北邮运筹学3-3表上作业法

8
4 7
6
3 4
7
45 5 25 8
销 量
60
30
10
100
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§3.3 表上作业法
Transportation Simplex Method
Ch3 Transportation Problem
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【解】
产地 销地
B1 20
B2
B3 10
可发量
x12 , x13 , x14 , x23 , x31 , x32
的变量恰好是3+4－1=6个且不包含闭回路，
是一组基变量，其余标有符号×的变量是非基变量，
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§3.3 表上作业法
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然后再在剩下的运价中取最小运价对应的变量赋值并满足约束，依 次下去，直到最后一个初始基可行解。
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【例3】求表3－6所示的运输问题的初始基可行解。 表3－6 销地 B1 B2 B3 产地 产量 A1 A2 A3 30
A1
A2 A3
8
15 4 25 7
6
30 3 4
7
5 8
20 0 30 15 0 45 0 25
未满足 量
60 45 20 0
30 0
10 0
100
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3.3.1初始基可行解
1.最小元素法 最小元素法的思想是就近优先运送，即最小运价Cij对 应的变量xij优先赋值
xij min ai , b j
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【解】 B1 A1 A2 A3 bj B2 B3 0 1 B4
表3－8 ai 6 7 4 9 20
× 3
7 ×
11
7 × 6 2 6
Leabharlann Baidu
4 4
3 10 5 ×
4
× 8 × 6 6
3
1 3
在x12、x22、x33、x34中任选一个变量作为基变量，例如选x12
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2．运费差额法（Vogel近似法）最小元素法只考虑了局部运输费用 最小，对整个产销系统的总运输费用来说可能离最优值较远。有时 为了节省某一处的运费，而在其它处可能运费很大。运费差额法对 最小元素法进行了改进，考虑到产地到销地的最小运价和次小运价 之间的差额，如果差额很大，就选最小运价先调运，否则会增加总 运费。例如下面两种运输方案，
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【例4】求表3－7给出的运输问题的初始基本可行解。 表3－7 B1 B2 B3 B4 ai
A1
A2 A3
7
3 7 11 7 4 3 4 4 8 9
1 3
2 6
10 5
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6 6 20
bj
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初始基本可行解可用下列矩阵表示
0 1 6 4 3 6
表3－8中，标有符号
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基于以上想法，运费差额法求初始基本可行解的步骤是： 第 一 步 ： 求 出 每 行 次 小 运 价 与 最 小 运 价 之 差 ， 记 为 ui ， i=1,2,…,m；同时求出每列次小运价与最小运价之差，记为vj，j=1， 2，…，n； 第二步：找出所有行、列差额的最大值，即L=max{ui ， vi}，差额 L 对应行或列的最小运价处优先调运；
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x
i 1
ij
xij 0,
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表上作业法也称为运输单纯形法，是直接在运价表上求最优解的一 种方法，它的步骤是： 第一步：求初始基行可行解（初始调运方案），常用的方法有最 小元素法、元素差额法（Vogel近似法）、左上角法。
第二步：求检验数并判断是否得到最优解，常用求检验的方法有 闭回路法和位势法，当非基变量的检验数λij全都非负时得到最优解， 若存在检验数λlk<0，说明还没有达到最优，转第三步。 第三步：调整运量，即换基，选一个变量出基，对原运量进行调 整得到新的基可行解，转入第二步。
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§3.3 表上作业法
810 5 10 C 5 15 2 1 20
15 15
8 510 10 C 15 5 1 20 2
15 15
前一种按最小元素法求得，总运费是 Z1=10×8+5×2+15×1=105 ， 后一种方案考虑到C11与C21之间的差额是8－2=6，如果不先调运x21， 到后来就有可能x11≠0，这样会使总运费增加较大，从而先调运x21， 再是x22，其次是x12这时总运费 Z2=10× 5+15×2+5×1=85<Z1。 北京邮电大学 运筹学
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设平衡运输问题的数学模型为：
min z
i 1
m
c x
j 1
n
ij ij
x
j 1 m
n
ij
ai bj
i 1, , m j 1, , n i 1, , m; j 1, , n