一阶微分方程
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一阶线性微分方程
在工程中的应用
控制工程
01
在控制工程中，一Hale Waihona Puke 线性微分方程可以用来描述系统的动态特
性，如传递函数和稳定性分析。
信号处理
02
在信号处理中，一阶线性微分方程可以用来描述信号的滤波、
放大和传输等过程。
航天工程
03
在航天工程中，一阶线性微分方程可以用来描述火箭的发射、
卫星轨道和姿态控制等过程。
04
一阶线性微分方程的扩 展
一阶线性微分方程
目录
• 一阶线性微分方程的定义与形式 • 一阶线性微分方程的解法 • 一阶线性微分方程的应用 • 一阶线性微分方程的扩展
01
一阶线性微分方程的定 义与形式
定义
总结词
一阶线性微分方程是包含一个未知函数及其导数的一次项的方程。
详细描述
一阶线性微分方程的一般形式为 y' + P(x)y = Q(x)，其中 y 是未知函数，P(x) 和 Q(x) 是已知函数，' 表示导数。 这个方程包含未知函数 y 和它的导数 y'，且最高次项为一次。
变系数一阶线性微分方程
定义
变系数一阶线性微分方程是指方程中的系数是未知数的函数，而 不是常数。
解法
解变系数一阶线性微分方程需要使用特殊的方法，如换元法、变量 分离法等，以将方程转化为更易于解决的形式。
应用
变系数一阶线性微分方程在物理学、工程学和经济学等领域有广泛 的应用，例如振动问题、电路分析、人口动态等。
03
一阶线性微分方程的应 用
在物理中的应用
自由落体运动
一阶线性微分方程可以用来描述 物体在重力作用下的自由落体运 动，如速度和位移随时间的变化
§6-3-一阶线性微分方程
与齐次方程通解相比:C C(x)
常数变易法
把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.
实质: 未知函数的变量代换.
新未知函数 C(x) 原未知函数 y(x),
作变换
y
C
(
x)e
P(
x)dx
y C(x)eP(x)dx C(x)[P(x)]eP(x)dx , 将y和y代入原方程 ddyx P(x) y Q(x)得.
解
x
f ( x)dx
( x3 y)2 ,
0
y
x ydx x3 y, 0
y x3
Q
两边求导得 y y 3x2,
o 解此微分方程.
y f (x) P
xx
y y 3x2 这是一个非齐次线性方程.
y
e dx
3x
2e
dx
dx
C
Cex 3x2 6x 6,
由 y |x0 0, 得 C 6,
dx
当Q( x) 0, 上方程称为非齐次的.
讨论:
微分方程
y 2xy
dy y x2 dx
yy 2xy 3
dx xsint t2 dt
y cos y 1
dy 1 dx x y
变换
是否是一阶齐次或 非齐次微分方程
y 2xy 0
齐次
dy y x2, dx
非齐次
———— 不是一阶线性方程
化简得: c(x) 1
积分得 c(x) 1dx x c
.
所以,原方程的通解为 y (x c)ex
练习
1.求y y ex的通解
解法2:(直接运用通解公式求解)
y y ex是一阶线性非齐次微分 方程
p(x) 1, Q(x) ex
12.4一阶线性微分方程
x 解得 z x ( C ), 故原伯努利方程的同解为 2 4 x y x ( C )2 . 2
2
例6: 用适当的变量代换解下列微分方程:
1.
yy xy2 xe x ;
2 2
x 1 y xy xe y , 解: 将原方程变形为
实际上, 这是一个n=–1的伯努利方程. 令 z=y2, 则 dz dy dz x2 2 y , 所以, 原方程转化为 2 xz 2 xe , dx dx dx dz x2 先求方程 2 xz 0 的通解. 得: z ce . dx 2 2 2 x x x 令 z c( x )e , 则 z c( x )e 2 xc( x )e , 代入得, 2 2 2 2 x x x x c( x )e 2 xc( x )e 2 xc( x )e 2 xe ,
( 此处 mg k v 0 )
1 t 足够大时 利用初始条件, 得 C ln ( mg ) mg k k v k t mg 代入上式后化简, 得特解 v (1 e m ) k
例2 如图所示，平行与 y 轴的动直线被曲 3 线 y f ( x )与 y x ( x 0)截下的线段PQ之 长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 f ( x ).
令 y c( x )( x 1)2 , 则 y c( x )( x 1)2 2c( x )( x 1), 代入线性非齐次方程中, 得: c( x )( x 1)2 2c( x )( x 1) 5 1 2 2c( x )( x 1) ( x 1) 2 x 1 1 3 2 2 化简得: c( x ) ( x 1) , 得 c( x ) ( x 1) 2 c 3 故, 原非齐次方程的通解为: 3 2 y ( x 1)2[ ( x 1) 2 c ] 3 dy y . 例3: 求解微分方程 dx 2(ln y x ) dx 2(ln y x ) 2 2 ln y x . 解: 将方程改写为 dy y y y 这是一个关于函数x=x(y)的一阶线性非齐次方程,
2
例6: 用适当的变量代换解下列微分方程:
1.
yy xy2 xe x ;
2 2
x 1 y xy xe y , 解: 将原方程变形为
实际上, 这是一个n=–1的伯努利方程. 令 z=y2, 则 dz dy dz x2 2 y , 所以, 原方程转化为 2 xz 2 xe , dx dx dx dz x2 先求方程 2 xz 0 的通解. 得: z ce . dx 2 2 2 x x x 令 z c( x )e , 则 z c( x )e 2 xc( x )e , 代入得, 2 2 2 2 x x x x c( x )e 2 xc( x )e 2 xc( x )e 2 xe ,
( 此处 mg k v 0 )
1 t 足够大时 利用初始条件, 得 C ln ( mg ) mg k k v k t mg 代入上式后化简, 得特解 v (1 e m ) k
例2 如图所示，平行与 y 轴的动直线被曲 3 线 y f ( x )与 y x ( x 0)截下的线段PQ之 长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 f ( x ).
