征函数为

和

从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵就是将算符在A 表象中的本征函数按列排成的矩阵，即

三、解：已知氢原子的本征解为：

，将向氢原子的本征态展开，

1、=，不为零的展开系数只有三个，即

，

，，显然，题中所给的状态并未归一化，容易求出归一化常数为：，于是归一化的展开系数为：

，，

（1）能量的取值几率

，，

平均值为：

（2）取值几率只有：

，平均值 ⎩⎨⎧=-=+--00λβαβλαδ

δi i e e αβ0

=---λ

λδ

δi i e

e ⇒012

=-λ1±=∴λ1=λ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=

+

1

21δ

ϕi A

e 1-=λ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-121δϕi A e A ˆ

1±⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛121δi e ⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛-121δi e B ˆ

1±⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛121δi e ⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛-121δi e B

ˆ⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-=

-11

21δδ

i i e e S )

3,2,1(1

22

02 =-=n n a e E s n ),()(),,(ϕθϕθφlm nl nlm Y r R r =)0,(r ψ)0,(r ψ∑nlm

nlm nlm r c )

,,()0(ϕθφ21

)0(210=c 21)0(310-=c 21)0(1

21=-c 54

51

5421)0(210=

=

c 52542

1)0(310-=-=c 525

4

2

1

)0(121==-c 535251)0,(2=+=

E W 52)0,(3=E W 3

252

53E E E +=2L ˆ1)0,2(2

= W 222ˆ =L