第四章控制系统的瞬态响应(时间响应)

r(t)=t
C(t) T
o
T
t
图4-4 一阶系统的单位斜坡响应
系统的响应从t=0时开始跟踪输入信号而单调上 升，在达到稳态后，它与输入信号同速增长，但 它们之间存在跟随误差。
t
e(t) r(t) c(t) T (1 e T )
lim e(t) T t
可见，当t→∞，误差→T，即：
系统在进入稳态以后，在任一时刻，输出量c(t) 将小于输入量r(t)一个T的值，时间常数T越小， 系统跟踪斜坡输入信号的稳态误差也越小。
2
Xo
(s)
s
n2 n
2
1 s
1 s
s
n n
2
s
1
n
进行拉氏反变换得：
xo (t) 1 ntent ent t≥0
xo(t)
t
可见，系统没有超调。
3、当ξ>1时，称为过阻尼。
此时，二阶系统的极点是两个负实根。可表
示为：
Xo(s)
n2
Xi (s) s n n 2 1 s n n 2 1
∴
C(s)
s2
n2 2ns
n2
s n
2 n
2 n2 2n2
n
1 2
n
1 2
s n 2 n
1 2
2
根据ξ的值的不同有不同的输出：
（1） 欠阻尼情况（0＜ξ＜1）
C(s)
s
n
n2
jd s
n
jd
对于上式进行拉氏反变换,可得系统的单位
脉冲响应为：
c(t)
n 1 2
ent
sin dt
②峰值时间 t：p 响应曲线从零时刻上升到第一个
峰值所需要的时间。
Xo(t)
h() 0.9h()
0.5h() t d
0.1h()
tr tp ts
t
③最大超调量 M p ：响应曲线的最大峰值与稳 态值的差,即
M p xo (t p ) xo ()
或
M
p (%)
xo (tp ) xo () xo ()
其响应曲线如图。
2 1
0
系统称为等幅振荡（无阻尼的结果）。
5、当ξ<0时，称为负阻尼。 其分析方法与以上类似，只是其响应表达式 的各指数相均变为正指数，故随时间t→∝， 其输出xo(t) →∝ ，其单位阶跃响应是发散。
xo(t) xo(t)
t
t
总结：单位阶跃系统的响应曲线与特征方程根 的关系。
C(S)
1
1 T
Ts 1
s
1 T
单位脉冲响应为
C(t)
C (t )
1 T
t
e T(t≥0）
(4-4)
1 T
由此可见，系统的单位脉冲
响应就是系统闭环传递函数
1 0.368T
的拉氏变换。
斜率
1 T2
C(t) t
T
2T 3T
图4-3 一阶系统的脉冲响应
●一阶系统的单位脉冲响应是单调下降的指数曲线，曲线
0.632
0.982 0.993 0.95 0.865 0.632
t T 2T 3T 4T 5T
当初始条件为零时，单位阶跃响应的变化
函数是
t
C(t) 1 e T (t 0)
●单调上升的指数曲线；
●1为稳态分量， eT为t 瞬态分量 （衰减系数为 1/T）；
●当t→∞时 ，瞬态分量衰减为零； ●不会超过稳态值1。-----非周期响应。
的初始斜率为 ，1 输出量的初始值为 。1
T2
T
●t→∞时，输出量c(∞)→零，所以它不存在稳态分量。
一般认为在t=3T～4T时过渡过程结束，故系统过度过程的 快速性取决于T的值，T越小，系统响应的快速性也越好。
●一阶系统的特权性由参数T来表述，响应时间为T；在
t=0时，单位阶跃响应的斜率和单位脉冲响应的幅值均为 1/T 。
2 2 2 1 1
其响应曲线如图：
xo(t)
t
系统没有超调，且过渡过程时间较长。
4、当ξ=0时，称为零阻尼
二阶系统的极点为一对共轭虚根。其传递函数可 表示为：
Xo (s) Xi (s)
n2 s2 n2
X o (s)
2 n
s2 n2
1 s
1 s
s2
s
n2
xo (t) 1 cots≥0nt
阻尼比：ζ由大到小到零到负。
对根的影响：左半平面的从左到右直到虚轴，
直到右半平面。
对响应曲线影响：无振荡→ 振荡→ 等幅振荡
→ 发散
由图P49可知：二阶系统的单位阶跃响应随着 阻尼比的减小，其振荡特性愈剧烈,但仍为衰 减振荡。当ξ=0时，达到等幅振荡。
二、二阶系统的单位脉冲响应
输入为单位脉冲：R(s)=1
Xo(s)
s n n