令 y c( x )( x 1)2 , 则 y c( x )( x 1)2 2c( x )( x 1), 代入线性非齐次方程中, 得: c( x )( x 1)2 2c( x )( x 1) 5 1 2 2c( x )( x 1) ( x 1) 2 x 1 1 3 2 2 化简得: c( x ) ( x 1) , 得 c( x ) ( x 1) 2 c 3 故, 原非齐次方程的通解为: 3 2 y ( x 1)2[ ( x 1) 2 c ] 3 dy y . 例3: 求解微分方程 dx 2(ln y x ) dx 2(ln y x ) 2 2 ln y x . 解: 将方程改写为 dy y y y 这是一个关于函数x=x(y)的一阶线性非齐次方程,
§7.4 一阶线性微分方程
dz 2 xz xex2 , z e 2 xdx[
判别下列方程类型:
(1) x dy y xy dy
dx
dx
(2) x dy y (ln y ln x) dx
(3) ( y x3) dx 2x dy 0
(4) 2 y dx ( y3 x) dy 0
(5) ( y ln x 2) y dx x dy
提示:
②在数学方面，有关微积分、微分方程和概率论等，他也做 了大量而重要的工作。
2.3、伯努利方程的解法
解法: 需经过变量代换化为线性微分方程.
两 端 除 以yn， 得 yn dy P( x) y1n Q( x), dx
令z y1n , 则 dz (1 n) yn dy ，
dx
dy P( x) y Q( x) yn (n 0,1)
dx
1当n 0,1时，方程为线性微分方程.
当n 0时，dy P( x) y Q( x)为非齐次;
dx
当n 1时，dy [P( x) Q( x)]y 0为齐次的; dx
2当n 0,1时，方程为非线性微分方程
两边求导,得： y=C(x)e x22xC(x)e x2
将y、y代入原方程,得：
C´(x)ex2 2xC(x)ex2 2xC(x)ex2 xex2 C'(x) x C(x) 1 x2 C
故通解为 y ex2 ( 1 x2 C) 2 2
⑵公式法 原方程为：y 2xy xe-x 2
ex2 [
1
e x2
e
2
xdx
dx
C]
x
ex2 [
高数-一阶线性微分方程
(x
1) 2
2 3
(x
1)
3 2
C
注意：找正确P(x)和 Q(x).
例2. 求方程 (x2 1) y'2xy cos x 0, y(0) 1 特解。
解一: 整理方程得
y'
2x x2 1
y
cos x x2 1
对应的齐次方程
y'
x
2
2
x
1
y
0的通解为
y
C x2 1
(齐通)
(常数变易法) 令
dx
(2)
dy 3y 8 , dx
y |x0 2
(3)
( y2 6x) dy 2 y 0 dx
(4)
dy dx
2x
y
y3
,
y
x1
1
答案： (1) y (x 2)3 C(x 2)
(2)
y
2 3
(4
e3x )
(3) x Cy3 1 y2
2
(4) x y3
*二、伯努利 ( Bernoulli )方程
令 P(x) x, Q(x) 2x
方程的通解
y
e P( x)d x
Q(
x)
e
P
(
x
)
d
xd
x
C
e
x
d
x
2
x
e
x
d
x
d
x
C
1 x2
e2
2
x
e
1 2
x2
d
x
C
2
C
1 x2
e2
1 x2
由y(0) 2 得 C 4. 即 y 2 4 e2
一阶线性微分方程
dx
的微分方程, 称为伯努利(Bernoulli) 方程.
2.解法 方程两端同除yn，得
yn dy P( x) y1n Q( x) dx
令z y1n , 得 dz (1 n)P( x)z (1 n)Q( x).
dx 求出通解后，将 z y1n 代入即可.
例 3 求方程 dy 4 y x2 y 的通解. dx x
1 而方程两端同乘函数 x2 后，得
xdy ydx x2
d
y x
0
是全微分方程， 所以 1 是原方程的一个 x2
积分因子.
原方程的通解为 y C . x
导数，且
Q P x y
则称该方程为全微分方程，或恰当方程.
2. 解法 若微分方程
P( x, y)dx Q( x, y)dy 0
是全微分方程.
则存在u( x, y),使
du(x, y) P(x, y)dx Q(x, y)dy
原方程变为 du( x, y) 0
全微分方程通解为 u( x, y) C.
将 u x y 代回, 所求通解为
y ln( x y 1) C, 或 x C1e y y 1
另解 方程变形为 dx x y. 一阶线性微分方程. dy
第五节 全微分方程
1. 定义 如果一阶微分方程
P( x, y)dx Q( x, y)dy 0
中的P( x, y)，Q( x, y)在单连域G内具有一阶连续偏
(3)
Ce P( x)dx e P( x)dx
Q(
x
)e
P
(
x
)dx
dx
对应齐次 方程通解
非齐次方程的特解
例1 求方程 y 1 y sin x 的通解. xx
的微分方程, 称为伯努利(Bernoulli) 方程.
2.解法 方程两端同除yn，得
yn dy P( x) y1n Q( x) dx
令z y1n , 得 dz (1 n)P( x)z (1 n)Q( x).
dx 求出通解后，将 z y1n 代入即可.
例 3 求方程 dy 4 y x2 y 的通解. dx x
1 而方程两端同乘函数 x2 后，得
xdy ydx x2
d
y x
0
是全微分方程， 所以 1 是原方程的一个 x2
积分因子.
原方程的通解为 y C . x
导数，且
Q P x y
则称该方程为全微分方程，或恰当方程.
2. 解法 若微分方程
P( x, y)dx Q( x, y)dy 0
是全微分方程.
则存在u( x, y),使
du(x, y) P(x, y)dx Q(x, y)dy
原方程变为 du( x, y) 0
全微分方程通解为 u( x, y) C.
将 u x y 代回, 所求通解为
y ln( x y 1) C, 或 x C1e y y 1
另解 方程变形为 dx x y. 一阶线性微分方程. dy
第五节 全微分方程
1. 定义 如果一阶微分方程
P( x, y)dx Q( x, y)dy 0
中的P( x, y)，Q( x, y)在单连域G内具有一阶连续偏
(3)
Ce P( x)dx e P( x)dx
Q(
x
)e
P
(
x
)dx
dx
对应齐次 方程通解
非齐次方程的特解
例1 求方程 y 1 y sin x 的通解. xx
一阶线性微分方程
y x
2
线性非齐次方程
线性齐次方程
y cos y 1
y y 2 xy 3 ,
非线性
2、一阶线性微分方程的解法 引例 考虑一阶线性微分方程
（齐次方程） （非齐次方程） ① ②
求①的通解，并验证
是②的通解. . 代入②，方程成立，
解: 由分离变量得齐次方程的通解为 将
故是解. 又因为含有一个任意常数，故是通解.
