2018最新五年级奥数.几何.五大模型(C级).学生版

五大模型（二）
知识框架
一、等积模型
A
B
CD
①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图 S△ACD S△BCD ；
反之，如果 S△ACD S△BCD ，则可知直线 AB 平行于 CD ．
三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．
五、共边定理（燕尾定理）
有一条公共边的三角形叫做共边三角形。
S 共边定理：设直线 AB 与 PQ 交于点 M，则 PAB
面积为 S1 ，正方形 PCNG 的面积为 S2 ，则 S1 : S2 ___________．
A
Q
D
F
M
G
N
B
EP
C 欢迎关注：“奥数轻松学”
【随练 2】 如图所示，三角形 AEF，三角形 BDF,三角形 BCD，都是正三角形，其中 AE:BD=1:3,三角形
AEF 的面积是 1.求阴影部分的面积。
A
EO B
F D
C
【巩固】 正六边形 A1 ， A2 ， A3 ， A4 ， A5 ， A6 的面积是 2009 平方厘米， B1 ， B2 ， B3 ， B4 ， B5 ， B6 分别是
正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是
平方厘米．
【例 8】 已知四边形 ABCD ， CHFG 为正方形， S甲 : S乙 1: 8 ， a 与 b 是两个正方形的边长，求 a : b ?
三、蝴蝶定理
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：
① S1 : S2 S4 : S3 或者 S1 S3 S2 S4 ② AO : OC S1 S2 : S4 S3
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四 边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．
平方厘米．
二、蝴蝶模型
【例 4】 如图所示，长方形 ABCD 内的阴影部分的面积之和为 70，AB=8,AD=15 四边形 EFGO 的面积为 ______．
【巩固】如图 5 所示，矩形 ABCD 的面积是 24 平方厘米，、三角形 ADM 与三角形 BCN 的面积之和是 7.8
平方厘米，则四边形 PMON 的面积是
教学反馈
学生对本次课的评价 ○特别满意
家长意见及建议
○满意
○一般
家长签字：
(二) 沙漏模型 E FD
A
D
F
E
B
G
C
B
G
C
① AD AE DE AF ； AB AC BC AG
② S△ADE：S△ABC AF 2 : AG 2 ． 所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)， 与相似三角形相关的常用的性质及定理如下： ⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数 m ，那么， (m n) 的值等 n
于
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三、共角定理（燕尾定理）
【例 7】 如图所示，在四边形 ABCD 中， AB 3BE ， AD 3AF ，四边形 AEOF 的面积是12 ，那么平行 四边形 BODC 的面积为________．
【巩固】 如图， ABC 的面积为 1，点 D 、 E 是 BC 边的三等分点，点 F 、 G 是 AC 边的三等分点，那么 四边形 JKIH 的面积是多少？
C
F
D
J
G
E
KI H
A
B
【例 10】如图，面积为 l 的三角形 ABC 中，D、E、F、G、H、I 分别是 AB、BC、CA 的三等分点,求阴 影部分面积.
