运筹学教材编写组《运筹学》课后习题-对策论基础(圣才出品)
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根据赢得矩阵有：
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因为
max i
min j
aij
=
−2
，max j
min i
aij
=
2,
max i
min j
aij
max j
min i
aij
，所以，局中人不
存在某种出法比其他出法更为有利。
14.3 求解下列矩阵对策，其中赢得矩阵 A 分别为
解：由题意知，儿童甲的赢得矩阵为：
14.2 “二指莫拉问题”。甲、乙两人游戏，每人出一个或两个手指，同时又把猜测对 方所出的指数叫出来。如果只有一个人猜测正确，则他所赢得的数目为两人所出指数之和， 否则重新开始。写出该对策中各局中人的策略集合及甲的赢得矩阵，并回答局中人是否存在 某种出法比其他出法更为有利。
解：（1）令矩阵对策为 G = S1, S2; A，其中 S1 = 1,2,…,m ，S2 = 1, 2,…, n ，
矩阵 A 中 aij 表示在策略i 与策略 j 下的赢得值，则
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( ) ( ) 14.4 证明：（1）若 i1 , j1 和 i2 , j2 是对策 G 的两个解，则 ai1j1 = ai2 j2 。 ( ) ( ) ( ) ( ) （2）若 ai1 , j1 和 ai2 , j2 是对策 G 的两个解，则 ai1 , j2 和 ai2 , j1 也是对策 G
( ) ( ) x* S1*, y* S2* ，使 x*, y* 为函数 E x, y 的一个鞍点，即对一切 x S1*, y S2* ，有 ( ) ( ) ( ) E x, y* E x*, y* E x*, y 。（本章定理 2）
证明：（1）先证明充分性
对任意 X,Y 均有 E(X ,Y*) E(X *,Y*) E(X *,Y) ,故得出
解：令 x1 表示某人自己所出的手指数， x2 表示自己猜测对方所出的手指数，如果某人
的策略为 ( x1, x2 ) ，那么，可令甲的策略为 a1 = (1,1), a2 = (1, 2), a3 = (2,1), a4 = (2, 2) ；可 令乙的策略为 1 = (1,1), 2 = (1, 2), 3 = (2,1), 4 = (2, 2) ，则甲赢得矩阵为：
的解。
( ) 证明：（1）因为 ai1 , j1 是 G 的解，所以
( ) 同理，因为 ai2 , j2 是 G 的解，所以
由不等式①可知
（2）由（1）证明过程中不等式③和不等式④可知
也是解。
14.5 甲、乙两个企业生产同一种电子产品，两个企业都想通过改革管理获取更多的市 场销售份额。
甲企业的策略措施有：①降低产品价格；②提高产品质量，延长保修年限；③推出新产 品。
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又 所以 另一方面，对任何 X,Y 有 所以得 由不等式①、②
且VG = E(X *，Y*) 。 （2）再证必要性。设有 X *,Y*，使得
综上得证。
( ) 14.7 证明：设 x* S1*, y* S2* ，则 x*, y* 为 G 的解的充要条件是：存在数 v ，使得
（2）再证必要性，由于（X*,Y*）为 G 的解，所以有，
(Ⅱ)的解，且 v = VG 。
14.8 证明下列定理：
( ) （1）设有两个矩阵对策， G1 = S1, S2; A1 ， G2 = S1, S2; A2 ，其中 A1 = aij ， ( ) ( ) ( ) A2 = aij + L ， L 为任一常数，则有VG2 =VG1 + L ，T G1 = T G2 。（定理 7）
（2）设有两个矩阵对策，G1 = S1, S2; A ，G2 = S1, S2;aA，其中 a 0 为任一常数。 则VG2 = aVG1 ，T (G1 ) = T (G2 ) 。（定理 8）
（3） 设 G = S1, S2; A为矩阵对策，且 A = −AT 为斜对称矩阵（亦称这种对策为对称 对策）。则VG = 0 ，T1 (G) = T2 (G) ，其中T1 (G) 和T2 (G)分别为局中人Ⅰ和Ⅱ的最优策略
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第 14 章 对策论基础
14.1 甲、乙两个儿童玩游戏，双方可分别出拳头(代表石头)、手掌(代表布)、两个手 指(代表剪刀)，规则是：剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀，赢者得 l 分。若双方所出相同 算和局，均不得分。试列出儿童甲的赢得矩阵。
x* 和 y* 分别是不等式组（Ⅰ）和（Ⅱ）的解，且 v = VG 。（本章定理 4）
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证明：（1）先证充分性。由于 X*是不等式组（Ⅰ）的解，且 v = VG 则 又由于 Y*是不等式组（Ⅱ）的解，且 v = VG
表 14-1
解：令甲企业考虑的策略措施①，②和③分别记为1,2,3 ；乙企业考虑的策略措施 ①，②和③分别记为 1, 2, 3 ，则由题意有：
因为
所以，对策 G 的解为(3,3)，VG = 5。甲企业的最优策略措施为“推出新产品”，乙企
业考虑的最优措施为“改进产品性能”。
14.6 证明：矩阵对策 G = S1, S2; A 在混合策略意义下有解的充要条件是：存在
乙企业考虑的策略措施有：①增加广告费用；②增设维修网点，扩大维修服务；③改进 产品性能。
假定市场份额一定，由于各自采取的策略措施不同，通过预测，今后两个企业的市场占