例6. 求方程 解: 令 z y
1
的通解.
, 则方程变形为
z x
1
dz dx
a ln x
其通解为
ze
x
dx
(a ln x) e
a 2 ( ln x)
2
dx
x
1
dx C
x C
将 z y 1代入, 得原方程通解:
作 业
P315 1 (3) , (6) , (9) ;2 (5) ; 6 ; 7 (5)
暂态电流
稳态电流
小结 求解一阶线性微分方程的方法:
dy dx P( x) y Q( x)
1、常数变易法求解一阶线性微分方程的步骤:
(1) 将方程化为标准形式，确定 P(x) 和 Q(x)； (2) 求对应的齐次方程的通解 y C e
P( x) d x
；
（常数变易）
(3) 设原方程的通解为 y C ( x) e P ( x ) d x ，代回原
xe
P( y)d y
P( y)d y Q( y ) e d y C ，得
xe
y
y e
y
dy C
高等数学第七章4节一阶微分线性方程
一阶齐次线性微分方程 一阶非齐次线性微分方程
2
设
dy P x y Qx dx
（1）
dy 为一阶非齐次线性微分方程， 则方程 Px y 0 dx
称为对应于（1）的齐次线性微分方程.
2. 一阶齐次线
dy P x y 0, dx dy 得 P x dx , y dy P x dx , y
u x Q x e P x dx dx C .
求得() 的通解为：
y [ Q x e P x dx dx C ]e P x dx .
7
或
y Ce P x dx e P x dx Q x e P x dx dx
第四节
一阶线性微分方程
dy P x y Qx dx
一、一阶线性微分方程 二、伯努利方程
dy P x y Q x y n dx
n 0 ,1
1
一、一阶线性微分方程
1.定义 形如
dy 称为一阶线性微分 P x y Q x 的方程， dx
将 y u x e
P x dx
代入() ， 得
u x e
即 积分得
P x dx
u x e
P x dx
P x
P x u x e
P x dx
Q x
P x dx u x Q x e
齐次线性微分方程的通解
非齐次线性微分方程的特解
即 非齐次线性微分方程的通解等于对应的齐次线性方程的通解 与非齐次线性方程的一个特解之和.
8
5 dy 2y x 1 2 的通解 . 例1 求方程 dx x 1
一阶线性微分方程
高等数学之——
8.3 一阶线性微分方程
第三节 一阶线性微分方程
一.一阶线性微分方程的概念 二.一阶线性微分方程的解法
一、一阶线性微分方程的概念
1. 一阶线性微分方程的定义 在微分方程中，若未知函数及其导数都是一次的，则称其为
一阶线性微分方程.其标准式为：
d y P(x)y Q(x) dx
.
A.
A.是
B.否
四、小结
1.一阶线性齐次微分方程 dy P(x) y 0
dx
通解： y Ce P（x）dx
2.一阶线性非齐次微分方程 dy P(x) y Q(x) , Q(x) 0
dx
通解：
y
e P( x)dx
Q(
x)e
P
(
x
)
dx
dx
C
只看等式右端不能下结论，要变形为标准式.
例如： 3x2 5 y 0
y 3 x2
5
是一阶线性非齐次微分方程
二、一阶线性齐次微分方程的解法
1.一般式
dy P( x) y 0 dx
分离变量
(2) 1 dy P(x)dx y
2.解法
分离变量法
两边积分 通解
ln | y | P ( x)dx C1 | y | e P ( x )dx C1 y eC1 e P ( x )dx
则通解为
y
e 1dx
3x
e
1dx
dx
C
ex 3
xe
x
dx
C
ex 3 xd (ex ) C
8.3 一阶线性微分方程
第三节 一阶线性微分方程
一.一阶线性微分方程的概念 二.一阶线性微分方程的解法
一、一阶线性微分方程的概念
1. 一阶线性微分方程的定义 在微分方程中，若未知函数及其导数都是一次的，则称其为
一阶线性微分方程.其标准式为：
d y P(x)y Q(x) dx
.
A.
A.是
B.否
四、小结
1.一阶线性齐次微分方程 dy P(x) y 0
dx
通解： y Ce P（x）dx
2.一阶线性非齐次微分方程 dy P(x) y Q(x) , Q(x) 0
dx
通解：
y
e P( x)dx
Q(
x)e
P
(
x
)
dx
dx
C
只看等式右端不能下结论，要变形为标准式.
例如： 3x2 5 y 0
y 3 x2
5
是一阶线性非齐次微分方程
二、一阶线性齐次微分方程的解法
1.一般式
dy P( x) y 0 dx
分离变量
(2) 1 dy P(x)dx y
2.解法
分离变量法
两边积分 通解
ln | y | P ( x)dx C1 | y | e P ( x )dx C1 y eC1 e P ( x )dx
则通解为
y
e 1dx
3x
e
1dx
dx
C
ex 3
xe
x
dx
C
ex 3 xd (ex ) C
第四节 一阶线性微分方程
ln | x + y + 1 |= y + ln | C |,
通解为
x = Ce − y − 1.
y
小结
1.一阶线性齐次微分方程 一阶线性齐次微分方程 2.一阶线性非齐次微分方程 2.一阶线性非齐次微分方程 3.伯努利方程 伯努利方程
令 y1−n = z;
思考与练习
判别下列方程类型: 判别下列方程类型 dy dy (1) x + y = xy dx dx dy (2) x =y (ln y − ln x) dx 提示: 提示 y −1 dx 可分离 dy = 变量方程 y x dy y y = ln 齐次方程 dx x x dy 1 x2 一阶线性非 − y =− dx 2x 2 齐次方程 2 dx 1 y 一阶线性非 − x = − 齐次方程 dy 2 y 2 dy 2 ln x 2 伯努利 + y= y 方程 dx x x
∫ P ( x ) dx + y(e ∫ P ( x )dx )′ = 0, y′e
∫ P ( x )dx )′ = 0, ( ye
故通解为
∫ P ( x ) dx = C , ye
− P( x )dx
∫ y = Ce
.
