中考几何证明与计算
中考几何证明与计算
中考几何证明与计算文档编制序号：[KK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89-FTT688]专题----<<几何>>证明与计算（3）16,如图1，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，AF 平分BAC ∠，交BD 于点F ．（1）求证：12EF AC AB +=；（2）点1C 从点C 出发，沿着线段CB 向点B 运动（不与点B 重合），同时点1A 从点A 出发，沿着BA 的延长线运动，点1C 与1A 的运动速度相同，当动点1C 停止运动时，另一动点1A 也随之停止运动．如图2，11A F 平分11BA C ∠，交BD 于点1F ，过点1F 作1111F E AC ⊥，垂足为1E ，请猜想11E F ，1112AC 与AB 三者之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）在（2）的条件下，当113A E =，112C E =时，求BD 的长．16,已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过点E 作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG 、CG;（1）求证：EG=CG ；（2）将图①中的△BEF 绕点B 逆时针旋转45°，如图②所示，取DF 中点G ，连接EG 、CG ，问（1）的结论是否仍然成立若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）将图①中的△BEF 绕点B 逆时针旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）的结论是否仍然成立通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）17．已知：AC 是矩形ABCD 的对角线，延长CB 至E ，使CE=CA ，F 是AE 的中点，连结DF 、CF 分别交AB 于G 、H 点 (1)求证：FG=FH(2)若∠E=60°，且AE=8时，求梯形AECD 的面积。
18,已知：如图，在矩形ABCD 中，E 为CB 延长线上一点，CE=AC ，F 是AE 的中点．（1）求证：BF ⊥DF ；（2）若矩形ABCD 的面积为48，且AB:AD=4:3，求DF 的长．19, 如图，在直角梯形ABCD 中，,90,//0=∠C BC AD E 是DC 的中点, AB EF //交BC 于点F(1) 求证：BF=AD+CF(2)当AD=1,BC=7,且BE 平分∠ABC 时,求EF 的长DE A BCF G H20如图，在等腰梯形ABCD中，,∠BCDAD且AD=DC,E,F分别在AD,DC=BC60,//0延长线上.且DE=CF,AF,BE交于点P.(1)求证：AF=BE(2)请你猜测∠BPF的度数,并证明你的结论.。
河南中考数学18题几何证明与计算专练(含手写版答案)几何证明与计算——作图
几何证明与计算——作图1. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°．（1）作出经过点B ，圆心O 在斜边AB 上且与边AC 相切于点E 的⊙O ； （要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设（1）中所作的⊙O 与边AB 交异于点B 的另外一点D ，若⊙O 的直径为5，BC =4，求DE 的长．（如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成（2）问）CAB2. 如图1，Rt △ACB 中，∠C =90°，点D 在AC 上，∠CBD =∠A ，过A ，D 两点的圆的圆心O 在AB 上．（1）利用直尺和圆规在图1中画出⊙O （不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线条描清楚）；（2）判断BD 所在直线与（1）中所作的⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （3）设⊙O 交AB 于点E ，连接DE ，过点E 作EF ⊥BC ，F 为垂足．若点D 是线段AC 的黄金分割点（即DC ADAD AC ），如图2，试说明四边形DEFC 是正方形．图1DCBA图2BA3.已知平行四边形ABCD．（1）尺规作图：作∠BAD的平分线交直线BC于点E，交DC延长线于点F（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，求证：CE=CF．ADB C4.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB＞CD，AD=AB+CD．（1）利用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，①证明：AE⊥DE；②若CD=2，AB=4，点M，N分别是AE，AB上的动点，求BM+MN的最小值．D CAB5. 如图，在矩形ABCD 中，AB =2，ADP 是BC 边上的一点，且BP =2CP ．（1）用尺规在图1中作出CD 边上的中点E ，连接AE ，BE （保留作图痕迹，不写作法）；（2）如图2，在（1）的条件下，判断EB 是否平分∠AEC ，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，连接EP 并延长交AB 的延长线于点F ，连接AP ，不添加辅助线，△PFB 能否由都经过P 点的两次变换与△P AE 组成一个等腰三角形？如果能，说明理由，并写出两种方法（指出对称轴、旋转中心、旋转方向和平移距离）图1图2EF图3ABC DP。
中考数学模拟试题立体几何的计算与证明
中考数学模拟试题立体几何的计算与证明立体几何是中考数学中的一个重要部分，涉及到的知识点较多，包括计算和证明两方面。
下面将针对中考数学模拟试题的立体几何部分，进行计算与证明的详细分析。
1. 体积与表面积计算在立体几何中，计算物体的体积和表面积是最基本的运算。
以常见的球、立方体和长方体为例进行介绍。
1.1 球的体积和表面积计算对于一个半径为 r 的球，其体积 V 和表面积 S 分别可以计算为：V = (4/3)πr³S = 4πr²1.2 立方体的体积和表面积计算对于一个边长为 a 的立方体，其体积 V 和表面积 S 分别可以计算为：V = a³S = 6a²1.3 长方体的体积和表面积计算对于一个长为 a、宽为 b、高为 c 的长方体，其体积 V 和表面积 S分别可以计算为：V = abcS = 2(ab + ac + bc)2. 空间图形的判定与证明除了计算，立体几何还需要进行空间图形的判定与证明，以确定其特征和性质。
下面以实际例题进行说明。
2.1 判定立体图形的种类根据图形的特征，可以判断一个图形是某种特定立体图形。
例如，当一个图形的六个面都是正方形，且相邻面的交线都相等，那么这个图形就是一个正方体。
2.2 证明立体图形的性质在证明立体图形的性质时，需要运用到一定的推理和推导。
例如，证明一个四棱锥的四个侧面都是三角形，可以通过证明其底面是一个三角形，然后运用推理证明其他侧面也是三角形。
3. 空间图形的平面展开图为了更好地理解和计算空间图形的性质，常常需要将其展开成平面图形进行分析。
平面展开图可以帮助我们计算体积、表面积等指标，以及判断图形的特征。
3.1 立方体的平面展开图将一个立方体展开，可以得到一个由六个正方形组成的平面图形。
根据展开图，我们可以计算立方体的体积和表面积。
3.2 圆柱体的平面展开图将一个圆柱体展开，可以得到一个由一个长方形和两个圆组成的平面图形。
几何计算与证明
几何计算与证明计算可以是证明的辅助手段，证明的过程中往往少不了计算。
比如，在证明某三角形是直角三角形时，通过计算得到该三角形某条边的边长的平方是另两条边的长度的平方和，就可以证明该三角形是直角三角形。
已经证明为真的命题又是我们计算时的依据。
1、计算可以帮助我们证明2、证真的东东是计算的依据。
几何公式和定理（初中）公式定理后面标1代表证角相等的（证线段垂直也包含了），2代表证线段相等（或比例）的。
证明的过程基本上根据判定，然后再定理，所以有些判定也可视作证角，和线段相等的前提。
1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短（最值问题）3 同角或等角的补角相等14 同角或等角的余角相等15 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短（最值问题）7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行110 内错角相等，两直线平行111 同旁内角互补，两直线平行112两直线平行，同位角相等113 两直线平行，内错角相等114 两直线平行，同旁内角互补115 定理三角形两边的和大于第三边（证明线段不等关系）16 推论三角形两边的差小于第三边（同上）17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°118 推论1 直角三角形的两个锐角互余119 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和120 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角（证明角的大小关系）21 全等三角形的对应边、对应角相等1222边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等1223 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等1224 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等1225 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等1226 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等1227 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等228 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上1229 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合230 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）1231 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边1232 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合1233 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°1234 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）1235 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形1236 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形1237 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半238 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半239 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等240 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上1241 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形1243 定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线1244定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称1246勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2 247勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形1248定理四边形的内角和等于360°149四边形的外角和等于360°150多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n-2）×180°151推论任意多边的外角和等于360°152平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等153平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等254推论夹在两条平行线间的平行线段相等255平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分256平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形1257平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形1258平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形1259平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形1260矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角261矩形性质定理2 矩形的对角线相等162矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形1263矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形1264菱形性质定理1 菱形的四条边都相等265菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角1 66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷267菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形268菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形1269正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等1270正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角1271定理1 关于中心对称的两个图形是全等的1272定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分1273逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称1274等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等175等腰梯形的两条对角线相等276等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形1277对角线相等的梯形是等腰梯形1278平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段2相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰280 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边281 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半1282 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=（a+b）÷2 S=L×h83 (1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc 