重复控制理论详细介绍

2.2.3 补偿器
补偿器 S ( z ) 是针对对象 P( z ) 特性而设置的，它决定了重复控制系统的性能。 当重复控制器的内模输出了包含指令和扰动信息的信号后， 如何使控制对象的输 出完美地跟踪指令信号，这是补偿器要解决的问题。以往的文献利用零相移误差
跟踪理论对补偿器 S ( z ) 进行设计研究，但此方法没有考虑到补偿器 S ( z ) 对系统 性能的影响。对于控制系统而言，极点的位置和系统的性能有着密切的关系，因 此本文从极点分布的角度对补偿器的特性进行研究。 由图 2.5 给出 r 到 e 的传递函数： e (1 − P)(1 − QZ − N ) = r 1 − Z − N (Q − SP) Z −N Z −N S ＝〉 e = r − (e * S + r) * P e = r − (u + r ) * P ＝〉 u = e * 1 − QZ − N 1 − QZ − N ＝〉 e (1 − P)(1 − QZ − N ) = r 1 − Z − N (Q − SP)
E = R − Y =〉 E =
+ PZ − N R(1 − Z − N ) = 〉 = Y = − R ( R Y ) 1 − (1 − P) Z − N 1 − (1 − P) Z − N 1− P
=〉 Z − N =
1 =〉 Z = N 1− P
2.2.2 周期延时环节
在一些文献中， Z − N 被单独列出作为周期延时控制环节，本文虽然也采用了 这种论述形式，但需要说明的是 Z − N 并非单独的控制环节，它实际是内模的一部 分， 延时特性是重复控制内模的固有性质， 不能为了提高动态性能而舍弃次环节。 由图 2.1 可以看出，完整的内模表达式应为： Z −N 。为了便于分析内模的作 1 − Z −N 1 * Z − N 。形式 −N 1− Z
重复控制理论
2.1 重复控制的基本思想
重复控制是基于内模原理的一种控制思想。所谓“内模” ，是指在稳定的闭 环控制系统中包含外部输入信号的数学模型。下面是内模原理的具体描述：对于 一个控制系统而言，如果控制其的反馈来自被调节的信号，且在反馈回路中包含 相同的被控外部信号动态模型，那么整个系统是结构稳定的。内模原理的本质是 把系统外部信号的动力学模型植入控制器以构成高精度的反馈控制系统。 这样的 系统能够无静差的跟踪输入信号。对于所有的无静差系统，都存在这样的问题， 即当输入信号趋于 0 时，如何保证继续输出适当的控制信号，以维持合适的控制 作用。此时虽然给定信号和反馈信号依然存在，但误差信号为 0，系统信号通道 已经断开，输出与输入无关，这就要求控制器中必须包含能够反映外部指令或干 扰的模型，该模型能持续不断地输出相应的控制信号。从这个角度来说，内模的 作用类似于一个信号发生器，可以不依赖外部变量给出的控制信号。 由控制理论知道，含有积分环节的闭环控制系统可以无静差的跟踪阶跃信 号，而且可以完全抵消作用在积分环节之后的阶跃型干扰。可从内模原理的角度 对此作出解释，阶跃信号的数学模型为 1/s，而闭环系统中的积分环节也是 1/s， 系统包含了外部信号的数学模型，从而获得来无静差的跟踪给定信号的能力，可 以将积分控制理解为内模原理的一个典型应用。 当内模中的数学模型描述的是周期性的信号时，那么闭环控制系统就能够无
不稳定） 不能对受控对象直接求逆的方法设计 S ( z ) 。 传统的方法是通过零相移误 差跟踪理论设计相应的 S ( z ) 控制器。 首先对 B ( z −1 ) 进行分解，得到 B( z −1 ) = Bca ( z −1 ) Bcu ( z −1 ) ，其中 Bca ( z −1 ) 包含所 有单位圆内的零点， Bcu ( z −1 ) 包含单位圆外以及单位圆上的零点。新设计的补偿 器形式为 S ( z ) = A( z −1 ) z d ，其中 Bcu (1) 的作用是调整 S ( z ) 的增益。根据零 Bca ( z −1 ) Bcu (1)