dy + P(x) y = Q(x) 2. 解非齐次方程 dx −∫ P( x) d x 常数变易法: 用常数变易法 作变换 y(x) = u(x) e ,则 −∫ P( x) d x −∫ P( x) d x −∫ P( x) d x + P(x) u e = Q(x) u′ e − P(x) u e
所求通解为
ye
x y
=C
可化为一阶线性的微分方程 -------伯努利方程 伯努利方程
一阶线性微分方程
一阶线性微分方程在数学的领域中，微分方程是一种描述函数关系的方程。
一阶线性微分方程是其中一种常见的微分方程类型，其具有如下的一般形式：dy/dx + P(x)y = Q(x)在这个方程中，y是未知函数，x是自变量。
P(x)和Q(x)是已知函数。
解决一阶线性微分方程的方法之一是使用积分因子的方法。
通过适当选择一个积分因子来将方程转化为可积的形式，从而得到其解。
具体地，我们可以按照以下步骤来解决一阶线性微分方程：步骤1：将方程转化为标准形式需要将一阶线性微分方程转化为以下形式：dy/dx + P(x)y = Q(x)通过移项，得到：dy/dx = -P(x)y + Q(x)步骤2：确定积分因子确定积分因子μ(x)的一种常用方法是将方程乘以一个因子，并使乘积的系数等于∂(μ(x)y)/∂x。
因此，我们可以通过以下公式来确定积分因子：μ(x) = e^∫P(x)dx步骤3：将方程乘以积分因子将方程乘以积分因子μ(x)：μ(x)dy/dx + μ(x)P(x)y = μ(x)Q(x)得到：d[μ(x)y]/dx = μ(x)Q(x)步骤4：对方程进行积分对上述方程两边进行积分，得到：∫d[μ(x)y]/dx dx= ∫μ(x)Q(x) dx化简后得到：μ(x)y = ∫μ(x)Q(x) dx + C其中，C是常数。
步骤5：解出未知函数y解方程μ(x)y = ∫μ(x)Q(x) dx + C，求出未知函数y的表达式。
以上就是解决一阶线性微分方程的步骤。
通过选取适当的积分因子，将方程转化为可积的形式，并通过积分求解得到未知函数的表达式。
总结起来，一阶线性微分方程的求解过程可以分为五个步骤：将方程转化为标准形式、确定积分因子、将方程乘以积分因子、对方程进行积分、解出未知函数y。
这些步骤能够帮助我们解决一阶线性微分方程的问题。
通过学习和掌握一阶线性微分方程的方法，我们可以应用它们解决各种实际问题，如物理学、生物学、经济学等领域中的相关问题。
一阶线性微分方程
第三节 一阶线性微 Q( x ) dx
关于未知函数 y 及 其导数 y 是一次的.
当Q( x ) 0, 称为一阶线性齐次微分方程.
当Q( x ) 0, 称为一阶线性非齐次微分方程.
例如
dy y x2 , dx dy y 2 xy 3, dx dx x sin t t 2 , 线性的; dt dy cos y 1, 非线性的. dx
Q
解
0
x
x 3 y, y dx ( x y )
3 2
2
两边求导得 y y 3 x ,
dx dx
P
y f ( x)
o x x y e C 3 x 2e dx Ce x 3 x 2 6 x 6,
由 y | x 0 0, 得 C 6,
齐次方程通解 非齐次方程一个特解
1 sin x 例1 求方程 y y 的通解. x x sin x 1 Q( x ) , 解 P( x) , x x
ye
1 dx x
sin x 1 dx x e dx C x
e
ln x
sin x ln x e dx C x
dx (tan y ) x sin 2 y , dy
x e ln cos y [ sin 2 y e ln cos y dy C ]
2 sin y cos y cos y dy C cos y cos y [C 2 cos y].
Q( x ) e P ( x ) d x d x C 2. 公式中的不定积分不再加C . ye
关于未知函数 y 及 其导数 y 是一次的.
当Q( x ) 0, 称为一阶线性齐次微分方程.
当Q( x ) 0, 称为一阶线性非齐次微分方程.
例如
dy y x2 , dx dy y 2 xy 3, dx dx x sin t t 2 , 线性的; dt dy cos y 1, 非线性的. dx
Q
解
0
x
x 3 y, y dx ( x y )
3 2
2
两边求导得 y y 3 x ,
dx dx
P
y f ( x)
o x x y e C 3 x 2e dx Ce x 3 x 2 6 x 6,
由 y | x 0 0, 得 C 6,
齐次方程通解 非齐次方程一个特解
1 sin x 例1 求方程 y y 的通解. x x sin x 1 Q( x ) , 解 P( x) , x x
ye
1 dx x
sin x 1 dx x e dx C x
e
ln x
sin x ln x e dx C x
dx (tan y ) x sin 2 y , dy
x e ln cos y [ sin 2 y e ln cos y dy C ]
2 sin y cos y cos y dy C cos y cos y [C 2 cos y].
Q( x ) e P ( x ) d x d x C 2. 公式中的不定积分不再加C . ye
一阶线性微分方程
dx 等，都不是线性方程.
