存在性系列之平行四边形存在性问题

平行四边形存在性问题

考虑到求证平行四边形存在，必先了解平行四边形性质： （1）对应边平行且相等； （2）对角线互相平分．

这是图形的性质，我们现在需要的是将其性质运用在在坐标系中：

（1）对边平行且相等可转化为：A B D C

A

B D

C x x x x y y y y −=−⎧⎨−=−⎩，

可以理解为点B 移动到点A ，点C 移动到点D ，移动路径完全相同．

y D -y C

x D -x C

y A -y B

x A -x B

A

B

C D

（2）对角线互相平分转化为：22

22

A C

B D

A

C B

D x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，

可以理解为AC 的中点也是BD 的中点．

D

C

B

A

【小结】虽然由两个性质推得的式子并不一样，但其实可以化为统一：

A B D C A C D B

A B D C A C D B x x x x x x x x y y y y y y y y −=−+=+⎧⎧→⎨⎨

−=−+=+⎩⎩， 22

22

A C

B D

A

C B

D x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩→A C B D A C B D x x x x y y y y +=+⎧⎨

+=+⎩． 当AC 和BD 为对角线时，结果可简记为：A C B D +=+（各个点对应的横纵坐标相加）

以上是对于平行四边形性质的分析，而我们要求证的是平行四边形存在性问题，此处当有一问：若坐标系中的4个点A 、B 、C 、D 满足“A +C =B +D ”，则四边形ABCD 是否一定为平行四边形？

反例如下：

D

之所以存在反例是因为“四边形ABCD 是平行四边形”与“AC 、BD 中点是同一个点”并不是完全等价的转化，故存在反例．

虽有反例，但并不影响运用此结论解题，另外，还需注意对对角线的讨论： （1）四边形ABCD 是平行四边形：AC 、BD 一定是对角线．

（2）以A 、B 、C 、D 四个点为顶点是四边形是平行四边形：对角线不确定需要分类讨论．

【题型分类】

平行四边形存在性问题通常可分为“三定一动”和“两定两动”两大类问题． 1．三定一动

已知A （1，2）B （5，3）C （3，5），在坐标系内确定点D 使得以A 、B 、C 、D 四个点为顶点的四边形是平行四边形．

D 3

D 2

D 1

O

y

x

C

B

A

思路1：利用对角线互相平分，分类讨论：

设D 点坐标为（m ，n ），又A （1，2）B （5，3）C （3，5），可得：

（1）BC 为对角线时，531352m n +=+⎧⎨+=+⎩，可得()17,6D ；

（2）AC 为对角线时，135253m

n +=+⎧⎨+=+⎩，解得()21,4D −；

（3）AB 为对角线时，153235m

n +=+⎧⎨+=+⎩

，解得()33,0D ．

当然，如果对这个计算过程非常熟悉的话，也不用列方程解，直接列算式即可． 比如：1=D B C A +−，2=D A C B +−，3D A B C =+−．（此处特指点的横纵坐标相加减）

2．两定两动

已知A （1，1）、B （3，2），点C 在x 轴上，点D 在y 轴上，且以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，求C 、D 坐标．

【分析】

设C 点坐标为（m ，0），D 点坐标为（0，n ），又A （1，1）、B （3，2）．

（1）当AB 为对角线时，130120m n +=+⎧⎨+=+⎩

，解得43m n =⎧⎨=⎩，故C （4，0）、D （0，3）；

（2）当AC 为对角线时，130102m n +=+⎧⎨+=+⎩，解得2

1m n =⎧⎨=−⎩，故C （2，0）、D （0，-1）；

（3）当AD 为对角线时，103120m n +=+⎧⎨+=+⎩，解得2

1

m n =−⎧⎨=⎩，故C （-2，0）、D （0，1）．

【动点综述】

“三定一动”的动点和“两定两动”的动点性质并不完全一样，“三定一动”中动点是在平面中，横纵坐标都不确定，需要用两个字母表示，这样的我们姑且称为“全动点”，而有一些动点在坐标轴或者直线或者抛物线上，用一个字母即可表示点坐标，称为“半动点”．

从上面例子可以看出，虽然动点数量不同，但本质都是在用两个字母表示出4个点坐标．若把一个字母称为一个“未知量”也可理解为：全动点未知量=半动点未知量×2．

找不同图形的存在性最多可以有几个未知量，都是根据图形决定的，像平行四边形，只能有2个未知量．究其原因，在于平行四边形两大性质： （1）对边平行且相等； （2）对角线互相平分．

但此两个性质统一成一个等式： A C B D A

C B

D x x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩，

两个等式，只能允许最多存在两个未知数，即我们刚刚所讲的平行四边形存在性问题最多只能存在2个未知量．

由图形性质可知未知量，由未知量可知动点设计，由动点设计可化解问题．

【2019宜宾中考】

如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22y ax x c =−+与直线y kx b =+都经过(0,3)A −、(3,0)B 两点，该抛物线的顶点为C ．

（1）求此抛物线和直线AB 的解析式；

（2）设直线AB 与该抛物线的对称轴交于点E ，在射线EB 上是否存在一点M ，过M 作x

轴的垂线交抛物线于点N ，使点M 、N 、C 、E 是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）设点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，当△P AB 面积最大时，求点P 的坐标，并

求△P AB 面积的最大值．