n2 2 1 s n n
2 1
1 s
1
1
1 2 2
2 11
2 2
2 11
s s n n 2 1 s n n 2 1
进行拉氏反变换得：
xo (t) 1 2
1
2 2 1 1
e
2 1 nt
1
e 2 1 nt
●响应曲线的初始（t=0时） 斜率为 1. 如果系统T 保持初始响应的 变化速度不变，则当t=T时，
1
斜率 1 T
0.632
C(t) 0.95
输出量就能达到稳态值。
T
3T
●响应曲线的斜率是不断下降的，图4-2 一阶系统的单位阶跃响应
t=T，输出量c(t)从零上升到稳态值的63.2%;
t=3T～4T，c(t)将分别达到稳态值的95%～98%。
①时域响应：系统在输入信号作用下，其输出 随时间的变化过程，即为系统的时域响应。 ②瞬态响应：系统在输入信号的作用下其
输出量从初始状态到稳定状态的响应过程。
③稳态响应：系统在输入信号的作用下，系统 在时间趋于无穷时的输出状态。
稳态响应也称静态，瞬态响应也称为过渡过程
在分析时域响应时，选择典型输入信号的好处： ⑴数学处理简单。给定典型系统下的性能指标，便
s1,2 n jn 1 2 n jd
d n -1---阻 2尼自然频率。
X o (s) Xi (s)
s
n
2 n
jd s
n
jd
xi (t) 1
X
i
(s)
1 s
Xo(s)
X o (s) X i (s)
Xi(s)
s n
2 n
jd s n
jd
1 s
1 s
s
s n
n 2 d2
s
n
n 2
（2）临界阻尼情况(ξ=1)
C(s)
s
n2 n
2
对上式进行拉氏反变换：
c(t) n2tent
（3）过阻尼情况(ξ>1)
C(s)
2 n
s n n 2 1 s n n 2 1
对上式进行拉氏反变换：
c(t)
n
e e p1t
p2t
2 2 1
p1 n 2 1
瞬态响应指标是在欠阻尼二阶系统单位 阶跃响应的波形基础上给出的。
Xo(t)
h() 0.9h()
0.5h() t d
0.1h()
tr tp ts
t
1、定义：
①上升时间 tr：响应曲线从零时刻到首次到达 稳态值所需的时间，即响应曲线从零上升到稳 态值所需的时间。
有些系统没有超调，理论上到达稳态值时间 需要无穷大。因此，人们也将上升时间 定义 为响应曲线从稳态值的10%上升到稳态值的 90%所需要的时间。
系统单位阶跃响应曲线可用实验的方法确定，将 测得的曲线与图4-2的曲线作比较，就可以确定该系 统是否为一阶系统或等效为一阶系统。
用实验的方法测定一阶系统的输出响应由零值开 始到达稳态值的63.2%所需的时间，就可以确定系 统的时间常数T。
二、一阶系统的单位脉冲响应
设系统的输入为单位脉冲函数r (t) = δ(t),其拉 氏变换为R(s)=1, 则输出的拉氏变换为
时域分析法---系统在典型输入信号的作用下，其 输出响应随时间变化规律的方法。
对于任何一个稳定的控制系统，输出响应含有瞬 态分量和稳态分量。 瞬态分量 由于输入和初始条件引起的，随时间的推移
而趋向消失的响应部分，它提供了系统在过渡过程中的各项 动态性能的信息。
➢ 稳态分量 过渡过程结束后,系统达到平衡状态，它反映 了系统的稳态性能或误差。
--------时间常数T反应了系统的响应速度，T越小，输出响 应上升越快，响应过程的快速性也越好。
由c(t)表达式可知，只有当t趋于无穷大时，响应 的瞬态过程才能结束，在实际应用中，常以输出量 达到稳态值的95%或98%的时间作为系统的响应时 间（即调节时间），这时输出量与稳态值之间的偏 差为5%或2%。
于分析、设计系统。 ⑵典型输入的响应往往可以作为分析复杂输入时的
系统性能的依据。 ⑶便于进行系统辨识，确定未知环节的传递函数。
总结：选择哪种函数作为典型输入信号，应 视不同系统的具体工作条件而定。
控制系统的输入量随时间变化→斜坡函数 导弹发射→脉冲函数 往复运动→正弦 突然闭合断点→阶跃
4-1、一阶系统的瞬态响应 能够用一阶微分方程描述的系统称为一阶系
二阶系统的典型传函：
Xo(s)
2 n
Xi (s)
s2
2n
s
2 n
---阻尼比， n --无阻尼自然频率