2如果ad=bc,那么a:b=c:d 284 (2)合比性质如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d 285 (3)等比性质如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b 286 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例287 推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例288 定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边1289 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例1290 定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似1291 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA）1292 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似1293 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）1294 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS）1295 定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似1296 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比1297 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比298 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方299 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等2105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线12107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线12108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线12109定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
中考知识点立体几何的判定与计算
中考知识点立体几何的判定与计算立体几何是数学中的一个重要分支，它研究的是三维空间中的物体形状、大小和位置关系。
在中考中，立体几何是一个必考的知识点，掌握好立体几何的判定与计算方法，对于解题非常有帮助。
本文将针对中考立体几何的判定与计算进行详细讲解。
一、棱柱与棱锥的判定与计算棱柱是一种由两个平行且相等的多边形底面围成，且侧面为矩形的立体图形。
棱柱的体积计算公式为 V = S \times h，其中 V 表示体积，S 表示底面积，h 表示高度。
例如，若底面为一个边长为 a 的正方形，则棱柱的体积为 V = a^2 \times h。
棱锥是一种由一个多边形底面和一些侧面三角形组成的立体图形。
棱锥的体积计算公式为 V = \frac{1}{3} \times S \times h，其中 V 表示体积，S 表示底面积，h 表示高度。
例如，若底面为一个半径为 r 的圆形，则棱锥的体积为 V = \frac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h。
二、球的判定与计算球是一种全空间内的点到一个常数距离内的点的轨迹。
球的体积计算公式为 V = \frac{4}{3} \times \pi \times r^3，其中 V 表示体积，r 表示半径。
例如，若球的半径为 r，则球的体积为 V = \frac{4}{3} \times \pi \times r^3。
三、圆柱与圆锥的判定与计算圆柱是一个由侧面为圆的柱体和两个平行的圆底面组成的立体图形。
圆柱的体积计算公式为 V = \pi \times r^2 \times h，其中 V 表示体积，r表示底面半径，h 表示高度。
例如，若圆柱的底面半径为r，高度为h，则圆柱的体积为 V = \pi \times r^2 \times h。
圆锥是一个由圆锥底面和一个连接圆锥顶点与圆锥底面上任意一点形成的三角形组成的立体图形。
圆锥的体积计算公式为 V = \frac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h，其中 V 表示体积，r 表示底面半径，h 表示高度。
陕西中考圆的证明与计算(2023版)
陕西中考圆的证明与计算（2023版）知识总结1．切线的性质：垂直于过切点的半径．（连半径，得垂直）2．切线的判定：（1）定义法：和圆只有一个交点的直线是圆的切线；（2）距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；证明d =r 即可，常用于已知数据的计算，比如动圆相切问题．（3）判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．换个说法：⎧⎨⎩有交点：连半径,证垂直无交点：作垂直,证半径，多用于几何证明．多数情况为有交点，重点考虑如何证垂直：①证明和已知垂线平行；②证明夹角为直角．3．常见相切图（1）角分+等腰得平行：点C 在以AB 为直径的圆O 上，AH ⊥CH ，且AC 平分∠HAB ．【证明】连接OC，则OC=OA，∴∠OCA=∠OAC，又∠OAC=∠HAC，∴∠OCA=∠HAC，∴OC∥AH，∴OC⊥CH，∴CH是圆O的切线．（2）证明和已知直角相等．证明△PCO≌△PAO，可得∠PCO=∠PAO=90°．（3）证明夹角为直角．（弦切角定理）如图，若∠BAC=∠D，则AB是圆O切线．如图，连接AO并延长交圆O于点P，则∠P=∠D=∠BAC，∵∠P+∠PAC=90°，∴∠BAC+∠PAC=90°，即AB⊥AP，∴AB是圆O的切线．1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC 于点E．（1）求证：DE＝AE；（2）若AD＝8，DE＝5，求BC的长度．2．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以BC为直径的⊙O交AC于点E，⊙O的切线DE交AB于点D．（1）求证：DA＝DB；（2）连接BE，OD，交点为F，若cos A＝，BC＝6，求OF的长．3．如图，AB是⊙O的直径，经过⊙O上一点D，作⊙O的切线EF，交AB的延长线于点F，AE⊥EF，交BD的延长线于点C．（1）求证：AB＝AC．（2）若⊙O的半径为3，，求BF的长．4．如图，AB为⊙O的直径，C、E为⊙O上的两点，过点E的切线交CB的延长线于点D，且CD⊥DE，连接CE，AE．（1）求证：∠ABC＝2∠A；（2）若⊙O半径为，AB：BD＝5：1，求AE的长．5．已知：如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，交AB延长线于点D，∠D＝30°，连接AC、BC，CE平分∠ACB交⊙O于点E，过点B作BF⊥CE，垂足为F．（1）求证：CA＝CD；（2）若AB＝12，求线段BF的长．6．已知：如图，⊙O过正方形ABCD的顶点A，B，且与CD边相切于点E．点F是BC与⊙O的交点，连接OB，OF，AF，点G是AB延长线上一点，连接FG，且∠G+∠BOF＝90°．（1）求证：FG是⊙O的切线；（2）如果正方形边长为8，求⊙O的半径．7．如图，在△AOB中，以点O为圆心的⊙O与AB相切于点D，延长AO交⊙O于点C，连接CD，过点A作AF⊥BO，交BO的延长线于点H，交⊙O于点F，∠B＝∠C．求证：（1）AF∥CD；（2）AH2＝OH⋅BH．8．如图，AB是⊙O的直径，已知点D是弧BC的中点，连接DO并延长，在延长线上有一点E，连接AE，且∠E＝∠B．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）连接AC，若AC＝6，CF＝4，求OE的长．9．如图，AB是⊙O的直径，C在AB的延长线上，⊙O与CD相切于点D，过点A作AE ⊥CD，垂足为E．（1）求证：AD平分∠EAC．（2）若BC＝3，，求⊙O的半径以及线段ED的长．10．如图，AB是⊙O的直径，点D是直径AB上不与A，B重合的一点，过点D作CD⊥AB，且CD＝AB，连接BC交⊙O于点F，在CD上取一点E，使EF＝EC．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）当D是OA的中点时，AB＝4，求BF的长．11．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，过点A作BC平行线AM，连接BO并延长，交AM于点D，连接AO、CO．（1）求证：AM是⊙O的切线；（2）若BC＝10，AD＝8，求⊙O的半径．12．如图，已知△ABC的边AB所在的直线是⊙O的切线，切点为B，AC经过圆心O并与圆交于点D、C，E为AB延长线上一点，连接CE交⊙O于点F，且∠BCE＝∠ACB．（1）求证：CE⊥AB；（2）若⊙O的半径是6，AB＝8，求EF的长．13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以FB为直径作⊙O，⊙O与直角边AC相切，切点为E．（1）求证：∠DBE＝∠EBA；（2）若AB＝10，DB＝4，求EB的长．14．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC，垂足为D，连接AD，过点A作⊙O的切线与DO的延长线相交于点E．（1）求证：∠B＝∠E；（2）若⊙O的半径为4，OE＝6，求AD的长．15．如图，AB是⊙O的直径，点D、E均在⊙O上，连接AD、BD、BE、DE，过点D作⊙O的切线，交AB的延长线于点C．（1）求证：∠DEB＝∠CDB；（2）若BD＝DE＝6，BE＝9.6，求⊙O的半径．16．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BC为⊙O的直径，点E是⊙O上一点，连接OE 并延长交过点C的切线CD于点D，∠B＝∠D．（1）求证：OD∥AC；（2）延长EO交AB于点F，AF＝2，⊙O的直径为2，求OD的长．17．如图，已知△ABC的外接圆直径是AB，点O是圆心，点D在⊙O上，且＝，过点D作⊙O的切线，与CA、CB的延长线分别交于点E、F．（1）求证：AB∥EF；（2）若⊙O的半径为5，BC＝8，求DF的长度．18．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CE，垂足为D，AC平分∠DAB．（1）判定直线CE与⊙O的位置关系，并说明你的理由；（2）若AD＝3，AC＝4，求圆的半径．19．如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点恰好为BC的中点D，与AC边的交点为F，过点D作DE⊥AC于点E．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）若AB＝5，tan∠ACB＝2，求弦AF的长度．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D．过点D作DE⊥AC，垂足为E，延长CA交⊙O于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若tan B＝，⊙O的半径为5，求线段CF的长．21．如图，AB为⊙O的直径，OD为⊙O的半径，⊙O的弦CD与AB相交于点F，⊙O的切线CE交AB的延长线于点E，EF＝EC．（1）求证：OD垂直平分AB；（2）若⊙O的半径长为3，且BF＝BE，求OF的长．22．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，BD⊥CD，DB的延长线与⊙O交于点E．（1）求证：∠ABE＝2∠A；（2）若，BD＝4，求BE的长．23．如图，在△ABC中，AC＝AB，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作ED⊥AC 点E，交AB延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若DF＝4，tan∠BDF＝，求AC的长．24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若直径AD＝10，cos B＝，求FD的长．25．如图，AB是⊙O的直径，AE是⊙O的切线，点C为直线AE上一点，连接OC交⊙O 于点D，连接BD并延长交线段AC于点E．（1）求证：∠CAD＝∠CDE；（2）若CD＝6，tan∠BAD＝，求⊙O的半径．26．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且对角线BD为⊙O的直径，过点A作AE ⊥CD，与CD的延长线交于点E，且DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，CD＝6，求AD的长．27．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE是⊙O的直径，点B是的中点，过点B的切线与AC的延长线交于点D．①求证：BD⊥AD；②若AC＝9，tan∠ABC＝，求⊙O的半径．28．如图，△ABC中，∠C＝90°，点O在AB上，⊙O经过点A，且与BC相切于点D．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若AC＝6，cos∠BAC＝，求⊙O的半径．29．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CD平分∠ACB，交AB于点E，交⊙O 于点D，延长BA到点P，使得PE＝PC．（1）求证：PC与⊙O相切；（2）若⊙O的半径3，PC＝4，求CD的长．30．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上两点，CE与⊙O相切，交DB延长线于点E，且DE⊥CE，连接AC，DC．（1）求证：∠ABD＝2∠A；（2）若DE＝2CE，AC＝8，求⊙O的半径．31．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，且OD⊥AC于点E，OD交⊙O于点F，连接CF、BF，若∠BFC＝∠ODA．（1）求证：AD是⊙O的切线：（2）若AB＝10，AC＝8，求AD的长．32．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接OD，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E，延长CA交⊙O于点F，连接BF．（1）求证：DE⊥AC；（2）若⊙O的直径为5，cos C＝，求CF的长．33．如图，在⊙O中，PA是直径，PC是弦，PH平分∠APB且与⊙O交于点H，过H作HB⊥PC交PC的延长线于点B．（1）求证：HB是⊙O的切线；（2）若HB＝4，BC＝2，求⊙O的半径．34．如图，AB是⊙O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），CD⊥AB，且CD＝AB，连接CB，与⊙O交于点F，在CD上取一点E，使得EF＝EC．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若D是OA的中点，AB＝4，求CF的长．35．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且对角线BD为直径，过点A作⊙O的切线AE，与CD的延长线交于点E，已知DA平分∠BDE．（1）求证：AE⊥DE；（2）若⊙O的半径为5，CD＝6，求AD的长．36．如图，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，点O在CD上，作⊙O，使⊙O与AD相切于点B，⊙O与CD交于点E，过点D作DF∥AC，交AO的延长线于点F，且∠OAB＝∠F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若OC＝3，DE＝2，求DF的长．37．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，以CD为直径作⊙O，与BC交于点E，过点E作⊙O的切线EF，交AB于点F．（1）求证：EF⊥AB；（2）若⊙O的半径是，cos∠ACD＝，求DF的长．38．如图，⊙O是△ABC的外接圆，＝，过点A作AD∥BC交⊙O于点D，连接CD，延长DA到点E，连接CE，∠D＝∠E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若CE＝8，AE＝5，求⊙O半径的长．39．如图，BD为⊙O的直径，∠ABE＝∠BCA，过点A的直线与⊙O分别交于点E，C，与BD交于点F，连接BE，BC．（1）求证：AB为⊙O的切线．（2）若∠A＝∠ABE，BE＝5，BC＝8，求⊙O的半径．40．如图，AB是⊙O的直径，AE是⊙O的切线，点C为直线AE上一点，连接OC交⊙O 于点D，连接BD并延长交线段AC于点E．（1）求证：∠CDE＝∠CAD；（2）若CD＝4，tan B＝，求⊙O的半径．。