u −s Bcu ( z −1 ) = bcu0 + bcu1 z −1 + bcu2 z −2 + ...... + bcs z
SP 的频率形式为：
Bcu (e − jωT ) = Re(ω ) − j Im(ω ) Bcu (1)
u bcu0 + bcu1 cos(ωt ) + bcu2 cos(2ωt ) + ...... + bcs cos( sωt ) 其中： Re(ω ) = u u u u bc 0 + bc1 + bc 2 + ...... + bcs u bcu0 + bcu1 sin(ωt ) + bcu2 sin( 2ωt ) + ...... + bcs sin( sωt ) u u u u bc 0 + bc1 + bc 2 + ...... + bcs
用，将内模变化为图 2.2 中虚线内的形式，数学表达式为：
上可以理解为“积分”和延迟两部分。 Z − N 位于重复控制系统的前向通道上，使 控制信号延时为１个周期。由于指令信号和扰动信号均为周期性，这样可使控制 信号对下一周期而言具有一定的超前性。而且对于超前相位补偿，此环节也是必 须的，后面的章节有详细说明。引入周期延迟环节后，系统的快速性受到影响， 有较大的控制滞后。因此在使用重复控制器时多采用嵌入式结构，保留指令信号 的快速通路，见图 2-5.
特性也被破坏，当输入信号为 0 时，改进内模的输出不能完全复现上个周期的信 号，而是逐周期的衰减。如果 Q 为常数，那么仅为幅值衰减，如果 Q 为低通函 数，对于非单一频谱的信号而言，信号的形式就会发生变化。以图 2.4 为例子，信号的传递函数为下面形式： Uo 1 = U i 1 − QZ − N 差分形式为：
静差地跟踪周期信号。如果系统的给定信号或扰动为单一频率的正弦信号，那么 只要在控制器内植入与指令同频的正弦信号模型 G ( s ) =
ω
s 静差跟踪。如果外部信号包含其它频率成分，这种情况下，若要实现无静 差，只能针对每一种频率的信号设置一个内模，如果频率成分较复杂，那么内模 数量就会很大，从应用角度而言不太合理，工程上也不易实现。而这种情况在实 际系统中经常出现，例如机械手在进行重复性动作时，它所受到的干扰信号并非 单一频率的正弦信号，频谱比较复杂，形式为指令信号的倍数关系；负载为整流 器的逆变电源的干扰信号除了基波频率外，还包含谐波成分。对于这样的系统， 若采用传统的内模控制会使控制器结构异常复杂。 为此需要寻找一种新的内模形 式来描述此种类型的外部信号。 分析可知，上面所述两种情况的干扰信号具有两个特点：首先是可重复性， 即周期性。其次是指令信号的谐波形式。因此扰动信号在每个基波周期都以完全 相同的波形出现。对于这样的信号，可采用如下形式的内模： G ( s ) = e − Ls ，L 1 − e − Ls
由传递函数可知，系统的极点： Z N = Q − SP ，当所有的极点都位于圆心上， 即 z=0 时，系统具有最好的动静态特性，此时 Q = SP ，在理想内模情况下 Q = 1 ， 即 SP = 1 。所以当取 S = P −1 形式时，系统既有最好的稳定性，又具有最快的误 差收敛速度和最小的稳态误差。但是有两个因素制约着Ｓ无法取 P −1 的形式。首 先，如果Ｐ包含单元圆外的零点，这样按照 S = P −1 会存在单位圆外的极点，补 偿器会不稳定，导致整个系统无法稳定。其次，要想在整个频段保证 S = P −1 ， 前提是获得一个完美精确的逆变电源模型Ｐ，这在一定程度上是很难实现的，尤 其是针对其高频的特性。
只有满足此约束条件误差才会收敛。但在一般情况下，被控对象难以在整个频段 满足此条件，此时可对内模加以改造，即采用 QZ − N 代替 Z − N ，保证系统稳定收 敛。 Q 可为小于 1 的常数，也可以为具有低通性质的函数。使得回路满足
Q(1 − P)
∞
< 1 。改进型内模结构见图 2.4。但是引入 Q 之后，内模的“纯积分”
2.2.4 补偿器的设计
