第六讲模糊数学及其应用

某人40岁，根据上式， A1 (40) = 0 ， A2(40) = 1 ， A3 (40) = 0 ， 则A2 (40) =max{A1 (40) ，A2(40) ，A3 (40) } = 1。按最 大隶属原则，他应该是中年人。 又如当x = 35时， A 1(35) = 0.125 ， A2(35) = 0.875 ， A3(35) = 0。可见35 岁的人应该是中年人。
( A, B ) ( A, C )则称 ( A, B )为
A与B的“贴近度”
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常用的贴近度计算式
1、海明贴近度
1 n H ( A, B ) 1 A( xi ) B( xi ) n i 1
2、欧几里得贴近度
1 2 E ( A, B ) 1 A( xi ) B( xi ) n i 1
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四、模糊聚类与模糊决策
对带有模糊特征的事物进行聚类分析，一般 采用模糊数学的方法，模糊聚类分析一般 分为三大类 ： 1、系统聚类法：是一类基于模糊关系的分类 法。其中包括基于模糊等价关系的聚类方 法和基于模糊相似关系的聚类方法。 2、迭代聚类法。 3、混合法。
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系统聚类法的基本步骤
第一步：数据标准化 1、数据矩阵： 设论域 U { x1 , x2 , xn }为被分类的对象，每个 对象又由 m 个指标表示其性状：
其中A( x )称之为“隶属函数”它 满足： A：X M，M称为“隶属空间”
0 M 1
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2、隶属度：隶属函数A( x)描述了 x对模糊集合A的隶属程度。
3、模糊集A有下列三种常见的表示形式。 i) zadeh 表示法 ii) 序偶表示法 iii) 向量表示法
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用集合x1 , x2 , x3 , x4 表示四位学 生, " 聪明"是一个模糊概念, 经某种方法 对四位学生的聪明程度 作的评价依次为 0.45 , 0.78 , 0.91 , 0.46 , 则以次评价构成 的模糊集合 记为 A
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贴近度
贴近度是对两个模糊集接近程度的一种 度量。 定义：令A 、B和C为论域X中的模糊集
合，若映射 ：F ( X ) F ( X ) [0， 具有 1] 性质：
1、 ( A, A) 1
3、由A B C或A B C可得
2、 ( A, B) ( B, A)
精确数学：确定性
统计数学：偶然性、随机性
模糊数学：模糊性
2、数学模型的分类 ◆ 确定性模型 ◆ 随机性模型 ◆ 模糊性模型
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二、模糊数学基本概念
1、论域，被讨论对象的全体叫做论域，对 称全域，通常用大写字母U、E、X、Y等来 表示。
论域X上的“模糊集合”定义为： A A ( x , A ( x) ) : x X
模糊是指客观事物差异的中间过渡中的“不分明性”或“亦此亦 彼性”。如高个子与矮个子、年轻人与老年人、热水与凉水、环 境污染严重与不严重等。在决策中，也有这种模糊的现象，如选 举一个好干部，但怎样才算一个好干部？好干部与不好干部之间 没有绝对分明和固定不变的界限。这些现象很难用经典的数学来 描述。
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一、模糊数学引言
模糊数学及其应用
模糊数学引言 模糊数学基本概念 模糊模式识别 模糊聚类与模糊决策 模糊决策分析方法 练习
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一、模糊数学引言
1、发展
1965 年，美国著名计算机与控制专家查德(L.A.Zadeh)教授提出 了模糊的概念，并在国际期刊《Information and Control》并发 表了第一篇用数学方法研究模糊现象的论文“Fuzzy Sets”(模糊 集合)，开创了模糊数学的新领域。
xi { xi 1 , xi 2 , xim } i 1,2,n
于是得到原始数据矩阵。
x11 x21 R x n1 x12 x22 xn 2 x1m x2 m xnn
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2、数据标准化 在实际问题中，不同的数据一般有不 同的量纲，为了使所有不同的量纲的量也 能进行比较，通常需要对数据作适当的变 换 在模糊数学里，一般将数据压缩到区间 [0，1]上。
(5) 选择评价的合成算子，将A与R合成得到B =(b1, b2,…, bm) 。
(6) 对模糊综合评价结果B 作分析处理。
B A R
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例：现对某种试销服装进行评价，以对最终 的投产量决策提供科学依据。 设考虑的因素集合为
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三、模糊模式识别
在模糊数学的实际应用中,有时需要比较两个模糊 集合之间的相似程度,例如工程应用中的模糊识 别，气象应用中确定天气类型或气候区等。 模式识别：将事物的整体划分为若干类型而得到 一组标准模式，对于一个确定的对象它属于哪 一类问题称为模式识别。 模糊模式识别：若整体被划分的类型与被识别的 对象之中至少有一个是用模糊集表示的模式识 别问题
中年
x 20 20 30 30 x 40 40 x 50 50 x 60 60 x 70 x 70
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1 1 2(( x 20) / 20) 2 A3 ( x ) 2 2(( x 40) / 20) 0
青年
x 20 20 x 30 30 x 40 x 40
n 1/ 2
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模糊模式识别原则
模糊模式识别方法主要建立在 “最大隶属原则”——主要用于个体的识别 “择近原则”——群体模型的识别Βιβλιοθήκη 16最大隶属原则：
设A1 , A2 , An是 论 域 中 的n个 X 模 糊 集 合 标 准 模 型 。 对 于 给 定 的 待 识 别 对 象0 X , 如 果一 个 x i {1,2, n}, 使 得
k 1 m
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第三步：聚类。 基于模糊等价矩阵聚类方法： 1、传递闭包法 根据标定所得的模糊矩阵，只是一个模 糊相似矩阵，不一定具有传递性，因此模 糊矩阵不一定是等价矩阵。 2、直接聚类：在建立模糊相似矩阵之后， 不求传递闭包。 3、布尔矩阵法