中考数学临考题号押广东卷21题(几何证明与计算)(解析版)
【小问2详解】
根据（1）的结论，平行四边形AFCE是菱形，
∴EF、AC相互垂直平分，且AE=EC=CF=FA，
∴EF=2OE，AC=2OA，
∵BC=8，AB=4，
∴BE=BC-EC=8-EC=8-AE， ，
∴OA= ，
在Rt△ABE中，利用勾股定理，有 ，
即： ，解得：AE=5，
（1）求证：四边形 是菱形．
（2）当AB 4，BC 8时，求线段EF的长．
【分析】（1）利用EF是AC的垂直平分线，可得∠EAC=∠ECA，∠CAF=∠FCA，在矩形中有 ，即有∠ECA=∠CAF，∠ECF=∠CFD，即可证得∠CFD=∠EAF，则有 ，再结合 ，AE=EC，可证四边形AFCE是菱形；
∴∠ACF=∠EDC．
∴ED=EC．
【小问2详解】
解：如（1）中图所示，过点C作CG⊥OB于点G，设线段OE与 交于点H．
∵ 的直径 ，OC，OB是 的半径，
∴ ．
∵∠A和∠BOC分别是 所对的圆周角和圆心角，∠A=30°，
∴∠BOC=2∠A=60°．
∴ ，S扇OBC ．
∴ ．
∴点C右侧的阴影面积S右=S扇OBC- ．
（2）连接 ，根据同弧所对的圆周角相等，可得 ，进而根据正切值以及已知条件可得 的长，勾股定理即可求得 ，进而即可求得圆的半径．
【详解】
（1）连接 ，如图，
是 的切线，
，
，
，
，
，
，
．
（2）连接
是 的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
即 的半径为 ．
6．（2021·山东青岛·中考真题）如图，在 中， 为 边的中点，连接 并延长，交 的延长线于点 ，延长 至点 ，使 ，分别连接 ， ， ．
中考数学几何证明方法总结
中考数学几何证明方法总结在中考数学中，几何证明题是许多同学感到头疼的部分。
但只要掌握了有效的方法和技巧，就能轻松应对。
下面，我将为大家总结一些常见的中考数学几何证明方法。
一、综合法综合法是从已知条件出发，通过一系列的推理和运算，最终得出结论的方法。
这是最基本也是最常用的方法。
例如，已知一个三角形的两条边和它们的夹角，要证明这个三角形的面积。
我们可以从已知条件出发，利用三角形面积公式 S ＝ 1/2 ×两边之积 ×夹角的正弦值，逐步推导出面积的具体数值。
在使用综合法时，要善于将已知条件进行合理的组合和运用，找到它们之间的内在联系。
二、分析法分析法是从要证明的结论出发，逐步追溯到已知条件的方法。
比如说，要证明一个四边形是平行四边形，我们先假设它是平行四边形，然后根据平行四边形的性质，推导出需要满足的条件，再看这些条件是否与已知条件相符。
分析法的优点在于目标明确，能够迅速找到解题的思路和方向。
三、反证法反证法是先假设结论不成立，然后通过推理得出矛盾，从而证明原结论成立的方法。
例如，证明“在一个三角形中，不能有两个角是直角”。
我们先假设一个三角形中有两个角是直角，然后根据三角形内角和为 180 度，得出矛盾，从而证明原结论正确。
反证法常常用于那些直接证明比较困难的命题。
四、同一法同一法是当一个命题的条件和结论所指的对象都唯一存在时，通过证明所作的图形与已知图形全等或重合，从而证明命题成立的方法。
比如，要证明一个点是线段的中点，可以先作出通过这个点且平分线段的直线，然后证明所作直线与已知直线重合，从而得出这个点是中点的结论。
五、构造辅助线法在很多几何证明题中，合理地构造辅助线可以使问题变得简单明了。
比如，在证明三角形全等时，如果条件不足，可以通过作平行线、垂线、中线、角平分线等辅助线来创造全等的条件。
又如，在证明圆的相关问题时，常常连接圆心和切点、作弦心距等。
六、等量代换法利用等量关系进行代换，是证明几何命题的常用手段。
中考数学平面几何的重要定理与证明方法
中考数学平面几何的重要定理与证明方法数学中的平面几何是中考数学中的一个重要部分，其中涉及了许多重要的定理和证明方法。
了解这些定理和方法对于应对中考数学题目至关重要。
本文将介绍中考数学平面几何的一些重要定理，并阐述其证明方法。
一、直角三角形的勾股定理直角三角形的勾股定理是平面几何中最常用的定理之一。
它表明，在直角三角形中，直角边的平方等于两个其他边平方的和。
定理表述如下：在直角三角形ABC中，假设∠C为直角。
设AB=c，BC=a，AC=b，则有a²+b²=c²。
勾股定理的证明方法多种多样，下面我们介绍其中一种思路。
证明思路：我们以直角边AC为边，构造正方形ACDE。
连接BD。
由正方形的性质可知，∠ADC是直角，且AD=DC=AC=b。
根据正方形对角线的性质可知，AC²+AD²=CD²。
此外，根据余弦定理可知，∠CBD的余弦值为：cos∠CBD=(AC²+BC²-BD²)/(2×AC×BC)。
由于∠ACB=90°，所以cos∠ACB=0，即AC和BC垂直。
因此，cos∠CBD=0，即AC²+BC²=BD²。
由于BD²=CD²，所以AC²+BC²=CD²，即a²+b²=c²。
证毕。
二、全等三角形的判定方法全等三角形的判定方法是平面几何中另一个重要的定理。
掌握了全等三角形的判定方法，可以快速解决一些与全等三角形相关的题目。
定理表述如下：两个三角形的对应边长度相等，且对应角相等，则这两个三角形全等。
全等三角形的判定方法主要有以下几种：1. SSS判定法（边边边）：若两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。
2. SAS判定法（边角边）：若两个三角形的两边分别相等，且夹角也相等，则这两个三角形全等。
中考复习几何证明与计算
中考复习中考复习__几何证明与计算1.1.已知，如图，正方形已知，如图，正方形ABCD ABCD，菱形，菱形EFGP EFGP，点，点E 、F 、G 分别在AB AB、、AD AD、、CD 上，延长DC DC，，PH ⊥DC 于H ． （1）求证：）求证：GH=AE GH=AE GH=AE；；（2）若菱形EFGP 的周长为20cm 20cm，，，FD=2FD=2，求△，求△，求△PGC PGC 的面积．解答：（1）证明：由菱形性质知：∠EFG+∠FGP=180°，EF=GP=EP=FG ，又∠AEF+∠AFE=90°，∠DFG+∠DGF=90°，∠AFE+∠EFG+∠DFG=180°，∠DGF+∠FGP+∠PGH=180°，∴∠AEF=∠GPH ，又∠A=∠H ，∴△AEF ≌△HGP ，（AAS ）∴GH=AE ；（2）解：∵菱形EFGP 的周长为20cm ，∴EF=GP=EP=FG=5cm ，又，∴在△AEF 中，AF=4，AE=5，又FD=2，∴正方形边长=AD=DC=6，在△DFG 中，DG==，∴GC=6﹣，又由（1）知PH=AF ，∴△PGC 的面积=×GC ×PH=×GC ×AF=12﹣2（cm 2）． 点评：本题考查了正方形性质以及菱形性质，是基础题．本题考查了正方形性质以及菱形性质，是基础题．2.2.如图，正方形如图，正方形ABCD 中，中，AB=AB=，点E 、F 分别在BC BC、、CD 上，且∠BAE=30°，∠上，且∠BAE=30°，∠DAF=15DAF=15度．（1）求证：）求证：DF+BE=EF DF+BE=EF DF+BE=EF；；（2）求：∠）求：∠EFC EFC 的度数；的度数；（3）求：△）求：△AEF AEF 的面积．的面积．解答：解：（1）延长EB 至G ，使BG=DF ，连接AG ，∵正方形ABCD ，∴AB=AD ，∠ABG=∠ADF=∠BAD=90°，∵BG=DF ，∴△ABG ≌△ADF ，∴AG=AF ，∵∠BAE=30°，∠DAF=15°，∴∠FAE=∠GAE=45°，∵AE=AE ，∴△F AE ≌△GAE ，∴EF=EG=GB+BE=DF+BE ；（2）∵△AGE ≌△AFE ，∴∠AFE=∠AGE=75°， ∵∠DFA=90°﹣∠DAF=75°，∴∠EFC=180°﹣∠DF A ﹣∠AFE=180°﹣75°﹣75°=30°，∴∠EFC=30°．（3）∵AB=BC=，∠BAE=30°，∴BE=1，CE=﹣1，∵∠EFC=30°，∴CF=3﹣，∴S △CEF =CE •CF=2﹣3，由（1）知，△ABG ≌△ADF ，△F AE ≌△GAE ，∴S △AEF =S 正方形ABCD ﹣S △ADF ﹣S △AEB ﹣S △CEF =S 正方形ABCD ﹣S △AEF ﹣S △CEF ，S △AEF =S 正方形ABCD ﹣S △AEF ﹣S △CEF =3﹣．点评：解答本题利用正方形的特殊性质，解答本题利用正方形的特殊性质，通过证明三角形全等，得出线段间的关系，同时考通过证明三角形全等，得出线段间的关系，同时考查了三角函数的运用，及组合图形的面积计算．查了三角函数的运用，及组合图形的面积计算．3.3.如图如图1所示，在直角梯形ABCD 中，中，AD AD AD∥∥BC BC，∠DCB=75°，，∠DCB=75°，，∠DCB=75°，AB AB AB⊥⊥BC BC，以，以CD 为一边的等边△一边的等边△DCE DCE 的另一顶点E 在腰AB 上．上．（1）求∠）求∠AED AED 的度数；的度数；（2）求证：）求证：AB=BC AB=BC AB=BC；；（3）如图2所示，若F 为线段CD 上一点，∠FBC=30°，△上一点，∠FBC=30°，△BFC BFC 的面积的面积=4cm =4cm 2，求AB 的长度．的长度．解答：解：（1）∵在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠DCB+∠ADC=180°，∠BAD=∠B=90°，∵∠DCB=75°，∴∠ADC=105°，∵△DCE 是等边三角形，是等边三角形，∴∠EDC=∠DCE=60°，∴∠EDA=45°，∴∠AED=45°，答：∠AED 的度数是45°；（2）证明：连接AC ，∵∠AED=∠ADE=45°，∴AE=AD 是等边三角形，∵△DCE是等边三角形，∴CE=CD ∵AC=AC，∴△DCA≌△ECA，∴∠ECA=∠DCA=30°，∵∠DCB=75°，∴∠ACB=45°∵∠B=90°，∴∠CAB=45°，∴∠CAB=∠ACB，∴AB=BC；（3）解：作FG⊥BC于G，∵∠DCB=75°，∠CBF=30°，∴∠BFC=75°，∴∠DCB=∠BFC，∴BC=BF，在Rt△BFG中，∠CBF=30°，∴BF=2FG=BC，∵BC×FG=4，∴BC2=4cm2，∴BC=4cm，∴AB=BC=4cm，即AB长为4cm．答：AB的长度是4cm．等边三角形的性质和判定，等本题主要考查对直角梯形，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等点评：本题主要考查对直角梯形，全等三角形的性质和判定，腰三角形的性质和判定，三角形的面积，含30度角的直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行证明是解此题的关键，题型较好，难度适中．掌握，能综合运用这些性质进行证明是解此题的关键，题型较好，难度适中．4.4.如图，在梯形如图，在梯形ABCD 中，中，AB AB AB∥∥CD CD，∠ABD=90°，，∠ABD=90°，，∠ABD=90°，AB=BD AB=BD AB=BD，在，在BC 上截取BE BE，使，使BE=BA BE=BA，过点，过点B 作BF BF⊥⊥BC 于B ，交AD 于点F ．连接AE AE，交，交BD 于点G ，交BF 于点H ．（1）已知AD=，CD=2CD=2，求，求sin sin∠∠BCD 的值；的值； （2）求证：）求证：BH+CD=BC BH+CD=BC BH+CD=BC．．解答：（1）解：在Rt △ABD 中，∠ABD=90°，AB=BD ，AD=，则AB=BD=4，…（1分）分）在Rt △CBD 中，∠BDC=90°，CD=2，BD=4，所以BC=，…（2分）分） sin ∠BCD===．…（4分）分） （2）证明：过点A 作AB 的垂线交BF 的延长线于M ．∵∠DBA=90°，∴∠1+∠3=90°．∵BF ⊥CB 于B ，∴∠3+∠2=90°．∴∠2=∠1．…（5分）分）∵BA=BD ，∠BAM=∠BDC=90°， ∴△BAM ≌△BDC ．∴BM=BC ，AM=CD ．…（7分）分）∵EB=AB ，∴∠7=∠5．BH=BG ．…（8分）分）∴∠4=∠1+∠5=∠2+∠7=∠6．∵∠8=∠4，∠MAH=∠6，∴∠8=∠MAH ，∴AM=MH=CD ．…（9分）分）∴BC=BM=BH+HM=BH+CD ． …（10分）分）其他解法，参照给分．其他解法，参照给分．点评：本题考查梯形、全等三角形的判定与性质及等腰直角三角形的知识，全等三角形的判定与性质及等腰直角三角形的知识，是一道小的综合是一道小的综合题，注意对这些知识的熟练掌握和灵活运用．题，注意对这些知识的熟练掌握和灵活运用．5.5.已知：如图，△已知：如图，△已知：如图，△ABC ABC 中，∠ABC=45°，中，∠ABC=45°，CD CD CD⊥⊥AB 于D ，BE 平分∠平分∠ABC ABC ABC，且，且BE BE⊥⊥AC 于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，边的中点，连接连接DH 与BE 相交于点G ．（1）求证：）求证：BF=AC BF=AC BF=AC；；（2）求证：）求证：CE=CE=BF BF；；（3）CE 与BG 的大小关系如何？试证明你的结论．的大小关系如何？试证明你的结论．解答：（1）证明：∵CD ⊥AB ，∠ABC=45°，∴△BCD 是等腰直角三角形．是等腰直角三角形．∴BD=CD ．在Rt △DFB 和Rt △DAC 中，中， ∵∠DBF=90°﹣∠BFD ，∠DCA=90°﹣∠EFC ，且∠BFD=∠EFC ，∴∠DBF=∠DCA ．又∵∠BDF=∠CDA=90°，BD=CD ，∴Rt △DFB ≌Rt △DAC ．∴BF=AC ；（2）证明：在Rt △BEA 和Rt △BEC 中∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE=∠CBE ．又∵BE=BE ，∠BEA=∠BEC=90°，∴Rt △BEA ≌Rt △BEC ．∴CE=AE=AC ．又由（1），知BF=AC ，∴CE=AC=BF ；（3）证明：∠ABC=45°，CD 垂直AB 于D ，则CD=BD ．H 为BC 中点，则DH ⊥BC （等腰三角形“三线合一”）连接CG ，则BG=CG ，∠GCB=∠GBC=22.5°，∠EGC=45°．又∵BE 垂直AC ，故∠EGC=∠ECG=45°，CE=GE ． ∴CE 2+GE 2=CG 2=BG 2；即2CE 2=BG 2，BG=CE ．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、HL ．在复杂的图形中有45°的角，有垂直，往往要用到等腰直角三角形，要注意掌握并应用此点并应用此点6.6.在在Rt Rt△△ABC 中，∠BAC=90°，中，∠BAC=90°，AB=AC=2AB=AC=2AB=AC=2，，点D 在BC 所在的直线上运动，作∠ADE=45°（所在的直线上运动，作∠ADE=45°（A A ，D ，E 按逆时针方向）．（1）如图1，若点D 在线段BC 上运动，上运动，DE DE 交AC 于E ．①求证：△①求证：△ABD ABD ABD∽△∽△∽△DCE DCE DCE；；②当△②当△ADE ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．的长．（2）①如图2，若点D 在BC 的延长线上运动，的延长线上运动，DE DE 的反向延长线与AC 的延长线相交于点E ，是否存在点D ，使△，使△ADE'ADE'ADE'是等腰三角形？若存在，写出所有点是等腰三角形？若存在，写出所有点D 的位置；若不存在，请简要说明理由；说明理由；DCE．BD=CE=2，2．DE=AE=AC=1所以，又。
中考数学专题复习之几何图形的证明与计算
2
2
3，
专题八 几何图形的证明与计算
∴PM＝AM－AP＝1.