一阶线性非齐次微分方程的求解步骤如下:
1.先求 dy P(x) y 0 (2) 的通解： dx
分离变量后得
dy P(x)dx y
任意常数写成ln C的形式，得
ln y P(x)dx ln C，
化简后，方程(2)的通解为
y Ce P(x)dx，
dx x y3 1 x y2， 即 dy y y
dx 1 x y2 , dy y
(7)
对于未知函数x(y为自变量)来说，所给方程就是
一阶线性非齐次方程，对未知函数x的一阶线性
非齐次方程
dx P( y)x Q( y)
(8)
dy
的通解公式为
x e P( y)dy[ Q( y)e P( y)dydy C]
P(t
) dt dt
C
e
k dt
m[
g ge
k dt
m dt
C
k t
e m (g
kt
em dt
C)
e
kt m
(
mg
kt
em
C)
mg
kt
Ce m .
k
k
故得通解为
v
mg
kt
Ce m .
k
注意方程(10)也可分离变量为
dv = dt ， mg kv m
1 cos
x
sec
x
cos
xdx
C
1 cos
x
dx
C
一阶线性非齐次微分方程的求解步骤如下:
1.先求 dy P(x) y 0 (2) 的通解： dx
分离变量后得
dy P(x)dx y
任意常数写成ln C的形式，得
ln y P(x)dx ln C，
化简后，方程(2)的通解为
y Ce P(x)dx，
dx x y3 1 x y2， 即 dy y y
dx 1 x y2 , dy y
(7)
对于未知函数x(y为自变量)来说，所给方程就是
一阶线性非齐次方程，对未知函数x的一阶线性
非齐次方程
dx P( y)x Q( y)
(8)
dy
的通解公式为
x e P( y)dy[ Q( y)e P( y)dydy C]
P(t
) dt dt
C
e
k dt
m[
g ge
k dt
m dt
C
k t
e m (g
kt
em dt
C)
e
kt m
(
mg
kt
em
C)
mg
kt
Ce m .
k
k
故得通解为
v
mg
kt
Ce m .
k
注意方程(10)也可分离变量为
dv = dt ， mg kv m
1 cos
x
sec
x
cos
xdx
C
1 cos
x
dx
C
一阶线性微分方程
齐次方程通解
高等数学（ZYH）
非齐次方程特解
例1. 解方程
d y 2d x d y 2y 0, 即 解: 先解 y x 1 dx x 1 积分得 即 y C ( x 1) 2 2 则 用常数变易法求特解. 令 y u ( x) ( x 1) ,
y u ( x 1) 2 2 u ( x 1)
ln y P( x)d x ln C
故通解为
高等数学（ZYH）
y C e P ( x )d x
dy P( x) y Q( x) 2. 解非齐次方程 dx
P( x) d x 则 用常数变易法: 作变换 y ( x) u ( x) e ,
u e
即
P( x) d x
代入非齐次方程得 解得 故原方程通解为
高等数学（ZYH）
3 2 u ( x 1) 2 C 3
d y 0 的通解 . dx 解: 注意 x, y 同号, 当 x 0 时, 2 d x , 故方程可 x 变形为 这是以 x 为因变量, y为
由一阶线性方程通解公式 , 得
§12.4 一阶线性微分方程
一、一阶线性微分方程 二、伯努利方程
一、一阶线性微分方程 dy P( x) y Q( x) 一阶线性微分方程标准形式: dx 若 Q(x) 0, 称为齐次方程 ; 0, 称为非齐次方程 . dy P( x) y 0 1. 解齐次方程 dx 分离变量 两边积分得 若 Q(x)
P( x) u e
P( x) d x
P( x) u e
P( x) d x
Q( x)
P ( x )d x 对应齐次方程通解 y C e P( x) d x 两端积分得 u Q( x) e dx C
一阶线性微分方程.
2
2x dx x2 1
x2 1
1 4x 2 ( x 2 1)dx C
x2 1 x2 1
1 4x 2dx C
x2 1
1 4 x 3 C .
x2 1 3
5
将 y 代入上式,得 C 2, 所以所求特解为:
再用常数变异法求原方程的解.设
y u( x)( x 1)2
为原方程的解,代入原方程并整理,得
u( x) x 1
两端积分,得
1 u( x) x 2 x C
2
所以原方程的通解为:
1 y ( x 1)2 ( x 2 x C )
2
例4 求方程 ( x 2 1) y 2xy 4x 2 0 满足初
将 y 0 代入通解,得 C 2, 于是所求曲线方程 x0
为:
y 2(e x x 1)
例6 如图所示，平行与 y 轴的动直线被曲
线 y f ( x)与 y x3 ( x 0)截下的线段PQ之
长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 f ( x).n2 y C ；
3、 x Cy3 1 y2. 2
二、1、 y sin x 5ecos x 1；
2、2 y
x3
x
3
e
1 x2
1
.
三、v
k1 k2
t
k1m k22
(1
k0 t
em
).
四、1、 xy x C ；
2、
x y
2 2
C
2 3
3、 dy dx
一阶线性微分方程
y [ Q( x)e P( x)dxdx C ]e P( x)dx
Ce P( x)dx e P( x)dx
Q(
x
)e
P
(
x
)dx
dx
对应齐次
非齐次方程特解
方程通解
例1 解方程
解: 先解
dy 2y 0 ,即 dx x 1
dy 2dx y x 1
齐次方程
dx x x
dy dx
1 2x
y
x2 2
线性微分方 程
dx
1
x
y
2
线性微分方
dy 2y
2程
(5) ( y ln x 2) y dx x dy d y 2 y ln x y2 伯努利
dx x x
方程
伯努利(1654 – 1705)
( 雅各布第一 ·伯努利 )
瑞士数学家, 他家祖孙三代出过十多 位数学家. 1694年他首次给出了直角坐 标和极坐标下的曲率半径公式, 1695年 年提出了著名的伯努利方程, 1713年出 版了他的巨著《猜度术》, 这是组合数学与概率论史 上的一件大事, 书中给出的伯努利数在很多地方有用, 而伯努利定理则是大数定律的最早形式. 此外, 他对 双纽线, 悬链线和对数螺线都有深入的研究 .
dy y
P
(
x)dx,
ln y P(x)dx C1,
齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx .
2.非齐次线性方程
dy P( x) y Q( x). dx
讨论
dy y
Q( x) y
一阶线性微分方程
y u ( x 1) 2 2 u ( x 1)
代入非齐次方程得 解得 故原方程通解为
3 2 u ( x 1) 2 C 3
例6 求一阶线性方程通解 dy sin x y cos x e dx cos xdx 解：齐次方程通解： y Ce
注：
当n 0,1时， 方程为线性微分方程. 当n 0,1时，方程为非线性微分方程.
