不等式证明中辅助函数的构造方法与技巧

大庆师范学院

本科生毕业论文

不等式证明中辅助函数的构造方法与技巧

学院教师教育学院

专业数学与应用数学

研究方向数学教育

学生姓名刘雨琳

学号201101051311

指导教师姓名李秀丽

指导教师职称副教授

2015年5月25日

摘要

不等式的证明问题是高等数学学习中一类很重要的问题，有些不等式的证明问题可以运用我们所学的基础知识直接解决，但有些不等式成立需要借助于构造辅助函数，构造辅助函数证明不等式成立的方法有很多。本文简单介绍了几种在证明不等式时可以运用的构造辅助函数的方法和技巧，并且给出了在常见的几种不等式类型中这些方法的应用，主要就是通过构造出适合的辅助函数，将复杂的问题转变为基础的、简单的问题，提高解题的效率。

关键词：不等式；构造；辅助函数；方法；技巧；

Abstract

Proving inequalities is a class of very important problems in learning Higher Mathematics. The proof of some inequalities can be solved directly using what we have learned the basic knowledge , but some inequalities can be established by constructing an auxiliary function , constructing an auxiliary function that inequality into the established method has much . This article simply introduces the methods and skills of several in proving inequalities can be used to construct the auxiliary function , and gives the application of these methods in several common types of inequality , mainly is by constructing a suitable auxiliary function , transformation of the complex issues as basis , a simple problem , improve their problem solving efficiency .

Keywords: inequality; structure; auxiliary function; methods; techniques;

目录

第一章前言 (1)

第二章几种构造辅助函数的方法与技巧 (2)

2.1利用单调性法 (2)

2.2参数变易法 (3)

2.3变形法 (4)

2.4利用凸函数定义 (5)

2.5利用詹森不等式 (6)

2.6借助中值定理 (7)

第三章构造辅助函数证明几类常见不等式 (9)

3.1一般不等式的证明 (9)

3.2含积分符号的不等式的证明 (10)

3.3含微分符号的不等式的证明 (11)

第四章总结 (12)

参考文献 (13)

第一章前言

不等式证明是数学中一类十分重要的问题，它可以运用到许多相关的知识，比如函数的性质，微积分等。

关于不等式证明问题有许多的方法，如反证法、换元法、数学归纳法、构造法等，这些方法都具有很强的技巧性，做题时找出最适合的方法可以事半功倍。在解决不等式证明问题的过程当中，我们更多的采取借助构造辅助函数的方法，将函数与不等式结合起来，构造出恰当的辅助函数，再利用函数的基本性质，将问题变得简单化。

掌握构造辅助函数的方法对我们提高解决问题的效率、灵活运用函数与不等式的关系有着重要的意义。那么，如何构造出适合的辅助函数，需要怎样的方法，运用怎样的技巧。

本文首先会对几种构造辅助函数的方法进行阐述，其中包括在数学分析这门课中学到的有关微分中值定理、凸函数、以及詹森不等式等的知识都可以运用到这些方法中，借助这些知识构造出适合的辅助函数，进一步解决问题。接着本文还会介绍前面提到的构造辅助函数的方法在几种常见类型的不等式证明中的应用，并通过几个例题具体地分析，更准确的把握方法的精髓，并对其中涉及到的相关技巧进行总结，达到活学活用的目的。

第二章 几种构造辅助函数的方法与技巧

2.1 利用单调性法

这种方法是构造辅助函数经常可以用到的方法，将要证明的不等式进行移项（或恒等变形后移项），让不等式的一端为零，则另一端就是所要作的辅助函数。

例1 证明： 证

为单调递减函数，因此)(x F ,0)()(0=+∞>>F x F x 时，则当且

例2 证明 当π<<++cos 2sin cos 2sin .

证 取a a a a x x x x x F ππ---++=cos 2sin cos 2sin )(，

显然 0)(=a F

π+-=x x x x F sin cos )('，

因为0sin )(''<-=x x F ，且0)('=πF ，所以有

),0(,0)(')('ππ∈=>x F x F ，

从而)(x F 在),0(π内单调增加.于是0)()(=>a F b F ，即得证.

解决这类题目的步骤很明了，先作辅助函数，求出导数，判别函数的单调性，然后求函数在区间左右端点的函数值或在该区间的极限值，通常其中必有一个端点函数值或极限值为零，最后得出命题结论。

例3 当0>x 时，证明： . 证 设 ，则有 ,

由于)(x F 在区间()+∞,0上有0)('>x F ，则)('x F 在),0(+∞上是单调递增的.

因此，当0>x 时，0)0()(=>F x F ，即 . x x +>+121x x x F +-+=121)()11(12112121)('-++=+-=x x x x F x x +>+12

1.21arctan 0π>+>x x x 时，当,0111)(',21arctan )(2

2<-+=-+=x x x F x x x F 则令π,021arctan lim )(lim )(=⎥⎦⎤⎢⎣

⎡-+==+∞+∞→+∞→πx x x F F x x .21arctan 0,021arctan ππ>+>>-+x x x x x 时，亦即即