静电场习题课(上)

F dqE 带电体

E是指除所考虑的受力带电体以外空间其它所
有电荷在dq处产生的合场强
q1 q2
Sd S
例:两板之间的相互作用力
F

qE

q1

2 2 0

q1q2
2 0 s
7、电偶极矩:
p e

q
•电偶极子在均匀外电场中所受到的力和力矩
Ｆ＝０
Ｍ ｅ＝ｐｅＥ
•电力场偶Ｅ 矩一Ｍ致ｅ力方图向使上电来偶极子的偶极矩ｐ e 转到与外
19. 场强与电势梯度的关系
E


dU
n0
dn
#场强沿任意方向的分量等于电势沿该方向空
间变化率的负值。
Ex


U x
;
U Ey y ;
•场强和电势不能点点对应
Ez

U z
2处0为.导零体。的即静电E 内 平部衡＝条0件:导体内部电场强度处
21. 导体处于静电平衡状态时的性质：
(1)仍按电容定义式计算电容
d1 d2
1 2
E1

1
E2 2
U E1d1 E2d2
C QU
(2)将两种介质交界面处看成有一个金属薄板,故
原电容器看成两个电容器的串联。
C1
1S d1
,
C2

2S d2
1 1 1 C C1 C2
d1 1 d2 2
C.电容器的两板之间平行放入一层金属板

a)
1 a 1,
2, b
2
d
10. 如图所示，半径为R的均匀带电球面，带有 电荷q．沿某一半径方向上有一均匀带电细线，
e
Ｄ dS
S
q0i
i
26. 孤立导体的电容
C q U
27.电容器电容的定义 C q
U
A．平行板电容器 C 0S ( E )
d
0
S d
B．圆柱形电容器 C 20L
ln R2 R1
C．球形电容器 C 40R1R2
R2 R1
( E ) 2 0 r
电学总结
1. 库仑定律: 大小
F

1
4 0
q1q2 r2
•适用条件：两个静止的点电荷之间的相互
作用力
2. 电场强度的定义
E
F
q
0
点电荷的电场强度
E

q
4 0r 2
r 0
r0 :是从场源 指向场点 的单位矢
3、电场强度的叠加原理： • 多个点电荷的场强叠加
电场中任何一点的总场强等于每个点电荷单独 存在时在该点所产生的场强的矢量和。
( A) R2E．
E
(B) R2E / 2．
(C) 2R2E．
O
x
(D) 0．
[D]
7、静电场的环路定理的数学表示式为：
E

d
l

0
L
该式的物理意义是：单位正电荷在静电场中沿
任意闭合路径绕行一周，电场力作功等于零
该定理表明:
静电场是保守场．
8、如图，在点电荷q的电场中， P
选取以q为中心、R为半径的球 R
•任意带电体（连续的)在空间一点 产生的电场
强度
dE

1
4 0
dq r2
r 0

E

dE
带电体

带电体
dq
4 0r 2
r 0
dE
dq r
例1: 求均匀带电直线(长为L、带电量为Q）的延
长线上一点P的电场强度。 O
解：建立坐标系如图
dx x
d xP
dE
dE

4
S
匀强电场中通过平面S 的电场强度通量：
e ES cos

通过任一闭合曲面S的电场强度通量 e E dS
闭合曲面外法线方向(自内向外)为正
s
穿进闭合面的电场线对该闭合面提供负通量；
穿出闭合面的电场线对该闭合面提供正通量
9、静电场的高斯定理
1
E dS
(A为常数)的非均匀带电球体． [D]
4.一均匀带电球面，电荷面密度为，球面 内电场强度处处为零，球面上面元dS带有
dS的电荷，该电荷在球面内各点产生的电 场强度 (A) 处处为零 (B) 不一定都为 零． (C) 处处不为零．(D) 无法判定 ． [C]
5.已知一高斯面所包围的体积内电荷代数和
dx
0L d