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．
二、共角定理（鸟头定理）
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． S△ABC : S△ADE ( AB AC ) : ( AD AE)
平方厘米。
【例 5】 如图， ABC 是等腰直角三角形， DEFG 是正方形，线段 AB 与 CD 相交于 K 点．已知正方形 DEFG 的面积 48， AK : KB 1: 3 ，则 BKD 的面积是多少？
【巩固】如图所示， ABCD 是梯形，ADE 面积是1.8 ，ABF 的面积是 9，BCF 的面积是 27．那么阴影 AEC 面积是多少？
【例 2】 已知三角形 ABC 的面积为 a ， AF : FC 2 :1， E 是 BD 的中点，且 EF ∥ BC ，交 CD 于 G ，求 阴影部分的面积．
【巩固】图中 ABCD 是边长为12cm 的正方形，从 G 到正方形顶点 C 、 D 连成一个三角形，已知这个三角 形在 AB 上截得的 EF 长度为 4cm ，那么三角形 GDC 的面积是多少？
G
A
E
FB
D
C
【例 3】 如图，O 是矩形一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为 3 和 4 ，那么阴影部分的 一块直角三角形的面积是多少？欢迎关注：“奥数轻松学”
【巩固】 ABCD 是平行四边形，面积为 72 平方厘米， E 、 F 分别为 AB 、 BC 的中点，则图中阴影部分的
面积为
【例 6】 如图，在一个边长为 6 的正方形中，放入一个边长为 2 的正方形，保持与原正方形的边平行，
现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影
部分的面积为
．
【巩固】下图中，四边形 ABCD 都是边长为 1 的正方形， E 、 F 、G 、 H 分别是 AB ， BC ，CD ， DA 的
Fra Baidu bibliotek PM
S
QM
QAB
特殊情况：当 PQ∥AB 时，易知△PAB 与△QAB 的高相等，从而 S△PAB=S△QAB
例题精讲
一、三角形相似模型 欢迎关注：“奥数轻松学”
【例 1】 图 30-10 是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米．问：阴影部分的面积是多少平方厘米?
【巩固】如图，四边形 ABCD 和 EFGH 都是平行四边形，四边形 ABCD 的面积是16 ， BG : GC 3 :1 ，则 四边形 EFGH 的面积 ________．
【巩固】 如图，面积为 l 的三角形 ABC 中，D、E、F、G、H、I 分别是 AB、BC、CA 的三等分点,求中心 六边形面积.
课堂检测
【随练 1】 如图，在正方形 ABCD 中， E 、 F 分别在 BC 与 CD 上，且 CE 2BE ，CF 2DF ，连接 BF 、
DE ，相交于点 G ，过 G 作 MN 、 PQ 得到两个正方形 MGQA 和 PCNG ，设正方形 MGQA 的
B
DE C
【作业 3】 如下图，在梯形 ABCD 中，AB 与 CD 平行，且 CD 2AB ，点 E 、F 分别是 AD 和 BC 的中点，
已知阴影四边形 EMFN 的面积是 54 平方厘米，则梯形 ABCD 的面积是
平方厘米．
【作业 4】 一个等腰直角三角形和一个正方形如图摆放，①、②、③这三块的面积比依次为1: 4 : 41．那 么，④、⑤这两块的面积比是______．
D
A S1
S2 O
S4
S3
B
C
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)： ① S1 : S3 a2 : b2 ② S1 : S3 : S2 : S4 a2 : b2 : ab : ab ；
③ S 的对应份数为 a b2 ．
Aa D S1
S2 O S4
S3
B
b
C
四、相似模型
(一)金字塔模型 A
② ①
③
⑤
④
【作业 5】 下图中，四边形 ABCD 都是边长为 1 的正方形，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的
重点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数 m ，那么，m＋n 的值等 n
于__________。
H A
DA
H
D
E
GE
G
B
F
CB
F
C
（A）5 （B）7 （C）8 （D）12
家庭作业
【作业 1】 如图，正六边形面积为 6 ，那么阴影部分面积为多少？
【作业 2】 如图，已知 D 是 BC 中点， E 是 CD 的中点， F 是 AC 的中点．三角形 ABC 由①～⑥这 6 部
分组成，其中②比⑤多 6 平方厘米．那么三角形 ABC 的面积是多少平方厘米？
A
③F
① ②⑤
④⑥
【巩固】 如图，三角形 ABC 的面积是1， BD DE EC ， CF FG GA ，三角形 ABC 被分成 9 部分， 请写出这 9 部分的面积各是多少?
A G F
B
D
E
C
【例 9】 如右图，面积为1的 △ABC 中，BD : DE : EC 1: 2 :1 ，CF : FG : GA 1: 2 :1，AH : HI : IB 1: 2 :1 ， 求阴影部分面积．