人教版高一数学上学期 期末考试(含答案)

人教版高一数学上学期
期末考试
试卷满分：150分考试时间：120分钟
A卷[三角函数与平面向量] 本卷满分：100分
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合要求的.
AO OB AD ++=（）AB
）AC
（AD
BD
已知向量,a b 1=b ，，则向量,a b
4
π
-
4
π 3
2π 34
π AM BP ⋅的取值范围是（）（C ）
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 11.7sin
6
π
=_____.
12.已知向量(1,2)=a ，(,2)x =-b ，若//a b ，则实数x =______.
13.角θ的始边与x 轴正半轴重合，终边上一点坐标为(1,2)-，则tan θ=______.
14.函数()sin cos f x x x =+的最大值为______.
15. 已知点(0,4)A ，(2,0)B ，如果2AB BC =，那么点C 的坐标为______； 设点(3,)P t ，且APB ∠是钝角，则t 的取值范围是______.
16.已知函数()sin tan f x x x =. 给出下列结论：
①函数()f x 是偶函数；
②函数()f x 在区间(,0)2π
-上是增函数；
③函数()f x 的最小正周期是2π； ④函数()f x 的图象关于直线x =π对称.
其中正确结论的序号是_____.（写出所有正确结论的序号）
三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）
已知(,)2απ∈π，且3
cos 5
α=-.
（Ⅰ）求tan α的值； （Ⅱ）求cos2sin 21
α
α+的值.
18．（本小题满分12分）
已知函数π
()sin(2)6
f x x =+.
（Ⅰ）请用“五点法”画出函数()f x 在一个周期上的图象； （Ⅱ）求()f x 在区间[
,]122
ππ
上的最大值和最小值； （Ⅲ）写出()f x 的单调递增区间.
19．（本小题满分12分）
如图，已知AB BC ⊥
，AB ==，[1,3]a ∈，圆A 是以A 为圆心、半径为2的圆，圆B 是以B 为圆心、半径为1的圆，设点E 、F 分别为圆A 、圆B 上的动点，//AE BF （且AE 与BF 同向），设BAE θ∠=（[0,]θ∈π）.
B
A
F
E
C
（Ⅰ）当a =
6
θπ
=
时，求AE AC ⋅的值； （Ⅱ）用,a θ表示出CE CF ⋅，并给出一组,a θ的值，使得CE CF ⋅最小.
B 卷 [学期综合]本卷满分：50分
一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上. 1．设全集U =R ，集合{|0}A x x =<，{|1}B x x =>，则()
U A B =_____．
2．函数()28x f x =-的定义域为_____.
3．已知函数12
2,1,()log ,01,x x f x x x ⎧>⎪
=⎨<≤⎪⎩则1(())4f f =_____；若()1f x =，则x =_____．
4．sin 2，13
log 2，1
2
1
log 3
三个数中最大的是_____． 5．某购物网站在2017年11月开展“买三免一”活动，规则是“购买3件商品，最便宜的一件商品免费”，比如如下结算案例：
题号
一
二
本卷总分
6
7 8 分数
如果在此网站上购买的三件商品价格如下图所示，按照“买三免一”的规则，购买这三件商品的实际折扣为______折.
在这个网站上购买3件商品，按照“买三免一”的规则，这3件商品实际折扣力度最大约为_______折（保留一位小数）.
二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6．（本小题满分10分）
已知函数2
1
()f x ax x =+是偶函数. （Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）判断函数()f x 在区间(0,)+∞上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论.
7．（本小题满分10分）
设a 为实数，函数2
()1f x x x a =--+，x ∈R .
（Ⅰ）当0a =时，求()f x 在区间[0,2]上的最大值和最小值； （Ⅱ）求函数()f x 的最小值.
8．（本小题满分10分）
若函数()f x 满足：对于,[0,)s t ∈+∞，都有()0f s ≥，()0f t ≥，且()()()f s f t f s t +≤+，
则称函数()f x 为“T 函数”.
（Ⅰ）试判断函数21()f x x =与2()lg(1)f x x =+是否是“T 函数”，并说明理由； （Ⅱ）设()f x 为“T 函数”，且存在0[0,)x ∈+∞，使00(())f f x x =，求证：00()f x x =； （Ⅲ）试写出一个“T 函数”()f x ，满足(1)1f =，且使集合{|(),01}y y f x x =≤≤中元素 的个数最少.（只需写出结论）
高一数学参考答案及评分标准
A 卷[三角函数与平面向量] 满分100分
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 1.C2.B 3.A 4.A 5.B 6.D 7.B8.C 9.B 10.D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.
11.1
2
-
12.1-13.2-
15.(3,2)-；(1,3)16.①③④ 注：第15题每空2分.第16题少选得2分，多选、错选不得分.
三、解答题：本大题共3小题，共36分. 17.（本小题满分12分）
解：解：（Ⅰ）因为(,)2απ∈π，3
cos 5
α=-，
所以sin α………………3分
4
5
=. ………………4分
所以sin 4
tan cos 3
ααα==-.………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）4sin 5α=，3
cos 5
α=-，
所以4324
sin 22sin cos 2()5525ααα==⨯⨯-=-. ………………9分
2237
cos22cos 12()1525
αα=-=⨯--=-
. ………………11分 所以
7cos 225724sin 211
25
αα-
==-+-+. ………………12分 18.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）()f x 在[,]1212
π11π
-上
的图象如图所示.
………………5分
说明：
个别关键点错误酌情给分.