x2
E＝0LdE
Q
4 0dd

L
(沿X轴正方向）
4 ：带电量为q的均匀带电圆环轴线上一点P的
电场强度。 E

q cos 4 02
P

方向：沿轴线，正电荷背离；负电荷指向 o R

5. 点电荷q受到的电场力: F qE


6. 带电体受到的电场力:
• 当两板带等量异号电荷时: 1 4＝0 , 2 3
• 当两板带等量同号电荷时: 1 4 , 2 3 0
22.静电平衡下空腔导体的性质
A.若金属空腔内部无带电体,则空腔内表面不带 任何电荷，空腔内部任一点场强为零。
B.若金属空腔内部有带电体,则空腔内表面有等 量异号感应电荷。 ）
之间的相互作用力__大_____(填大，小或相等)，理
由是 两金属球上的正、负电荷相互吸引，因而 不再是均匀分布在球面上，正负电荷中心间 距离小于d．
_____________________________________．
2、在带有+Q的金属球所产生的电场中，为测量 某点场强E，在该点引入一个+Q/3的点电荷，测 得其受力为F，则该点的场强E和3F/Q哪个大？
•在非均匀外电场中,电偶极子一方面受到力矩的
作用,使电偶极矩力图转到与外电场一致的方向;
另一方面其中心还要受到合力的作用, 通常(除非
稳定平衡位置外）其方向指向场强数值增大的方
向。
8、电场中通过任一曲面S的电通量

de E dS e E dS EdS cos
S
面上一点P处作电势零点，则与 q
r P＇
点 电 荷 q 距 离 为 r 的 P' 点 的 电 势
为
q q
4 0r 4 0 R
9、厚度为d的“无限大”均匀带电导体板两表面
单位面积上电荷之和为 ．试求图示离左板面距
离为a的一点与离右板面距离为b的一点之间的电
势差．

U ab

2 0
(b
A.导体是个等势体，导体表面是个等势面。
B. 导体内部各点(宏观点)净余电荷为零；电荷只 能分布在表面。
C. 导体表面附近一点的总电场强度方向

与导体表面垂直;场强大小与导体 表面对应点的电荷面密度成正比。
E
0
1 2 3 4
例：设静电平衡后，金属板各面所带
电荷面密度之间的关系 1 4 , 2 3
( E Q )
4 0 r 2
28．电容器的串联：极板首尾相接
R2 R1 L
特点：A、 有一个公共端，且 公共端上不再引出其它元件。
B、q1=q2=…=q ；U＝U1＋U2 ＋…＋Un
C、 1 ＝ 1 ＋ 1 ＋＋ 1
C C1 C2
Cn
R2R1
29、电容器的并联：
特点：A、有两个公共端，且在公共端上还引 出导线接其它元件。
B、U1＝U2＝…＝U ; q=q1+q2+…+qn
C、 C＝C1＋C2＋…＋Cn
•讨论：无论是串联还是并联:
C总

Q总 U总
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•只要有一个电容增大，则总电容增大
30、电介质对电容的影响
A、两导体板之间均匀充满电介质时，将电容公
式中的 0 改为 即可。
B、 若按等势面分层均匀充满电介质，则：
∑q＝0，则可肯定： (A) 高斯面上各点场
强均为零． (B) 穿过高斯面上每一面元的
电场强度通量均为零． (C) 穿过整个高斯
面的电场强度通量为零． (D) 以上说法都
不对．
[C]
6、电场强度为 的E 均匀电场， 的E 方向沿x 轴正向，如图所示．则通过图中一半径为R 的半球面的电场强度通量为
B.接地线只提供导体与地交换电荷的通道，并不 保证导体腔外壁上的电荷在任何情况下都为零。
例：如图，两导体板分别带qa和
2 3
qb当一导体接地时，求两板之间
的场强。E 2 qa
S
24.电位移矢量 0D
0s 的引入
D