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模糊数学中有一个研究的热点问题就是“模糊决策”，它 就是研究在模糊环境下或者模糊系统中进行决策的数学理论和 方法。模糊决策的目标是把决策论域中的对象在模糊环境下进 行排序，或按某些模糊限制条件从决策域中选择出最优对象。 1、模糊综合评价方法 是应用模糊关系合成的原理，从多 个因素(指标)对被评价事物隶属等级状况进行综合性评判的一种 方法，其具体的步骤为: (1)确定被评判对象的因素论域U ， U u1 , u2 ,un
常用方法： 1、例证法 2、模糊统计法 3、二元对比法 4、模糊分布法（指派法）
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5、模糊关系 模糊矩阵
模糊关系: 通过描述关系程度的量来补充描述 的关系 , 其中的关系程度通过隶属度来表示。 设R = (rij)m×n，若0≤rij≤1，则称R为模糊矩阵. 当rij只取0或1时，称R为布尔(Boole)矩阵. 当模糊 方阵R = (rij)n×n的对角线上的元素rii都为1时，称 R为模糊自反矩阵.
体重（kg） 身高（ ） cm -100
40kg 1 0.8 0.2 0.1 0 50kg 0.8 1 0.8 0.2 0.1 60kg 0.2 0.8 1 0.8 0.2 70kg 0.1 0.2 0.8 1 0.8 80kg 0 0.1 0.2 0.8 1
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身高与体重间的模糊关系矩阵
1 0. 8 0.2 0.1 0 0 1 0.8 0.2 0.1 0.8 1 0.8 0.2 0.2 0.8 1 0.8 0.1 0.2 0.8 1 0.8 0.2 0.1
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择近原则
设A1 , A2 , An是论域X中的n个模糊 集合 标准模型，对于给定的 待识别 对象B( X中的模糊集合） , 若存在k使得：
( Ak , B) max{ ( A1, B), ( An , B)}
其中 ( Ai , B )表示B对Ai的贴近度， 则认为B与Ak 最相似
rij 1 cd ( xi , x j ) 其中 为适当选取的参数，它可使得 c 经常采用海明距离和欧氏距离。
0 rij 1
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海明距离
d ( xi , x j ) xik x jk
i 1 n
欧式距离
d ( xi , x j ) ( xik x jk )2
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通常需要作如下两种变换： 1）平移、标准差变换
xik xk x sk
' ik
(i 1,2n; k 1,2,m)
n
1 xk xik n i 1
n
1 2 sk ( xik xk ) n i 1
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经过变换后，每个变量的均值为0，标准 差为1，且消除了量纲的影响，但是，这样得 到的 还不一定在区间[0，1]上。
Ai ( x0 ) max{A1 ( x0 ), A2 ( x0 ), An ( x0 )}
则认为 0相对地隶属于i。 x A
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例 题 ： 将 人 分 为 老 、、 青 三 类 ， 中 他 们 分 别 对 应 于 三 个糊 集 合 1, 模 A A2 , A3 , 其 隶 属 函 数 分 别 为 ：
1 B(x) 2 1 (1 ((x 25)/5) )
0 x 25 25 x 100
A(70) ≈ 0.94 ，即“70 岁”属于“年老”的 程度为0.94。A(60) ≈ 0.8 ，B(60) ≈ 0.02， 7 可认为“60 岁”是“较老的”
4、隶属函数的构造 模糊数学的基本思想是隶属度的思想。应用 模糊数学方法建立数学模型的关键是建立符 合实际的隶属函数。
老年
0 2(( x 50) / 20) 2 A1 ( x ) 2 1 2(( x 70) / 20) 1
x 50 50 x 60 60 x 70 x 70
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0 2(( x 20) / 20) 2 1 2(( x 40) / 20) 2 A2 ( x ) 1 1 2(( x 50) / 20) 2 2 2(( x 70) / 20) 0
2）平移、极差变换
x
'' ik
x min { x }
' ik 1 i n ' ik
max { x 1 i n
' ik
} min { x }
1 i n ' ik
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第二步：标定（建立模糊相似矩阵） 建立模糊相似矩阵 R (rij )nm 的方法主要 借用传统聚类分析的相似系数法、距离法。 用距离法时，总是令
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例
设X 、Y 均为实数集合，对x X , y Y
“x远大于y ”是X 到Y的一个模糊关系R ，它 的一个隶属函数可以描述为：
0 R( x , y ) 2 1 100 /( x y )


x y x y
1
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例
R(x,y) 140 150 160 170 180
五、模糊决策分析方法


(2) 确定评语等级论域V ， V v1, v2 ,vm 通常评语有V = {很高，高，较高，…，较低，低，很低}；
(3) 进行单因素评判，建立模糊关系矩阵R
R ( rij )nm
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(4) 确定评判因素权向量A = (a1, a2, … , an) ，A是U 中各因素对 被评事物的隶属关系，它取决于人们进行模糊综合评判时的着眼 点，即根据评判时各因素的重要性分配权重；
A (x1 ,0.45), (x 2 ,0.78), (x 3 ,0.91), (x 4 ,0.46)
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隶属函数举例
对于年龄区间 X (0,100)中的 “ 年老 ”和“ 年轻 ”这两个模糊集合 A ，B , 它们们的隶属函数分别表示 为：
0 0 x 50 A(x) (1 ((x 50)/5) 2 ) 1 50 x 100