（Ⅱ）π
()sin(2)6
f x x =+．
因为122
x ππ
≤≤，所以ππ7π2366x ≤+≤，………………7分
当π262x π+=，即π
6
x =时，
π
sin(2)6
x +最大值等于1，即()f x 的最大值等于1；………………8分
当π266x 7π
+
=
，即π2x =时， πsin(2)6x +最小值等于12-，即()f x 的最小值等于21
-.………………9分
所以()f x 在区间[,]122ππ上的最大值为1，最小值为2
1
-.
注：根据图象求出最大、最小值相应给分.
（Ⅲ）函数()f x 的单调递增区间为[,]36
k k ππ
-+π+π（k ∈Z ）.………………12分
19.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）如图，以点A 为原点，AB 所在直线为x 轴，与AB 垂直的直线为y 轴建立平面直角坐标系.
则(0,0)A
，(3,C
，E ，………………2分
(3,1)(3,AE AC ⋅=⋅=.
………………4分
（Ⅱ）(0,0)A ，,)C
a -，(2cos ,2sin )E θθ，cos ,sin )
F θθ+，………………7分
(2cos ,2sin )(cos ,sin )CE CF a a θθθ
θ⋅=+⋅+
2sin()26a θ
π
=+⋅-+ (9)
分
22[)]23sin ()66a θθππ
=-+--
因为[0,]θ∈π，所以1
sin()[,1]62
θπ-∈-，
以a 为变量的二次函数的对称轴
)[6θπ-∈.
因为[1,3]a ∈，所以当1a =时，CE CF ⋅的最小值为3)6
θπ
+-，………10分
又1
sin()[,1]62
θπ-∈-，所以CE CF ⋅的最小值为3，此时0θ=.
所以，当1a =，0θ=时，CE CF ⋅的最小值为3 ………………12分
B 卷 [学期综合] 满分50分
一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 1.{1}x x ≤ 2.[3,)+∞3.4；
124.12
1
log 35.7.5；6.7.
B
A
F
E
C
x
y
注：第3题、第5题每空2分.
二、解答题：本大题共3小题，共30分.
6.（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞.
由()()f x f x -=得2211ax ax x x
-=+.………………3分 所以0ax =.
因为0ax =对于定义域中任意的x 都成立，
所以0a =.………………5分 （Ⅱ）函数21()f x x
=在区间(0,)+∞上是减函数.………………7分 证明：在(0,)+∞上任取1x ，2x ，且12x x <， 则12
211222221212
()()11()()x x x x f x f x x x x x +--=-=， ………………9分 由120x x <<，得120x x +>，210x x ->，22120x x >，
于是12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >. 所以函数21()f x x
=在区间(0,)+∞上是减函数. ………………10分
7.（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）当0a =，[0,2]x ∈时，函数2()1f x x x =-+，………………2分
因为()f x 的图象抛物线开口向上，对称轴为12
x =， 所以，当12x =时，()f x 值最小，最小值为34
； 当2x =时，()f x 值最大，最大值为3. ………………4分
（Ⅱ）①当x a ≤时，函数2213()1()24
f x x x a x a =+-+=+-+. 若12
a ≤-，则()f x 在(,]a -∞上单调递减，在(,]a -∞上的最小值为2()1f a a =+； 若12a >-，则函数()f x 在(,]a -∞上的最小值为13()24
f a -=-；………………6分 ②当x a >时，2213()1()24
f x x x a x a =-++=-++. 若12a <，则()f x 在[,)a +∞上的最小值为13()24
f a =+； 若12
a ≥，则()f x 在[,)a +∞上单调递增，2()()1f x f a a >=+.………………7分 所以，当12a ≤-时，22311()()042a a a +-+=-≥，()f x 的最小值为34
a +.
当12a ≥时，22311()()042a a a +--=+≥，()f x 的最小值为34
a -. 当1122a -<<时，()f x 的最小值为34a +与34
a -中小者. 所以，当102a -<<时，()f x 的最小值为34a +；当102a ≤<时，()f x 的最小值为34
a -.………………9分 综上，当0a <时，()f x 的最小值为34a +；当0a ≥时，()f x 的最小值为34
a -. ………………10分
8.（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）对于函数21()f x x =，当,[0,)s t ∈+∞时，都有1()0f s ≥，1()0f t ≥，
又222111()()()()20f s f t f s t s t s t st +-+=+-+=-≤，所以111()()()f s f t f s t +≤+.
所以21()f x x =是“T 函数”.………………2分
对于函数2()lg(1)f x x =+，当2s t ==时，22()()lg9f s f t +=，2()lg5f s t +=， 因为lg9lg5>，所以222()()()f s f t f s t +>+.
所以2()lg(1)f x x =+不是“T 函数”. ………………4分 （Ⅱ）设12,[0,)x x ∈+∞，21x x >，21x x x =+∆，0x ∆>.
则211111()()()()()()0f x f x f x x f x f x x x f x -=+∆-≥+∆-=∆≥ 所以，对于12,[0,)x x ∈+∞，12x x <，一定有12()()f x f x ≤. ………………6分 因为()f x 是“T 函数”，0[0,)x ∈+∞，所以0()0f x ≥.
若00()f x x >，则000(())()f f x f x x ≥>，不符合题意.
若00()f x x <，则000(())()f f x f x x ≤<，不符合题意.
所以00()f x x =. ………………8分
（Ⅲ）20,[0,1),(),[1,).x f x x x ∈⎧⎪=⎨∈+∞⎪⎩
（注：答案不唯一）………………10分。