二阶系统的典型传递函数形式：
X o (s)
1
X i (s) T 2s2 2Ts 1
其中，
1 T
n
Xo(s)
n2
Xi (s)
s2
Fra Baidu bibliotek
2 n s
2 n
一、二阶系统的单位阶跃响应 1、0＜ξ＜1，称为欠阻尼。
p2 n 2 1
二阶系统的脉冲响应也可由二阶系统的单 位阶跃响应求导后得到。
4-4、二阶系统的瞬态响应指标
一、瞬态响应指标
评价一个系统的优劣，总是用一定的性 能指标来衡量的。性能指标可以在时域里 提出，也可以在频域里提出。时域里的性 能指标比较直观。对于具有贮能元件的系 统（即大于或等于一阶的系统）受到输入 信号作用时，一般不是立即反应，总是表 现出一定的过渡过程。
100%
用百分数表示的最大超调量 M p (%有) 时也用
%表示。
④调整时间 ts ：响应曲线达到并永远保持在
误差范围±Δ%内所需的时间。
⑤振荡次数N：在调整时间 ts内响应曲线振荡
的次数。
在以上各性能指标中： tr、ts和 tp 反应系统快
速性；
M p 和 N反应系统的平稳性。
2、二阶系统的瞬态响应指标
d2
xo (t) 1 ent cosdt
12
ent sindt
xo (t) 1 ent cosdt
12
ent sindt
即
xo(t) 1
ent
12
1 2 cosdt sindt
xo (t) 1
ent
1 2
sin
d t
arctan
12
xo (t) 1
ent
1 2
sin
d t
arctan
12
t≥0
当0＜ξ＜1时，二阶系统的单位阶跃响应是 以ωd为角频率的衰减振动。随着ξ的减小， 其振荡幅值加大。
2、当ξ=1时，称为临界阻尼。 此时，二阶系统的极点是二重根。可表示为：
X o (s) Xi (s)
s2
2 n
2 n s
2 n
Xo (s) Xi (s)
s
n2 n
第四章 控制系统的瞬态响应 (时间响应）
数学模型------采用不同的分析方法来分析系统的性能。
经典控制理论中常用的工程方法有 ➢ 时域分析法-----时间响应(动态性能） ➢ 根轨迹法 ➢ 频率特性法-----频率响应
分析内容 ❖ 瞬态性能-----快速性 ❖ 稳态性能-----准确性 ❖ 稳定性能-----稳定性
统。它的典型形式是一阶惯性环节，即
XO (s) 1 Xi (s) Ts 1
T为时间常数，T>0
一、一阶系统的单位阶跃响应
xi (t) 1(t)
X
i
(s)
1 s
X o (s)
1 Ts 1
1 s
1 s
T Ts 1
1 s
s
1 1
T
进行拉氏反变换，得
1t
xo (t) 1 e T
xo(t) 斜率=1/T
研究二阶系统最重要的是研究欠阻尼情况。
二阶系统：
X o (s) Xi (s)
s2
n2 2 n s
n2
其极点：
s1,2 n jn 1 2 n jd
①求上升时间 tr ：
xo (t) 1
ent
1 2
sin( d t
arctan
1 2
)
将 xo (tr ) 1 代入上式得：
sin
d
tr
由上可见，系统对输入信号导数 的响应，等于系统对输入信号响应 的导数。而系统对输入信号积分的 响应，等于系统对原输入信号响应 的积分。积分常数由初始条件确定。 这是线性定常系统的一个重要特性。
4-3 二阶系统的瞬态响应
用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。 从物理上讲，二阶系统总包含两个贮能源， 能量在两个元件间交换，引起系统具有往 复振荡的趋势。当阻尼不够充分大时，系 统呈现出振荡的特性，所以二阶系统也称 为二阶振荡环节。
三、一阶系统的单位斜坡响应
设系统的输入为单位斜坡函数r(t)=t，
其拉氏变换为 R(s) 则1 输出的拉氏变换为
s2
C(s) 1 1 1 T T
Ts 1 s2
s2
s
s
1 T
t
t
C(t) t T Te T t T (1 e T ) (t≥0）
(4-3)
式中，t-T为稳态分量 Te为Tt 瞬态分量，当t→∞时， 瞬态分量衰减到零。
arctan
12
0
dtr arctan