几何概型例题分析及习题(含答案)

几何概型例题分析及练习题(含答案)

［例1］甲、乙两人约定在下午 4:00~5:00间在某地相见他们约好当其中一人先到后一定要等 另一

人15分钟，若另一人仍不到则可以离去，试求这人能相见的概率。

解：设x 为甲到达时间，y 为乙到达时间.建立坐标系，如图|x — y|乞15时可相见，即阴 60 -

452

7

影部分P

2 602

1 2

1 ［例3］将长为1的棒任意地折成三段，求三段的长度都不超过

的概率。

2

解：设第一段的长度为x ,第二段的长度为y ,第三段的长度为1-x -y ，则基本事件 组所对应的

几何区域可表示为

门二{(x, y) |0 ::: x :: 1,0 ：：： y ：：： 1,0 ：：： x • y ：：： 1}，即图中黄色区域，

此区域面积为

［例2］设A 为圆周上一定

点, 率。

在圆周上等可能任取一点与

A 连接，求弦长超过半径,2倍的概

c

f BCD P =-

圆周

1

事件“三段的长度都不超过

丄”所对应的几何区域可表示为

2 1

1

1 A ={(x, y)| (x, yb 11，x , y ,1 — x — y }

2 2

2

=

1

8

1

丄”的概率为P 二直

2 1

2

即图中最中间三角形区域，此区域面积为

此时事件“三段的长度都不超过

2 • -(-)2

2 2

解：| AB |=| AC 匸..2R .

y=-15

x-y=15

15 0

60

1

2

［例4］两对讲机持有者张三、李四，为卡尔货运公司工作，他们对讲机的接收范围是25km，

X i x 2 _ -a 0 X 2 = b 0

解： （2）

（1）利用计算器产生 0 变换 a = a ! ” 2 _ 1 , (3) 从中数出满足条件 b

至1区间两组随机数a 1,b 1 b = b - ” 2 -1 1 2

a 且a . 0且

b 0的数m 4

c ：

解法1：记 ABC 的三内角分别为 形”，则试验的全部结果组成集合

$

11

=｛「， ）0 J , :: ,0 J

因为ABC 是锐角三角形的条件是

n ， 3T

n

JI

0 ,

且二川：—

2 2

所以事件A 构成集合

A=｛（「）|

,0 (2)

由图2可知，所求概率为

A 、

B 、C,求 AB

C 是锐角三角形的概率。

，事件A 表示“ ABC 是锐角三角

p A 的面积=

0的面积

12 —JL

2

解法2 :如图3所示建立平面直角坐标系，

A 、

B

C 1、C 2为单位圆与坐标轴的交点，

当UABC 为锐角三角形，记为事件 A 。则当C 点在劣弧CC 2上运动时， ABC 即为锐角三

下午3： 00张三在基地正东30km 内部处，向基地行驶，李四在基地正北 40km 内部处,

向基地行驶，试问下午 3： 00,他们可以交谈的概率。

解：设x, y 为张三、李四与基地的距离 x • ［0,30］，y ［0,40］，以基地为原点建立坐 标系•他们构成实数对（x, y ），表示区域总面积为1200,可以交谈即x 2 • y 2乞25

丄兀252

故 P = 4 -------

1200

192

［例5］在区间［-1,1］上任取两数a,b ，运用随机模拟方法求二次方程

为正数的概率。

A

25 二

2

x ax 0两根均

(4)

i m P

（n 为总组

o

角形，即事件A 发生，所以

1 —x 2n d

P(A^1__U

4

解决问题的关键是要构造出随机事件对应的几何图形, 的概率。

［例7］将长为L 的木棒随机的折成 3段，求3段构成三角形的概率.

解：设M = “3段构成三角形” .x y 分别表示其中两段的长度，则第三段的长度为

L —x — y •门-\(x y)| 0 :： x :： L,0 :： y ：： L,0 ：： x y ：： L”‘.

(1 )构造出此随机事件对应的几何图形; (2)利用该图形求事件 A 的概率.

解：(1)如图2所示，构造单位正方体为事件空间 门，正方体以0为球心，以1为半径

1

在第一卦限的 丄球即为事件 A •

8

利用图形的几何度量来求随机事件

由题意，x , y, L -x -y 要构成三角形,

1

须有 x y .L —x — y ，即 x y

2

x (L - x - y) y ，即 y ：. — ; y (L

2

_X _ y) x ,

故 M = (x, y) | x ■ y L ,

I

2

L y ::

如图 1 所示

,可

1『L —•—

2辽

=工 2

［例8］在区间［0,1］上任取三个实数 x ,

M 的面积 P(M)

=而面积 求概率为

2 2 2

y, z ，事件 A ={(x , y , z)| x y z :: 1} •

L