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有份额变动情况如表 14-1 所示(正值为甲企业增加的市场占有份额，负值为甲企业减少的 市场占有份额)。试通过对策分析，确定两个企业各自的最优策略。
集。（定理 9）
证明：（1）设 A1 的赢得函数是 E1(X,Y) ,则 E1(X ,Y) =
aij xi y j ，A2 的赢得函
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因为
max i
min j
aij
=
−2
，max j
min i
aij
=
2,
max i
min j
aij
max j
min i
aij
，所以，局中人不
存在某种出法比其他出法更为有利。
14.3 求解下列矩阵对策，其中赢得矩阵 A 分别为
解：由题意知，儿童甲的赢得矩阵为：
14.2 “二指莫拉问题”。甲、乙两人游戏，每人出一个或两个手指，同时又把猜测对 方所出的指数叫出来。如果只有一个人猜测正确，则他所赢得的数目为两人所出指数之和， 否则重新开始。写出该对策中各局中人的策略集合及甲的赢得矩阵，并回答局中人是否存在 某种出法比其他出法更为有利。
解：（1）令矩阵对策为 G = S1, S2; A，其中 S1 = 1,2,…,m ，S2 = 1, 2,…, n ，
矩阵 A 中 aij 表示在策略i 与策略 j 下的赢得值，则
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( ) ( ) 14.4 证明：（1）若 i1 , j1 和 i2 , j2 是对策 G 的两个解，则 ai1j1 = ai2 j2 。 ( ) ( ) ( ) ( ) （2）若 ai1 , j1 和 ai2 , j2 是对策 G 的两个解，则 ai1 , j2 和 ai2 , j1 也是对策 G
( ) ( ) x* S1*, y* S2* ，使 x*, y* 为函数 E x, y 的一个鞍点，即对一切 x S1*, y S2* ，有 ( ) ( ) ( ) E x, y* E x*, y* E x*, y 。（本章定理 2）
证明：（1）先证明充分性
对任意 X,Y 均有 E(X ,Y*) E(X *,Y*) E(X *,Y) ,故得出
解：令 x1 表示某人自己所出的手指数， x2 表示自己猜测对方所出的手指数，如果某人
的策略为 ( x1, x2 ) ，那么，可令甲的策略为 a1 = (1,1), a2 = (1, 2), a3 = (2,1), a4 = (2, 2) ；可 令乙的策略为 1 = (1,1), 2 = (1, 2), 3 = (2,1), 4 = (2, 2) ，则甲赢得矩阵为：
的解。
( ) 证明：（1）因为 ai1 , j1 是 G 的解，所以
( ) 同理，因为 ai2 , j2 是 G 的解，所以
由不等式①可知
（2）由（1）证明过程中不等式③和不等式④可知
也是解。
14.5 甲、乙两个企业生产同一种电子产品，两个企业都想通过改革管理获取更多的市 场销售份额。
甲企业的策略措施有：①降低产品价格；②提高产品质量，延长保修年限；③推出新产 品。
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又 所以 另一方面，对任何 X,Y 有 所以得 由不等式①、②
且VG = E(X *，Y*) 。 （2）再证必要性。设有 X *,Y*，使得
综上得证。
( ) 14.7 证明：设 x* S1*, y* S2* ，则 x*, y* 为 G 的解的充要条件是：存在数 v ，使得
（2）再证必要性，由于（X*,Y*）为 G 的解，所以有，
(Ⅱ)的解，且 v = VG 。
14.8 证明下列定理：
( ) （1）设有两个矩阵对策， G1 = S1, S2; A1 ， G2 = S1, S2; A2 ，其中 A1 = aij ， ( ) ( ) ( ) A2 = aij + L ， L 为任一常数，则有VG2 =VG1 + L ，T G1 = T G2 。（定理 7）
（2）设有两个矩阵对策，G1 = S1, S2; A ，G2 = S1, S2;aA，其中 a 0 为任一常数。 则VG2 = aVG1 ，T (G1 ) = T (G2 ) 。（定理 8）
（3） 设 G = S1, S2; A为矩阵对策，且 A = −AT 为斜对称矩阵（亦称这种对策为对称 对策）。则VG = 0 ，T1 (G) = T2 (G) ，其中T1 (G) 和T2 (G)分别为局中人Ⅰ和Ⅱ的最优策略
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x* 和 y* 分别是不等式组（Ⅰ）和（Ⅱ）的解，且 v = VG 。（本章定理 4）
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证明：（1）先证充分性。由于 X*是不等式组（Ⅰ）的解，且 v = VG 则 又由于 Y*是不等式组（Ⅱ）的解，且 v = VG
表 14-1
解：令甲企业考虑的策略措施①，②和③分别记为1,2,3 ；乙企业考虑的策略措施 ①，②和③分别记为 1, 2, 3 ，则由题意有：
因为
所以，对策 G 的解为(3,3)，VG = 5。甲企业的最优策略措施为“推出新产品”，乙企
业考虑的最优措施为“改进产品性能”。
14.6 证明：矩阵对策 G = S1, S2; A 在混合策略意义下有解的充要条件是：存在
乙企业考虑的策略措施有：①增加广告费用；②增设维修网点，扩大维修服务；③改进 产品性能。
假定市场份额一定，由于各自采取的策略措施不同，通过预测，今后两个企业的市场占
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集。（定理 9）
证明：（1）设 A1 的赢得函数是 E1(X,Y) ,则 E1(X ,Y) =
aij xi y j ，A2 的赢得函