∵∠PEQ＝∠MEN＝90°，
∴∠PEM＝∠QEN.
∵∠EMP＝∠ENQ，
∴△PEM∽△QEN.
PM ∴QN
EM EN
3
∴QN＝ 3 .
3
∴CQ＝CN－QN＝2 3
3=5 3
∴S△PCQ＝
1 2
CP·CQ＝
1 2
×3 (2＋31)×5
3 3
中考数学专题复习
几何图形的证明与计算
专题八 几何图形的证明与计算
类型一 与全等三角形有关的证明与计算
（2014、2011.23） 例1 如图①，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD为边AB上的中线，E 是CA上一点，F是CB上一点，且AE＝CF，连接ED，FD，EF. (1)求证：△DEF是等腰直角三角形； (2)如图②，过点D作DG⊥EF于点G，连接CG并延长交AB于点H. ①求证：CG＝GD； ②若AE＝5，CH＝13，求CE的长．
＝
5
3 2
专题八 几何图形的证明与计算
类型三 与全等和相似三角形有关的证明与计算
（2018、2017、2016、2015、2013.23） 例3 如图①，点A在线段BC上，△ABD和△ACE都是等边三角形，F为边AE上一 点，连接DF. (1)连接BE、CD，求证BE＝CD； (2)若F为AE的中点，BA＝ 1 AC，求证：△ADF是等边三角形； (3)如图②，延长DF交CE于2点P，连接AP，CF交于点G，若DP∥BC， △BFC∽△FPC，求tan∠AGF的值．
专题八 几何图形的证明与计算
(2)①证明：∵△DEF是等腰直角三角形，
初中几何证明与计算专题复习
初中几何证明与计算专题复习第一篇：初中几何证明与计算专题复习中考几何证明与计算专题复习1.全等三角形例题1：如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．求证：（1）∠PBA=∠PCQ=30°；（2）PA=PQ．PDC B例题2：如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F．求证：AF=BF+EF．AEB G变式训练1：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，分别以AB，AC为边作两个等腰直角三角形ABD和ACE，使∠BAD=∠CAE=90°．（1）求∠DBC的度数；（2）求证：BD=CE．D C变式训练2：如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B 落到点B′的位置，AB′与CD交于点E.（1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明.（2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由.变式训练3：如图：已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.（1）求证：△BED≌△CFD；（2）若∠A=90°，求证：四边形DFAE是正方形.DC2.相似三角形例题1：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB=6，AE=9，DE=2，求EF的长．例题2：如图,点D在△ABC的边AB上，连结CD，∠1=∠B，AD=4,AC=5,求 BD 的长?B变式训练1：已知△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为（）(A)1：2(B)1：4(C)2：1(D)4：1变式训练2：如图，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m，则旗杆的高为（）A．12mB．10mC．8mD．7m3.四边形例题1：下列命题中，真命题是（）A．两条对角线垂直的四边形是菱形B．对角线垂直且相等的四边形是正方形 C．两条对角线相等的四边形是矩形D．两条对角线相等的平行四边形是矩形例题2：已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF 平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．求证：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE．例题3：如图，在等腰梯形ABCD中，∠C=60°，AD∥BC，且AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF，AF、BE交于点P．（1）求证：AF=BE；（2）请你猜测∠BPF的度数，并证明你的结论．PBC 变式训练1：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB＝AD＝DC,∠B＝60º.(1)求证：AB⊥AC；(2)若DC＝6,求梯形ABCD的面积.变式训练2：在直角梯形ABCD 中，AB∥DC，AB⊥BC，∠A＝60°，AB＝2CD，E、F分别为AB、AD 的中点，连结EF、EC、BF、CF。
中考几何证明与计算(1)
专题----<<几何>>证明与计算（1）1,在正方形ABCD中，AB=4 ,AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED．（1）求证：△BEC≌△DEC；F，当∠BED=120°时，求△AEF的面积2, 如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1=∠2，∠3=∠4．（1）证明：△ABE≌△DAF；（2）若∠AGB=30°，求EF的长．3,已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE = AF．（1）求证：BE = DF；（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM = OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．4, 如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由。
125. 在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠BAE=30º,∠DAF=15 º.（1）求证： EF=BE+DF ； （2）若AB=3,求△AEF 的面积。
6,如图，已知在正方形ABCD 中，AB=2，P 是边BC 上的任意一点，E 是边BC 延长线上一点，E 是边BC 延长线上一点，连接AP ，过点P 作PF 垂直于AP ，与角DCE 的平分线CF 相交于点F ，连接AF ，于边CD 相交于点G ，连接PG 。
（1）求证：AP=FP（2）当BP 取何值时，PG//CFE7,如图，在ABC ∆中，点D 为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ．如果,90,AB AC BAC =∠=//点D 在线段BC 上运动．且45BCA ∠= 时，①请你判断线段CF BD 、之间的位置．．关系，并说明理由(要求写出证明过程).②若,3,24==CF AC 求正方形ADEF 的边长(要求写出计算过程).8,如图，已知正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，延长BC 到点F 使CF ＝AE ． （1）若把ADE △绕点D 旋转一定的角度时，能否与CDF △重合？请说明理由． （2）现把DCF △向左平移，使DC 与AB 重合，得ABH △，AH 交ED 于点G ．求证：AH ED ⊥，并求AG 的长FE D C B AF H E B C。
中考数学专题复习课件专题三简单的几何证明与计算(共35张PPT(完整版)5
6．(导学号65244233)(2017·青岛)如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为 AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF. (1)求证：△BCE≌△DCF； (2)当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．
解：(1)证明：∵四边形 ABCD 是菱形，∴∠B＝∠D， AB＝BC＝DC＝AD.∵点 E，O，F 分别为 AB，AC，AD 的中点，
【思路引导】(1)先计算AM，CM的长，再由勾股定理可得AC的长．(2)延长 EF到点G，使得FG＝EF，先证明△BMD≌△AMC，得AC＝BD，再证明 △BFG≌△CFE，可得BG＝CE，∠G＝∠E，从而得BD＝BG＝CE，即可得 ∠BDG＝∠G＝∠E.
解：(1)∵∠ABM＝45°，AM⊥BM， ∴AM＝BM＝ABcos45°＝3 2× 22＝3. 则 CM＝BC－BM＝5－3＝2，∴AC＝ AM2＋CM2＝ 22＋32＝ 13.
【例2】 如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点， EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N. (1)求证：△ABM∽△EFA； (2)若AB＝12，BM＝5，求DE的长．
【思路引导】(1)由两角相等即可证明；(2)由勾股定理求出AM，得出AF， 由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可求解．
5．(导学号65244232)(2017·包头)如图，在△ABC中，∠C＝90°， ∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于 点F，已知CD＝3. (1)求AD的长； (2)求四边形AEDF的周长．(注意：本题中的计算过程和结果均保留根号)
解：(1)∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°. ∵AD 平分∠CAB，∴∠CAD＝12∠CAB＝30°. 在 Rt△ACD 中，∵∠ACD＝90°，∠CAD＝30°，∴AD＝2CD＝6.