例 求方程
dy 4 y x y ( y 0, x 0) 的通解。 dx x
解：这是伯努利方程 ，其中
则
课堂练习题:求
解:由标准形式知
的特解
则 通解 由
得
所求特解为:
内容小结
一阶线性方程 方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法. 方法2 用通解公式
1 dx e x dx
1 dx x
dy 1 2 y x 的通解 例2 求一阶线性方程 dx x
解：
1 P( x) , Q( x) x 2 x
P( x)d x P( x)d x [ Q( x)e dx C ]
则通解为
ye
即：
1 2 x xdx C x( x C ) 2
例如
dy y x 2 , dx x sin t t 2 , dx dt
线性的;
yy 2 xy 3,
y cos y 1,
非线性的.
1. 解齐次方程 分离变量 两边积分得 故通解为
dy P( x) y 0 dx
(使用分离变量法)
ln y P( x)d x ln C
三、一阶线性微分方程
定义3 如果方程中未知函数的导数（微分） 的最高阶数是一阶的，且所含未知函数及导 数（微分）都是一次幂的，则称这种方程为 一阶线性微分方程。
一阶线性微分方程
ye
P ( x ) dx
Ce
P ( x ) dx dx C ] 通解公式 [ Q( x )e
e
P ( x ) dx
P ( x ) dx
P ( x ) dx dx Q( x )e
对应齐次 方程通解
非齐次方程特解
C 0
通过齐次线性方程的通解去求对应非齐次 线性方程的通解的方法称为 常数变易法.
P ( x ) dx
,
右边
dx C , 所以 u x Q x e 代回,得非齐次方程的通解
P ( x ) dx
ye
P ( x ) dx
Q xe
P ( x ) dx
dx C
一阶线性非齐次微分方程 两种解法： dy 套用公式 P( x) y Q( x) 常数变易法 dx 的通解为:
1 1 8 4 x C 代回原变量，得 y x 8 4 1
故所求方程的通解为
y
8x
x C1
8
伯努利方程的一般形式：
dy dx 变 解法： 形 P x y Q x y
y
n
n
n 0,1
1 n
dy dx
P x y
Q x
n
作变量代换 令 z y 原方程变为
dz dx
1 n
则 ，
dz dx
1 n y
dy dx
1 n P x z 1 n Q x
1 n
-----关于新变量的一阶线性方程 求出通解后，将 z y 代回即得.
例4 求方程
解 两端除以
P ( x ) dx
Ce
P ( x ) dx dx C ] 通解公式 [ Q( x )e
e
P ( x ) dx
P ( x ) dx
P ( x ) dx dx Q( x )e
对应齐次 方程通解
非齐次方程特解
C 0
通过齐次线性方程的通解去求对应非齐次 线性方程的通解的方法称为 常数变易法.
P ( x ) dx
,
右边
dx C , 所以 u x Q x e 代回,得非齐次方程的通解
P ( x ) dx
ye
P ( x ) dx
Q xe
P ( x ) dx
dx C
一阶线性非齐次微分方程 两种解法： dy 套用公式 P( x) y Q( x) 常数变易法 dx 的通解为:
1 1 8 4 x C 代回原变量，得 y x 8 4 1
故所求方程的通解为
y
8x
x C1
8
伯努利方程的一般形式：
dy dx 变 解法： 形 P x y Q x y
y
n
n
n 0,1
1 n
dy dx
P x y
Q x
n
作变量代换 令 z y 原方程变为
dz dx
1 n
则 ，
dz dx
1 n y
dy dx
1 n P x z 1 n Q x
1 n
-----关于新变量的一阶线性方程 求出通解后，将 z y 代回即得.
例4 求方程
解 两端除以
5.4__一阶线性微分方程
1 dx x
dx + C
1 = ( ∫ sin xdx + C ) x
1 = ( − cos x + C ). x
10
5.4 一阶线性微分方程
y = (ln x − ). 3 3
dy 考研数学一, 分 + P( x) y = Q( x) 考研数学一 二, 4分 dx 1 微分方程 xy′ + 2 y = x ln x 满足 y(1) = − 的解为 9 x 1
1 dy y ln y
dy + C
C 1 1 1 = ∫ ln ydy + C = ln y + ln y ln y y 2
此外, 也是原方程的解. 此外 y = 1也是原方程的解 也是原方程的解
13
5.4 一阶线性微分方程
注 解方程时, 解方程时 通常不计较哪个是自变量哪个是 因变量, 视方便而定, 因变量 视方便而定 关键在于找到两个变量间的 关系. 解可以是显函数, 也可以是隐函数, 关系 解可以是显函数 也可以是隐函数 甚至是 参数形式的. 参数形式的
12
5.4 一阶线性微分方程
y =e ∫
− P( x)dx
∫ P( x)dxdx + C] [∫ Q( x)e
y ln ydx + ( x − ln y )dy = 0
解
dx 1 1 x= + dy y ln y y
P( y)
Q( y )
1 dy y ln y
x=e
−
∫
1 ∫ ∫ ye
y =e
−
∫x0
x
P(t )dt
∫x0 P(u)dudt + y ]. [∫ Q(t )e 0
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令 v a x by, 则
dv
a
bd y
dx
dx
dv a b v c (可分离变量方程)
dx
v c1
注: 上述方法可适用于下述更一般的方程
( c2 c12 0 )
14
例4. 求解
解: 令 h k 4 0 得 h 1, k 5 hk 6 0
4.2 一阶微分方程
4.2.1 可分离变量方程
dy dx
f1 ( x)
f2 ( y)
M1(x)M 2 ( y) dx N1(x) N2 ( y) dy 0
转化
解分离变量方程 g( y) d y f (x) dx
分离变量方程的解法: 积分
1
可分离变量方程的一般形式为 dy f ( x)g( y)
dx x x
x
u xu 2u u2
分离变量
u
d
2
u
u
dx x
即 1 1 du dx
u 1 u
x
积分得 ln u 1 ln x ln C , 即 x (u 1) C
u
u
代回原变量得通解 x ( y x ) C y (C 为任意常数)
说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在
解: 根据牛顿第二定律列方程 m dv mg kv
初始条件为 v t0 0
dt
对方程分离变量, 然后积分 :
得
(此处 mg kv 0)
利用初始条件, 得 C 1 ln ( mg )
t 足够大时
代入上式后化简,
k
得特解
v
m
g
(1
e
k m
t
)
v
mg k
k
19
例3. 有高 1m 的半球形容器, 水从它的底部小孔流出,
小孔横截面积
开始时容器内盛满了水, 求水
从小孔流出过程中, 容器里水面的高度 h 随时间 t 的变
化规律.
