人教a版必修五课件：一元二次不等式的应用(65页)

1 1 1 x≠－3 ⇔x<－ 或x≥ ， 3 2
1 1 ∴原不等式的解集为{x|x<－ ，或x≥ }． 3 2
x＋3>0 (2)方法一：原不等式可化为 2－x>x＋3， x＋3<0 或 2－x<x＋3
x>－3 x<－3 ⇔ 或 1 1 x < － ， x > － . 2 2
思考感悟
1．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0何时解集为R或∅？
提示：当a>0，Δ<0时，解集为R； 当a<0，Δ≤0时，解集为∅； 当a＝b＝0，c>0时，解集为 R； 当a＝b＝0，c≤0时，解集为∅.
2．不等式f(x)＝ax2＋bx＋c<0(a>0)在区间[m，n]上恒 成立，你能写出成立的等价条件吗？
类型二 [例2]
不等式的恒成立问题 关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集
为R，求实数a的取值范围． [分析] a2－1＝0时转化不等式求解 →
a2－1≠0时数形结合转化 → 解不等式组 → 得解
[解]
(1)若a2－1＝0，即a＝± 1时，
若a＝1，不等式变化为－1<0，解集为R； 若a＝－1，不等式变为2x－1<0， 1 解集为{x|x<2}． ∴a＝1时满足条件．
ax2＋bx＋c<0对一切x∈R都成立的条件为
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2．对于一元二次不等式的应用题，其解题关键在于如 何把文字语言转换成 数学语言 ，从而把实际问题转换成
数学问题 ．同时注意问题答案的实际意义，还要增强解
决问题的自信心，不要被问题的表面形式所迷惑．
3．一元二次方程根的分布 影响一元二次方程根的分布情况的基本要素主要有： (1)判别式的符号； (2)相应二次函数对称轴的位置； (3)相应二次函数的开口方向和函数值的大小．
对于比较简单的分式不等式，可直接等价转
化为一元二次不等式或一元一次不等式组即可，要注意分 母不为零．
变式训练1 求下列不等式的解集： x＋2 x＋1 (1) <0；(2) ≤2. 1－x x－2
x＋2 x＋2 解：(1)由 <0，得 >0， 1－x x－1 此不等式等价于(x＋2)(x－1)>0， ∴原不等式的解集为{x|x<－2，或x>1}． x＋1 (2)方法一：移项得 －2≤0， x－2 －x＋5 x－5 左边通分并化简有 ≤0，即 ≥0， x－2 x－2
a>0 当a≠0时， Δ<0.
(2)不等式ax2＋bx＋c<0的解集是全体实数(或恒成立)的 条件是当a＝0时，b＝0，c<0；
a<0 当a≠0时， Δ<0.
类似地，还有f(x)≤a恒成立⇔
[f(x)]max≤a；f(x)≥a恒成立⇔[f(x)]min≥a.
变式训练2 的集合为( )
第三章
不等式
3.2 一元二次不等式及其解法
第2课时
一元二次不等式的应用
课堂互动探究
课前自主预习
随堂知能训练
课时作业
目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩
1.理解三个二次的关系，会解与一元二次不等式有关 的恒成立问题． 2．能从实际问题中建立一元二次不等式的模型，并会 应用其解决实际问题.
课 前 自 主 预 习
课 前 预 习 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·明 确 目 标
新知初探
1．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0对一切x∈R都成立
a>0 Δ<0.
的条件是
a<0 Δ<0.
(2)若a2－1≠0，即a≠± 1时，原不等式解集为R的条件 是
2 a －1<0 2 2 Δ＝a－1 ＋4a －1<0.
3 解得－5<a<1. 3 综上所述，当－ <a≤1时，原不等式解集为全体实 5 数．
[点评]
(1)不等式ax2＋bx＋c>0的解集是全体实数(或
恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c>0；
a>0 则有 2 Δ ＝ a －4a≤0
⇒0<a≤4.
典例导悟
类型一 [例1] 分式不等式的解法 解下列不等式．
2x－1 2－x (1) ≥0；(2) >1. 3x＋1 x＋3 [分析] 式组． 等价转化为一元二次不等式或一元一次不等
[解]
2x－1 (1)∵ ≥0⇔ 2x－13x＋1≥ 3x＋1

x＋1≠0
1 1 x ≤ － 或 x ≥ ⇔ 3 2
(1)若A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝∅，则实数a
A．{a|0<a<4} C．{a|0<a≤4}
B．{a|0≤a<4} D．{a|0≤a≤4}
(2)关于x的不等式(1＋m)x2＋mx＋m<x2＋1对于x∈R恒 成立，求实数m的取值范围．
解析：(1)当a＝0时，有1<0，故A＝∅. 当a≠0时，若A＝∅，
fm<0 提示： fn<0
3．不等式(x＋1)2(x－1)<0的解集是{x|x<1}吗？
提示：不是．不等式的解集为{x|x<1，且x≠－1}．
课 堂 互 动 探 究
例 练 结 合 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·素 能 提 升
1 ⇔－3<x<－ . 2 1 ∴原不等式的解集为{x|－3<x<－2}．
方法二：原不等式可化为 2－x－x＋3 －2x－1 >0⇔ >0 x＋3 x＋3 2x＋1 1 ⇔ <0⇔(2x＋1)(x＋3)<0⇔－3<x<－2. x＋3 1 ∴原不等式的解集为{x|－3<x<－ }． 2
[点评]
x－2x－5≥0 它的同解不等式为 x－2≠0，
∴x<2或x≥5. ∴原不等式的解集为{x|x<2，或x≥5}．
x－5 方法二：原不等式可化为 ≥0， x－2
x－5≥0 此不等式等价于 x－2>0， x－5≤0 或 x－2<0，
①
②
解①得x≥5，解②得x<2， ∴原不等式的解集为{x|x<2，或x≥5}．