2024年中考数学几何证明技巧总结
2024年中考数学几何证明技巧总结中考数学中的几何证明题一直是许多同学感到头疼的部分，但只要掌握了正确的技巧和方法，其实并没有想象中那么难。
下面就为大家总结一些 2024 年中考数学几何证明的实用技巧。
一、牢记基本定理和性质几何证明题的解答离不开各种定理和性质，比如三角形的内角和定理、勾股定理、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等等。
同学们一定要将这些基础知识牢记于心，这样在解题时才能迅速找到思路。
例如，在证明三角形全等时，要清楚全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），并且能够根据题目所给的条件，准确选择合适的判定方法。
二、学会识图与画图良好的识图能力是解决几何证明题的关键。
拿到一道题，首先要仔细观察图形，找出其中的隐含条件。
比如，两条平行线被第三条直线所截，同位角、内错角相等；等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线三线合一等等。
如果题目所给的图形不够清晰或者不利于解题，还可以自己动手重新画图。
在画图的过程中，可能会发现一些新的线索和关系。
三、添加辅助线当题目中的条件不足以直接得出结论时，添加辅助线往往能起到关键作用。
常见的辅助线有连接两点、作垂线、作平行线、延长线段等等。
比如，在证明三角形内角和为 180°时，可以通过作平行线将三角形的三个内角转化为平角；在证明梯形问题时，可以通过作高将梯形转化为三角形和矩形来解决。
四、运用逆向思维有时候从已知条件正向推导很难得出结论，这时可以尝试从结论出发，逆向思考需要什么条件才能得到这个结论，然后再看已知条件是否能够提供这些条件。
例如，要证明一个四边形是平行四边形，可以先思考平行四边形的判定条件，然后看题目中的条件是否能够满足其中的某一个判定条件。
五、多做练习题熟能生巧，只有通过大量的练习，才能真正掌握几何证明的技巧。
在练习的过程中，要注意总结不同类型题目的解题方法和规律，积累经验。
同时，做完一道题后，要认真反思自己的解题过程，看看有没有更简单的方法，或者自己在哪些地方容易出错，以便在今后的学习中加以改进。
专题04 几何计算与几何证明(解析版)
专题04几何计算与几何证明【提要】平面几何是培养训练人的逻辑思维能力的很好的工具，也是初中数学学习内容的重要组成部分，因此它是初中数学学业考试的重要内容之一．在平面几何中，除了一些证明题外，还有一些计算问题，它也是要经过一定的逻辑推理后，再进行计算．因此熟练掌握几何中的一些重要定义、定理，是解决问题的前提．另外还需注意的是，要把解决常见问题的基本方法加以归类整理，比如证明角相等有哪些常见的方法？证明线段相等有哪些常见的方法？这样在遇到复杂问题时，我们才能运用化归的思想，分析和解决问题．【范例】【例1】如图，在▱ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE.(1)求证：△ABC≌△EAD；(2)若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，求∠AED的度数．【解析】(1)【证明】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC.∴∠AEB＝∠DAE.∵AB＝AE，∴∠AEB＝∠B.∴∠CBA＝∠DAE.∴△ABC≌△EAD.(2)【解析】∵∠DAE＝∠BAE，∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB＝∠B.∴△ABE为等边三角形．∴∠BAE ＝60°.∵∠EAC ＝25°，∴∠BAC ＝85°.∵△ABC ≌△EAD ，∴∠AED ＝∠BAC ＝85°.【例2】两个全等的含30°，60°角的三角板ADE 和三角板ABC 如图所示放置，E 、A 、C 三点在一条直线上，连接BD ，取BD 的中点M ，连接ME 、MC ，试判断△EMC 的形状，并说明理由．【解析】△EMC 的形状是等腰直角三角形．证明：连接AM .∵∠DAE ＝∠ABC ＝30°，∠BAC ＝∠ADE ＝60°.∴∠DAB ＝90°.又∵DM ＝MB ，∴MA ＝DB ＝DM .12∵AD ＝AB ，∴∠MAD ＝∠MAB ＝∠MDA ＝45°，∠DMA ＝90°.∴∠MDE ＝∠MAC ＝105°.∴△EDM ≌△CAM .∴EM ＝MC ，∠DME ＝∠AMC .又∠DME ＋∠EMA ＝90°，∴∠EMA ＋∠AMC ＝90°.∴CM ⊥EM .∴△EMC 是等腰直角三角形．【例3】如图，已知：在△ABC 中，D 是边BC 上的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F .(1)求证：CF ＝AB ；12(2)若△FCD 的面积＝5，BC ＝10，求DE 的长．(1)【证明】取AC 的中点G ，连接DG .∵D 是BC 的中点，∴DG ∥AB ，DG ＝AB12∵DE ⊥BC ，∴DE 是BC 的垂直平分线，BE ＝CE ，∠EBC ＝∠ECB ，∵∠GDC ＝∠EBC ，∴∠GDC ＝∠ECB .由AD ＝AC ，得∠ACD ＝∠ADC 在△GDC 和△FCD 中，∠GDC ＝∠FCD ，∠GCD ＝∠FDC ，DC ＝CD ，得△GDC ≌△FCD ，∴DG ＝CF ，∴CF ＝AB .12(2)【解析】作AH ⊥DC ，垂足为H ，则DH ＝CH .∵△GDC ≌△FCD ，∴CG ＝DF ＝AC ＝AD ，1212∴F 是AD 的中点，∵S △FCD ＝5，BC ＝10，∴S △FCA ＝5，DC ＝5，DH ＝，S △ADC ＝1052∵S △ADC ＝DC ·AH ，12∴AH ＝4，∵ED ∥AH ，∴＝ED AH BD BH ED ＝＝＝，∴DE ＝.AH ·BDBH 4×51528383【例4】如图(1)，已知⊙O 的弦AB 垂直于直径CD ，垂足为F ，点E 在AB 上，且EA ＝EC .(1)求证：AC 2＝AE ·AB ；(2)延长EC 到点P ，连接PB ，如果PB ＝PE ，试判断PB 与⊙O的位置关系，并说明理由．(1)【证明】连接BC .∵直径CD ⊥AB ，∴AF ＝BF .∴AC ＝BC .∴∠A ＝∠ABC .又∵EA ＝EC ，∴∠A ＝∠ACE .∴∠ABC ＝∠ACE .∵∠A ＝∠A ，∴△ACE ∽△ABC .∴＝，即AC 2＝AE ·AB .AEAC ACAB(2)【解析】连接OB.∵PB＝PE，∴∠PBE＝∠PEB，即∠PBC＋∠EBC＝∠A＋∠ECA.∴∠PBC＝∠EBC＝∠A＝∠ECA.又∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.而∠OCB＋∠EBC＝90°.∴∠OBC＋∠PBC＝90°，即∠OBP＝90°.∴OB⊥PB，∴PB与⊙O的位置关系是相切．【例5】如图(1)，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG 为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于点H.(1)求证：①△BCG≌△DCE；②BH⊥DE.(2)试问当点G运动到什么位置时，BH垂直平分DE？请说明理由．(1)【证明】∵四边形ABCD、四边形GCEF都是正方形，∴BC＝DC，∠BCG＝∠DCE＝90°，CG＝CE，∴△BCG≌△DCE.∴∠CBG＝∠CDE.∵∠BGC ＝∠DGH ，∴∠DHG ＝∠BCG ＝90°，即BH ⊥DE .(2)【解析】连接EG .(如图(2))要使BH 垂直平分DE ，必须有GE ＝GD .设CG ＝x .那么GE ＝x ，DG ＝1－x .2∴x ＝1－x .2解得x ＝－1，即当CG ＝－1时，BH 垂直平分DE .22【训练】1．（2020•宝山区一模）如图，直线，点坐标为，过点作轴的垂线交直线于点，:l y =1A (1,0)1A x l 1B 以原点为圆心，为半径画弧交轴于点；再过点作的垂线交直线于点，以原点为圆O 1OB x 2A 2A x l 2B O 心，长为半径画弧交轴于点，，按此做法进行下去．2OB x 3A ⋯求：（1）点的坐标和的度数；1B 11A OB ∠（2）弦的弦心距的长度．43A B【分析】（1）求出的值，即可解决问题．11tan A OB ∠11A B （2）连接，作于．求出即可．43A B 43OH A B ⊥H OH【解答】解：（1）直线的解析式，y =11111tan A B A OB OA ∴∠==，，1160A OB ∴∠=︒11OA =，，11A B ∴=212OA OB ==．1B ∴（2）连接，作于．43A B 43OH A B ⊥H 由题意，，，，11OA =22OA =34OA =48OA =，，43OA OB = 43OH A B ⊥，4431302A OH A OB ∴∠=∠=︒．4cos308OH OA ∴=︒==2．（2020•奉贤区一模）如图，已知是的直径，是上一点，，垂足为点，是AB O C O CD AB ⊥D E 的中点，与弦交于点． BCOE BC F （1）如果是的中点，求的值；CAE :AD DB （2）如果的直径，，求的长．O 6AB =:1:2FO EF =CD【分析】（1）连接，根据垂径定理的推论得到，，根据含的直角三角形的OC OE BC ⊥ AC ECEB ==30︒性质计算；（2）根据勾股定理求出，得到的长，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，BF BC BFO BDC ∆∆∽代入计算得到答案．【解答】解：（1）连接，OC 是的中点，E BC，，∴ ECEB =OE BC ⊥是的中点，C AE ，∴AC EC =，∴AC EC EB ==，60AOC COE EOB ∴∠=∠=∠=︒，30OCD ∴∠=︒在中，，Rt COD ∆30OCD ∠=︒，12OD OC ∴=；:1:3AD DB ∴=（2），，6AB = :1:2FO EF =，1OF ∴=在中，，Rt BOF ∆BF ===，BC ∴=，，CD AB ⊥ OE BC ⊥，又，90BDC BFO ∴∠=∠=︒B B ∠=∠，BFO BDC ∴∆∆∽，∴BO OFBC CD =1CD=解得，．CD =3．（2020•黄浦区一模）如图，是边长为2的等边三角形，点与点分别位于直线的两侧，且ABC ∆D B AC ，连接、，交直线于点．AD AC =BD CD BD AC E （1）当时，求线段的长．90CAD ∠=︒AE （2）过点作，垂足为点，直线交于点，A AH CD ⊥H AH BD F①当时，设，（其中表示的面积，表示的面积），求120CAD ∠<︒AE x =BCEAEFS y S ∆∆=BCE S ∆BCE ∆AEF S ∆AEF ∆关于的函数关系式，并写出的取值范围；y x x ②当时，请直接写出线段的长．7BCEAEFS S∆∆=AE 【分析】（1）过点作，垂足为点．，则．根据构建方程求出即E EG BC ⊥G AE x =2EC x =-BG EG =x 可解决问题．（2）①证明，可得，由此构建关系式即可解决问题．AEF BEC ∆∆∽22BCE AEF S BE S AE ∆∆=②分两种情形：当时，当时，分别求解即可解决问题．120CAD ∠<︒120180CAD ︒<∠<︒【解答】解：（1）是等边三角形，ABC ∆ ，．2AB BC AC ∴=-=60BAC ABC ACB ∠=∠=∠=︒，AD AC = ，AD AB ∴=，ABD ADB ∴∠=∠，，，180ABD ADB BAC CAD ∠+∠+∠+∠=︒ 90CAD ∠=︒15ABD ∠=︒．45EBC ∴∠=︒过点作，垂足为点．E EG BC ⊥G设，则．AE x =2EC x =-在中，，Rt CGE ∆60ACB ∠=︒，，∴sin )EG EC ACB x =∠=- 1cos 12CG EC ACB x =∠=- ，1212BG CG x ∴=-=+在中，，Rt BGE ∆45EBC ∠=︒，∴11)2x x +=-解得．4x =-所以线段的长是．