解: 由水力学知, 水从孔口流出的流量为
h
流量系数
孔口截面面积 重力加速度
hr
100cm
o hdh
即
dV 0.62 2gh d t
设在
内水面高度由 h 降到 h d h ( d h 0),
得 ln M t ln C, 即 M C e t
M
利用初始条件, 得 C M 0
M0
故所求铀的变化规律为 M M 0 e t . o
t
18
例2. 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度
成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 求
降落伞下落速度与时间的函数关系.
sin u
x
两边积分
cos u sin u
d
u
dx x
得
ln sin u ln x ln C , 即 sin u C x
故原方程的通解为 sin y C x ( C 为任意常数 ) x
( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解)
8
例2. 解微分方程
解: 方程变形为 dy 2 y y 2 ,令 u y , 则有
①
dx
求解步骤：
（1）分离变量： dy f ( x)dx ( g( y)0) ； g( y)
（2）两边积分：
dy g( y)
f
(
x)dx
；
（3）求出积分，得通解：G( y) F ( x)C ， 其中G( y), F( x) 分别是 1 , f ( x) 的原函数。 g( y)
（4）若方程给出初始条件，则根据初始条件确定
②
dx x
例如：
dy dx
xy y2 x2 2xy
y ( y )2 xx 12( y )
,
都是齐次方程。
dy
y
(1
ln
yln
x)
y
x (1
ln
y
)
dx x
xx
2．齐次微分方程的解法
形如
的方程叫做齐次方程 .
解法: 令 u y , x
代入原方程得 u x d u (u)
24
说明:
y2
2C
(x
C 2
)
y
若已知反射镜面的底面直径为 d , 顶到底的距离为 h , 则将
A
d
oh x
(
C 2
,
0)
代入通解表达式得 C d 2 8h
这时旋转曲面方程为
y2
z2
d2 4h
x
d2 16h
25
常数 C ，得方程的特解。
（5）若有 g( y )0 ，把y y 代入①式可知，y y 也 是①的一个解，则此解称为常数解。
例1．求下列微分方程的通解
y1 x y2 xy2
解: y(1 x)(1 y2 ) ，
分离变量，得 dy 1 y2
(1
x)dx
，
两端积分，得：arctan y x x2 C ， 2
故有
1 u sin2 u
即
解得
tan u x C
所求通解: tan(x y 1) x C ( C 为任意常数 )
11
练习:
解法 1 分离变量
ey ex C
即
(ex C)ey 1 0
(C<0 )
解法 2 令u x y,
故有 积分
u 1 eu
20
对应下降体积
dV r 2 dh
r 1002 (100 h)2
dV (200h h2 ) dh
因此得微分方程定解问题:
200h h2 h
hr
100cm
o hdh
将方程分离变量:
dt
1
3
(200h 2 h 2 ) dh
0.62 2g
21
两端积分, 得
( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
4
例3. 解初值问题 xydx ( x2 1) dy 0 y(0) 1
解: 分离变量得
dy y
1
x x
2
dx
两边积分得
即
y x2 1 C ( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
y x2 1 1
5
4．2．2 齐次方程
t
0.62
2g
1
( 200h 2
3
h 2 ) dh
(
400
3
h2
2
5
h2
)
C
0.62 2g 3
5
利用初始条件, 得 C 14 105
0.62 2 g 15
h
hr
100cm
o hdh h t 0 100
因此容器内水面高度 h 与时间 t 有下列关系:
t
例1. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原 子的含量 M 成正比, 已知 t = 0 时铀的含量为 求在 衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律.
dM M ( 0)
解: 根据题意, 有 d t M t0 M 0 (初始条件)
对方程分离变量, 然后积分:
即 ytan( x x2 C ) 。 2
例2. 求微分方程
的通解.
解: 分离变量得 dy 3x2 dx y
两边积分
得 ln y x3 C1
或
说明: 在求解过程中 每一步不一定是同解 变形, 因此可能增、 减解.
即
令C eC1
ln y x3 ln C
( C 为任意常数 )
y5 x 1
2
ln
C (x 1)
得 C = 1 , 故所求特解为
思考: 若方程改为 提示:
如何求解?
16
作业
做书上
习 题 一 （P214）
2（1）（2）（5）；
4 ；5 ； 7（2）（3）。
习 题 二 （P219）
1（2）（4）；2（1）（3）；3 ； 4（1）（3）（4）；5（3）；8 。
1．齐次微分方程的一般形式： dy ( y ) dx x
若当t 0 时，有 f (tx,ty) f ( x, y)
①
则称方程 dy f ( x, y) 为齐次方程。
dx
在①中令 t 1 ，得 f ( x, y) f (1, y )( y ) ，故
x
xx
齐次方程的形式为 dy ( y )
定常数), 则d x d X , d y dY , 原方程化为
ahbk c a1h b1k c1
令
, 解出 h , k
(齐次方程)
13
求出其解后,
即得原方
程的解.
