高等数学基础例题讲解

第1章 函数的极限与连续

例1．求

lim

x x x

→．

解：当0>x 时，0

00

lim lim lim 11x x x x x

x x +

++→→→===，

当0

00lim lim lim (1)1x x x x x

x x

-

--

→→→==-=--，

由极限定义可知，

x

x x 0

lim

→不存在（如图）．

例2．求x mx

x sin lim

0→（m 是非零常数）． 解：令u mx =，显然当0x →时0u →，于是

m u u m mx mx m x mx u x x ==⋅=→→→sin lim sin lim sin lim 000．

例3．求x

x x )2

1(lim +∞

→． 解：令

2x t =

，当x →∞时，有t →∞， 原式2

2222])1

1(lim [])11[(lim )21(lim e t t x t t t t x

x =+=+=+=∞→∞→⋅∞→

例4．求x x

x x +-+→11lim

20．

解：

2220011lim lim (11)x x x x x x x x x x →→+-+-=+++2011lim 211x x x x

→-==-+++ 例5．求x a x x 1lim

0-→．

解：令t a x

=-1，则log (1)a x t =+，0x →时0t →，于是

0001lim lim lim ln log (1)ln x x t t a

a t t a t x t a →→→-===+

第2章 一元函数微分及其应用

例1．讨论函数3

2)(x x f =在0=x 处的可导性与连续性．

解：3

2)(x x f =为初等函数，在其定义域

),(+∞-∞上连续，

所以在0=x 处连续．又

0(0)(0)

(0)lim

h f h f f h →+-'=3020lim h h h →-=

0h →==+∞

)0(f '不存在．所以函数32)(x x f =在0=x 处连续，但不可导．事实上，曲线32)(x x f =在)0,0(点的切线斜率趋于无穷大，在原点处具有垂直于x 轴的切线0=x （如

图）．

例2．求x y sin =的各阶导数．

解：

)

2sin(cos π

+=='x x y ， )

22sin(]2)2sin[()2cos(π

πππ⋅+=++=+=''x x x y ，

)23sin(]2)22sin[()22cos(π

πππ⋅+=+⋅+=⋅+='''x x x y ，

…….

)2sin()(π

⋅+=n x y n ， 所以：

()(sin )sin()

2n x x n π

=+⋅． 例3

．求

45

)(1)x y x -=

+的导数．

解：此函数直接求导比较复杂，先取对数再求导可简化运算． 此函数的定义域为[2,1)(1,)--⋃-+∞ 当1x >-时，0y >，函数式两边取对数得：

1

ln ln(2)4ln(3)5ln(1)2y x x x =

++--+ 因此上式两边对x 求导，得 1153142121+--++='x x x y

y 整理后得，

]1534)2(21[)

1()3(25

4+--+++-+=

'x x x x x x y 当21x -<<-时可得同样结论．

例4．11

ln 1lim

1--

→x x x ．

解：这是“∞-∞”型，通分即可化为“00

”型．

111

11111ln lim lim lim 1ln 1(1)ln ln x x x x x x x x x x x x x →→→-

---==---+

11111

lim lim ln 1ln 112x x x x x x x →→-===+-++．

例5．求内接于半径为R 的球内的圆柱体的最大体积．

解：设圆柱的底半径为r ，高为h 则体积2

v r h π=，而

222

()2h

r R +=

2223()(/4)(/4)v h h R h R h h ππ=-=-（02h R ≤≤），

故转化为求函数()v h 的最大值．

问题

223()()0

4v h R h π'=-=得驻点

23h R =（负值不合题意舍由

去）．

根据实际问题，圆柱体的体积不能超过球的体积，因而是有最大值的，而最大值显然不

能在端点0h =，2h R =处取得，故只在唯一驻点

23h R =处取得．即当23h R

=，63r R =

时圆柱体的体积最大，最大体积3

max 439v R π=．

第3章 一元函数的积分学

例1．

⎰

-dx

a

x 2

2

1（0>a ）．

解：当a x >时，设t a x sec =(

02t π

<<

)，tdt t a dx tan sec =代入有：

原式

2

2

1sec tan (sec )a t tdt

a t a

=⋅-⎰

sec ln(sec tan )tdt t t C

==++⎰．

为将变量t 还原为x ，借助如图的直角三角形（或利用三角

恒等式）有a x t =

sec ，222

tan sec 1x a t t a -=-=从而：

22

221ln()dx x x a C

x a =+-+-⎰．

当a x -<时，令u x -=，则a u >，由上，我们有：

222211

dx du

x a u a =---⎰⎰222211ln()ln()u u a C x x a C =-+-+=--+-+

22ln()x x a C =---+．

综合以上结论得，

2222

1ln dx x x a C

x a =+-+-⎰

．

例2．求⎰++dx x x x

cos sin 1sin ． 解：2tan sin 22

1sin cos (1)(1)x t

x t dx dt

x x t t =++++⎰⎰