假定受控对象 P = 计控制器 S ( z ) = z − d B( z −1 ) ，ｄ为受控对象的响应延时，根据前面的结论设 Az −1
z d A( z −1 ) ，可以实现完美的跟踪特性。但由于上述原因（补偿器 B( z −1 )
的极点为受控对象的零点，当受控对象的零点在单位圆外时，可能会导致补偿器
U o (k ) = U i (k ) + Q(k − N )
此式表明每个周期（N 步）的输出量都会增加，增量是将上一周期输出值衰减 Q 倍。当 Q 为具有低通特性的函数时，作用完全相同，只是频率越高增量越小。 此方法虽然提高了系统的稳定性，但是牺牲了无静差特性，内模的“纯积分”变 成了“准积分” 。
Im(ω ) =
得出： M = Re 2 (ω ) + Im 2 (ω ) ， φ = tan −1 (Im(ω ) / Re(ω )) 分析可知，幅值和频率随频率的变化有明显变化。尽管在实际系统中需跟踪的信 号频率都很低， M 和 φ 变化都很小，但是 φ / ω 较大，所以会引起较大的延时， 明显影响对信号的跟踪特性。此时可采用下面的数学特性达到零相移跟踪，即： Bcu ( z −1 ) Bcu ( z 1 ) u s ，其中 Bcu ( z ) = bcu0 + bcu1 z + bcu2 z 2 + ...... + bcs z ，计算得: * u u Bc (1) Bc (1)
E = R − Y ； Y = P *U ；U =
Z −N *E 1 − Z −N
整理后得： E = R (1 − Z − N ) + E (1 − P ) Z − N ，此式表明，系统稳定的条件是等 式右面第二项是稳定收敛的。
由图可见，系统稳定存在约束条件 1 − P
∞
< 1 。这表明在理想内模条件下，
相移误差跟踪理论， S ( z ) P( z ) 应满足零相移、零增益的条件，因此有如下推导： SP = 定义： M = Bcu ( Bcu (e − jωT )) Bcu (e − jωT ) ， φ = ∠ Bcu (1) Bcu (1) Bcu ( z −1 ) z − d B( z −1 ) A( z −1 ) d = z * A( z −1 ) Bca ( z −1 ) Bcu (1) Bcu (1)
2.2 重复控制器的结构及功能
2.2.1 重复控制器的内模
对于重复控制控制而言， 内模是系统的核心， 它提供了稳定持续的控制信号， 图 2.1 表明，当内模为理想情况时，输入信号为 0 的情况下输出可以无衰减的反 复重现上一周期的信号。 但是理想内模的极点分布在虚轴上， 处于临界振荡状态， 系统稳定性较差。当受控对象的参数稍有变化，整个闭环系统很可能不稳定。图 2.2 所示的重复控制器基本框图，可得到闭环系统的传递函数为：
为给定信号的周期。这是一个周期延时正反馈环节，不管什么形式的信号，只要 重复出现，而且频率是基波的倍数，那么该内模的输出就是对输入信号的逐周期 累加。当输入信号衰减为 0，该内模依然会不断的逐周期输出与上周期相同的信 号，相当于任意信号发生器。它的作用类似于积分环节，区别仅在于它是逐周期 的累加，因此这样的内模能够满足要求。采用这种特殊形式内模的闭环控制系统 称之为重复控制系统。由于上式中的存延时环节 e − Ls 难以用模拟器件实现，因而 在应用中重复控制都是以离散的数字形式实现。重复控制器内模的离散形式为 G= Z −N ，N 为一个周期的采样次数。见图 2-1。 1 − Z −N
Bcu (e − jωT ) Bcu (e jωT ) = (Re(ω ) − j Im(ω )) * (Re(ω ) + j Im(ω )) = * Bcu (1) Bcu (1) Re 2 (ω ) + Im 2 (ω ) 上式计算结果为一实数，这表明任何频率下的相移均为 0，在低频段增益接近 1。 当受控对象含有单元圆外零点时，补偿器的形式为下面形式： S ( z) = A( z −1 ) Bcu* ( z −1 ) B ( z ) B (1)