0ｒＥ ＝Ｅ
qa qb

25．有介质时的高斯定理
4 0r
(选U 0）
一个电荷系的电场中,任一点的电势等于每一个带 电体单独存在时在该点所产生电势的代数和。
点电荷系的电场中
U


i
qi
4
r0 i
电荷连续分布的电场中
U


带电体
ｄq
4 0 r
[2]. 用电势定义式
Uａ


ａ
E

dl
(当电荷分布具有一定的对称性时,用高斯定理很容易求
S
0
qi
i
即通过任一闭合曲面的电场强度通量等于这个闭
合曲面所包围的电荷代数和除以真空介电常数
• 对高斯定理的一些说明
A. E是由空间所有电荷共同产生的。
B.高斯定理普遍成立；当电荷分布具有对称性时 ，可很方便的求出该电荷系统的电场强度的分布
例1: 点电荷ｑ位于正立方体中
A
心,则通过侧面ａｂｃｄ的电通量
d’
d C 0S
d d'
31. 带电电容器所存储的静电能 W Q2 1 CU2
2C 2
外力作功等于静电能的增加。 32.电场的能量密度: w 1 E2
2
一个带电系统的静电能就是它在整个空间激
发的电场能量
W 1 E2dV 2 电场空间
1、半径均为R的两个带电金属球，相距为d，且d >> 2R．一球带电+Q另一球带电-Q．它们之间的相 互作用力比两个分别带电+Q与-Q，相距d的点电荷
q e 6 0
a b qd
若将点电荷ｑ位于正立方体的A角上,
c
则通过侧面ａｂｃｄ的电通量
e

q 24
0
例2： 真空中有一半径为R的圆平面。在通过圆心O与平
面垂直的轴线上一点P处，有一电量为ｑ的点电荷。O、
P间距离为ｈ，试求通过该圆平面的电通量
r
解：做一个以ｑ为中心以ｒ为半径的球面 O h qP
ｑ
ｅ＝
0
S球面
S球冠＝ｑ２0４ｒｒｒ－２ ｈ＝２ｑ
0
1－
ｈ Ｒ２＋ｈ２

10. 能用高斯定理求电场强度的几个对称性分布 的特例
A、均匀带电的球型分布 (包括球体和球壳)
Q
E 4 0r 2
Q 为过场点所做同心球面包 围的电荷代数和
球面:
E外

Q
4 0r 2
C.导体接地时，(A)若外界无电荷，则外壁上电 荷处处为零，外部空间任一点场强为零; (B)若 外界有电荷，则外壁上一定有异号电荷。
D.腔内电荷(包括内壁上的电荷)对内壁以外空间 任何一点的合场强为零;腔外电荷(包括外壁上的 电荷)对外壁以内空间任何一点的合场强为零。
23. 接地线的存在意味着: A.导体的电势为零;
•W点电 q荷1Uｑ1q和1 4ｑq220
之间的相互作用能（即电势能） r
16、电场力的功等于电势能的减少。即
Aab=ｑUａ－ｑUｂ
•外力的功等于电势能的增量A外力ab=ｑUｂ－ｑUａ
17. 电势的计算
[1]. 用点电荷电势公式加电势叠加原理
(1) 点电荷的电势公式 U q
(2) 电势的叠加原理
，故静电场是保守场。
13.
电势：Uａ

零电势点
E

dl （＝

ａ
ａ
E dl
）
电荷分布在有限区域时，电势零点通常选无穷远
处
ｂ
14.电势差：Uａｂ Uａ Uｂ ａ E dl
•两点之间的电势差与电势零点的选取无关
15、点电荷ｑ在电场中的电势能Wａ＝ｑUａ
球体:
E外

Q
4 0r 2
E内 0
E内

Qｒ
4 0R3
B、电荷面密度为 的无限大均匀带电平面 E

2 0
C、电荷线密度为 的均匀带电无限长圆柱型分布

E
2 0r
为过场点所做同轴圆柱面
包围的电荷线密度代数和
柱面：
E外

2 0r
Ｅ内＝0
柱体： E外

2
0r
Ｅ内＝２ｒ0Ｒ２
11、 有关电场强度及电场力在真空中的所有公式
，当充满均匀电介质（或分层均匀充满）时，在
电荷分布保持不变的情况下，只要将公式中的 0
改为场点处电介质的电容 率 即可

12、静电场的环流定理 LE dl 0
即静电场的积分与路径无关，只取决于始末位置
出场强分布,这种情况下用该式求电势较方便） 外
例: 半径为R，带电量为 q 的均
内
匀带电球面的电场中的电势分布。
Ｒ
ｑ
U外 4 外r
U内＝
ｑ
4 外
R
[3]. 利用已知电势结果加电势叠加原理
18. 等势面的性质： •电力线与等势面正交;
•沿着电力线的方向电势降低;
•等势面较密集的地方，场强较大.
E_____3F/Q
3.图示为一具有球对称性分布的静电场的 E~r关系曲线．请指出该静电场是由下列哪 种带电体产生的．
E
(A) 半径为R的均匀带电球面．
E∝1/r2
(B) 半径为R的均匀带电球体．
O
R
r
(C) 半径为R 、电荷体密度r＝Ar
(A为常数）的非均匀带电球体．
(D) 半径为R 、电荷体密度r＝A/r