经济应用数学课件4-6

定义 (1)函数 f ( x)在无限区间[a,)上的反常积分记作
取 ba,若极限
a f (x)dx.
b
lim f (x)dx
b a
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存在,则称反常积分收敛,并以这一极限值为该反常积分的值,即
a
f (x)dx
bl im
b
f
a
(x)dx.
若上述极限不存在,则称反常积分 f (x)dx 发散. a
现将积分区间由有限区间推广到无限区间 (,b],
(,).
a f (x)dx,
即
b
f (x)dx,
这就是无限区间
f (x)dx.
上的反常积分
案 例 计算由曲线 y ex,直线 x0,y0,所围图
形的面积.
记所求的面积为
为了求得该图形的面积,取 y
b 0, 先作直线 xb.
1
e xdx.
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共同学习相互提高
反常积分
定义 (2)函数 f ( x)在无限区间(,b]上的反常积分
b
b
f (x)dx
用极限lim f (x)dx (a b)存在与否来定义它的敛散性. a a
(3)函数 f ( x)在无限区间(,)上的反常积分 f (x)dx
定义为
c
f(x)dx f(x)dx f(x)dx.
c
c 其中 是任一有限数,仅当等式右端的两个反常积分都收敛时,
0
由定积分的几何意义,图中网 格部分(曲边梯形)的面积为
y ex 作
图
b 0
e
xd
x
exb01eb.
x b 显然,当直线
愈向右移动,o
bb bbx
网格部分的图形愈向右延伸,从而愈接近我们所求的面积.按我
们对极限概念的理解,自然应认为所求的面积为
b
limexdxlim (1eb)1.
b 0
b
反常积分
即,若 F (x) 是函数 f (x) 的一个原函数,则
a f (x)dx F (x) a F( )F(a).
这里, F()要理解为极限记号,即 F()lim F(x).
x
练习2 判定 cosxdx 是收敛的还是发散的? 0
解
0 coxsdxsinx0,
由于当 x 时, sin x没有极限,
所以该反常积分发散.
经济应用数学课件4-6
教学建议
学习目标
第四章 积分及其应用
§4.1 定积分的概念与性质 §4.2 不定积分的概念与性质
§4.3 积分的基本公式
§4.4 换元积分法
§4.5 分部积分法
§4.6 无限区间上的反常积分
§4.7 积分学的应用
§4.6 无限区间上的反常积分
b
f (x)dx 的积分区间是有限区间[a, b]. a [a,),
左端的反常积分才收敛；否则,左端的反常积分是发散的.
练习1
计算反常积分
1
1 x2
dx.
解 b 按反常积分敛散性的定义,取 1, 则
1
1 x2
dx
lim b
b 1
1 x2
dx
先计算定积分
b 1
1 x2
dx
1x
b 1
1b1,
再取极限
1
1 x2
dx
lim (1
b
b1)
1.
为了书写方便,计算反常积分时,也采取牛顿——莱布尼茨公 式的记法.