AE 4-（2）①设，则，．ABD α∠=BDA α∠=1202DAC BAD BAC α∠=∠-∠=︒-，，AD AC = AH CD ⊥，∴1602CAF DAC α∠=∠=︒-又，60AEF α∠=︒+ ，60AFE ∴∠=︒，AFE ACB ∴∠=∠又，AEF BEC ∠=∠ ，AEF BEC ∴∆∆∽，∴22BCE AEF S BE S AE ∆∆=由（1）得在中，，，Rt CGE ∆112BG x =+)EG x =-，222224BE BG EG x x ∴=+=-+．∴2224(02)x x y x x -+=<<②当时，120CAD ∠<︒，则有，7y =22247x x x -+=整理得，2320x x +-=解得或（舍弃），23x =1-．23AE =当时，同法可得120180CAD ︒<∠<︒2224x x y x ++=当时，，7y =22247x x x ++=整理得，2320x x --=解得（舍弃）或1，23x =-．1AE ∴=4．（2020•闵行区一模）如图，梯形中，，，，，ABCD //AD BC 90ADC ∠=︒2AD =4BC =tan 3B =．以为直径作，交边于、两点．AB O DC E F（1）求证：；DE CF =（2）求：直径的长．AB【分析】（1）直接利用垂径定理结合平行线分线段成比例定理得出，进而得出答案；DH HC =（2）过点作，垂足为点，再利用已知结合勾股定理得出答案．A AG BC ⊥G 【解答】（1）证明：过点作，垂足为．O OH DC ⊥H ，，，//AD BC 90ADC ∠=︒OH DC ⊥．90BCN OHC ADC ∴∠=∠=∠=︒．////AD OH BC ∴又．OA OB = ．DH HC ∴=，过圆心，OH DC ⊥ OH ，EH HF ∴=．DH EH HC HF ∴-=-即：．DE CF =（2）解：过点作，垂足为点，，A AG BC ⊥G 90AGB ∠=︒，90AGB BCN ∠=∠=︒ ．//AG DC ∴，//AD BC ．AD CG ∴=，，2AD = 4BC =．2BG BC CG ∴=-=在中，，Rt AGB ∆tan 3B = ．tan 236AG BG B ∴==⨯= 在中，Rt AGB ∆222AB AG BG =+AB ∴=5．（2020•奉贤区一模）如图，在平行四边形中，点在边上，点在边的延长线上，连接ABCD E AD F CB 、，．CE EF 2CE DE CF = （1）求证：；D CEF ∠=∠（2）连接，交于点，如果平分，求证：．AC EF G AC ECF ∠AC AE CB CG =【分析】（1）根据且可证明，即可得结论；2CE DE CF = DEC ECF ∠=∠CDE CEF ∆∆∽（2）根据平分，，可得，进而得，再证明，对AC ECF ∠//AD BC EAC ECA ∠=∠E EC =CGE CAB ∆∆∽应边成比例即可．【解答】（1）证明：，即2CE DE CF = CE CFDE CE=四边形为平行四边形， ABCD ，，//AD BC ∴DEC ECF ∴∠=∠，CDE CEF ∴∆∆∽．D CEF ∴∠=∠（2）如图所示：平分，，AC ECF ∠ECA BCA ∴∠=∠，，D CEF ∠=∠ D B ∠=∠，CEF B ∴∠=∠，CGE CAB ∴∆∆∽，∴CG CEAC CB=，，//AD BC DAC BCA ∴∠=∠，ECA DAC ∠=∠ ，AE CE ∴=，即．∴CG AEAC CB=AC AE CB CG = 6．（2020•崇明区一模）如图，是的直径，弦于点，连接，过点作于AC O BD AO ⊥E BC O OF BC ⊥点，，．F 8BD =2AE =（1）求的半径；O （2）求的长度．OF【分析】（1）连接，根据垂径定理求出，根据勾股定理计算，得到答案；OB BE （2）根据勾股定理求出，根据垂径定理求出，根据勾股定理计算，得到答案．BC BF 【解答】解：（1）连接，OB 设的半径为，则，O x 2OE x =-，OA BD ⊥ ，142BE ED BD ∴===在中，，即，Rt OEB ∆222OB OE BE =+222(2)4x x =-+解得，，即的半径为5；5x =O（2）在中，，Rt CEB ∆BC ===，OF BC ⊥12BF BC ∴==．OF ∴==7．（2020•嘉定区一模）如图，在中，、是两条弦，的半径长为，弧的长度为O AB CD O rcm AB 1l cm ，弧的长度为（温馨提醒：弧的度数相等，弧的长度相等，弧相等，有联系也有区别）．当CD 2l cm 12l l =时，求证：．AB CD =【分析】根据弧长公式求得，然后利用证得，即可证得结论．AOB COD ∠=∠ASA AOB COD ∆≅∆【解答】解：设，，AOB m ∠=︒COD n ∠=︒由题意，得，，1180mr l π=2180nr l π=，，BG FH DG CH =∴180180mr nr ππ=，即，m n ∴=AOB COD ∠=∠、、、都是的半径，OA OB OC OD O ，OA OB OC OD ∴===，，，OA OC = AOB COD ∠=∠OB OD =()AOB COD SAS ∴∆≅∆．AB CD ∴=8．（2020•徐汇区一模）如图，在中，，，点是边上的动点（点不与点ABC ∆5AB AC ==6BC =D AB D 重合），点在边的延长线上，，，与边交于点．AB G AB CDE A ∠=∠GBE ABC ∠=∠DE BC F （1）求的值；cos A （2）当时，求的长；2A ACD ∠=∠AD （3）点在边上运动的过程中，的值是否会发生变化？如果不变化，请求的值；如D AB :AD BE :AD BE果变化，请说明理由．【分析】（1）作于，于．解直角三角形求出，即可解决问题．AH BC ⊥H BM AC ⊥M BM AM （2）设交于．首先证明，设，在中，理由勾股定理求出，再AH CD K AK CK =AK CK x ==Rt CHK ∆x 证明，理由相似三角形的性质构建方程组即可解决问题．ADK CDA ∆∆∽（3）结论：值不变．证明，可得．:5:6AD BE =ACD BCE ∆∆∽56AD AC BE BC ==【解答】解：（1）作于，于．AH BC ⊥H BM AC ⊥M ，，AB AC = AH BC ⊥，3BH CH ∴==，4AH ∴===，1122ABC S BC AH AC BM ∆== ，245BC AH BM AC ∴==，75AM ∴===．7cos 25AM A AB ∴==（2）设交于．AH CD K ，，2BAC ACD ∠=∠ BAH CAH ∠=∠，CAK ACK ∴∠=∠，设，CK AK ∴=CK AK x ==在中，则有，Rt CKH ∆222(4)3x x =-+解得，258x =，258AK CK ∴==，，ADK ADC ∠=∠ DAK ACD ∠=∠，ADK CDA ∴∆∆∽，设，，∴255858AD AK DK CD AC AD ====AD m =DK n =则有，解得，．25258825()8mn m n n ⎧=⎪+⎪⎨⎪=+⎪⎩12539m =625312n =．12539AD ∴=（3）结论：值不变．:5:6AD BE =理由：，，，GBE ABC ∠=∠ 2180BAC ABC ∠+∠=︒180GBE EBC ABC ∠+∠+∠=︒，EBC BAC ∴∠=∠，EDC BAC ∠=∠ ，EBC EDC ∴∠=∠，，，四点共圆，D ∴B E C ，EDB ECB ∴∠=∠，，EDB EDC ACD DAC ∠+∠=∠+∠ EDC DAC ∠=∠，EDB ACD ∴∠=∠，ECB ACD ∴∠=∠，ACD BCE ∴∆∆∽．∴56AD AC BE BC ==9．（2019•杨浦区三模）已知，在和中，，，，为ACB ∆DCE ∆90ACB DCE ∠=∠=︒AC BC =DC EC =M 的中点，连接．DE BE （1）如图1，当点、、在同一直线上，连接，求证：；A D E CM 22AE BECM =-（2）如图2，当点在边上时，连接，求证：．D AB BM 222()(22AD BD BM =+【分析】（1）先证明，根据全等三角形的性质得出，，得出ACD BCE ∆≅∆AD BE =，根据直角三角形斜边上的中线性质求出，即可得出结论；AE AD AE BE DE -=-=12CM DE =（2）同（1）得：，得出，，得出ACD BCE ∆≅∆AD BE =45DAC EBC ∠=∠=︒，由勾股定理得出，由直角三角形斜边上的中线性质得出90ABE ABC EBC ∠=∠+∠=︒222DE BE BD =+，即可得出结论．2DE BM =【解答】（1）证明：，，90ACB DCE ∠=∠=︒ AC BC =，，90ACD BCE DCB ∴∠=∠=︒-∠45BAC ABC ∠=∠=︒在和中，，ACD ∆BCE ∆AC BCACD BCEDC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，AD BE ∴=，AE AD AE BE DE ∴-=-=为的中点，，M DE 90DCE ∠=︒；11()2222AE BECM DE AE AD ∴==-=-（2）证明：同（1）得：，ACD BCE ∆≅∆，，AD BE ∴=45DAC EBC ∠=∠=︒，90ABE ABC EBC ∴∠=∠+∠=︒，222DE BE BD ∴=+为的中点，M DE，222224BM BE BD AD BD ∴=+=+．222()(22AD BD BM ∴=+10．（2019•静安区二模）已知：如图，内接于，，点为弦的中点，的延长ABC ∆O AB AC =E AB AO 线交于点，连接．过点作交于点．BC D ED B BF DE ⊥AC F （1）求证：；BAD CBF ∠=∠（2）如果．求证：．OD DB =AF BF =【分析】（1）由等腰三角形的性质得出，由垂径定理得出，，证出是ABC C ∠=∠AD BC ⊥BD CD =DE 的中位线．得出，证出，由角的互余关系即可得出结论；ABC ∆//DE AC 90BFC ∠=︒（2）连接．证出是等腰直角三角形，得出．再由等腰三角形的性质得出OB ODB ∆45BOD ∠=︒．即可得出结论．OBA OAB ∠=∠【解答】（1）证明：如图1所示：，，AB AC = ABC C ∴∠=∠直线经过圆心， AD O ，，AD BC ∴⊥BD CD =点为弦的中点，E AB 是的中位线．DE ∴ABC ∆，//DE AC ∴，BF DE ⊥ ，90BPD ∴∠=︒，90BFC ∴∠=︒．90CBF ACB ∴∠+∠=︒，AB AC = ，ABC ACB ∴∠=∠，90CBF ABC ∴∠+∠=︒，90BAD ABC ∴∠+∠=︒；BAD CBF ∴∠=∠（2）证明：连接．如图2所示：OB ，，AD BC ⊥ OD DB =是等腰直角三角形，ODB ∴∆．45BOD ∴∠=︒，OB OA = ．OBA OAB ∴∠=∠，BOD OBA OAB ∠=∠+∠ ，122.52BAO BOD ∴∠=∠=︒，且，AB AC = AD BC ⊥．245BAC BAO ∴∠=∠=︒，即，290∠=︒ BF AC ⊥在中，，∴ABF ∆904545ABF ∠=︒-︒=︒，ABF BAC ∴∠=∠．AF BF ∴=11．（2019•嘉定区二模）如图已知：中，是边上的高、是边的中点，，ABC ∆AD BC E AC 11BC =，为边长为4的正方形，其中点、、分别在、、上．12AD =DFGH F G H AD AB BC（1）求的长度；BD （2）求的值．cos EDC ∠【分析】（1）由四边形为边长为4的正方形得，将相关线段的长度代入计算可得；DFGH GF AF BD AD=（2）先求出、的长，再由是边的中点知，据此得，再根据余弦函CD AC E AC ED EC =EDC ACD ∠=∠数的定义可得答案．【解答】解：（1）四边形为顶点在边长的正方形，且边长为4， DFGH ABD ∆，，//GF BD ∴4GF DF ==，∴GF AF BD AD=，12AD = ，8AF ∴=则，4812BD =解得：；6BD =（2），，11BC = 6BD =，5CD ∴=在直角中，，ADC ∆222AC AD DC =+，13AC ∴=是边的中点，E AC ，ED EC ∴=，EDC ACD ∴∠=∠．