2.当 a1 b1 时, 原方程可化为
ab
dy a x by c (b 0)
dx
(a x by) c1
(1 eu ) eu
1 eu
du
u ln (1 eu ) x C
所求通解: ln (1 ex y ) y C ( C 为任意常数 )
12
*4、可化为齐次方程的方程
dv
a
bd y
dx
dx
dv a b v c (可分离变量方程)
dx
v c1
注: 上述方法可适用于下述更一般的方程
( c2 c12 0 )
14
例4. 求解
解: 令 h k 4 0 得 h 1, k 5 hk 6 0
4.2 一阶微分方程
4.2.1 可分离变量方程
dy dx
f1 ( x)
f2 ( y)
M1(x)M 2 ( y) dx N1(x) N2 ( y) dy 0
转化
解分离变量方程 g( y) d y f (x) dx
分离变量方程的解法: 积分
1
可分离变量方程的一般形式为 dy f ( x)g( y)
dx x x
x
u xu 2u u2
分离变量
u
d
2
u
u
dx x
即 1 1 du dx
u 1 u
x
积分得 ln u 1 ln x ln C , 即 x (u 1) C
u
u
代回原变量得通解 x ( y x ) C y (C 为任意常数)
说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在
解: 根据牛顿第二定律列方程 m dv mg kv
初始条件为 v t0 0
dt
对方程分离变量, 然后积分 :
得
(此处 mg kv 0)
利用初始条件, 得 C 1 ln ( mg )
t 足够大时
代入上式后化简,
k
得特解
v
m
g
(1
e
k m
t
)
v
mg k
k
19
例3. 有高 1m 的半球形容器, 水从它的底部小孔流出,
小孔横截面积
开始时容器内盛满了水, 求水
从小孔流出过程中, 容器里水面的高度 h 随时间 t 的变
化规律.
解: 由水力学知, 水从孔口流出的流量为
h
流量系数
孔口截面面积 重力加速度
hr
100cm
o hdh
即
dV 0.62 2gh d t
设在
内水面高度由 h 降到 h d h ( d h 0),
得 ln M t ln C, 即 M C e t
M
利用初始条件, 得 C M 0
M0
故所求铀的变化规律为 M M 0 e t . o
t
18
例2. 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度
成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 求
降落伞下落速度与时间的函数关系.
sin u
x
两边积分
cos u sin u
d
u
dx x
得
ln sin u ln x ln C , 即 sin u C x
故原方程的通解为 sin y C x ( C 为任意常数 ) x
( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解)
8
例2. 解微分方程
解: 方程变形为 dy 2 y y 2 ,令 u y , 则有
①
dx
求解步骤：
（1）分离变量： dy f ( x)dx ( g( y)0) ； g( y)
（2）两边积分：
dy g( y)
f
(
x)dx
；
（3）求出积分，得通解：G( y) F ( x)C ， 其中G( y), F( x) 分别是 1 , f ( x) 的原函数。 g( y)
（4）若方程给出初始条件，则根据初始条件确定
②
dx x
例如：
dy dx
xy y2 x2 2xy
y ( y )2 xx 12( y )
,
都是齐次方程。
dy
y
(1
ln
yln
x)
y
x (1
ln
y
)
dx x
xx
2．齐次微分方程的解法
形如
的方程叫做齐次方程 .
解法: 令 u y , x
代入原方程得 u x d u (u)
24
说明:
y2
2C
(x
C 2
)
y
若已知反射镜面的底面直径为 d , 顶到底的距离为 h , 则将
A
d
oh x
(
C 2
,
0)
代入通解表达式得 C d 2 8h
这时旋转曲面方程为
y2
z2
d2 4h
x
d2 16h
25
常数 C ，得方程的特解。
（5）若有 g( y )0 ，把y y 代入①式可知，y y 也 是①的一个解，则此解称为常数解。
例1．求下列微分方程的通解
y1 x y2 xy2
解: y(1 x)(1 y2 ) ，
分离变量，得 dy 1 y2
(1
x)dx
，
两端积分，得：arctan y x x2 C ， 2
故有
1 u sin2 u
即
解得
tan u x C
所求通解: tan(x y 1) x C ( C 为任意常数 )
11
练习:
解法 1 分离变量
ey ex C
即
(ex C)ey 1 0
(C<0 )
解法 2 令u x y,
故有 积分
u 1 eu
20
对应下降体积
dV r 2 dh
r 1002 (100 h)2
dV (200h h2 ) dh
因此得微分方程定解问题:
200h h2 h
hr
100cm
o hdh
将方程分离变量:
dt
1
3
(200h 2 h 2 ) dh
0.62 2g
21
两端积分, 得
( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
4
例3. 解初值问题 xydx ( x2 1) dy 0 y(0) 1
解: 分离变量得
dy y
1
x x
2
dx
两边积分得
即
y x2 1 C ( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
y x2 1 1
5
4．2．2 齐次方程
t
0.62
2g
1
( 200h 2
3
h 2 ) dh
(
400
3
h2
2
5
h2
)
C
0.62 2g 3
5
利用初始条件, 得 C 14 105
0.62 2 g 15
h
hr
100cm
o hdh h t 0 100
因此容器内水面高度 h 与时间 t 有下列关系:
t
例1. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原 子的含量 M 成正比, 已知 t = 0 时铀的含量为 求在 衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律.
dM M ( 0)
解: 根据题意, 有 d t M t0 M 0 (初始条件)
对方程分离变量, 然后积分:
即 ytan( x x2 C ) 。 2
例2. 求微分方程
的通解.
解: 分离变量得 dy 3x2 dx y
两边积分
得 ln y x3 C1
或
说明: 在求解过程中 每一步不一定是同解 变形, 因此可能增、 减解.
即
令C eC1
ln y x3 ln C
( C 为任意常数 )
y5 x 1
2
ln
C (x 1)
得 C = 1 , 故所求特解为
思考: 若方程改为 提示:
如何求解?
16
作业
做书上
习 题 一 （P214）
2（1）（2）（5）；
4 ；5 ； 7（2）（3）。
习 题 二 （P219）
1（2）（4）；2（1）（3）；3 ； 4（1）（3）（4）；5（3）；8 。
1．齐次微分方程的一般形式： dy ( y ) dx x
若当t 0 时，有 f (tx,ty) f ( x, y)
①
则称方程 dy f ( x, y) 为齐次方程。
dx
在①中令 t 1 ，得 f ( x, y) f (1, y )( y ) ，故
x
xx
齐次方程的形式为 dy ( y )
定常数), 则d x d X , d y dY , 原方程化为
ahbk c a1h b1k c1
令
, 解出 h , k
(齐次方程)
13
求出其解后,
即得原方
程的解.
2.当 a1 b1 时, 原方程可化为
ab
dy a x by c (b 0)
dx
(a x by) c1
(1 eu ) eu
1 eu
du
u ln (1 eu ) x C
所求通解: ln (1 ex y ) y C ( C 为任意常数 )
12
*4、可化为齐次方程的方程