∴5cos cos 13EDC ACD ∠=∠=12．（2019•松江区二模）如图，已知中，，，垂足为点，延长、交ABCD AB AC =CO AD ⊥O CO BA 于点，连接．E DE（1）求证：四边形是菱形；ACDE （2）连接，交于点，如果，求证：．OB AC F OF OC =22AB BF BO =【分析】（1）首先证明四边形是平行四边形，再证明即可解决问题．AEDC AE AC =（2）证明，可得解决问题．BAF BOE ∆∆∽BA BF BO BE=【解答】（1）证明：，CO BC ⊥ ，90BCE ∴∠=︒，AB AC = ，B ACB ∴∠=∠，，90AEC B ∠+∠=︒ 90ACE ACB ∠+∠=︒，ACE AEC ∴∠=∠，AE AC ∴=，AE AB ∴=四边形是平行四边形，ABCD ，，//BE CD ∴AB CD AE ==四边形是平行四边形，∴AEDC ，AE AC = 四边形是菱形．∴AEDC （2）解：连接交于．OB AC F 四边形是菱形，AEDC ，AEC ACE ∴∠=∠，OF OC = ，OFC OCF AFB ∴∠=∠=∠，AFB AEO ∴∠=∠，ABF OBE ∠=∠，∴BA BF BO BE=，BA BE BF BO ∴= ，2BE BA = ．22AB BF BO ∴=13．（2019•奉贤区二模）已知：如图，正方形，点在边上，，垂足为点，点在ABCD E AD AF BE ⊥F G 线段上，．BF BG AF =（1）求证：；CG BE ⊥（2）如果点是的中点，连接，求证：．E AD CF CF CB =【分析】（1）证明，通过角的代换即可得到，即；AFB BGC ∆≅∆90BGC ∠=︒CG BE ⊥（2）先证明，得到，根据中点线段关系结合比例式推导出，又AEB FAB ∆∆∽AE AF AB BF=FG BG =，所以．CG BE ⊥CF CB =【解答】证明：（1）四边形是正方形，ABCD ，．AB BC ∴=90ABC ∠=︒，AF BE ⊥ ．90FAB FBA ∴∠+∠=︒，90FBA CBG ∠+∠=︒ ．FAB CBG ∴∠=∠又，AF BG = ．()AFB BGC SAS ∴∆≅∆，．90BGC ∴∠=︒CG BE ∴⊥（2），，ABF EBA ∠=∠ 90AFB BAE ∠=∠=︒．AEB FAB ∴∆∆∽．∴AE AF AB BF=点是的中点，，E AD AD AB =．∴12AE AF AB BF ==，AF BG = ，即．∴12BG BF =FG BG =，CG BE ⊥ ．CF CB ∴=14．（2019•金山区二模）已知：如图，菱形的对角线与相交于点，若．ABCD AC BD O CAD DBC ∠=∠（1）求证：四边形是正方形．ABCD （2）是上一点，，垂足为，与相交于点，求证：．E OB DH CE ⊥H DH OCF OE OF =【分析】（1）由菱形的性质得出，，，得出//AD BC 2BAD DAC ∠=∠2ABC DBC ∠=∠，证出，求出，即可得出结论；180BAD ABC ∠+∠=︒BAD ABC ∠=∠90BAD ∠=︒（2）由正方形的性质得出，，，，得出，AC BD ⊥AC BD =12CO AC =12DO BO =90COB DOC ∠=∠=︒，证出，证明，CO DO =ECO EDH ∠=∠()ECO FDO ASA ∆≅∆即可得出结论．【解答】（1）证明：四边形是菱形，ABCD ，，，//AD BC ∴2BAD DAC ∠=∠2ABC DBC ∠=∠，180BAD ABC ∴∠+∠=︒，BAD ABC ∴∠=∠，，2180BAD ∴∠=︒90BAD ∴∠=︒四边形是正方形；∴ABCD （2）证明：四边形是正方形，ABCD ，，，，AC BD ∴⊥AC BD =12CO AC =12DO BO =，，90COB DOC ∴∠=∠=︒CO DO =，垂足为，DH CE ⊥ H ，，90DHE ∴∠=︒90EDH DEH ∠+∠=︒，90ECO DEH ∠+∠=︒ ，ECO EDH ∴∠=∠在和中，，ECO ∆FDO ∆90ECO EDH CO DO COE DHE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，()ECO FDO ASA ∴∆≅∆．OE OF ∴=15．（2019•奉贤区二模）如图，已知梯形中，，，，对角线ABCD //AD BC 90ABC ∠=︒28BC AB ==平分，过点作，垂足为点，交边的延长线于点，连接．AC BCD ∠D DE AC ⊥E AB F CF （1）求腰的长；DC （2）求的余弦值．BCF∠【分析】（1）根据勾股定理求出，求出，解直角三角形求出，根据勾股定理求出即可；AC CE DE DC （2）根据相似三角形的性质和判定求出，求出，解直角三角形求出即可．AF CF 【解答】解：（1），，90ABC ∠=︒ 28BC AB ==，4AB ∴=AC ==，//AD BC ，DAC BCA ∴∠=∠平分，AC BCD ∠，DCA ACB ∴∠=∠，DAC DCA ∴∠=∠，AD CD ∴=，DE AC ⊥，1122CE AC ∴==⨯=在中，，，Rt DEC ∆90DEC ∠=︒tan DE DCE CE ∠=在中，，，Rt ABC ∆90ABC ∠=︒41tan 82AB ACB BC ∠===，∴12DE CE =，CE =DE ∴=在中，由勾股定理得：；Rt DEC ∆5DC ===即腰的长是5；DC （2）设与相交于点，DF BC Q ，，90FBC FEC ∠=∠=︒ BQF EQC ∠=∠由三角形内角和定理得：，∴AFE ACB ∠=∠，90FAD ABC ∠=∠=︒ ，AFD BCA ∴∆∆∽，∴AD AB AF BC=，，5AD DC == 12AB BC =，∴512AF =解得：，10AF =，，AE CE = FE AC ⊥，10CF AF ∴==在中，，．Rt BCF ∆90CBF ∠=︒84cos 105BC BCF CF ∠===16．已知：如图，在中，，，点、分别是边、的中点，点、ABC ∆AB BC =90ABC ∠=︒D E AB BC F G 是边的三等分点，、的延长线相交于点，连接、．AC DF EG H HA HC 求证：（1）四边形是菱形；FBGH （2）四边形是正方形．ABCH【分析】（1）由三角形中位线知识可得，，根据菱形的判定的判定可得四边形//DF BG //GH BF FBGH 是菱形；（2）连结，交于点，利用平行四边形的对角线互相平分可得，，又BH AC O OB OH =OF OG =，所以．再根据对角线互相垂直平分的平行四边形得证四边形是菱形，再根据一AF CG =OA OC =ABCH 组邻边相等的菱形即可求解．【解答】证明：（1）点、是边的三等分点，F G AC ．AF FG GC ∴==又点是边的中点，D AB ．//DH BG ∴同理：．//EH BF 四边形是平行四边形，∴FBGH 连结，交于点，BH AC O ，OF OG ∴=，AO CO ∴=，AB BC = ，BH FG ∴⊥四边形是菱形；∴FBGH（2）四边形是平行四边形，FBGH ，．BO HO ∴=FO GO =又，AF FG GC == ，即：．AF FO GC GO ∴+=+AO CO =四边形是平行四边形．∴ABCH ，，AC BH ⊥ AB BC =四边形是正方形．∴ABCH17．（2019•普陀区一模）如图，和相交于、两点，与交于点，的延长线交1O 2O A B 12O O AB C 2O A 于点，点为的中点，，连接．1O D E AD AE AC =OE （1）求证：；11O E O C =（2）如果，，求的半径长．1210O O =16O E =2O【分析】（1）连接，根据垂径定理得到，根据相交两圆的性质得到，证明△1O A 1O E AD ⊥1O C AB ⊥Rt △，根据全等三角形的性质证明结论；1O EA Rt ≅1O CA （2）设的半径长为，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．2O r 【解答】（1）证明：连接，1O A 点为的中点，E AD ，1O E AD ∴⊥和相交于、两点，与交于点，1O 2O A B 12O O AB C ，1O C AB ∴⊥在△和△中，Rt 1O EA Rt 1O CA ，11O A O A AE AC =⎧⎨=⎩△△Rt ∴1O EA Rt ≅1()O CA HL ；11O E O C ∴=（2）解：设的半径长为，2O r ，116O E O C == ，21064O C ∴=-=在△中，，Rt 12O EO 28O E ==则，8AC AE r ==-在中，，即，2Rt ACO ∆22222O A AC O C =+222(8)4r r =-+解得，，即的半径长为5．5r =2O。
中考重难点_27_中考中的几何证明与计算方法
中考重难点(27)中考中的几何证明与计算方法方法点晴 1、特殊角带来特殊的数量关系2、设元整体计算3、分散的条件通过全等或相似转换进行集中计算典例分析1．如图，正六边形ABCDEF 中，P 是边ED 的中点，连接AP ，则ABAP ＝___________2．如图所示，某双曲线上三点A 、B 、C 的横坐标分别为1、2、3．若AB ＝2BC ，则该双曲线的解析式的为y ＝ ．3．如图，在等边三角形△ABC 中，射线AD 四等分∠BAC 交BC 于点D ，其中∠BAD ＞∠CAD ，则CD BD＝ ．4．如图，点D 在⊙O 的直径AB 的延长线上，CD 切⊙O 于点C ，AE ⊥CD于点E(1) 求证：AC 平分∠DAE(2) 若AB ＝6，BD ＝2，求CE 的长5．如图，点C为线段AB上一点，分别以AB、AC、CB为底作顶角为120°的等腰三角形，顶角顶点分别为D、E、F（点E、F在AB的同侧，点D在另一侧）(1) 如图1，若点C是AB的中点，则∠AED＝___________(2) 如图2，若点C不是AB的中点①求证：△DEF为等边三角形②连接CD，若∠ADC＝90°，AB＝3，请直接写出EF的长6．如图，P 为的⊙O 内的一个定点，A 为⊙O 上的一个动点，射线AP 、AO 分别与⊙O 交于B 、C 两点．若⊙O 的半径长为3，OP ＝ 3 ，则弦BC 的最大值为 （ ）A ．23 ． B ．3． C ． 6 ． D ．3 2 ．C A7．已知：P 为⊙O 外一点，P A 、PB 分别切⊙O 于A、B 两点，点C 为⊙O 上一点．（1）如图1，若AC 为直径，求证：OP ∥BC ；（2）如图2，若sin ∠P ＝1213，求tan ∠C 的值． C图1 图28．在△ABC 中，点D 从A 出发，在AB 边上以每秒一个单位的速度向B 运动，同时点F 从B 出发，在BC 边上以相同的速度向C 运动，过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ．运动时间为t 秒．（1）若AB ＝5，BC ＝6，当t 为何值时，四边形DFCE 为平行四边形；（2）连接AF 、CD ．若BD ＝DE ，求证：∠BAF ＝∠BCD ；（3）AF 交DE 于点M ，在DC 上取点N ，使MN ∥AC ，连接FN ． ①求证：BF CF ＝DN CN； ②若AB ＝5，BC ＝6，AC ＝4，当MN ＝FN 时，请直接写出t 的值．9．如图，在□ABCD 中，∠D ＝100°，∠DAB 的平分线AE 交DC 于点E ，连接BE ．若AE ＝AB ，则∠EBC 的度数为___________10．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝32，∠BAC ＝120°，点D 、E 都在边BC 上，∠DAE ＝60°．若BD ＝2CE ，则DE 的长为___________11．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，CO 的延长线交AB 于点D(1) 求证：AO 平分∠BAC(2) 若BC ＝6，sin ∠BAC ＝53，求AC 和CD 的长12．已知四边形ABCD 的一组对边AD 、BC 的延长线交于点E(1) 如图1，若∠ABC ＝∠ADC ＝90°，求证：ED ·EA ＝EC ·EB(2) 如图2，若∠ABC ＝120°，cos ∠ADC ＝53，CD ＝5，AB ＝12，△CDE 的面积为6，求四边形ABCD 的面积(3) 如图3，另一组对边AB 、DC 的延长线相交于点F ．若cos ∠ABC ＝cos ∠ADC ＝53，CD ＝5，CF ＝ED ＝n ，直接写出AD 的长（用含n 的式子表示）。
中考专题复习——第24题几何证明与计算
角度大小计算
总结词
根据已知条件，利用三角函数或三角 形内角和定理计算角度大小。
详细描述
在直角三角形中，可以利用三角函数 计算锐角或直角的大小；在一般三角 形中，可以利用三角形内角和定理计 算角度。
面积与周长计算
总结词
根据已详细描述
对于矩形、正方形等规则图形，可以利用面积公式计算面积 ；对于圆、椭圆等曲线图形，可以利用周长公式计算周长。 同时，注意图形之间的组合与分解，以及图形变换前后的对 应关系。
中考专题复习——第24题几何证 明与计算
汇报人：
2023-12-12
• 几何证明 • 几何计算
01
几何证明
线段相等证明
总结词：全等三角形，等腰三角形，中点等
详细描述：线段相等是几何证明中常见的题型，通常可以 通过全等三角形、等腰三角形或中点等证明方法来证明两 条线段相等。
证明方法
全等三角形：如果两个三角形全等，则它们的对应边相等 。
等腰三角形：等腰三角形的两条底角相等，因此两个底角 对应的边也相等。
中点等：如果两条线段的中点相等，则它们的长度也相等 。
角相等证明
总结词：平行线，全等三角形，等腰三角形等
证明方法
全等三角形：如果两个三角形全等，则它们的对应角相 等。
详细描述：角相等是几何证明中另一常见的题型，可以 通过平行线、全等三角形或等腰三角形等方法来证明两 个角相等。
垂直线：如果两条直线垂直于第三条直线，则这两条直线 也互相垂直。
角度：如果两条直线与第三条直线所成的角度相等，则这 两条直线也互相平行。
02
几何计算
线段长度计算
总结词
根据已知条件，利用勾股定理或 三角函数计算线段长度。
中考《第三讲：几何证明与计算题》专题复习含答案试卷分析解析
苏州中考数学专题辅导第三讲几何证明与计算题选讲真题再现：1．（苏州•本题6分)如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，∠1=∠2，∠3=∠4．求证：(1)△ABC≌△ADC；(2)BO=DO．2．(苏州•本题8分) 如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=6，BC=12．动点P从D点出发沿DC以每秒1个单位的速度向终点C运动，动点Q从C点出发沿CB以每秒2个单位的速度向B 点运动．两点同时出发，当P点到达C点时，Q点随之停止运动．(1)梯形ABCD的面积等于；(2)当PQ//AB时，P点离开D点的时间等于秒；(3)当P、Q、C三点构成直角三角形时，P点离开D点多少时间?3．（江苏•本题满分10分）如图，在梯形中，E、F两点在边上，且四边形是平行四边形．（1）与有何等量关系？请说明理由；（2）当时，求证：是矩形．4．（江苏•本题满分10分）（1）观察与发现小明将三角形纸片沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到（如图②）．小明认为是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．（2）实践与运用将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点处，折痕为E G（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中的大小．ABCD AD BC AB DE AF DC∥，∥，∥，BC AEFDAD BCAB DC=ABCD()ABC AB AC>AEF△AEF△ABCDD'α∠A DCFEBACDB图①ACDB图②FE5．(苏州•本题6分) 如图，C 是线段AB 的中点，CD 平分∠ACE ，CE 平分 ∠BCD ，CD=CE ．(1)求证：△ACD ≌△BCE ；(2)若∠D=50°，求∠B 的度数．6．(苏州•本题8分) 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6．P 是AB 边上的一个动点(异于A 、B 两点)，过点P 分别作AC 、BC 边的垂线，垂足为M 、N ．设AP=x ． (1)在△ABC 中，AB= ；(2)当x= 时，矩形PMCN 的周长是14；(3)是否存在x 的值，使得△PAM 的面积、△PBN 的面积与矩形PMCN 的面积同时相等?请说出你的判断，并加以说明．7．（苏州•本题6分）如图，已知四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，∠A ＝90°，BC ＝BD ，CE ⊥BD ，垂足为E ．(1)求证：△ABD ≌△ECB ；(2)若∠DBC ＝50°，求∠DCE 的度数． 8．（苏州•本题8分）如图，小明在大楼30米高（即PH ＝30米）的窗口P 处进行观测，测得山坡上A 处的俯角为15°，山脚B 处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i （即tan ∠ABC ）为1：，点P 、H 、B 、C 、A 在同一个平面上．点H 、B 、C 在同一条直线上，且PH ⊥HC ． (1)山坡坡角（即∠ABC ）的度数等于 ▲ 度；(2)求A 、B 两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732）．33E D C F B A 图③ E D C A B F GA D E CB F G图④ 图⑤9． (苏州•本题6分) 如图，在梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，AB ＝CD ，延长线段CB 到E ，使BE ＝AD ，连接AE 、AC ．(1)求证：△ABE ≌CDA ；(2)若∠DAC ＝40°，求∠EAC 的度数．10．(苏州•本题8分）如图，已知斜坡AB 长60米，坡角（即∠BAC )为30°，BC ⊥AC ．现计划在 斜坡中点D 处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线CA 的平台DE 和一条 新的斜坡BE ．（请将下面2小题的结果都精确到0.1米，参考数据：≈1. 732)．(1)若修建的斜坡BE 的坡角（即∠BEF ）不大于45°，则平台DE 的长最多为 米； (2)—座建筑物GH 距离坡脚A 点27米远（即AG ＝27米），小明在D 点测得建筑物顶部H 的仰角（即∠HDM ）为30°．点B 、C 、A 、G 、H 在同一个平面上，点C 、A 、G 在同一条直线上，且HG 丄CG,问建筑物GH 高为多少米？11．（7分）（•苏州）如图，在一笔直的海岸线l 上有A ，B 两个观测站，A 在B 的正东方向，AB ＝2（单位：km ）．有一艘小船在点P 处，从A 测得小船在北偏西60°的方向，从B 测得小船在北偏东45°的方向．(1)求点P 到海岸线l 的距离；(2)小船从点P 处沿射线AP 的方向航行一段时间后，到达点C 处．此时，从B 测得小船在北偏西15°的方向．求点C 与点B 之间的距离．（上述2小题的结果都保留根号）12．（8分）（•苏州）如图，点P 是菱形ABCD 对角线AC 上的一点，连接DP 并延长DP 交边AB 于点E ，连接BP 并延长BP 交边AD 于点F ，交CD 的延长线于点G ．(1)求证：△APB ≌△APD ；(2)已知DF ：FA ＝1：2，设线段DP 的长为x ，线段PF 的长为y ． ①求y 与x 的函数关系式；②当x ＝6时，求线段FG 的长．13．（6分）（•苏州）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 、F 分别在AB ，AC 上，CF ＝CB ．连接CD ，将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CE ，连接EF ． (1)求证：△BCD ≌△FCE ；(2)若EF ∥CD ．求∠BDC 的度数．14．（8分）（•苏州）如图，在△ABC 中，AB =AC ．分别以B 、C 为圆心，BC 长为半径在BC 下方画弧，设两弧交于点D ，与AB 、AC 的延长线分别交于点E 、F ，连接AD 、BD 、CD ． （1）求证：AD 平分∠BAC ；（2）若BC =6，∠BAC ＝50︒，求、的长度之和（结果保留）． 15．（苏州•8分）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O,过点D 作对角线BD 的垂线交BA 的延长线于点E ．(1)证明：四边形ACDE 是平行四边形； (2)若AC=8，BD=6，求△ADE 的周长．16. （苏州•本题8分）如图，，，点在边上，，和相交于点．（1）求证：≌；DE DFπ∠A =∠B AE =BE D C A 12∠=∠AE D B O C ∆AE D ∆BE （第14题）FEDCBA（2）若，求的度数．模拟训练： 1．(常熟市•本题满分8分) 如图，在Rt 中，，斜边的垂直平分线分别交、于点、，过点作，交于点. (1)求证:四边形是菱形;(2)若，求菱形的周长。
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E D A B
F G
专题----<<几何>>证明与计算（4） 22，如图，在直角梯形ABCD 中，,90,//0
=∠ABC BC AD DC BD =, F BC AE CD E 的延长线于交的中点，为. (1)证明：EA EF =
(2)AF EG EG G BC DG D ⊥⊥试证明：连接于作过,,
E
D
A
F
23，如图，四边形ABCD 为一梯形纸片，AB CD ∥，AD BC =．翻折纸片ABCD ，使点A 与点C 重合，折痕为EF ．已知CE AB ⊥． （1）求证：EF BD ∥；
（2）若7AB =，3CD =，求线段EF 的长．
24，如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，CA 平分BCD ∠，DE AC ∥，交BC 的延长线于点E ，2B E =∠∠．
（1）求证：AB DC =； （2）若tg 2B =，5AB =
BC 的长．
25，如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，∠DCB =75º，以CD 为一边的等边△DCE
的另一顶点E 在腰AB 上． （1）求∠AED 的度数； （2）求证：AB =BC ；
（3）如图2所示，若F 为线段CD 上一点，∠FBC =30º．求 DF
FC
的值．
B E A
D F C A
B E
26，如图，在直角梯形ABCD中，,
90
,
//0
=
∠ABC
BC
AD DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的
延长线于点E，且AE=AC
（1）求证：BG=FG
(2)若AD=DC=2，求线段AB的长．
27，如图，在直角梯形ABCD中，,
90
,
//0
=
∠ABC
BC
AD AB=BC，E是边AB的中点，CE⊥BD于F
（1）求证：BE=AD；（2）求证：AC⊥DE （3）若AB=4，求四边形AEFD的面积．
28.如图，AD∥FE，点B、C在AD上，∠1＝∠2，BF＝BC。
⑴求证：四边形BCEF是菱形
⑵若AB＝BC＝CD，求证：△ACF≌△BDE
29,已知：如图，△ABC为等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，若点D是△ABC内一点，且
∠CAD＝∠CBD＝15°，则：
（1）若E为AD延长线上的一点，且CE＝CA，求证：AD+CD＝DE；
（2）当BD＝2时，求AC的长．
A
B C
D
E
F
图2
D
C
E
D
A
B
C。